Theorem modprminv 14198

Description: Show an explicit expression for the modular inverse of A mod P. This is an application of prmdiv 14187. (Contributed by Alexander van der Vekens, 15-May-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
modprminv.1	|- R = ( ( A ^ ( P - 2 ) ) mod P )

Assertion

Ref	Expression
modprminv	|- ( ( P e. Prime /\ A e. ZZ /\ -. P || A ) -> ( R e. ( 1 ... ( P - 1 ) ) /\ ( ( A x. R ) mod P ) = 1 ) )

Proof of Theorem modprminv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		modprminv.1	. . 3 |- R = ( ( A ^ ( P - 2 ) ) mod P )
2	1	prmdiv 14187	. 2 |- ( ( P e. Prime /\ A e. ZZ /\ -. P || A ) -> ( R e. ( 1 ... ( P - 1 ) ) /\ P || ( ( A x. R ) - 1 ) ) )
3		elfzelz 11692	. . . . . . 7 |- ( R e. ( 1 ... ( P - 1 ) ) -> R e. ZZ )
4		zmulcl 10913	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ R e. ZZ ) -> ( A x. R ) e. ZZ )
5	3, 4	sylan2 474	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ R e. ( 1 ... ( P - 1 ) ) ) -> ( A x. R ) e. ZZ )
6		modprm1div 14196	. . . . . 6 |- ( ( P e. Prime /\ ( A x. R ) e. ZZ ) -> ( ( ( A x. R ) mod P ) = 1 <-> P || ( ( A x. R ) - 1 ) ) )
7	5, 6	sylan2 474	. . . . 5 |- ( ( P e. Prime /\ ( A e. ZZ /\ R e. ( 1 ... ( P - 1 ) ) ) ) -> ( ( ( A x. R ) mod P ) = 1 <-> P || ( ( A x. R ) - 1 ) ) )
8	7	expr 615	. . . 4 |- ( ( P e. Prime /\ A e. ZZ ) -> ( R e. ( 1 ... ( P - 1 ) ) -> ( ( ( A x. R ) mod P ) = 1 <-> P || ( ( A x. R ) - 1 ) ) ) )
9	8	3adant3 1015	. . 3 |- ( ( P e. Prime /\ A e. ZZ /\ -. P || A ) -> ( R e. ( 1 ... ( P - 1 ) ) -> ( ( ( A x. R ) mod P ) = 1 <-> P || ( ( A x. R ) - 1 ) ) ) )
10	9	pm5.32d 639	. 2 |- ( ( P e. Prime /\ A e. ZZ /\ -. P || A ) -> ( ( R e. ( 1 ... ( P - 1 ) ) /\ ( ( A x. R ) mod P ) = 1 ) <-> ( R e. ( 1 ... ( P - 1 ) ) /\ P || ( ( A x. R ) - 1 ) ) ) )
11	2, 10	mpbird 232	1 |- ( ( P e. Prime /\ A e. ZZ /\ -. P || A ) -> ( R e. ( 1 ... ( P - 1 ) ) /\ ( ( A x. R ) mod P ) = 1 ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 972   = wceq 1381   e. wcel 1802   class class class wbr 4433  (class class class)co 6277   1c1 9491   x. cmul 9495   - cmin 9805   2c2 10586   ZZcz 10865   ...cfz 11676   mod cmo 11970   ^cexp 12140   || cdvds 13858   Primecprime 14089

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4544  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567  ax-pre-sup 9568

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-pss 3474  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-tp 4015  df-op 4017  df-uni 4231  df-int 4268  df-iun 4313  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-tr 4527  df-eprel 4777  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-fr 4824  df-we 4826  df-ord 4867  df-on 4868  df-lim 4869  df-suc 4870  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6682  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7040  df-rdg 7074  df-1o 7128  df-2o 7129  df-oadd 7132  df-er 7309  df-map 7420  df-en 7515  df-dom 7516  df-sdom 7517  df-fin 7518  df-sup 7899  df-card 8318  df-cda 8546  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10208  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11086  df-rp 11225  df-fz 11677  df-fzo 11799  df-fl 11903  df-mod 11971  df-seq 12082  df-exp 12141  df-hash 12380  df-cj 12906  df-re 12907  df-im 12908  df-sqrt 13042  df-abs 13043  df-dvds 13859  df-gcd 14017  df-prm 14090  df-phi 14168

This theorem is referenced by:  powm2modprm  14200  reumodprminv  14201