MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  modprm1div Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem modprm1div 14748
Description: A prime number divides an integer minus 1 iff the integer modulo the prime number is 1. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-May-2018.)
Assertion
Ref Expression
modprm1div  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  A  e.  ZZ )  ->  (
( A  mod  P
)  =  1  <->  P  ||  ( A  -  1 ) ) )

Proof of Theorem modprm1div
StepHypRef Expression
1 prmnn 14625 . . . . . 6  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  NN )
21nnred 10624 . . . . 5  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  RR )
3 prmgt1 14643 . . . . 5  |-  ( P  e.  Prime  ->  1  < 
P )
4 1mod 12129 . . . . . 6  |-  ( ( P  e.  RR  /\  1  <  P )  -> 
( 1  mod  P
)  =  1 )
54eqcomd 2457 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  RR  /\  1  <  P )  -> 
1  =  ( 1  mod  P ) )
62, 3, 5syl2anc 667 . . . 4  |-  ( P  e.  Prime  ->  1  =  ( 1  mod  P
) )
76adantr 467 . . 3  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  A  e.  ZZ )  ->  1  =  ( 1  mod 
P ) )
87eqeq2d 2461 . 2  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  A  e.  ZZ )  ->  (
( A  mod  P
)  =  1  <->  ( A  mod  P )  =  ( 1  mod  P
) ) )
91adantr 467 . . 3  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  A  e.  ZZ )  ->  P  e.  NN )
10 simpr 463 . . 3  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  A  e.  ZZ )  ->  A  e.  ZZ )
11 1zzd 10968 . . 3  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  A  e.  ZZ )  ->  1  e.  ZZ )
12 moddvds 14312 . . 3  |-  ( ( P  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  ->  (
( A  mod  P
)  =  ( 1  mod  P )  <->  P  ||  ( A  -  1 ) ) )
139, 10, 11, 12syl3anc 1268 . 2  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  A  e.  ZZ )  ->  (
( A  mod  P
)  =  ( 1  mod  P )  <->  P  ||  ( A  -  1 ) ) )
148, 13bitrd 257 1  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  A  e.  ZZ )  ->  (
( A  mod  P
)  =  1  <->  P  ||  ( A  -  1 ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1444    e. wcel 1887   class class class wbr 4402  (class class class)co 6290   RRcr 9538   1c1 9540    < clt 9675    - cmin 9860   NNcn 10609   ZZcz 10937    mod cmo 12096    || cdvds 14305   Primecprime 14622
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-sup 7956  df-inf 7957  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-fl 12028  df-mod 12097  df-dvds 14306  df-prm 14623
This theorem is referenced by:  m1dvdsndvds  14749  modprminv  14750  modprminveq  14751  powm2modprm  14754  numclwwlk5lem  25839
  Copyright terms: Public domain W3C validator