MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  modom Structured version   Unicode version

Theorem modom 7775
Description: Two ways to express "at most one". (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
modom  |-  ( E* x ph  <->  { x  |  ph }  ~<_  1o )

Proof of Theorem modom
StepHypRef Expression
1 df-mo 2270 . 2  |-  ( E* x ph  <->  ( E. x ph  ->  E! x ph ) )
2 imor 413 . 2  |-  ( ( E. x ph  ->  E! x ph )  <->  ( -.  E. x ph  \/  E! x ph ) )
3 abn0 3781 . . . . . 6  |-  ( { x  |  ph }  =/=  (/)  <->  E. x ph )
43necon1bbii 2688 . . . . 5  |-  ( -. 
E. x ph  <->  { x  |  ph }  =  (/) )
5 sdom1 7774 . . . . 5  |-  ( { x  |  ph }  ~<  1o  <->  { x  |  ph }  =  (/) )
64, 5bitr4i 255 . . . 4  |-  ( -. 
E. x ph  <->  { x  |  ph }  ~<  1o )
7 euen1 7642 . . . 4  |-  ( E! x ph  <->  { x  |  ph }  ~~  1o )
86, 7orbi12i 523 . . 3  |-  ( ( -.  E. x ph  \/  E! x ph )  <->  ( { x  |  ph }  ~<  1o  \/  {
x  |  ph }  ~~  1o ) )
9 brdom2 7602 . . 3  |-  ( { x  |  ph }  ~<_  1o 
<->  ( { x  | 
ph }  ~<  1o  \/  { x  |  ph }  ~~  1o ) )
108, 9bitr4i 255 . 2  |-  ( ( -.  E. x ph  \/  E! x ph )  <->  { x  |  ph }  ~<_  1o )
111, 2, 103bitri 274 1  |-  ( E* x ph  <->  { x  |  ph }  ~<_  1o )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    \/ wo 369    = wceq 1437   E.wex 1659   E!weu 2265   E*wmo 2266   {cab 2407   (/)c0 3761   class class class wbr 4420   1oc1o 7179    ~~ cen 7570    ~<_ cdom 7571    ~< csdm 7572
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6593
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-br 4421  df-opab 4480  df-tr 4516  df-eprel 4760  df-id 4764  df-po 4770  df-so 4771  df-fr 4808  df-we 4810  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-co 4858  df-dm 4859  df-rn 4860  df-res 4861  df-ima 4862  df-ord 5441  df-on 5442  df-lim 5443  df-suc 5444  df-iota 5561  df-fun 5599  df-fn 5600  df-f 5601  df-f1 5602  df-fo 5603  df-f1o 5604  df-fv 5605  df-om 6703  df-1o 7186  df-er 7367  df-en 7574  df-dom 7575  df-sdom 7576
This theorem is referenced by:  modom2  7776
  Copyright terms: Public domain W3C validator