MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  modsub12d Structured version   Unicode version

Theorem modsub12d 12046
Description: Subtraction property of the modulo operation. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
modadd12d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
modadd12d.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
modadd12d.3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
modadd12d.4  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
modadd12d.5  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
modadd12d.6  |-  ( ph  ->  ( A  mod  E
)  =  ( B  mod  E ) )
modadd12d.7  |-  ( ph  ->  ( C  mod  E
)  =  ( D  mod  E ) )
Assertion
Ref Expression
modsub12d  |-  ( ph  ->  ( ( A  -  C )  mod  E
)  =  ( ( B  -  D )  mod  E ) )

Proof of Theorem modsub12d
StepHypRef Expression
1 modadd12d.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 modadd12d.2 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
3 modadd12d.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
43renegcld 10007 . . 3  |-  ( ph  -> 
-u C  e.  RR )
5 modadd12d.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
65renegcld 10007 . . 3  |-  ( ph  -> 
-u D  e.  RR )
7 modadd12d.5 . . 3  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
8 modadd12d.6 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  mod  E
)  =  ( B  mod  E ) )
9 modadd12d.7 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( C  mod  E
)  =  ( D  mod  E ) )
103, 5, 7, 9modnegd 12044 . . 3  |-  ( ph  ->  ( -u C  mod  E )  =  ( -u D  mod  E ) )
111, 2, 4, 6, 7, 8, 10modadd12d 12045 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  -u C )  mod  E
)  =  ( ( B  +  -u D
)  mod  E )
)
121recnd 9639 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
133recnd 9639 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
1412, 13negsubd 9956 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  +  -u C )  =  ( A  -  C ) )
1514oveq1d 6311 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  -u C )  mod  E
)  =  ( ( A  -  C )  mod  E ) )
162recnd 9639 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
175recnd 9639 . . . 4  |-  ( ph  ->  D  e.  CC )
1816, 17negsubd 9956 . . 3  |-  ( ph  ->  ( B  +  -u D )  =  ( B  -  D ) )
1918oveq1d 6311 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( B  +  -u D )  mod  E
)  =  ( ( B  -  D )  mod  E ) )
2011, 15, 193eqtr3d 2506 1  |-  ( ph  ->  ( ( A  -  C )  mod  E
)  =  ( ( B  -  D )  mod  E ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1395    e. wcel 1819  (class class class)co 6296   RRcr 9508    + caddc 9512    - cmin 9824   -ucneg 9825   RR+crp 11245    mod cmo 11998
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-sup 7919  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-rp 11246  df-fl 11931  df-mod 11999
This theorem is referenced by:  modsubmod  12047  modsubmodmod  12048
  Copyright terms: Public domain W3C validator