Theorem modprminv 13989

Description: Show an explicit expression for the modular inverse of A mod P. This is an application of prmdiv 13979. (Contributed by Alexander van der Vekens, 15-May-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
modprminv.1	|- R = ( ( A ^ ( P - 2 ) ) mod P )

Assertion

Ref	Expression
modprminv	|- ( ( P e. Prime /\ A e. ZZ /\ -. P || A ) -> ( R e. ( 1 ... ( P - 1 ) ) /\ ( ( A x. R ) mod P ) = 1 ) )

Proof of Theorem modprminv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		modprminv.1	. . 3 |- R = ( ( A ^ ( P - 2 ) ) mod P )
2	1	prmdiv 13979	. 2 |- ( ( P e. Prime /\ A e. ZZ /\ -. P || A ) -> ( R e. ( 1 ... ( P - 1 ) ) /\ P || ( ( A x. R ) - 1 ) ) )
3		elfzelz 11571	. . . . . . 7 |- ( R e. ( 1 ... ( P - 1 ) ) -> R e. ZZ )
4		zmulcl 10805	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ R e. ZZ ) -> ( A x. R ) e. ZZ )
5	3, 4	sylan2 474	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ R e. ( 1 ... ( P - 1 ) ) ) -> ( A x. R ) e. ZZ )
6		modprm1div 13988	. . . . . 6 |- ( ( P e. Prime /\ ( A x. R ) e. ZZ ) -> ( ( ( A x. R ) mod P ) = 1 <-> P || ( ( A x. R ) - 1 ) ) )
7	5, 6	sylan2 474	. . . . 5 |- ( ( P e. Prime /\ ( A e. ZZ /\ R e. ( 1 ... ( P - 1 ) ) ) ) -> ( ( ( A x. R ) mod P ) = 1 <-> P || ( ( A x. R ) - 1 ) ) )
8	7	expr 615	. . . 4 |- ( ( P e. Prime /\ A e. ZZ ) -> ( R e. ( 1 ... ( P - 1 ) ) -> ( ( ( A x. R ) mod P ) = 1 <-> P || ( ( A x. R ) - 1 ) ) ) )
9	8	3adant3 1008	. . 3 |- ( ( P e. Prime /\ A e. ZZ /\ -. P || A ) -> ( R e. ( 1 ... ( P - 1 ) ) -> ( ( ( A x. R ) mod P ) = 1 <-> P || ( ( A x. R ) - 1 ) ) ) )
10	9	pm5.32d 639	. 2 |- ( ( P e. Prime /\ A e. ZZ /\ -. P || A ) -> ( ( R e. ( 1 ... ( P - 1 ) ) /\ ( ( A x. R ) mod P ) = 1 ) <-> ( R e. ( 1 ... ( P - 1 ) ) /\ P || ( ( A x. R ) - 1 ) ) ) )
11	2, 10	mpbird 232	1 |- ( ( P e. Prime /\ A e. ZZ /\ -. P || A ) -> ( R e. ( 1 ... ( P - 1 ) ) /\ ( ( A x. R ) mod P ) = 1 ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1370   e. wcel 1758   class class class wbr 4401  (class class class)co 6201   1c1 9395   x. cmul 9399   - cmin 9707   2c2 10483   ZZcz 10758   ...cfz 11555   mod cmo 11826   ^cexp 11983   || cdivides 13654   Primecprime 13882

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4512  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-cnex 9450  ax-resscn 9451  ax-1cn 9452  ax-icn 9453  ax-addcl 9454  ax-addrcl 9455  ax-mulcl 9456  ax-mulrcl 9457  ax-mulcom 9458  ax-addass 9459  ax-mulass 9460  ax-distr 9461  ax-i2m1 9462  ax-1ne0 9463  ax-1rid 9464  ax-rnegex 9465  ax-rrecex 9466  ax-cnre 9467  ax-pre-lttri 9468  ax-pre-lttrn 9469  ax-pre-ltadd 9470  ax-pre-mulgt0 9471  ax-pre-sup 9472

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-uni 4201  df-int 4238  df-iun 4282  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-om 6588  df-1st 6688  df-2nd 6689  df-recs 6943  df-rdg 6977  df-1o 7031  df-2o 7032  df-oadd 7035  df-er 7212  df-map 7327  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-fin 7425  df-sup 7803  df-card 8221  df-cda 8449  df-pnf 9532  df-mnf 9533  df-xr 9534  df-ltxr 9535  df-le 9536  df-sub 9709  df-neg 9710  df-div 10106  df-nn 10435  df-2 10492  df-3 10493  df-n0 10692  df-z 10759  df-uz 10974  df-rp 11104  df-fz 11556  df-fzo 11667  df-fl 11760  df-mod 11827  df-seq 11925  df-exp 11984  df-hash 12222  df-cj 12707  df-re 12708  df-im 12709  df-sqr 12843  df-abs 12844  df-dvds 13655  df-gcd 13810  df-prm 13883  df-phi 13960

This theorem is referenced by:  reumodprminv  13991  powm2modprm  30397