MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  modom Structured version   Unicode version

Theorem modom 7732
Description: Two ways to express "at most one". (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
modom  |-  ( E* x ph  <->  { x  |  ph }  ~<_  1o )

Proof of Theorem modom
StepHypRef Expression
1 df-mo 2280 . 2  |-  ( E* x ph  <->  ( E. x ph  ->  E! x ph ) )
2 imor 412 . 2  |-  ( ( E. x ph  ->  E! x ph )  <->  ( -.  E. x ph  \/  E! x ph ) )
3 abn0 3809 . . . . . 6  |-  ( { x  |  ph }  =/=  (/)  <->  E. x ph )
43necon1bbii 2731 . . . . 5  |-  ( -. 
E. x ph  <->  { x  |  ph }  =  (/) )
5 sdom1 7731 . . . . 5  |-  ( { x  |  ph }  ~<  1o  <->  { x  |  ph }  =  (/) )
64, 5bitr4i 252 . . . 4  |-  ( -. 
E. x ph  <->  { x  |  ph }  ~<  1o )
7 euen1 7597 . . . 4  |-  ( E! x ph  <->  { x  |  ph }  ~~  1o )
86, 7orbi12i 521 . . 3  |-  ( ( -.  E. x ph  \/  E! x ph )  <->  ( { x  |  ph }  ~<  1o  \/  {
x  |  ph }  ~~  1o ) )
9 brdom2 7557 . . 3  |-  ( { x  |  ph }  ~<_  1o 
<->  ( { x  | 
ph }  ~<  1o  \/  { x  |  ph }  ~~  1o ) )
108, 9bitr4i 252 . 2  |-  ( ( -.  E. x ph  \/  E! x ph )  <->  { x  |  ph }  ~<_  1o )
111, 2, 103bitri 271 1  |-  ( E* x ph  <->  { x  |  ph }  ~<_  1o )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    = wceq 1379   E.wex 1596   E!weu 2275   E*wmo 2276   {cab 2452   (/)c0 3790   class class class wbr 4453   1oc1o 7135    ~~ cen 7525    ~<_ cdom 7526    ~< csdm 7527
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-br 4454  df-opab 4512  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-om 6696  df-1o 7142  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531
This theorem is referenced by:  modom2  7733
  Copyright terms: Public domain W3C validator