MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  modge0 Structured version   Unicode version

Theorem modge0 11973
Description: The modulo operation is nonnegative. (Contributed by NM, 10-Nov-2008.)
Assertion
Ref Expression
modge0  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  -> 
0  <_  ( A  mod  B ) )

Proof of Theorem modge0
StepHypRef Expression
1 rerpdivcl 11247 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  -> 
( A  /  B
)  e.  RR )
2 flle 11904 . . . . 5  |-  ( ( A  /  B )  e.  RR  ->  ( |_ `  ( A  /  B ) )  <_ 
( A  /  B
) )
31, 2syl 16 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  -> 
( |_ `  ( A  /  B ) )  <_  ( A  /  B ) )
4 reflcl 11901 . . . . . 6  |-  ( ( A  /  B )  e.  RR  ->  ( |_ `  ( A  /  B ) )  e.  RR )
51, 4syl 16 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  -> 
( |_ `  ( A  /  B ) )  e.  RR )
6 simpl 457 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  ->  A  e.  RR )
7 rpregt0 11233 . . . . . 6  |-  ( B  e.  RR+  ->  ( B  e.  RR  /\  0  <  B ) )
87adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  -> 
( B  e.  RR  /\  0  <  B ) )
9 lemuldiv2 10425 . . . . 5  |-  ( ( ( |_ `  ( A  /  B ) )  e.  RR  /\  A  e.  RR  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <  B ) )  -> 
( ( B  x.  ( |_ `  ( A  /  B ) ) )  <_  A  <->  ( |_ `  ( A  /  B
) )  <_  ( A  /  B ) ) )
105, 6, 8, 9syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  -> 
( ( B  x.  ( |_ `  ( A  /  B ) ) )  <_  A  <->  ( |_ `  ( A  /  B
) )  <_  ( A  /  B ) ) )
113, 10mpbird 232 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  -> 
( B  x.  ( |_ `  ( A  /  B ) ) )  <_  A )
12 rpre 11226 . . . . . 6  |-  ( B  e.  RR+  ->  B  e.  RR )
1312adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  ->  B  e.  RR )
1413, 5remulcld 9624 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  -> 
( B  x.  ( |_ `  ( A  /  B ) ) )  e.  RR )
15 subge0 10065 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( B  x.  ( |_ `  ( A  /  B ) ) )  e.  RR )  -> 
( 0  <_  ( A  -  ( B  x.  ( |_ `  ( A  /  B ) ) ) )  <->  ( B  x.  ( |_ `  ( A  /  B ) ) )  <_  A )
)
1614, 15syldan 470 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  -> 
( 0  <_  ( A  -  ( B  x.  ( |_ `  ( A  /  B ) ) ) )  <->  ( B  x.  ( |_ `  ( A  /  B ) ) )  <_  A )
)
1711, 16mpbird 232 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  -> 
0  <_  ( A  -  ( B  x.  ( |_ `  ( A  /  B ) ) ) ) )
18 modval 11966 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  -> 
( A  mod  B
)  =  ( A  -  ( B  x.  ( |_ `  ( A  /  B ) ) ) ) )
1917, 18breqtrrd 4473 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  -> 
0  <_  ( A  mod  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    e. wcel 1767   class class class wbr 4447   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   RRcr 9491   0cc0 9492    x. cmul 9497    < clt 9628    <_ cle 9629    - cmin 9805    / cdiv 10206   RR+crp 11220   |_cfl 11895    mod cmo 11964
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-sup 7901  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-nn 10537  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-rp 11221  df-fl 11897  df-mod 11965
This theorem is referenced by:  zmodcl  11983  modid2  11991  modabs  11997  modltm1p1mod  12007  modsubdir  12023  modeqmodmin  12024  digit1  12268  bitsinv1lem  13950  4sqlem6  14320  sineq0  22675  efif1olem2  22691  modelico  30389  irrapxlem1  30390  pellfund14  30466  jm2.19  30567  fourierswlem  31559  fouriersw  31560  sineq0ALT  32835
  Copyright terms: Public domain W3C validator