Theorem modid 7512

Description: Identity law for modulo.

Assertion

Ref	Expression
modid	|- (((A e. RR /\ B e. RR+) /\ (0 <_ A /\ A < B)) -> (A mod B) = A)

Proof of Theorem modid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		modval 7501	. . 3 |- ((A e. RR /\ B e. RR+) -> (A mod B) = (A - (B x. (|_` (A / B)))))
2	1	adantr 425	. 2 |- (((A e. RR /\ B e. RR+) /\ (0 <_ A /\ A < B)) -> (A mod B) = (A - (B x. (|_` (A / B)))))
3		rerpdivcl 7251	. . . . . . . . 9 |- ((A e. RR /\ B e. RR+) -> (A / B) e. RR)
4	3	adantr 425	. . . . . . . 8 |- (((A e. RR /\ B e. RR+) /\ (0 <_ A /\ A < B)) -> (A / B) e. RR)
5	4	recnd 6468	. . . . . . 7 |- (((A e. RR /\ B e. RR+) /\ (0 <_ A /\ A < B)) -> (A / B) e. CC)
6		addid2 6482	. . . . . . . 8 |- ((A / B) e. CC -> (0 + (A / B)) = (A / B))
7	6	fveq2d 4685	. . . . . . 7 |- ((A / B) e. CC -> (|_` (0 + (A / B))) = (|_` (A / B)))
8	5, 7	syl 12	. . . . . 6 |- (((A e. RR /\ B e. RR+) /\ (0 <_ A /\ A < B)) -> (|_` (0 + (A / B))) = (|_` (A / B)))
9		flbi2 7481	. . . . . . . 8 |- ((0 e. ZZ /\ (A / B) e. RR) -> ((|_` (0 + (A / B))) = 0 <-> (0 <_ (A / B) /\ (A / B) < 1)))
10		0z 7355	. . . . . . . 8 |- 0 e. ZZ
11	9, 10, 4	sylancr 526	. . . . . . 7 |- (((A e. RR /\ B e. RR+) /\ (0 <_ A /\ A < B)) -> ((|_` (0 + (A / B))) = 0 <-> (0 <_ (A / B) /\ (A / B) < 1)))
12		divge0 7038	. . . . . . . . . 10 |- (((A e. RR /\ 0 <_ A) /\ (B e. RR /\ 0 < B)) -> 0 <_ (A / B))
13		rpregt0 7242	. . . . . . . . . 10 |- (B e. RR+ -> (B e. RR /\ 0 < B))
14	12, 13	sylan2 500	. . . . . . . . 9 |- (((A e. RR /\ 0 <_ A) /\ B e. RR+) -> 0 <_ (A / B))
15	14	an1rs 547	. . . . . . . 8 |- (((A e. RR /\ B e. RR+) /\ 0 <_ A) -> 0 <_ (A / B))
16	15	adantrr 431	. . . . . . 7 |- (((A e. RR /\ B e. RR+) /\ (0 <_ A /\ A < B)) -> 0 <_ (A / B))
17		simpr 350	. . . . . . . . . 10 |- ((B e. RR+ /\ A < B) -> A < B)
18		rpcn 7237	. . . . . . . . . . . 12 |- (B e. RR+ -> B e. CC)
19		mulid1 6464	. . . . . . . . . . . 12 |- (B e. CC -> (B x. 1) = B)
20	18, 19	syl 12	. . . . . . . . . . 11 |- (B e. RR+ -> (B x. 1) = B)
21	20	adantr 425	. . . . . . . . . 10 |- ((B e. RR+ /\ A < B) -> (B x. 1) = B)
22	17, 21	breqtrrd 3363	. . . . . . . . 9 |- ((B e. RR+ /\ A < B) -> A < (B x. 1))
23	22	ad2ant2l 444	. . . . . . . 8 |- (((A e. RR /\ B e. RR+) /\ (0 <_ A /\ A < B)) -> A < (B x. 1))
24		simpll 448	. . . . . . . . 9 |- (((A e. RR /\ B e. RR+) /\ (0 <_ A /\ A < B)) -> A e. RR)
25	13	ad2antlr 441	. . . . . . . . 9 |- (((A e. RR /\ B e. RR+) /\ (0 <_ A /\ A < B)) -> (B e. RR /\ 0 < B))
26		1re 6598	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. RR
27		ltdivmul 7049	. . . . . . . . . 10 |- ((A e. RR /\ 1 e. RR /\ (B e. RR /\ 0 < B)) -> ((A / B) < 1 <-> A < (B x. 1)))
28	26, 27	mp3an2 1179	. . . . . . . . 9 |- ((A e. RR /\ (B e. RR /\ 0 < B)) -> ((A / B) < 1 <-> A < (B x. 1)))
29	24, 25, 28	syl11anc 524	. . . . . . . 8 |- (((A e. RR /\ B e. RR+) /\ (0 <_ A /\ A < B)) -> ((A / B) < 1 <-> A < (B x. 1)))
30	23, 29	mpbird 213	. . . . . . 7 |- (((A e. RR /\ B e. RR+) /\ (0 <_ A /\ A < B)) -> (A / B) < 1)
31	11, 16, 30	mpbir2and 802	. . . . . 6 |- (((A e. RR /\ B e. RR+) /\ (0 <_ A /\ A < B)) -> (|_` (0 + (A / B))) = 0)
32	8, 31	eqtr3d 1927	. . . . 5 |- (((A e. RR /\ B e. RR+) /\ (0 <_ A /\ A < B)) -> (|_` (A / B)) = 0)
33	32	opreq2d 4898	. . . 4 |- (((A e. RR /\ B e. RR+) /\ (0 <_ A /\ A < B)) -> (B x. (|_` (A / B))) = (B x. 0))
34		mul01 6606	. . . . . 6 |- (B e. CC -> (B x. 0) = 0)
35	18, 34	syl 12	. . . . 5 |- (B e. RR+ -> (B x. 0) = 0)
36	35	ad2antlr 441	. . . 4 |- (((A e. RR /\ B e. RR+) /\ (0 <_ A /\ A < B)) -> (B x. 0) = 0)
37	33, 36	eqtrd 1925	. . 3 |- (((A e. RR /\ B e. RR+) /\ (0 <_ A /\ A < B)) -> (B x. (|_` (A / B))) = 0)
38	37	opreq2d 4898	. 2 |- (((A e. RR /\ B e. RR+) /\ (0 <_ A /\ A < B)) -> (A - (B x. (|_` (A / B)))) = (A - 0))
39		recn 6466	. . . 4 |- (A e. RR -> A e. CC)
40		subid1 6556	. . . 4 |- (A e. CC -> (A - 0) = A)
41	39, 40	syl 12	. . 3 |- (A e. RR -> (A - 0) = A)
42	41	ad2antrr 440	. 2 |- (((A e. RR /\ B e. RR+) /\ (0 <_ A /\ A < B)) -> (A - 0) = A)
43	2, 38, 42	3eqtrd 1929	1 |- (((A e. RR /\ B e. RR+) /\ (0 <_ A /\ A < B)) -> (A mod B) = A)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300   class class class wbr 3338  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384  RRcr 6385  0cc0 6386  1c1 6387   + caddc 6389   x. cmul 6391   - cmin 6445   / cdiv 6447   <_ cle 6448  ZZcz 6451  RR+crp 6453   < clt 6653  |_cfl 7462   mod cmo 7499

This theorem is referenced by:  modid2 7513  modabs 7514  modsubdir 7521  digit1 7905

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-rp 7232  df-n0 7309  df-z 7345  df-fl 7463  df-mod 7500

Copyright terms: Public domain