MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  modprm1div Structured version   Unicode version

Theorem modprm1div 14200
Description: A prime number divides an integer minus 1 iff the integer modulo the prime number is 1. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-May-2018.)
Assertion
Ref Expression
modprm1div  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  A  e.  ZZ )  ->  (
( A  mod  P
)  =  1  <->  P  ||  ( A  -  1 ) ) )

Proof of Theorem modprm1div
StepHypRef Expression
1 prmnn 14096 . . . . . 6  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  NN )
21nnred 10563 . . . . 5  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  RR )
3 prmgt1 14112 . . . . 5  |-  ( P  e.  Prime  ->  1  < 
P )
4 1mod 12008 . . . . . 6  |-  ( ( P  e.  RR  /\  1  <  P )  -> 
( 1  mod  P
)  =  1 )
54eqcomd 2475 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  RR  /\  1  <  P )  -> 
1  =  ( 1  mod  P ) )
62, 3, 5syl2anc 661 . . . 4  |-  ( P  e.  Prime  ->  1  =  ( 1  mod  P
) )
76adantr 465 . . 3  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  A  e.  ZZ )  ->  1  =  ( 1  mod 
P ) )
87eqeq2d 2481 . 2  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  A  e.  ZZ )  ->  (
( A  mod  P
)  =  1  <->  ( A  mod  P )  =  ( 1  mod  P
) ) )
91adantr 465 . . 3  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  A  e.  ZZ )  ->  P  e.  NN )
10 simpr 461 . . 3  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  A  e.  ZZ )  ->  A  e.  ZZ )
11 1zzd 10907 . . 3  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  A  e.  ZZ )  ->  1  e.  ZZ )
12 moddvds 13871 . . 3  |-  ( ( P  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  ->  (
( A  mod  P
)  =  ( 1  mod  P )  <->  P  ||  ( A  -  1 ) ) )
139, 10, 11, 12syl3anc 1228 . 2  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  A  e.  ZZ )  ->  (
( A  mod  P
)  =  ( 1  mod  P )  <->  P  ||  ( A  -  1 ) ) )
148, 13bitrd 253 1  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  A  e.  ZZ )  ->  (
( A  mod  P
)  =  1  <->  P  ||  ( A  -  1 ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   class class class wbr 4453  (class class class)co 6295   RRcr 9503   1c1 9505    < clt 9640    - cmin 9817   NNcn 10548   ZZcz 10876    mod cmo 11976    || cdivides 13864   Primecprime 14093
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-2o 7143  df-oadd 7146  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-sup 7913  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-rp 11233  df-fl 11909  df-mod 11977  df-dvds 13865  df-prm 14094
This theorem is referenced by:  m1dvdsndvds  14201  modprminv  14202  modprminveq  14203  powm2modprm  14204  numclwwlk5lem  24935
  Copyright terms: Public domain W3C validator