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Theorem modprm0 14756
Description: For two positive integers less than a given prime number there is always a nonnegative integer (less than the given prime number) so that the sum of one of the two positive integers and the other of the positive integers multiplied by the nonnegative integer is 0 ( modulo the given prime number). (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-May-2018.)
Assertion
Ref Expression
modprm0  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) )  ->  E. j  e.  ( 0..^ P ) ( ( I  +  ( j  x.  N ) )  mod  P )  =  0 )
Distinct variable groups:    j, I    j, N    P, j

Proof of Theorem modprm0
Dummy variable  r is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reumodprminv 14755 . . . 4  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P ) )  ->  E! r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) ) ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )
2 reurex 3009 . . . 4  |-  ( E! r  e.  ( 1 ... ( P  - 
1 ) ) ( ( N  x.  r
)  mod  P )  =  1  ->  E. r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) ) ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )
3 prmz 14626 . . . . . . . . . . 11  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  ZZ )
433ad2ant1 1029 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) )  ->  P  e.  ZZ )
54adantl 468 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  P  e.  ZZ )
6 elfzelz 11800 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  ->  r  e.  ZZ )
76adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  - 
1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod  P
)  =  1 )  ->  r  e.  ZZ )
8 elfzoelz 11920 . . . . . . . . . . 11  |-  ( I  e.  ( 1..^ P )  ->  I  e.  ZZ )
983ad2ant3 1031 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) )  ->  I  e.  ZZ )
10 zmulcl 10985 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( r  e.  ZZ  /\  I  e.  ZZ )  ->  ( r  x.  I
)  e.  ZZ )
117, 9, 10syl2an 480 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  ( r  x.  I )  e.  ZZ )
125, 11zsubcld 11045 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  ( P  -  ( r  x.  I ) )  e.  ZZ )
13 prmnn 14625 . . . . . . . . . 10  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  NN )
14133ad2ant1 1029 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) )  ->  P  e.  NN )
1514adantl 468 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  P  e.  NN )
16 zmodfzo 12119 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( P  -  (
r  x.  I ) )  e.  ZZ  /\  P  e.  NN )  ->  ( ( P  -  ( r  x.  I
) )  mod  P
)  e.  ( 0..^ P ) )
1712, 15, 16syl2anc 667 . . . . . . 7  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  ( ( P  -  ( r  x.  I ) )  mod 
P )  e.  ( 0..^ P ) )
188zred 11040 . . . . . . . . . . 11  |-  ( I  e.  ( 1..^ P )  ->  I  e.  RR )
19183ad2ant3 1031 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) )  ->  I  e.  RR )
2019adantl 468 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  I  e.  RR )
2113nnred 10624 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  RR )
22213ad2ant1 1029 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) )  ->  P  e.  RR )
2322adantl 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  P  e.  RR )
246zred 11040 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  ->  r  e.  RR )
2524adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  - 
1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod  P
)  =  1 )  ->  r  e.  RR )
26 remulcl 9624 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( r  e.  RR  /\  I  e.  RR )  ->  ( r  x.  I
)  e.  RR )
2725, 19, 26syl2an 480 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  ( r  x.  I )  e.  RR )
2823, 27resubcld 10047 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  ( P  -  ( r  x.  I ) )  e.  RR )
29 elfzoelz 11920 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ( 1..^ P )  ->  N  e.  ZZ )
30293ad2ant2 1030 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) )  ->  N  e.  ZZ )
3130adantl 468 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  N  e.  ZZ )
3213nnrpd 11339 . . . . . . . . . . 11  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  RR+ )
33323ad2ant1 1029 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) )  ->  P  e.  RR+ )
3433adantl 468 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  P  e.  RR+ )
35 modaddmulmod 12156 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( I  e.  RR  /\  ( P  -  (
r  x.  I ) )  e.  RR  /\  N  e.  ZZ )  /\  P  e.  RR+ )  ->  ( ( I  +  ( ( ( P  -  ( r  x.  I ) )  mod 
P )  x.  N
) )  mod  P
)  =  ( ( I  +  ( ( P  -  ( r  x.  I ) )  x.  N ) )  mod  P ) )
3620, 28, 31, 34, 35syl31anc 1271 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  ( (
I  +  ( ( ( P  -  (
r  x.  I ) )  mod  P )  x.  N ) )  mod  P )  =  ( ( I  +  ( ( P  -  ( r  x.  I
) )  x.  N
) )  mod  P
) )
3713nncnd 10625 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  CC )
38373ad2ant1 1029 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) )  ->  P  e.  CC )
3938adantl 468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  P  e.  CC )
406zcnd 11041 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  ->  r  e.  CC )
4140adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  - 
1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod  P
)  =  1 )  ->  r  e.  CC )
428zcnd 11041 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( I  e.  ( 1..^ P )  ->  I  e.  CC )
43423ad2ant3 1031 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) )  ->  I  e.  CC )
44 mulcl 9623 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( r  e.  CC  /\  I  e.  CC )  ->  ( r  x.  I
)  e.  CC )
4541, 43, 44syl2an 480 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  ( r  x.  I )  e.  CC )
4629zcnd 11041 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  ( 1..^ P )  ->  N  e.  CC )
47463ad2ant2 1030 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) )  ->  N  e.  CC )
4847adantl 468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  N  e.  CC )
4939, 45, 48subdird 10075 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  ( ( P  -  ( r  x.  I ) )  x.  N )  =  ( ( P  x.  N
)  -  ( ( r  x.  I )  x.  N ) ) )
5049oveq2d 6306 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  ( I  +  ( ( P  -  ( r  x.  I ) )  x.  N ) )  =  ( I  +  ( ( P  x.  N
)  -  ( ( r  x.  I )  x.  N ) ) ) )
5150oveq1d 6305 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  ( (
I  +  ( ( P  -  ( r  x.  I ) )  x.  N ) )  mod  P )  =  ( ( I  +  ( ( P  x.  N )  -  (
( r  x.  I
)  x.  N ) ) )  mod  P
) )
52 mulcom 9625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( P  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  ( P  x.  N
)  =  ( N  x.  P ) )
5337, 46, 52syl2an 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P ) )  ->  ( P  x.  N )  =  ( N  x.  P ) )
5453oveq1d 6305 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P ) )  ->  ( ( P  x.  N )  mod  P )  =  ( ( N  x.  P
)  mod  P )
)
55 mulmod0 12104 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  P  e.  RR+ )  -> 
( ( N  x.  P )  mod  P
)  =  0 )
5629, 32, 55syl2anr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P ) )  ->  ( ( N  x.  P )  mod  P )  =  0 )
5754, 56eqtrd 2485 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P ) )  ->  ( ( P  x.  N )  mod  P )  =  0 )
58573adant3 1028 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) )  ->  ( ( P  x.  N )  mod 
P )  =  0 )
5958adantl 468 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  ( ( P  x.  N )  mod  P )  =  0 )
6041adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  r  e.  CC )
6143adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  I  e.  CC )
6260, 61, 48mul32d 9843 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  ( (
r  x.  I )  x.  N )  =  ( ( r  x.  N )  x.  I
) )
6362oveq1d 6305 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  ( (
( r  x.  I
)  x.  N )  mod  P )  =  ( ( ( r  x.  N )  x.  I )  mod  P
) )
6429zred 11040 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( N  e.  ( 1..^ P )  ->  N  e.  RR )
65643ad2ant2 1030 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) )  ->  N  e.  RR )
66 remulcl 9624 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( r  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( r  x.  N
)  e.  RR )
6725, 65, 66syl2an 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  ( r  x.  N )  e.  RR )
689adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  I  e.  ZZ )
69 modmulmod 12155 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( r  x.  N
)  e.  RR  /\  I  e.  ZZ  /\  P  e.  RR+ )  ->  (
( ( ( r  x.  N )  mod 
P )  x.  I
)  mod  P )  =  ( ( ( r  x.  N )  x.  I )  mod 
P ) )
7067, 68, 34, 69syl3anc 1268 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  ( (
( ( r  x.  N )  mod  P
)  x.  I )  mod  P )  =  ( ( ( r  x.  N )  x.  I )  mod  P
) )
7163, 70eqtr4d 2488 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  ( (
( r  x.  I
)  x.  N )  mod  P )  =  ( ( ( ( r  x.  N )  mod  P )  x.  I )  mod  P
) )
7259, 71oveq12d 6308 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  ( (
( P  x.  N
)  mod  P )  -  ( ( ( r  x.  I )  x.  N )  mod 
P ) )  =  ( 0  -  (
( ( ( r  x.  N )  mod 
P )  x.  I
)  mod  P )
) )
7372oveq1d 6305 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  ( (
( ( P  x.  N )  mod  P
)  -  ( ( ( r  x.  I
)  x.  N )  mod  P ) )  mod  P )  =  ( ( 0  -  ( ( ( ( r  x.  N )  mod  P )  x.  I )  mod  P
) )  mod  P
) )
74 remulcl 9624 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( P  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( P  x.  N
)  e.  RR )
7521, 64, 74syl2an 480 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P ) )  ->  ( P  x.  N )  e.  RR )
76753adant3 1028 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) )  ->  ( P  x.  N )  e.  RR )
7776adantl 468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  ( P  x.  N )  e.  RR )
7865adantl 468 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  N  e.  RR )
7927, 78remulcld 9671 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  ( (
r  x.  I )  x.  N )  e.  RR )
80 modsubmodmod 12149 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( P  x.  N
)  e.  RR  /\  ( ( r  x.  I )  x.  N
)  e.  RR  /\  P  e.  RR+ )  -> 
( ( ( ( P  x.  N )  mod  P )  -  ( ( ( r  x.  I )  x.  N )  mod  P
) )  mod  P
)  =  ( ( ( P  x.  N
)  -  ( ( r  x.  I )  x.  N ) )  mod  P ) )
8177, 79, 34, 80syl3anc 1268 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  ( (
( ( P  x.  N )  mod  P
)  -  ( ( ( r  x.  I
)  x.  N )  mod  P ) )  mod  P )  =  ( ( ( P  x.  N )  -  ( ( r  x.  I )  x.  N
) )  mod  P
) )
82 mulcom 9625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( N  e.  CC  /\  r  e.  CC )  ->  ( N  x.  r
)  =  ( r  x.  N ) )
8347, 40, 82syl2anr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  - 
1 ) )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  ( N  x.  r )  =  ( r  x.  N ) )
8483oveq1d 6305 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  - 
1 ) )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  (
( N  x.  r
)  mod  P )  =  ( ( r  x.  N )  mod 
P ) )
8584eqeq1d 2453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  - 
1 ) )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  (
( ( N  x.  r )  mod  P
)  =  1  <->  (
( r  x.  N
)  mod  P )  =  1 ) )
8685biimpd 211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  - 
1 ) )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  (
( ( N  x.  r )  mod  P
)  =  1  -> 
( ( r  x.  N )  mod  P
)  =  1 ) )
8786impancom 442 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  - 
1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod  P
)  =  1 )  ->  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) )  ->  ( ( r  x.  N )  mod 
P )  =  1 ) )
8887imp 431 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  ( (
r  x.  N )  mod  P )  =  1 )
8988oveq1d 6305 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  ( (
( r  x.  N
)  mod  P )  x.  I )  =  ( 1  x.  I ) )
9089oveq1d 6305 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  ( (
( ( r  x.  N )  mod  P
)  x.  I )  mod  P )  =  ( ( 1  x.  I )  mod  P
) )
9190oveq2d 6306 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  ( 0  -  ( ( ( ( r  x.  N
)  mod  P )  x.  I )  mod  P
) )  =  ( 0  -  ( ( 1  x.  I )  mod  P ) ) )
9291oveq1d 6305 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  ( (
0  -  ( ( ( ( r  x.  N )  mod  P
)  x.  I )  mod  P ) )  mod  P )  =  ( ( 0  -  ( ( 1  x.  I )  mod  P
) )  mod  P
) )
9361mulid2d 9661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  ( 1  x.  I )  =  I )
9493oveq1d 6305 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  ( (
1  x.  I )  mod  P )  =  ( I  mod  P
) )
9532, 18anim12ci 571 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  I  e.  ( 1..^ P ) )  ->  ( I  e.  RR  /\  P  e.  RR+ ) )
96 elfzo2 11923 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( I  e.  ( 1..^ P )  <->  ( I  e.  ( ZZ>= `  1 )  /\  P  e.  ZZ  /\  I  <  P ) )
97 eluz2 11165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( I  e.  ( ZZ>= `  1
)  <->  ( 1  e.  ZZ  /\  I  e.  ZZ  /\  1  <_  I ) )
98 0red 9644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( I  e.  ZZ  ->  0  e.  RR )
99 1red 9658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( I  e.  ZZ  ->  1  e.  RR )
100 zre 10941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( I  e.  ZZ  ->  I  e.  RR )
10198, 99, 1003jca 1188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( I  e.  ZZ  ->  (
0  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  I  e.  RR ) )
102101adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( I  e.  ZZ  /\  1  <_  I )  -> 
( 0  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  I  e.  RR )
)
103 0le1 10137 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  0  <_  1
104103a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( I  e.  ZZ  ->  0  <_  1 )
105104anim1i 572 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( I  e.  ZZ  /\  1  <_  I )  -> 
( 0  <_  1  /\  1  <_  I ) )
106 letr 9727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  I  e.  RR )  ->  (
( 0  <_  1  /\  1  <_  I )  ->  0  <_  I
) )
107102, 105, 106sylc 62 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( I  e.  ZZ  /\  1  <_  I )  -> 
0  <_  I )
1081073adant1 1026 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  I  e.  ZZ  /\  1  <_  I )  ->  0  <_  I )
10997, 108sylbi 199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( I  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  0  <_  I )
1101093ad2ant1 1029 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( I  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  P  e.  ZZ  /\  I  < 
P )  ->  0  <_  I )
111 simp3 1010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( I  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  P  e.  ZZ  /\  I  < 
P )  ->  I  <  P )
112110, 111jca 535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( I  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  P  e.  ZZ  /\  I  < 
P )  ->  (
0  <_  I  /\  I  <  P ) )
11396, 112sylbi 199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( I  e.  ( 1..^ P )  ->  ( 0  <_  I  /\  I  <  P ) )
114113adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  I  e.  ( 1..^ P ) )  ->  ( 0  <_  I  /\  I  <  P ) )
11595, 114jca 535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  I  e.  ( 1..^ P ) )  ->  ( (
I  e.  RR  /\  P  e.  RR+ )  /\  ( 0  <_  I  /\  I  <  P ) ) )
1161153adant2 1027 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) )  ->  ( ( I  e.  RR  /\  P  e.  RR+ )  /\  (
0  <_  I  /\  I  <  P ) ) )
117116adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  ( (
I  e.  RR  /\  P  e.  RR+ )  /\  ( 0  <_  I  /\  I  <  P ) ) )
118 modid 12121 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( I  e.  RR  /\  P  e.  RR+ )  /\  ( 0  <_  I  /\  I  <  P ) )  ->  ( I  mod  P )  =  I )
119117, 118syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  ( I  mod  P )  =  I )
12094, 119eqtrd 2485 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  ( (
1  x.  I )  mod  P )  =  I )
121120oveq2d 6306 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  ( 0  -  ( ( 1  x.  I )  mod 
P ) )  =  ( 0  -  I
) )
122121oveq1d 6305 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  ( (
0  -  ( ( 1  x.  I )  mod  P ) )  mod  P )  =  ( ( 0  -  I )  mod  P
) )
12392, 122eqtrd 2485 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  ( (
0  -  ( ( ( ( r  x.  N )  mod  P
)  x.  I )  mod  P ) )  mod  P )  =  ( ( 0  -  I )  mod  P
) )
12473, 81, 1233eqtr3d 2493 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  ( (
( P  x.  N
)  -  ( ( r  x.  I )  x.  N ) )  mod  P )  =  ( ( 0  -  I )  mod  P
) )
125124oveq2d 6306 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  ( I  +  ( ( ( P  x.  N )  -  ( ( r  x.  I )  x.  N ) )  mod 
P ) )  =  ( I  +  ( ( 0  -  I
)  mod  P )
) )
126125oveq1d 6305 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  ( (
I  +  ( ( ( P  x.  N
)  -  ( ( r  x.  I )  x.  N ) )  mod  P ) )  mod  P )  =  ( ( I  +  ( ( 0  -  I )  mod  P
) )  mod  P
) )
12777, 79resubcld 10047 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  ( ( P  x.  N )  -  ( ( r  x.  I )  x.  N ) )  e.  RR )
128 modadd2mod 12140 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( P  x.  N )  -  (
( r  x.  I
)  x.  N ) )  e.  RR  /\  I  e.  RR  /\  P  e.  RR+ )  ->  (
( I  +  ( ( ( P  x.  N )  -  (
( r  x.  I
)  x.  N ) )  mod  P ) )  mod  P )  =  ( ( I  +  ( ( P  x.  N )  -  ( ( r  x.  I )  x.  N
) ) )  mod 
P ) )
129127, 20, 34, 128syl3anc 1268 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  ( (
I  +  ( ( ( P  x.  N
)  -  ( ( r  x.  I )  x.  N ) )  mod  P ) )  mod  P )  =  ( ( I  +  ( ( P  x.  N )  -  (
( r  x.  I
)  x.  N ) ) )  mod  P
) )
130 0red 9644 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( I  e.  ( 1..^ P )  ->  0  e.  RR )
131130, 18resubcld 10047 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( I  e.  ( 1..^ P )  ->  ( 0  -  I )  e.  RR )
132131adantl 468 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  I  e.  ( 1..^ P ) )  ->  ( 0  -  I )  e.  RR )
13318adantl 468 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  I  e.  ( 1..^ P ) )  ->  I  e.  RR )
13432adantr 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  I  e.  ( 1..^ P ) )  ->  P  e.  RR+ )
135132, 133, 1343jca 1188 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  I  e.  ( 1..^ P ) )  ->  ( (
0  -  I )  e.  RR  /\  I  e.  RR  /\  P  e.  RR+ ) )
1361353adant2 1027 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) )  ->  ( ( 0  -  I )  e.  RR  /\  I  e.  RR  /\  P  e.  RR+ ) )
137136adantl 468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  ( (
0  -  I )  e.  RR  /\  I  e.  RR  /\  P  e.  RR+ ) )
138 modadd2mod 12140 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 0  -  I
)  e.  RR  /\  I  e.  RR  /\  P  e.  RR+ )  ->  (
( I  +  ( ( 0  -  I
)  mod  P )
)  mod  P )  =  ( ( I  +  ( 0  -  I ) )  mod 
P ) )
139137, 138syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  ( (
I  +  ( ( 0  -  I )  mod  P ) )  mod  P )  =  ( ( I  +  ( 0  -  I
) )  mod  P
) )
140 0cnd 9636 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( I  e.  ( 1..^ P )  ->  0  e.  CC )
14142, 140pncan3d 9989 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( I  e.  ( 1..^ P )  ->  ( I  +  ( 0  -  I ) )  =  0 )
1421413ad2ant3 1031 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) )  ->  ( I  +  ( 0  -  I
) )  =  0 )
143142adantl 468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  ( I  +  ( 0  -  I ) )  =  0 )
144143oveq1d 6305 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  ( (
I  +  ( 0  -  I ) )  mod  P )  =  ( 0  mod  P
) )
145 0mod 12128 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( P  e.  RR+  ->  ( 0  mod  P )  =  0 )
14632, 145syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( P  e.  Prime  ->  ( 0  mod  P )  =  0 )
1471463ad2ant1 1029 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) )  ->  ( 0  mod 
P )  =  0 )
148147adantl 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  ( 0  mod  P )  =  0 )
149139, 144, 1483eqtrd 2489 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  ( (
I  +  ( ( 0  -  I )  mod  P ) )  mod  P )  =  0 )
150126, 129, 1493eqtr3d 2493 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  ( (
I  +  ( ( P  x.  N )  -  ( ( r  x.  I )  x.  N ) ) )  mod  P )  =  0 )
15136, 51, 1503eqtrd 2489 . . . . . . 7  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  ( (
I  +  ( ( ( P  -  (
r  x.  I ) )  mod  P )  x.  N ) )  mod  P )  =  0 )
152 oveq1 6297 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  ( ( P  -  ( r  x.  I ) )  mod 
P )  ->  (
j  x.  N )  =  ( ( ( P  -  ( r  x.  I ) )  mod  P )  x.  N ) )
153152oveq2d 6306 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  ( ( P  -  ( r  x.  I ) )  mod 
P )  ->  (
I  +  ( j  x.  N ) )  =  ( I  +  ( ( ( P  -  ( r  x.  I ) )  mod 
P )  x.  N
) ) )
154153oveq1d 6305 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  ( ( P  -  ( r  x.  I ) )  mod 
P )  ->  (
( I  +  ( j  x.  N ) )  mod  P )  =  ( ( I  +  ( ( ( P  -  ( r  x.  I ) )  mod  P )  x.  N ) )  mod 
P ) )
155154eqeq1d 2453 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  ( ( P  -  ( r  x.  I ) )  mod 
P )  ->  (
( ( I  +  ( j  x.  N
) )  mod  P
)  =  0  <->  (
( I  +  ( ( ( P  -  ( r  x.  I
) )  mod  P
)  x.  N ) )  mod  P )  =  0 ) )
156155rspcev 3150 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( P  -  ( r  x.  I
) )  mod  P
)  e.  ( 0..^ P )  /\  (
( I  +  ( ( ( P  -  ( r  x.  I
) )  mod  P
)  x.  N ) )  mod  P )  =  0 )  ->  E. j  e.  (
0..^ P ) ( ( I  +  ( j  x.  N ) )  mod  P )  =  0 )
15717, 151, 156syl2anc 667 . . . . . 6  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  E. j  e.  ( 0..^ P ) ( ( I  +  ( j  x.  N
) )  mod  P
)  =  0 )
158157ex 436 . . . . 5  |-  ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  - 
1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod  P
)  =  1 )  ->  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) )  ->  E. j  e.  ( 0..^ P ) ( ( I  +  ( j  x.  N ) )  mod  P )  =  0 ) )
159158rexlimiva 2875 . . . 4  |-  ( E. r  e.  ( 1 ... ( P  - 
1 ) ) ( ( N  x.  r
)  mod  P )  =  1  ->  (
( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) )  ->  E. j  e.  ( 0..^ P ) ( ( I  +  ( j  x.  N
) )  mod  P
)  =  0 ) )
1601, 2, 1593syl 18 . . 3  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P ) )  ->  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) )  ->  E. j  e.  ( 0..^ P ) ( ( I  +  ( j  x.  N ) )  mod  P )  =  0 ) )
1611603adant3 1028 . 2  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) )  ->  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) )  ->  E. j  e.  ( 0..^ P ) ( ( I  +  ( j  x.  N ) )  mod  P )  =  0 ) )
162161pm2.43i 49 1  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) )  ->  E. j  e.  ( 0..^ P ) ( ( I  +  ( j  x.  N ) )  mod  P )  =  0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 371    /\ w3a 985    = wceq 1444    e. wcel 1887   E.wrex 2738   E!wreu 2739   class class class wbr 4402   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   CCcc 9537   RRcr 9538   0cc0 9539   1c1 9540    + caddc 9542    x. cmul 9544    < clt 9675    <_ cle 9676    - cmin 9860   NNcn 10609   ZZcz 10937   ZZ>=cuz 11159   RR+crp 11302   ...cfz 11784  ..^cfzo 11915    mod cmo 12096   Primecprime 14622
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-sup 7956  df-inf 7957  df-card 8373  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-fl 12028  df-mod 12097  df-seq 12214  df-exp 12273  df-hash 12516  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-dvds 14306  df-gcd 14469  df-prm 14623  df-phi 14714
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