MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  modprminveq Structured version   Unicode version

Theorem modprminveq 13992
Description: The modular inverse of  A  mod  P is unique. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-May-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
modprminv.1  |-  R  =  ( ( A ^
( P  -  2 ) )  mod  P
)
Assertion
Ref Expression
modprminveq  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  A  e.  ZZ  /\  -.  P  ||  A )  ->  (
( S  e.  ( 0 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( A  x.  S )  mod 
P )  =  1 )  <->  S  =  R
) )

Proof of Theorem modprminveq
StepHypRef Expression
1 elfzelz 11573 . . . . . . 7  |-  ( S  e.  ( 0 ... ( P  -  1 ) )  ->  S  e.  ZZ )
2 zmulcl 10807 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  S  e.  ZZ )  ->  ( A  x.  S
)  e.  ZZ )
31, 2sylan2 474 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  S  e.  ( 0 ... ( P  - 
1 ) ) )  ->  ( A  x.  S )  e.  ZZ )
4 modprm1div 13990 . . . . . 6  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  ( A  x.  S )  e.  ZZ )  ->  (
( ( A  x.  S )  mod  P
)  =  1  <->  P  ||  ( ( A  x.  S )  -  1 ) ) )
53, 4sylan2 474 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  ( A  e.  ZZ  /\  S  e.  ( 0 ... ( P  -  1 ) ) ) )  -> 
( ( ( A  x.  S )  mod 
P )  =  1  <-> 
P  ||  ( ( A  x.  S )  -  1 ) ) )
65expr 615 . . . 4  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( S  e.  ( 0 ... ( P  - 
1 ) )  -> 
( ( ( A  x.  S )  mod 
P )  =  1  <-> 
P  ||  ( ( A  x.  S )  -  1 ) ) ) )
763adant3 1008 . . 3  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  A  e.  ZZ  /\  -.  P  ||  A )  ->  ( S  e.  ( 0 ... ( P  - 
1 ) )  -> 
( ( ( A  x.  S )  mod 
P )  =  1  <-> 
P  ||  ( ( A  x.  S )  -  1 ) ) ) )
87pm5.32d 639 . 2  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  A  e.  ZZ  /\  -.  P  ||  A )  ->  (
( S  e.  ( 0 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( A  x.  S )  mod 
P )  =  1 )  <->  ( S  e.  ( 0 ... ( P  -  1 ) )  /\  P  ||  ( ( A  x.  S )  -  1 ) ) ) )
9 modprminv.1 . . 3  |-  R  =  ( ( A ^
( P  -  2 ) )  mod  P
)
109prmdiveq 13982 . 2  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  A  e.  ZZ  /\  -.  P  ||  A )  ->  (
( S  e.  ( 0 ... ( P  -  1 ) )  /\  P  ||  (
( A  x.  S
)  -  1 ) )  <->  S  =  R
) )
118, 10bitrd 253 1  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  A  e.  ZZ  /\  -.  P  ||  A )  ->  (
( S  e.  ( 0 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( A  x.  S )  mod 
P )  =  1 )  <->  S  =  R
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   class class class wbr 4403  (class class class)co 6203   0cc0 9396   1c1 9397    x. cmul 9401    - cmin 9709   2c2 10485   ZZcz 10760   ...cfz 11557    mod cmo 11828   ^cexp 11985    || cdivides 13656   Primecprime 13884
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473  ax-pre-sup 9474
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-2o 7034  df-oadd 7037  df-er 7214  df-map 7329  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-sup 7805  df-card 8223  df-cda 8451  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-div 10108  df-nn 10437  df-2 10494  df-3 10495  df-n0 10694  df-z 10761  df-uz 10976  df-rp 11106  df-fz 11558  df-fzo 11669  df-fl 11762  df-mod 11829  df-seq 11927  df-exp 11986  df-hash 12224  df-cj 12709  df-re 12710  df-im 12711  df-sqr 12845  df-abs 12846  df-dvds 13657  df-gcd 13812  df-prm 13885  df-phi 13962
This theorem is referenced by:  reumodprminv  13993
  Copyright terms: Public domain W3C validator