MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  modom Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem modom 7799
Description: Two ways to express "at most one". (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
modom  |-  ( E* x ph  <->  { x  |  ph }  ~<_  1o )

Proof of Theorem modom
StepHypRef Expression
1 df-mo 2315 . 2  |-  ( E* x ph  <->  ( E. x ph  ->  E! x ph ) )
2 imor 418 . 2  |-  ( ( E. x ph  ->  E! x ph )  <->  ( -.  E. x ph  \/  E! x ph ) )
3 abn0 3763 . . . . . 6  |-  ( { x  |  ph }  =/=  (/)  <->  E. x ph )
43necon1bbii 2685 . . . . 5  |-  ( -. 
E. x ph  <->  { x  |  ph }  =  (/) )
5 sdom1 7798 . . . . 5  |-  ( { x  |  ph }  ~<  1o  <->  { x  |  ph }  =  (/) )
64, 5bitr4i 260 . . . 4  |-  ( -. 
E. x ph  <->  { x  |  ph }  ~<  1o )
7 euen1 7665 . . . 4  |-  ( E! x ph  <->  { x  |  ph }  ~~  1o )
86, 7orbi12i 528 . . 3  |-  ( ( -.  E. x ph  \/  E! x ph )  <->  ( { x  |  ph }  ~<  1o  \/  {
x  |  ph }  ~~  1o ) )
9 brdom2 7625 . . 3  |-  ( { x  |  ph }  ~<_  1o 
<->  ( { x  | 
ph }  ~<  1o  \/  { x  |  ph }  ~~  1o ) )
108, 9bitr4i 260 . 2  |-  ( ( -.  E. x ph  \/  E! x ph )  <->  { x  |  ph }  ~<_  1o )
111, 2, 103bitri 279 1  |-  ( E* x ph  <->  { x  |  ph }  ~<_  1o )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    \/ wo 374    = wceq 1455   E.wex 1674   E!weu 2310   E*wmo 2311   {cab 2448   (/)c0 3743   class class class wbr 4416   1oc1o 7201    ~~ cen 7592    ~<_ cdom 7593    ~< csdm 7594
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-sep 4539  ax-nul 4548  ax-pow 4595  ax-pr 4653  ax-un 6610
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4213  df-br 4417  df-opab 4476  df-tr 4512  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-om 6720  df-1o 7208  df-er 7389  df-en 7596  df-dom 7597  df-sdom 7598
This theorem is referenced by:  modom2  7800
  Copyright terms: Public domain W3C validator