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Theorem modprm0 14341
Description: For two positive integers less than a given prime number there is always a nonnegative integer (less than the given prime number) so that the sum of one of the two positive integers and the other of the positive integers multiplied by the nonnegative integer is 0 ( modulo the given prime number). (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-May-2018.)
Assertion
Ref Expression
modprm0  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) )  ->  E. j  e.  ( 0..^ P ) ( ( I  +  ( j  x.  N ) )  mod  P )  =  0 )
Distinct variable groups:    j, I    j, N    P, j

Proof of Theorem modprm0
Dummy variable  r is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reumodprminv 14340 . . . 4  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P ) )  ->  E! r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) ) ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )
2 reurex 3074 . . . 4  |-  ( E! r  e.  ( 1 ... ( P  - 
1 ) ) ( ( N  x.  r
)  mod  P )  =  1  ->  E. r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) ) ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )
3 prmz 14232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  ZZ )
433ad2ant1 1017 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) )  ->  P  e.  ZZ )
54adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  P  e.  ZZ )
6 elfzelz 11713 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  ->  r  e.  ZZ )
76adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  - 
1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod  P
)  =  1 )  ->  r  e.  ZZ )
8 elfzoelz 11825 . . . . . . . . . . 11  |-  ( I  e.  ( 1..^ P )  ->  I  e.  ZZ )
983ad2ant3 1019 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) )  ->  I  e.  ZZ )
10 zmulcl 10933 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( r  e.  ZZ  /\  I  e.  ZZ )  ->  ( r  x.  I
)  e.  ZZ )
117, 9, 10syl2an 477 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  ( r  x.  I )  e.  ZZ )
125, 11zsubcld 10995 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  ( P  -  ( r  x.  I ) )  e.  ZZ )
13 prmnn 14231 . . . . . . . . . 10  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  NN )
14133ad2ant1 1017 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) )  ->  P  e.  NN )
1514adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  P  e.  NN )
16 zmodfzo 12020 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( P  -  (
r  x.  I ) )  e.  ZZ  /\  P  e.  NN )  ->  ( ( P  -  ( r  x.  I
) )  mod  P
)  e.  ( 0..^ P ) )
1712, 15, 16syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  ( ( P  -  ( r  x.  I ) )  mod 
P )  e.  ( 0..^ P ) )
188zred 10990 . . . . . . . . . . 11  |-  ( I  e.  ( 1..^ P )  ->  I  e.  RR )
19183ad2ant3 1019 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) )  ->  I  e.  RR )
2019adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  I  e.  RR )
2113nnred 10571 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  RR )
22213ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) )  ->  P  e.  RR )
2322adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  P  e.  RR )
246zred 10990 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  ->  r  e.  RR )
2524adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  - 
1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod  P
)  =  1 )  ->  r  e.  RR )
26 remulcl 9594 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( r  e.  RR  /\  I  e.  RR )  ->  ( r  x.  I
)  e.  RR )
2725, 19, 26syl2an 477 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  ( r  x.  I )  e.  RR )
2823, 27resubcld 10008 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  ( P  -  ( r  x.  I ) )  e.  RR )
29 elfzoelz 11825 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ( 1..^ P )  ->  N  e.  ZZ )
30293ad2ant2 1018 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) )  ->  N  e.  ZZ )
3130adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  N  e.  ZZ )
3213nnrpd 11280 . . . . . . . . . . 11  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  RR+ )
33323ad2ant1 1017 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) )  ->  P  e.  RR+ )
3433adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  P  e.  RR+ )
35 modaddmulmod 12055 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( I  e.  RR  /\  ( P  -  (
r  x.  I ) )  e.  RR  /\  N  e.  ZZ )  /\  P  e.  RR+ )  ->  ( ( I  +  ( ( ( P  -  ( r  x.  I ) )  mod 
P )  x.  N
) )  mod  P
)  =  ( ( I  +  ( ( P  -  ( r  x.  I ) )  x.  N ) )  mod  P ) )
3620, 28, 31, 34, 35syl31anc 1231 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  ( (
I  +  ( ( ( P  -  (
r  x.  I ) )  mod  P )  x.  N ) )  mod  P )  =  ( ( I  +  ( ( P  -  ( r  x.  I
) )  x.  N
) )  mod  P
) )
3713nncnd 10572 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  CC )
38373ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) )  ->  P  e.  CC )
3938adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  P  e.  CC )
406zcnd 10991 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  ->  r  e.  CC )
4140adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  - 
1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod  P
)  =  1 )  ->  r  e.  CC )
428zcnd 10991 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( I  e.  ( 1..^ P )  ->  I  e.  CC )
43423ad2ant3 1019 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) )  ->  I  e.  CC )
44 mulcl 9593 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( r  e.  CC  /\  I  e.  CC )  ->  ( r  x.  I
)  e.  CC )
4541, 43, 44syl2an 477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  ( r  x.  I )  e.  CC )
4629zcnd 10991 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  ( 1..^ P )  ->  N  e.  CC )
47463ad2ant2 1018 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) )  ->  N  e.  CC )
4847adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  N  e.  CC )
4939, 45, 48subdird 10034 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  ( ( P  -  ( r  x.  I ) )  x.  N )  =  ( ( P  x.  N
)  -  ( ( r  x.  I )  x.  N ) ) )
5049oveq2d 6312 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  ( I  +  ( ( P  -  ( r  x.  I ) )  x.  N ) )  =  ( I  +  ( ( P  x.  N
)  -  ( ( r  x.  I )  x.  N ) ) ) )
5150oveq1d 6311 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  ( (
I  +  ( ( P  -  ( r  x.  I ) )  x.  N ) )  mod  P )  =  ( ( I  +  ( ( P  x.  N )  -  (
( r  x.  I
)  x.  N ) ) )  mod  P
) )
52 mulcom 9595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( P  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  ( P  x.  N
)  =  ( N  x.  P ) )
5337, 46, 52syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P ) )  ->  ( P  x.  N )  =  ( N  x.  P ) )
5453oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P ) )  ->  ( ( P  x.  N )  mod  P )  =  ( ( N  x.  P
)  mod  P )
)
55 modidmul0 12024 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  P  e.  NN )  ->  ( ( N  x.  P )  mod  P
)  =  0 )
5629, 13, 55syl2anr 478 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P ) )  ->  ( ( N  x.  P )  mod  P )  =  0 )
5754, 56eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P ) )  ->  ( ( P  x.  N )  mod  P )  =  0 )
58573adant3 1016 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) )  ->  ( ( P  x.  N )  mod 
P )  =  0 )
5958adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  ( ( P  x.  N )  mod  P )  =  0 )
6041adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  r  e.  CC )
6143adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  I  e.  CC )
6260, 61, 48mul32d 9807 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  ( (
r  x.  I )  x.  N )  =  ( ( r  x.  N )  x.  I
) )
6362oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  ( (
( r  x.  I
)  x.  N )  mod  P )  =  ( ( ( r  x.  N )  x.  I )  mod  P
) )
6429zred 10990 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( N  e.  ( 1..^ P )  ->  N  e.  RR )
65643ad2ant2 1018 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) )  ->  N  e.  RR )
66 remulcl 9594 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( r  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( r  x.  N
)  e.  RR )
6725, 65, 66syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  ( r  x.  N )  e.  RR )
689adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  I  e.  ZZ )
69 modmulmod 12054 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( r  x.  N
)  e.  RR  /\  I  e.  ZZ  /\  P  e.  RR+ )  ->  (
( ( ( r  x.  N )  mod 
P )  x.  I
)  mod  P )  =  ( ( ( r  x.  N )  x.  I )  mod 
P ) )
7067, 68, 34, 69syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  ( (
( ( r  x.  N )  mod  P
)  x.  I )  mod  P )  =  ( ( ( r  x.  N )  x.  I )  mod  P
) )
7163, 70eqtr4d 2501 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  ( (
( r  x.  I
)  x.  N )  mod  P )  =  ( ( ( ( r  x.  N )  mod  P )  x.  I )  mod  P
) )
7259, 71oveq12d 6314 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  ( (
( P  x.  N
)  mod  P )  -  ( ( ( r  x.  I )  x.  N )  mod 
P ) )  =  ( 0  -  (
( ( ( r  x.  N )  mod 
P )  x.  I
)  mod  P )
) )
7372oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  ( (
( ( P  x.  N )  mod  P
)  -  ( ( ( r  x.  I
)  x.  N )  mod  P ) )  mod  P )  =  ( ( 0  -  ( ( ( ( r  x.  N )  mod  P )  x.  I )  mod  P
) )  mod  P
) )
74 remulcl 9594 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( P  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( P  x.  N
)  e.  RR )
7521, 64, 74syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P ) )  ->  ( P  x.  N )  e.  RR )
76753adant3 1016 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) )  ->  ( P  x.  N )  e.  RR )
7776adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  ( P  x.  N )  e.  RR )
7865adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  N  e.  RR )
7927, 78remulcld 9641 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  ( (
r  x.  I )  x.  N )  e.  RR )
80 modsubmodmod 12048 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( P  x.  N
)  e.  RR  /\  ( ( r  x.  I )  x.  N
)  e.  RR  /\  P  e.  RR+ )  -> 
( ( ( ( P  x.  N )  mod  P )  -  ( ( ( r  x.  I )  x.  N )  mod  P
) )  mod  P
)  =  ( ( ( P  x.  N
)  -  ( ( r  x.  I )  x.  N ) )  mod  P ) )
8177, 79, 34, 80syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  ( (
( ( P  x.  N )  mod  P
)  -  ( ( ( r  x.  I
)  x.  N )  mod  P ) )  mod  P )  =  ( ( ( P  x.  N )  -  ( ( r  x.  I )  x.  N
) )  mod  P
) )
82 mulcom 9595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( N  e.  CC  /\  r  e.  CC )  ->  ( N  x.  r
)  =  ( r  x.  N ) )
8347, 40, 82syl2anr 478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  - 
1 ) )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  ( N  x.  r )  =  ( r  x.  N ) )
8483oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  - 
1 ) )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  (
( N  x.  r
)  mod  P )  =  ( ( r  x.  N )  mod 
P ) )
8584eqeq1d 2459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  - 
1 ) )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  (
( ( N  x.  r )  mod  P
)  =  1  <->  (
( r  x.  N
)  mod  P )  =  1 ) )
8685biimpd 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  - 
1 ) )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  (
( ( N  x.  r )  mod  P
)  =  1  -> 
( ( r  x.  N )  mod  P
)  =  1 ) )
8786impancom 440 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  - 
1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod  P
)  =  1 )  ->  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) )  ->  ( ( r  x.  N )  mod 
P )  =  1 ) )
8887imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  ( (
r  x.  N )  mod  P )  =  1 )
8988oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  ( (
( r  x.  N
)  mod  P )  x.  I )  =  ( 1  x.  I ) )
9089oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  ( (
( ( r  x.  N )  mod  P
)  x.  I )  mod  P )  =  ( ( 1  x.  I )  mod  P
) )
9190oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  ( 0  -  ( ( ( ( r  x.  N
)  mod  P )  x.  I )  mod  P
) )  =  ( 0  -  ( ( 1  x.  I )  mod  P ) ) )
9291oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  ( (
0  -  ( ( ( ( r  x.  N )  mod  P
)  x.  I )  mod  P ) )  mod  P )  =  ( ( 0  -  ( ( 1  x.  I )  mod  P
) )  mod  P
) )
9361mulid2d 9631 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  ( 1  x.  I )  =  I )
9493oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  ( (
1  x.  I )  mod  P )  =  ( I  mod  P
) )
9532, 18anim12ci 567 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  I  e.  ( 1..^ P ) )  ->  ( I  e.  RR  /\  P  e.  RR+ ) )
96 elfzo2 11828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( I  e.  ( 1..^ P )  <->  ( I  e.  ( ZZ>= `  1 )  /\  P  e.  ZZ  /\  I  <  P ) )
97 eluz2 11112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( I  e.  ( ZZ>= `  1
)  <->  ( 1  e.  ZZ  /\  I  e.  ZZ  /\  1  <_  I ) )
98 0red 9614 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( I  e.  ZZ  ->  0  e.  RR )
99 1red 9628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( I  e.  ZZ  ->  1  e.  RR )
100 zre 10889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( I  e.  ZZ  ->  I  e.  RR )
10198, 99, 1003jca 1176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( I  e.  ZZ  ->  (
0  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  I  e.  RR ) )
102101adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( I  e.  ZZ  /\  1  <_  I )  -> 
( 0  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  I  e.  RR )
)
103 0le1 10097 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  0  <_  1
104103a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( I  e.  ZZ  ->  0  <_  1 )
105104anim1i 568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( I  e.  ZZ  /\  1  <_  I )  -> 
( 0  <_  1  /\  1  <_  I ) )
106 letr 9695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  I  e.  RR )  ->  (
( 0  <_  1  /\  1  <_  I )  ->  0  <_  I
) )
107102, 105, 106sylc 60 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( I  e.  ZZ  /\  1  <_  I )  -> 
0  <_  I )
1081073adant1 1014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  I  e.  ZZ  /\  1  <_  I )  ->  0  <_  I )
10997, 108sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( I  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  0  <_  I )
1101093ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( I  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  P  e.  ZZ  /\  I  < 
P )  ->  0  <_  I )
111 simp3 998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( I  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  P  e.  ZZ  /\  I  < 
P )  ->  I  <  P )
112110, 111jca 532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( I  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  P  e.  ZZ  /\  I  < 
P )  ->  (
0  <_  I  /\  I  <  P ) )
11396, 112sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( I  e.  ( 1..^ P )  ->  ( 0  <_  I  /\  I  <  P ) )
114113adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  I  e.  ( 1..^ P ) )  ->  ( 0  <_  I  /\  I  <  P ) )
11595, 114jca 532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  I  e.  ( 1..^ P ) )  ->  ( (
I  e.  RR  /\  P  e.  RR+ )  /\  ( 0  <_  I  /\  I  <  P ) ) )
1161153adant2 1015 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) )  ->  ( ( I  e.  RR  /\  P  e.  RR+ )  /\  (
0  <_  I  /\  I  <  P ) ) )
117116adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  ( (
I  e.  RR  /\  P  e.  RR+ )  /\  ( 0  <_  I  /\  I  <  P ) ) )
118 modid 12022 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( I  e.  RR  /\  P  e.  RR+ )  /\  ( 0  <_  I  /\  I  <  P ) )  ->  ( I  mod  P )  =  I )
119117, 118syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  ( I  mod  P )  =  I )
12094, 119eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  ( (
1  x.  I )  mod  P )  =  I )
121120oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  ( 0  -  ( ( 1  x.  I )  mod 
P ) )  =  ( 0  -  I
) )
122121oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  ( (
0  -  ( ( 1  x.  I )  mod  P ) )  mod  P )  =  ( ( 0  -  I )  mod  P
) )
12392, 122eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  ( (
0  -  ( ( ( ( r  x.  N )  mod  P
)  x.  I )  mod  P ) )  mod  P )  =  ( ( 0  -  I )  mod  P
) )
12473, 81, 1233eqtr3d 2506 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  ( (
( P  x.  N
)  -  ( ( r  x.  I )  x.  N ) )  mod  P )  =  ( ( 0  -  I )  mod  P
) )
125124oveq2d 6312 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  ( I  +  ( ( ( P  x.  N )  -  ( ( r  x.  I )  x.  N ) )  mod 
P ) )  =  ( I  +  ( ( 0  -  I
)  mod  P )
) )
126125oveq1d 6311 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  ( (
I  +  ( ( ( P  x.  N
)  -  ( ( r  x.  I )  x.  N ) )  mod  P ) )  mod  P )  =  ( ( I  +  ( ( 0  -  I )  mod  P
) )  mod  P
) )
12777, 79resubcld 10008 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  ( ( P  x.  N )  -  ( ( r  x.  I )  x.  N ) )  e.  RR )
128 modadd2mod 12039 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( P  x.  N )  -  (
( r  x.  I
)  x.  N ) )  e.  RR  /\  I  e.  RR  /\  P  e.  RR+ )  ->  (
( I  +  ( ( ( P  x.  N )  -  (
( r  x.  I
)  x.  N ) )  mod  P ) )  mod  P )  =  ( ( I  +  ( ( P  x.  N )  -  ( ( r  x.  I )  x.  N
) ) )  mod 
P ) )
129127, 20, 34, 128syl3anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  ( (
I  +  ( ( ( P  x.  N
)  -  ( ( r  x.  I )  x.  N ) )  mod  P ) )  mod  P )  =  ( ( I  +  ( ( P  x.  N )  -  (
( r  x.  I
)  x.  N ) ) )  mod  P
) )
130 0red 9614 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( I  e.  ( 1..^ P )  ->  0  e.  RR )
131130, 18resubcld 10008 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( I  e.  ( 1..^ P )  ->  ( 0  -  I )  e.  RR )
132131adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  I  e.  ( 1..^ P ) )  ->  ( 0  -  I )  e.  RR )
13318adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  I  e.  ( 1..^ P ) )  ->  I  e.  RR )
13432adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  I  e.  ( 1..^ P ) )  ->  P  e.  RR+ )
135132, 133, 1343jca 1176 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  I  e.  ( 1..^ P ) )  ->  ( (
0  -  I )  e.  RR  /\  I  e.  RR  /\  P  e.  RR+ ) )
1361353adant2 1015 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) )  ->  ( ( 0  -  I )  e.  RR  /\  I  e.  RR  /\  P  e.  RR+ ) )
137136adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  ( (
0  -  I )  e.  RR  /\  I  e.  RR  /\  P  e.  RR+ ) )
138 modadd2mod 12039 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 0  -  I
)  e.  RR  /\  I  e.  RR  /\  P  e.  RR+ )  ->  (
( I  +  ( ( 0  -  I
)  mod  P )
)  mod  P )  =  ( ( I  +  ( 0  -  I ) )  mod 
P ) )
139137, 138syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  ( (
I  +  ( ( 0  -  I )  mod  P ) )  mod  P )  =  ( ( I  +  ( 0  -  I
) )  mod  P
) )
140 0cnd 9606 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( I  e.  ( 1..^ P )  ->  0  e.  CC )
14142, 140pncan3d 9953 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( I  e.  ( 1..^ P )  ->  ( I  +  ( 0  -  I ) )  =  0 )
1421413ad2ant3 1019 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) )  ->  ( I  +  ( 0  -  I
) )  =  0 )
143142adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  ( I  +  ( 0  -  I ) )  =  0 )
144143oveq1d 6311 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  ( (
I  +  ( 0  -  I ) )  mod  P )  =  ( 0  mod  P
) )
145 0mod 12029 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( P  e.  RR+  ->  ( 0  mod  P )  =  0 )
14632, 145syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( P  e.  Prime  ->  ( 0  mod  P )  =  0 )
1471463ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) )  ->  ( 0  mod 
P )  =  0 )
148147adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  ( 0  mod  P )  =  0 )
149139, 144, 1483eqtrd 2502 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  ( (
I  +  ( ( 0  -  I )  mod  P ) )  mod  P )  =  0 )
150126, 129, 1493eqtr3d 2506 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  ( (
I  +  ( ( P  x.  N )  -  ( ( r  x.  I )  x.  N ) ) )  mod  P )  =  0 )
15136, 51, 1503eqtrd 2502 . . . . . . 7  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  ( (
I  +  ( ( ( P  -  (
r  x.  I ) )  mod  P )  x.  N ) )  mod  P )  =  0 )
152 oveq1 6303 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  ( ( P  -  ( r  x.  I ) )  mod 
P )  ->  (
j  x.  N )  =  ( ( ( P  -  ( r  x.  I ) )  mod  P )  x.  N ) )
153152oveq2d 6312 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  ( ( P  -  ( r  x.  I ) )  mod 
P )  ->  (
I  +  ( j  x.  N ) )  =  ( I  +  ( ( ( P  -  ( r  x.  I ) )  mod 
P )  x.  N
) ) )
154153oveq1d 6311 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  ( ( P  -  ( r  x.  I ) )  mod 
P )  ->  (
( I  +  ( j  x.  N ) )  mod  P )  =  ( ( I  +  ( ( ( P  -  ( r  x.  I ) )  mod  P )  x.  N ) )  mod 
P ) )
155154eqeq1d 2459 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  ( ( P  -  ( r  x.  I ) )  mod 
P )  ->  (
( ( I  +  ( j  x.  N
) )  mod  P
)  =  0  <->  (
( I  +  ( ( ( P  -  ( r  x.  I
) )  mod  P
)  x.  N ) )  mod  P )  =  0 ) )
156155rspcev 3210 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( P  -  ( r  x.  I
) )  mod  P
)  e.  ( 0..^ P )  /\  (
( I  +  ( ( ( P  -  ( r  x.  I
) )  mod  P
)  x.  N ) )  mod  P )  =  0 )  ->  E. j  e.  (
0..^ P ) ( ( I  +  ( j  x.  N ) )  mod  P )  =  0 )
15717, 151, 156syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  -  1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod 
P )  =  1 )  /\  ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) ) )  ->  E. j  e.  ( 0..^ P ) ( ( I  +  ( j  x.  N
) )  mod  P
)  =  0 )
158157ex 434 . . . . 5  |-  ( ( r  e.  ( 1 ... ( P  - 
1 ) )  /\  ( ( N  x.  r )  mod  P
)  =  1 )  ->  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) )  ->  E. j  e.  ( 0..^ P ) ( ( I  +  ( j  x.  N ) )  mod  P )  =  0 ) )
159158rexlimiva 2945 . . . 4  |-  ( E. r  e.  ( 1 ... ( P  - 
1 ) ) ( ( N  x.  r
)  mod  P )  =  1  ->  (
( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) )  ->  E. j  e.  ( 0..^ P ) ( ( I  +  ( j  x.  N
) )  mod  P
)  =  0 ) )
1601, 2, 1593syl 20 . . 3  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P ) )  ->  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) )  ->  E. j  e.  ( 0..^ P ) ( ( I  +  ( j  x.  N ) )  mod  P )  =  0 ) )
1611603adant3 1016 . 2  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) )  ->  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) )  ->  E. j  e.  ( 0..^ P ) ( ( I  +  ( j  x.  N ) )  mod  P )  =  0 ) )
162161pm2.43i 47 1  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ( 1..^ P )  /\  I  e.  ( 1..^ P ) )  ->  E. j  e.  ( 0..^ P ) ( ( I  +  ( j  x.  N ) )  mod  P )  =  0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819   E.wrex 2808   E!wreu 2809   class class class wbr 4456   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   CCcc 9507   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510    + caddc 9512    x. cmul 9514    < clt 9645    <_ cle 9646    - cmin 9824   NNcn 10556   ZZcz 10885   ZZ>=cuz 11106   RR+crp 11245   ...cfz 11697  ..^cfzo 11820    mod cmo 11998   Primecprime 14228
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-sup 7919  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-rp 11246  df-fz 11698  df-fzo 11821  df-fl 11931  df-mod 11999  df-seq 12110  df-exp 12169  df-hash 12408  df-cj 12943  df-re 12944  df-im 12945  df-sqrt 13079  df-abs 13080  df-dvds 13998  df-gcd 14156  df-prm 14229  df-phi 14307
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