Theorem modmulnn 7510

Description: Move a natural number in and out of a floor in the first argument of a modulo operation.

Assertion

Ref	Expression
modmulnn	|- ((N e. NN /\ A e. RR /\ M e. NN) -> ((N x. (|_` A)) mod (N x. M)) <_ ((|_` (N x. A)) mod (N x. M)))

Proof of Theorem modmulnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flmulnn0 7508	. . . . 5 |- ((N e. NN0 /\ A e. RR) -> (N x. (|_` A)) <_ (|_` (N x. A)))
2		nnnn0 7315	. . . . 5 |- (N e. NN -> N e. NN0)
3	1, 2	sylan 497	. . . 4 |- ((N e. NN /\ A e. RR) -> (N x. (|_` A)) <_ (|_` (N x. A)))
4	3	3adant3 896	. . 3 |- ((N e. NN /\ A e. RR /\ M e. NN) -> (N x. (|_` A)) <_ (|_` (N x. A)))
5		remulcl 6457	. . . . . 6 |- ((N e. RR /\ (|_` A) e. RR) -> (N x. (|_` A)) e. RR)
6		nnre 7112	. . . . . 6 |- (N e. NN -> N e. RR)
7		reflcl 7466	. . . . . 6 |- (A e. RR -> (|_` A) e. RR)
8	5, 6, 7	syl2an 503	. . . . 5 |- ((N e. NN /\ A e. RR) -> (N x. (|_` A)) e. RR)
9	8	3adant3 896	. . . 4 |- ((N e. NN /\ A e. RR /\ M e. NN) -> (N x. (|_` A)) e. RR)
10		remulcl 6457	. . . . . . 7 |- ((N e. RR /\ A e. RR) -> (N x. A) e. RR)
11	10, 6	sylan 497	. . . . . 6 |- ((N e. NN /\ A e. RR) -> (N x. A) e. RR)
12		reflcl 7466	. . . . . 6 |- ((N x. A) e. RR -> (|_` (N x. A)) e. RR)
13	11, 12	syl 12	. . . . 5 |- ((N e. NN /\ A e. RR) -> (|_` (N x. A)) e. RR)
14	13	3adant3 896	. . . 4 |- ((N e. NN /\ A e. RR /\ M e. NN) -> (|_` (N x. A)) e. RR)
15		nnmulcl 7124	. . . . . . . 8 |- ((N e. NN /\ M e. NN) -> (N x. M) e. NN)
16		nnrp 7238	. . . . . . . 8 |- ((N x. M) e. NN -> (N x. M) e. RR+)
17	15, 16	syl 12	. . . . . . 7 |- ((N e. NN /\ M e. NN) -> (N x. M) e. RR+)
18		rpre 7236	. . . . . . 7 |- ((N x. M) e. RR+ -> (N x. M) e. RR)
19	17, 18	syl 12	. . . . . 6 |- ((N e. NN /\ M e. NN) -> (N x. M) e. RR)
20	19	3adant2 895	. . . . 5 |- ((N e. NN /\ A e. RR /\ M e. NN) -> (N x. M) e. RR)
21		mulne0 6887	. . . . . . . . 9 |- (((N e. CC /\ N =/= 0) /\ (M e. CC /\ M =/= 0)) -> (N x. M) =/= 0)
22		nncn 7113	. . . . . . . . . 10 |- (N e. NN -> N e. CC)
23		nnne0 7132	. . . . . . . . . 10 |- (N e. NN -> N =/= 0)
24	22, 23	jca 310	. . . . . . . . 9 |- (N e. NN -> (N e. CC /\ N =/= 0))
25		nncn 7113	. . . . . . . . . 10 |- (M e. NN -> M e. CC)
26		nnne0 7132	. . . . . . . . . 10 |- (M e. NN -> M =/= 0)
27	25, 26	jca 310	. . . . . . . . 9 |- (M e. NN -> (M e. CC /\ M =/= 0))
28	21, 24, 27	syl2an 503	. . . . . . . 8 |- ((N e. NN /\ M e. NN) -> (N x. M) =/= 0)
29	28	3adant2 895	. . . . . . 7 |- ((N e. NN /\ A e. RR /\ M e. NN) -> (N x. M) =/= 0)
30		redivcl 6978	. . . . . . 7 |- (((N x. (|_` A)) e. RR /\ (N x. M) e. RR /\ (N x. M) =/= 0) -> ((N x. (|_` A)) / (N x. M)) e. RR)
31	9, 20, 29, 30	syl111anc 1100	. . . . . 6 |- ((N e. NN /\ A e. RR /\ M e. NN) -> ((N x. (|_` A)) / (N x. M)) e. RR)
32		reflcl 7466	. . . . . 6 |- (((N x. (|_` A)) / (N x. M)) e. RR -> (|_` ((N x. (|_` A)) / (N x. M))) e. RR)
33	31, 32	syl 12	. . . . 5 |- ((N e. NN /\ A e. RR /\ M e. NN) -> (|_` ((N x. (|_` A)) / (N x. M))) e. RR)
34		remulcl 6457	. . . . 5 |- (((N x. M) e. RR /\ (|_` ((N x. (|_` A)) / (N x. M))) e. RR) -> ((N x. M) x. (|_` ((N x. (|_` A)) / (N x. M)))) e. RR)
35	20, 33, 34	syl11anc 524	. . . 4 |- ((N e. NN /\ A e. RR /\ M e. NN) -> ((N x. M) x. (|_` ((N x. (|_` A)) / (N x. M)))) e. RR)
36		lesub1 6849	. . . 4 |- (((N x. (|_` A)) e. RR /\ (|_` (N x. A)) e. RR /\ ((N x. M) x. (|_` ((N x. (|_` A)) / (N x. M)))) e. RR) -> ((N x. (|_` A)) <_ (|_` (N x. A)) <-> ((N x. (|_` A)) - ((N x. M) x. (|_` ((N x. (|_` A)) / (N x. M))))) <_ ((|_` (N x. A)) - ((N x. M) x. (|_` ((N x. (|_` A)) / (N x. M)))))))
37	9, 14, 35, 36	syl111anc 1100	. . 3 |- ((N e. NN /\ A e. RR /\ M e. NN) -> ((N x. (|_` A)) <_ (|_` (N x. A)) <-> ((N x. (|_` A)) - ((N x. M) x. (|_` ((N x. (|_` A)) / (N x. M))))) <_ ((|_` (N x. A)) - ((N x. M) x. (|_` ((N x. (|_` A)) / (N x. M)))))))
38	4, 37	mpbid 212	. 2 |- ((N e. NN /\ A e. RR /\ M e. NN) -> ((N x. (|_` A)) - ((N x. M) x. (|_` ((N x. (|_` A)) / (N x. M))))) <_ ((|_` (N x. A)) - ((N x. M) x. (|_` ((N x. (|_` A)) / (N x. M))))))
39	17	3adant2 895	. . 3 |- ((N e. NN /\ A e. RR /\ M e. NN) -> (N x. M) e. RR+)
40		modval 7501	. . 3 |- (((N x. (|_` A)) e. RR /\ (N x. M) e. RR+) -> ((N x. (|_` A)) mod (N x. M)) = ((N x. (|_` A)) - ((N x. M) x. (|_` ((N x. (|_` A)) / (N x. M))))))
41	9, 39, 40	syl11anc 524	. 2 |- ((N e. NN /\ A e. RR /\ M e. NN) -> ((N x. (|_` A)) mod (N x. M)) = ((N x. (|_` A)) - ((N x. M) x. (|_` ((N x. (|_` A)) / (N x. M))))))
42		modval 7501	. . . 4 |- (((|_` (N x. A)) e. RR /\ (N x. M) e. RR+) -> ((|_` (N x. A)) mod (N x. M)) = ((|_` (N x. A)) - ((N x. M) x. (|_` ((|_` (N x. A)) / (N x. M))))))
43	14, 39, 42	syl11anc 524	. . 3 |- ((N e. NN /\ A e. RR /\ M e. NN) -> ((|_` (N x. A)) mod (N x. M)) = ((|_` (N x. A)) - ((N x. M) x. (|_` ((|_` (N x. A)) / (N x. M))))))
44	11	3adant3 896	. . . . . . 7 |- ((N e. NN /\ A e. RR /\ M e. NN) -> (N x. A) e. RR)
45	15	3adant2 895	. . . . . . 7 |- ((N e. NN /\ A e. RR /\ M e. NN) -> (N x. M) e. NN)
46		fldiv 7497	. . . . . . 7 |- (((N x. A) e. RR /\ (N x. M) e. NN) -> (|_` ((|_` (N x. A)) / (N x. M))) = (|_` ((N x. A) / (N x. M))))
47	44, 45, 46	syl11anc 524	. . . . . 6 |- ((N e. NN /\ A e. RR /\ M e. NN) -> (|_` ((|_` (N x. A)) / (N x. M))) = (|_` ((N x. A) / (N x. M))))
48		fldiv 7497	. . . . . . . . 9 |- ((A e. RR /\ M e. NN) -> (|_` ((|_` A) / M)) = (|_` (A / M)))
49	48	3adant3 896	. . . . . . . 8 |- ((A e. RR /\ M e. NN /\ N e. NN) -> (|_` ((|_` A) / M)) = (|_` (A / M)))
50		divcan5 6957	. . . . . . . . . 10 |- (((|_` A) e. CC /\ (M e. CC /\ M =/= 0) /\ (N e. CC /\ N =/= 0)) -> ((N x. (|_` A)) / (N x. M)) = ((|_` A) / M))
51	7	recnd 6468	. . . . . . . . . 10 |- (A e. RR -> (|_` A) e. CC)
52	50, 51, 27, 24	syl3an 1139	. . . . . . . . 9 |- ((A e. RR /\ M e. NN /\ N e. NN) -> ((N x. (|_` A)) / (N x. M)) = ((|_` A) / M))
53	52	fveq2d 4685	. . . . . . . 8 |- ((A e. RR /\ M e. NN /\ N e. NN) -> (|_` ((N x. (|_` A)) / (N x. M))) = (|_` ((|_` A) / M)))
54		divcan5 6957	. . . . . . . . . 10 |- ((A e. CC /\ (M e. CC /\ M =/= 0) /\ (N e. CC /\ N =/= 0)) -> ((N x. A) / (N x. M)) = (A / M))
55		recn 6466	. . . . . . . . . 10 |- (A e. RR -> A e. CC)
56	54, 55, 27, 24	syl3an 1139	. . . . . . . . 9 |- ((A e. RR /\ M e. NN /\ N e. NN) -> ((N x. A) / (N x. M)) = (A / M))
57	56	fveq2d 4685	. . . . . . . 8 |- ((A e. RR /\ M e. NN /\ N e. NN) -> (|_` ((N x. A) / (N x. M))) = (|_` (A / M)))
58	49, 53, 57	3eqtr4rd 1939	. . . . . . 7 |- ((A e. RR /\ M e. NN /\ N e. NN) -> (|_` ((N x. A) / (N x. M))) = (|_` ((N x. (|_` A)) / (N x. M))))
59	58	3comr 1076	. . . . . 6 |- ((N e. NN /\ A e. RR /\ M e. NN) -> (|_` ((N x. A) / (N x. M))) = (|_` ((N x. (|_` A)) / (N x. M))))
60	47, 59	eqtrd 1925	. . . . 5 |- ((N e. NN /\ A e. RR /\ M e. NN) -> (|_` ((|_` (N x. A)) / (N x. M))) = (|_` ((N x. (|_` A)) / (N x. M))))
61	60	opreq2d 4898	. . . 4 |- ((N e. NN /\ A e. RR /\ M e. NN) -> ((N x. M) x. (|_` ((|_` (N x. A)) / (N x. M)))) = ((N x. M) x. (|_` ((N x. (|_` A)) / (N x. M)))))
62	61	opreq2d 4898	. . 3 |- ((N e. NN /\ A e. RR /\ M e. NN) -> ((|_` (N x. A)) - ((N x. M) x. (|_` ((|_` (N x. A)) / (N x. M))))) = ((|_` (N x. A)) - ((N x. M) x. (|_` ((N x. (|_` A)) / (N x. M))))))
63	43, 62	eqtrd 1925	. 2 |- ((N e. NN /\ A e. RR /\ M e. NN) -> ((|_` (N x. A)) mod (N x. M)) = ((|_` (N x. A)) - ((N x. M) x. (|_` ((N x. (|_` A)) / (N x. M))))))
64	38, 41, 63	3brtr4d 3367	1 |- ((N e. NN /\ A e. RR /\ M e. NN) -> ((N x. (|_` A)) mod (N x. M)) <_ ((|_` (N x. A)) mod (N x. M)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300   =/= wne 2017   class class class wbr 3338  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384  RRcr 6385  0cc0 6386   x. cmul 6391   - cmin 6445   / cdiv 6447   <_ cle 6448  NNcn 6449  NN0cn0 6450  RR+crp 6453  |_cfl 7462   mod cmo 7499

This theorem is referenced by:  digit1 7905

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-rp 7232  df-n0 7309  df-z 7345  df-fl 7463  df-mod 7500

Copyright terms: Public domain