MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  modprminv Structured version   Unicode version

Theorem modprminv 14198
Description: Show an explicit expression for the modular inverse of  A  mod  P. This is an application of prmdiv 14187. (Contributed by Alexander van der Vekens, 15-May-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
modprminv.1  |-  R  =  ( ( A ^
( P  -  2 ) )  mod  P
)
Assertion
Ref Expression
modprminv  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  A  e.  ZZ  /\  -.  P  ||  A )  ->  ( R  e.  ( 1 ... ( P  - 
1 ) )  /\  ( ( A  x.  R )  mod  P
)  =  1 ) )

Proof of Theorem modprminv
StepHypRef Expression
1 modprminv.1 . . 3  |-  R  =  ( ( A ^
( P  -  2 ) )  mod  P
)
21prmdiv 14187 . 2  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  A  e.  ZZ  /\  -.  P  ||  A )  ->  ( R  e.  ( 1 ... ( P  - 
1 ) )  /\  P  ||  ( ( A  x.  R )  - 
1 ) ) )
3 elfzelz 11692 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  ->  R  e.  ZZ )
4 zmulcl 10913 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  R  e.  ZZ )  ->  ( A  x.  R
)  e.  ZZ )
53, 4sylan2 474 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  R  e.  ( 1 ... ( P  - 
1 ) ) )  ->  ( A  x.  R )  e.  ZZ )
6 modprm1div 14196 . . . . . 6  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  ( A  x.  R )  e.  ZZ )  ->  (
( ( A  x.  R )  mod  P
)  =  1  <->  P  ||  ( ( A  x.  R )  -  1 ) ) )
75, 6sylan2 474 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  ( A  e.  ZZ  /\  R  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) ) ) )  -> 
( ( ( A  x.  R )  mod 
P )  =  1  <-> 
P  ||  ( ( A  x.  R )  -  1 ) ) )
87expr 615 . . . 4  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( R  e.  ( 1 ... ( P  - 
1 ) )  -> 
( ( ( A  x.  R )  mod 
P )  =  1  <-> 
P  ||  ( ( A  x.  R )  -  1 ) ) ) )
983adant3 1015 . . 3  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  A  e.  ZZ  /\  -.  P  ||  A )  ->  ( R  e.  ( 1 ... ( P  - 
1 ) )  -> 
( ( ( A  x.  R )  mod 
P )  =  1  <-> 
P  ||  ( ( A  x.  R )  -  1 ) ) ) )
109pm5.32d 639 . 2  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  A  e.  ZZ  /\  -.  P  ||  A )  ->  (
( R  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( A  x.  R )  mod 
P )  =  1 )  <->  ( R  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  P  ||  ( ( A  x.  R )  -  1 ) ) ) )
112, 10mpbird 232 1  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  A  e.  ZZ  /\  -.  P  ||  A )  ->  ( R  e.  ( 1 ... ( P  - 
1 ) )  /\  ( ( A  x.  R )  mod  P
)  =  1 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 972    = wceq 1381    e. wcel 1802   class class class wbr 4433  (class class class)co 6277   1c1 9491    x. cmul 9495    - cmin 9805   2c2 10586   ZZcz 10865   ...cfz 11676    mod cmo 11970   ^cexp 12140    || cdvds 13858   Primecprime 14089
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4544  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567  ax-pre-sup 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-pss 3474  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-tp 4015  df-op 4017  df-uni 4231  df-int 4268  df-iun 4313  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-tr 4527  df-eprel 4777  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-fr 4824  df-we 4826  df-ord 4867  df-on 4868  df-lim 4869  df-suc 4870  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6682  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7040  df-rdg 7074  df-1o 7128  df-2o 7129  df-oadd 7132  df-er 7309  df-map 7420  df-en 7515  df-dom 7516  df-sdom 7517  df-fin 7518  df-sup 7899  df-card 8318  df-cda 8546  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10208  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11086  df-rp 11225  df-fz 11677  df-fzo 11799  df-fl 11903  df-mod 11971  df-seq 12082  df-exp 12141  df-hash 12380  df-cj 12906  df-re 12907  df-im 12908  df-sqrt 13042  df-abs 13043  df-dvds 13859  df-gcd 14017  df-prm 14090  df-phi 14168
This theorem is referenced by:  powm2modprm  14200  reumodprminv  14201
  Copyright terms: Public domain W3C validator