Theorem modge0 7503

Description: The modulo operation is nonnegative.

Assertion

Ref	Expression
modge0	|- ((A e. RR /\ B e. RR+) -> 0 <_ (A mod B))

Proof of Theorem modge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rerpdivcl 7251	. . . . 5 |- ((A e. RR /\ B e. RR+) -> (A / B) e. RR)
2		flle 7468	. . . . 5 |- ((A / B) e. RR -> (|_` (A / B)) <_ (A / B))
3	1, 2	syl 12	. . . 4 |- ((A e. RR /\ B e. RR+) -> (|_` (A / B)) <_ (A / B))
4		reflcl 7466	. . . . . 6 |- ((A / B) e. RR -> (|_` (A / B)) e. RR)
5	1, 4	syl 12	. . . . 5 |- ((A e. RR /\ B e. RR+) -> (|_` (A / B)) e. RR)
6		simpl 346	. . . . 5 |- ((A e. RR /\ B e. RR+) -> A e. RR)
7		rpregt0 7242	. . . . . 6 |- (B e. RR+ -> (B e. RR /\ 0 < B))
8	7	adantl 424	. . . . 5 |- ((A e. RR /\ B e. RR+) -> (B e. RR /\ 0 < B))
9		lemuldiv2 7059	. . . . 5 |- (((|_` (A / B)) e. RR /\ A e. RR /\ (B e. RR /\ 0 < B)) -> ((B x. (|_` (A / B))) <_ A <-> (|_` (A / B)) <_ (A / B)))
10	5, 6, 8, 9	syl111anc 1100	. . . 4 |- ((A e. RR /\ B e. RR+) -> ((B x. (|_` (A / B))) <_ A <-> (|_` (A / B)) <_ (A / B)))
11	3, 10	mpbird 213	. . 3 |- ((A e. RR /\ B e. RR+) -> (B x. (|_` (A / B))) <_ A)
12		rpre 7236	. . . . . 6 |- (B e. RR+ -> B e. RR)
13	12	adantl 424	. . . . 5 |- ((A e. RR /\ B e. RR+) -> B e. RR)
14		remulcl 6457	. . . . 5 |- ((B e. RR /\ (|_` (A / B)) e. RR) -> (B x. (|_` (A / B))) e. RR)
15	13, 5, 14	syl11anc 524	. . . 4 |- ((A e. RR /\ B e. RR+) -> (B x. (|_` (A / B))) e. RR)
16		subge0 6863	. . . 4 |- ((A e. RR /\ (B x. (|_` (A / B))) e. RR) -> (0 <_ (A - (B x. (|_` (A / B)))) <-> (B x. (|_` (A / B))) <_ A))
17	15, 16	syldan 516	. . 3 |- ((A e. RR /\ B e. RR+) -> (0 <_ (A - (B x. (|_` (A / B)))) <-> (B x. (|_` (A / B))) <_ A))
18	11, 17	mpbird 213	. 2 |- ((A e. RR /\ B e. RR+) -> 0 <_ (A - (B x. (|_` (A / B)))))
19		modval 7501	. 2 |- ((A e. RR /\ B e. RR+) -> (A mod B) = (A - (B x. (|_` (A / B)))))
20	18, 19	breqtrrd 3363	1 |- ((A e. RR /\ B e. RR+) -> 0 <_ (A mod B))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   e. wcel 1300   class class class wbr 3338  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  RRcr 6385  0cc0 6386   x. cmul 6391   - cmin 6445   / cdiv 6447   <_ cle 6448  RR+crp 6453   < clt 6653  |_cfl 7462   mod cmo 7499

This theorem is referenced by:  flmulnn0 7508  flmulnn0OLD 7509  zmodcl 7511  modid2 7513  modabs 7514  modsubdir 7521  digit1 7905  zmodfz 13615

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-rp 7232  df-n0 7309  df-z 7345  df-fl 7463  df-mod 7500

Copyright terms: Public domain