MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  modprm0 Structured version   Unicode version

Theorem modprm0 13873
Description: For two positive integers less than a given prime number there is always a nonnegative integer (less than the given prime number) so that the sum of one of the two positive integers and the other of the positive integers multiplied by the nonnegative integer is 0 ( modulo the given prime number). (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-May-2018.)
Assertion
Ref Expression
modprm0  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) )  ->  E. j  e.  ( 0..^ P ) ( ( I  +  ( j  x.  N ) )  mod  P )  =  0 )
Distinct variable groups:    j, I    j, N    P, j

Proof of Theorem modprm0
Dummy variable  r is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reumodprminv 13872 . . . 4  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P ) )  ->  E! r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) ) ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )
2 reurex 2937 . . . 4  |-  ( E! r  e.  ( 1 ... ( P  - 
1 ) ) ( ( N  x.  r
)  mod  P )  =  1  ->  E. r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) ) ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )
3 prmz 13767 . . . . . . . . . . 11  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  ZZ )
433ad2ant1 1009 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) )  ->  P  e.  ZZ )
54adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  P  e.  ZZ )
6 elfzelz 11453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  ->  r  e.  ZZ )
76adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  - 
1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod  P
)  =  1 )  ->  r  e.  ZZ )
8 elfzoelz 11553 . . . . . . . . . . 11  |-  ( I  e.  ( 1..^ P )  ->  I  e.  ZZ )
983ad2ant3 1011 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) )  ->  I  e.  ZZ )
10 zmulcl 10693 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( r  e.  ZZ  /\  I  e.  ZZ )  ->  ( r  x.  I
)  e.  ZZ )
117, 9, 10syl2an 477 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  ( r  x.  I )  e.  ZZ )
125, 11zsubcld 10752 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  ( P  -  ( r  x.  I ) )  e.  ZZ )
13 prmnn 13766 . . . . . . . . . 10  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  NN )
14133ad2ant1 1009 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) )  ->  P  e.  NN )
1514adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  P  e.  NN )
16 zmodfzo 11730 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( P  -  (
r  x.  I ) )  e.  ZZ  /\  P  e.  NN )  ->  ( ( P  -  ( r  x.  I
) )  mod  P
)  e.  ( 0..^ P ) )
1712, 15, 16syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  ( ( P  -  ( r  x.  I ) )  mod 
P )  e.  ( 0..^ P ) )
188zred 10747 . . . . . . . . . . 11  |-  ( I  e.  ( 1..^ P )  ->  I  e.  RR )
19183ad2ant3 1011 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) )  ->  I  e.  RR )
2019adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  I  e.  RR )
2113nnred 10337 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  RR )
22213ad2ant1 1009 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) )  ->  P  e.  RR )
2322adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  P  e.  RR )
246zred 10747 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  ->  r  e.  RR )
2524adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  - 
1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod  P
)  =  1 )  ->  r  e.  RR )
26 remulcl 9367 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( r  e.  RR  /\  I  e.  RR )  ->  ( r  x.  I
)  e.  RR )
2725, 19, 26syl2an 477 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  ( r  x.  I )  e.  RR )
2823, 27resubcld 9776 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  ( P  -  ( r  x.  I ) )  e.  RR )
29 elfzoelz 11553 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ( 1..^ P )  ->  N  e.  ZZ )
30293ad2ant2 1010 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) )  ->  N  e.  ZZ )
3130adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  N  e.  ZZ )
3213nnrpd 11026 . . . . . . . . . . 11  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  RR+ )
33323ad2ant1 1009 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) )  ->  P  e.  RR+ )
3433adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  P  e.  RR+ )
35 modaddmulmod 11765 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( I  e.  RR  /\  ( P  -  (
r  x.  I ) )  e.  RR  /\  N  e.  ZZ )  /\  P  e.  RR+ )  ->  ( ( I  +  ( ( ( P  -  ( r  x.  I ) )  mod 
P )  x.  N
) )  mod  P
)  =  ( ( I  +  ( ( P  -  ( r  x.  I ) )  x.  N ) )  mod  P ) )
3620, 28, 31, 34, 35syl31anc 1221 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  ( (
I  +  ( ( ( P  -  (
r  x.  I ) )  mod  P )  x.  N ) )  mod  P )  =  ( ( I  +  ( ( P  -  ( r  x.  I
) )  x.  N
) )  mod  P
) )
3713nncnd 10338 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  CC )
38373ad2ant1 1009 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) )  ->  P  e.  CC )
3938adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  P  e.  CC )
406zcnd 10748 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  ->  r  e.  CC )
4140adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  - 
1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod  P
)  =  1 )  ->  r  e.  CC )
428zcnd 10748 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( I  e.  ( 1..^ P )  ->  I  e.  CC )
43423ad2ant3 1011 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) )  ->  I  e.  CC )
44 mulcl 9366 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( r  e.  CC  /\  I  e.  CC )  ->  ( r  x.  I
)  e.  CC )
4541, 43, 44syl2an 477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  ( r  x.  I )  e.  CC )
4629zcnd 10748 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  ( 1..^ P )  ->  N  e.  CC )
47463ad2ant2 1010 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) )  ->  N  e.  CC )
4847adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  N  e.  CC )
4939, 45, 48subdird 9801 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  ( ( P  -  ( r  x.  I ) )  x.  N )  =  ( ( P  x.  N
)  -  ( ( r  x.  I )  x.  N ) ) )
5049oveq2d 6107 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  ( I  +  ( ( P  -  ( r  x.  I ) )  x.  N ) )  =  ( I  +  ( ( P  x.  N
)  -  ( ( r  x.  I )  x.  N ) ) ) )
5150oveq1d 6106 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  ( (
I  +  ( ( P  -  ( r  x.  I ) )  x.  N ) )  mod  P )  =  ( ( I  +  ( ( P  x.  N )  -  (
( r  x.  I
)  x.  N ) ) )  mod  P
) )
52 mulcom 9368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( P  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  ( P  x.  N
)  =  ( N  x.  P ) )
5337, 46, 52syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P ) )  ->  ( P  x.  N )  =  ( N  x.  P ) )
5453oveq1d 6106 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P ) )  ->  ( ( P  x.  N )  mod  P )  =  ( ( N  x.  P
)  mod  P )
)
55 modidmul0 11734 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  P  e.  NN )  ->  ( ( N  x.  P )  mod  P
)  =  0 )
5629, 13, 55syl2anr 478 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P ) )  ->  ( ( N  x.  P )  mod  P )  =  0 )
5754, 56eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P ) )  ->  ( ( P  x.  N )  mod  P )  =  0 )
58573adant3 1008 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) )  ->  ( ( P  x.  N )  mod 
P )  =  0 )
5958adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  ( ( P  x.  N )  mod  P )  =  0 )
6041adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  r  e.  CC )
6143adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  I  e.  CC )
6260, 61, 48mul32d 9579 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  ( (
r  x.  I )  x.  N )  =  ( ( r  x.  N )  x.  I
) )
6362oveq1d 6106 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  ( (
( r  x.  I
)  x.  N )  mod  P )  =  ( ( ( r  x.  N )  x.  I )  mod  P
) )
6429zred 10747 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( N  e.  ( 1..^ P )  ->  N  e.  RR )
65643ad2ant2 1010 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) )  ->  N  e.  RR )
66 remulcl 9367 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( r  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( r  x.  N
)  e.  RR )
6725, 65, 66syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  ( r  x.  N )  e.  RR )
689adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  I  e.  ZZ )
69 modmulmod 11764 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( r  x.  N
)  e.  RR  /\  I  e.  ZZ  /\  P  e.  RR+ )  ->  (
( ( ( r  x.  N )  mod 
P )  x.  I
)  mod  P )  =  ( ( ( r  x.  N )  x.  I )  mod 
P ) )
7067, 68, 34, 69syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  ( (
( ( r  x.  N )  mod  P
)  x.  I )  mod  P )  =  ( ( ( r  x.  N )  x.  I )  mod  P
) )
7163, 70eqtr4d 2478 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  ( (
( r  x.  I
)  x.  N )  mod  P )  =  ( ( ( ( r  x.  N )  mod  P )  x.  I )  mod  P
) )
7259, 71oveq12d 6109 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  ( (
( P  x.  N
)  mod  P )  -  ( ( ( r  x.  I )  x.  N )  mod 
P ) )  =  ( 0  -  (
( ( ( r  x.  N )  mod 
P )  x.  I
)  mod  P )
) )
7372oveq1d 6106 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  ( (
( ( P  x.  N )  mod  P
)  -  ( ( ( r  x.  I
)  x.  N )  mod  P ) )  mod  P )  =  ( ( 0  -  ( ( ( ( r  x.  N )  mod  P )  x.  I )  mod  P
) )  mod  P
) )
74 remulcl 9367 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( P  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( P  x.  N
)  e.  RR )
7521, 64, 74syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P ) )  ->  ( P  x.  N )  e.  RR )
76753adant3 1008 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) )  ->  ( P  x.  N )  e.  RR )
7776adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  ( P  x.  N )  e.  RR )
7865adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  N  e.  RR )
7927, 78remulcld 9414 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  ( (
r  x.  I )  x.  N )  e.  RR )
80 modsubmodmod 11758 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( P  x.  N
)  e.  RR  /\  ( ( r  x.  I )  x.  N
)  e.  RR  /\  P  e.  RR+ )  -> 
( ( ( ( P  x.  N )  mod  P )  -  ( ( ( r  x.  I )  x.  N )  mod  P
) )  mod  P
)  =  ( ( ( P  x.  N
)  -  ( ( r  x.  I )  x.  N ) )  mod  P ) )
8177, 79, 34, 80syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  ( (
( ( P  x.  N )  mod  P
)  -  ( ( ( r  x.  I
)  x.  N )  mod  P ) )  mod  P )  =  ( ( ( P  x.  N )  -  ( ( r  x.  I )  x.  N
) )  mod  P
) )
82 mulcom 9368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( N  e.  CC  /\  r  e.  CC )  ->  ( N  x.  r
)  =  ( r  x.  N ) )
8347, 40, 82syl2anr 478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  - 
1 ) )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  ( N  x.  r )  =  ( r  x.  N ) )
8483oveq1d 6106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  - 
1 ) )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  (
( N  x.  r
)  mod  P )  =  ( ( r  x.  N )  mod 
P ) )
8584eqeq1d 2451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  - 
1 ) )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  (
( ( N  x.  r )  mod  P
)  =  1  <->  (
( r  x.  N
)  mod  P )  =  1 ) )
8685biimpd 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  - 
1 ) )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  (
( ( N  x.  r )  mod  P
)  =  1  -> 
( ( r  x.  N )  mod  P
)  =  1 ) )
8786impancom 440 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  - 
1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod  P
)  =  1 )  ->  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) )  ->  ( ( r  x.  N )  mod 
P )  =  1 ) )
8887imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  ( (
r  x.  N )  mod  P )  =  1 )
8988oveq1d 6106 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  ( (
( r  x.  N
)  mod  P )  x.  I )  =  ( 1  x.  I ) )
9089oveq1d 6106 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  ( (
( ( r  x.  N )  mod  P
)  x.  I )  mod  P )  =  ( ( 1  x.  I )  mod  P
) )
9190oveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  ( 0  -  ( ( ( ( r  x.  N
)  mod  P )  x.  I )  mod  P
) )  =  ( 0  -  ( ( 1  x.  I )  mod  P ) ) )
9291oveq1d 6106 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  ( (
0  -  ( ( ( ( r  x.  N )  mod  P
)  x.  I )  mod  P ) )  mod  P )  =  ( ( 0  -  ( ( 1  x.  I )  mod  P
) )  mod  P
) )
9361mulid2d 9404 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  ( 1  x.  I )  =  I )
9493oveq1d 6106 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  ( (
1  x.  I )  mod  P )  =  ( I  mod  P
) )
9532, 18anim12ci 567 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  I  e.  ( 1..^ P ) )  ->  ( I  e.  RR  /\  P  e.  RR+ ) )
96 elfzo2 11556 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( I  e.  ( 1..^ P )  <->  ( I  e.  ( ZZ>= `  1 )  /\  P  e.  ZZ  /\  I  <  P ) )
97 eluz2 10867 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( I  e.  ( ZZ>= `  1
)  <->  ( 1  e.  ZZ  /\  I  e.  ZZ  /\  1  <_  I ) )
98 0red 9387 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( I  e.  ZZ  ->  0  e.  RR )
99 1red 9401 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( I  e.  ZZ  ->  1  e.  RR )
100 zre 10650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( I  e.  ZZ  ->  I  e.  RR )
10198, 99, 1003jca 1168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( I  e.  ZZ  ->  (
0  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  I  e.  RR ) )
102101adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( I  e.  ZZ  /\  1  <_  I )  -> 
( 0  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  I  e.  RR )
)
103 0le1 9863 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  0  <_  1
104103a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( I  e.  ZZ  ->  0  <_  1 )
105104anim1i 568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( I  e.  ZZ  /\  1  <_  I )  -> 
( 0  <_  1  /\  1  <_  I ) )
106 letr 9468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  I  e.  RR )  ->  (
( 0  <_  1  /\  1  <_  I )  ->  0  <_  I
) )
107102, 105, 106sylc 60 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( I  e.  ZZ  /\  1  <_  I )  -> 
0  <_  I )
1081073adant1 1006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  I  e.  ZZ  /\  1  <_  I )  ->  0  <_  I )
10997, 108sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( I  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  0  <_  I )
1101093ad2ant1 1009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( I  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  P  e.  ZZ  /\  I  < 
P )  ->  0  <_  I )
111 simp3 990 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( I  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  P  e.  ZZ  /\  I  < 
P )  ->  I  <  P )
112110, 111jca 532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( I  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  P  e.  ZZ  /\  I  < 
P )  ->  (
0  <_  I  /\  I  <  P ) )
11396, 112sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( I  e.  ( 1..^ P )  ->  ( 0  <_  I  /\  I  <  P ) )
114113adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  I  e.  ( 1..^ P ) )  ->  ( 0  <_  I  /\  I  <  P ) )
11595, 114jca 532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  I  e.  ( 1..^ P ) )  ->  ( (
I  e.  RR  /\  P  e.  RR+ )  /\  ( 0  <_  I  /\  I  <  P ) ) )
1161153adant2 1007 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) )  ->  ( ( I  e.  RR  /\  P  e.  RR+ )  /\  (
0  <_  I  /\  I  <  P ) ) )
117116adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  ( (
I  e.  RR  /\  P  e.  RR+ )  /\  ( 0  <_  I  /\  I  <  P ) ) )
118 modid 11732 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( I  e.  RR  /\  P  e.  RR+ )  /\  ( 0  <_  I  /\  I  <  P ) )  ->  ( I  mod  P )  =  I )
119117, 118syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  ( I  mod  P )  =  I )
12094, 119eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  ( (
1  x.  I )  mod  P )  =  I )
121120oveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  ( 0  -  ( ( 1  x.  I )  mod 
P ) )  =  ( 0  -  I
) )
122121oveq1d 6106 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  ( (
0  -  ( ( 1  x.  I )  mod  P ) )  mod  P )  =  ( ( 0  -  I )  mod  P
) )
12392, 122eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  ( (
0  -  ( ( ( ( r  x.  N )  mod  P
)  x.  I )  mod  P ) )  mod  P )  =  ( ( 0  -  I )  mod  P
) )
12473, 81, 1233eqtr3d 2483 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  ( (
( P  x.  N
)  -  ( ( r  x.  I )  x.  N ) )  mod  P )  =  ( ( 0  -  I )  mod  P
) )
125124oveq2d 6107 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  ( I  +  ( ( ( P  x.  N )  -  ( ( r  x.  I )  x.  N ) )  mod 
P ) )  =  ( I  +  ( ( 0  -  I
)  mod  P )
) )
126125oveq1d 6106 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  ( (
I  +  ( ( ( P  x.  N
)  -  ( ( r  x.  I )  x.  N ) )  mod  P ) )  mod  P )  =  ( ( I  +  ( ( 0  -  I )  mod  P
) )  mod  P
) )
12777, 79resubcld 9776 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  ( ( P  x.  N )  -  ( ( r  x.  I )  x.  N ) )  e.  RR )
128 modadd2mod 11749 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( P  x.  N )  -  (
( r  x.  I
)  x.  N ) )  e.  RR  /\  I  e.  RR  /\  P  e.  RR+ )  ->  (
( I  +  ( ( ( P  x.  N )  -  (
( r  x.  I
)  x.  N ) )  mod  P ) )  mod  P )  =  ( ( I  +  ( ( P  x.  N )  -  ( ( r  x.  I )  x.  N
) ) )  mod 
P ) )
129127, 20, 34, 128syl3anc 1218 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  ( (
I  +  ( ( ( P  x.  N
)  -  ( ( r  x.  I )  x.  N ) )  mod  P ) )  mod  P )  =  ( ( I  +  ( ( P  x.  N )  -  (
( r  x.  I
)  x.  N ) ) )  mod  P
) )
130 0red 9387 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( I  e.  ( 1..^ P )  ->  0  e.  RR )
131130, 18resubcld 9776 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( I  e.  ( 1..^ P )  ->  ( 0  -  I )  e.  RR )
132131adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  I  e.  ( 1..^ P ) )  ->  ( 0  -  I )  e.  RR )
13318adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  I  e.  ( 1..^ P ) )  ->  I  e.  RR )
13432adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  I  e.  ( 1..^ P ) )  ->  P  e.  RR+ )
135132, 133, 1343jca 1168 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  I  e.  ( 1..^ P ) )  ->  ( (
0  -  I )  e.  RR  /\  I  e.  RR  /\  P  e.  RR+ ) )
1361353adant2 1007 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) )  ->  ( ( 0  -  I )  e.  RR  /\  I  e.  RR  /\  P  e.  RR+ ) )
137136adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  ( (
0  -  I )  e.  RR  /\  I  e.  RR  /\  P  e.  RR+ ) )
138 modadd2mod 11749 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 0  -  I
)  e.  RR  /\  I  e.  RR  /\  P  e.  RR+ )  ->  (
( I  +  ( ( 0  -  I
)  mod  P )
)  mod  P )  =  ( ( I  +  ( 0  -  I ) )  mod 
P ) )
139137, 138syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  ( (
I  +  ( ( 0  -  I )  mod  P ) )  mod  P )  =  ( ( I  +  ( 0  -  I
) )  mod  P
) )
140 0cnd 9379 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( I  e.  ( 1..^ P )  ->  0  e.  CC )
14142, 140pncan3d 9722 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( I  e.  ( 1..^ P )  ->  ( I  +  ( 0  -  I ) )  =  0 )
1421413ad2ant3 1011 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) )  ->  ( I  +  ( 0  -  I
) )  =  0 )
143142adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  ( I  +  ( 0  -  I ) )  =  0 )
144143oveq1d 6106 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  ( (
I  +  ( 0  -  I ) )  mod  P )  =  ( 0  mod  P
) )
145 0mod 11739 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( P  e.  RR+  ->  ( 0  mod  P )  =  0 )
14632, 145syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( P  e.  Prime  ->  ( 0  mod  P )  =  0 )
1471463ad2ant1 1009 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) )  ->  ( 0  mod 
P )  =  0 )
148147adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  ( 0  mod  P )  =  0 )
149139, 144, 1483eqtrd 2479 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  ( (
I  +  ( ( 0  -  I )  mod  P ) )  mod  P )  =  0 )
150126, 129, 1493eqtr3d 2483 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  ( (
I  +  ( ( P  x.  N )  -  ( ( r  x.  I )  x.  N ) ) )  mod  P )  =  0 )
15136, 51, 1503eqtrd 2479 . . . . . . 7  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  ( (
I  +  ( ( ( P  -  (
r  x.  I ) )  mod  P )  x.  N ) )  mod  P )  =  0 )
152 oveq1 6098 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  ( ( P  -  ( r  x.  I ) )  mod 
P )  ->  (
j  x.  N )  =  ( ( ( P  -  ( r  x.  I ) )  mod  P )  x.  N ) )
153152oveq2d 6107 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  ( ( P  -  ( r  x.  I ) )  mod 
P )  ->  (
I  +  ( j  x.  N ) )  =  ( I  +  ( ( ( P  -  ( r  x.  I ) )  mod 
P )  x.  N
) ) )
154153oveq1d 6106 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  ( ( P  -  ( r  x.  I ) )  mod 
P )  ->  (
( I  +  ( j  x.  N ) )  mod  P )  =  ( ( I  +  ( ( ( P  -  ( r  x.  I ) )  mod  P )  x.  N ) )  mod 
P ) )
155154eqeq1d 2451 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  ( ( P  -  ( r  x.  I ) )  mod 
P )  ->  (
( ( I  +  ( j  x.  N
) )  mod  P
)  =  0  <->  (
( I  +  ( ( ( P  -  ( r  x.  I
) )  mod  P
)  x.  N ) )  mod  P )  =  0 ) )
156155rspcev 3073 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( P  -  ( r  x.  I
) )  mod  P
)  e.  ( 0..^ P )  /\  (
( I  +  ( ( ( P  -  ( r  x.  I
) )  mod  P
)  x.  N ) )  mod  P )  =  0 )  ->  E. j  e.  (
0..^ P ) ( ( I  +  ( j  x.  N ) )  mod  P )  =  0 )
15717, 151, 156syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  E. j  e.  ( 0..^ P ) ( ( I  +  ( j  x.  N
) )  mod  P
)  =  0 )
158157ex 434 . . . . 5  |-  ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  - 
1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod  P
)  =  1 )  ->  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) )  ->  E. j  e.  ( 0..^ P ) ( ( I  +  ( j  x.  N ) )  mod  P )  =  0 ) )
159158rexlimiva 2836 . . . 4  |-  ( E. r  e.  ( 1 ... ( P  - 
1 ) ) ( ( N  x.  r
)  mod  P )  =  1  ->  (
( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) )  ->  E. j  e.  ( 0..^ P ) ( ( I  +  ( j  x.  N
) )  mod  P
)  =  0 ) )
1601, 2, 1593syl 20 . . 3  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P ) )  ->  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) )  ->  E. j  e.  ( 0..^ P ) ( ( I  +  ( j  x.  N ) )  mod  P )  =  0 ) )
1611603adant3 1008 . 2  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) )  ->  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) )  ->  E. j  e.  ( 0..^ P ) ( ( I  +  ( j  x.  N ) )  mod  P )  =  0 ) )
162161pm2.43i 47 1  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) )  ->  E. j  e.  ( 0..^ P ) ( ( I  +  ( j  x.  N ) )  mod  P )  =  0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   E.wrex 2716   E!wreu 2717   class class class wbr 4292   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   CCcc 9280   RRcr 9281   0cc0 9282   1c1 9283    + caddc 9285    x. cmul 9287    < clt 9418    <_ cle 9419    - cmin 9595   NNcn 10322   ZZcz 10646   ZZ>=cuz 10861   RR+crp 10991   ...cfz 11437  ..^cfzo 11548    mod cmo 11708   Primecprime 13763
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359  ax-pre-sup 9360
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-2o 6921  df-oadd 6924  df-er 7101  df-map 7216  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-sup 7691  df-card 8109  df-cda 8337  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-div 9994  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-n0 10580  df-z 10647  df-uz 10862  df-rp 10992  df-fz 11438  df-fzo 11549  df-fl 11642  df-mod 11709  df-seq 11807  df-exp 11866  df-hash 12104  df-cj 12588  df-re 12589  df-im 12590  df-sqr 12724  df-abs 12725  df-dvds 13536  df-gcd 13691  df-prm 13764  df-phi 13841
This theorem is referenced by:  nnnn0modprm0  13874
  Copyright terms: Public domain W3C validator