MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  modge0 Structured version   Unicode version

Theorem modge0 12103
Description: The modulo operation is nonnegative. (Contributed by NM, 10-Nov-2008.)
Assertion
Ref Expression
modge0  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  -> 
0  <_  ( A  mod  B ) )

Proof of Theorem modge0
StepHypRef Expression
1 fldivle 12060 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  -> 
( |_ `  ( A  /  B ) )  <_  ( A  /  B ) )
2 refldivcl 12054 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  -> 
( |_ `  ( A  /  B ) )  e.  RR )
3 simpl 458 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  ->  A  e.  RR )
4 rpregt0 11315 . . . . . 6  |-  ( B  e.  RR+  ->  ( B  e.  RR  /\  0  <  B ) )
54adantl 467 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  -> 
( B  e.  RR  /\  0  <  B ) )
6 lemuldiv2 10486 . . . . 5  |-  ( ( ( |_ `  ( A  /  B ) )  e.  RR  /\  A  e.  RR  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <  B ) )  -> 
( ( B  x.  ( |_ `  ( A  /  B ) ) )  <_  A  <->  ( |_ `  ( A  /  B
) )  <_  ( A  /  B ) ) )
72, 3, 5, 6syl3anc 1264 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  -> 
( ( B  x.  ( |_ `  ( A  /  B ) ) )  <_  A  <->  ( |_ `  ( A  /  B
) )  <_  ( A  /  B ) ) )
81, 7mpbird 235 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  -> 
( B  x.  ( |_ `  ( A  /  B ) ) )  <_  A )
9 rpre 11308 . . . . . 6  |-  ( B  e.  RR+  ->  B  e.  RR )
109adantl 467 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  ->  B  e.  RR )
1110, 2remulcld 9670 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  -> 
( B  x.  ( |_ `  ( A  /  B ) ) )  e.  RR )
12 subge0 10126 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( B  x.  ( |_ `  ( A  /  B ) ) )  e.  RR )  -> 
( 0  <_  ( A  -  ( B  x.  ( |_ `  ( A  /  B ) ) ) )  <->  ( B  x.  ( |_ `  ( A  /  B ) ) )  <_  A )
)
1311, 12syldan 472 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  -> 
( 0  <_  ( A  -  ( B  x.  ( |_ `  ( A  /  B ) ) ) )  <->  ( B  x.  ( |_ `  ( A  /  B ) ) )  <_  A )
)
148, 13mpbird 235 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  -> 
0  <_  ( A  -  ( B  x.  ( |_ `  ( A  /  B ) ) ) ) )
15 modval 12095 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  -> 
( A  mod  B
)  =  ( A  -  ( B  x.  ( |_ `  ( A  /  B ) ) ) ) )
1614, 15breqtrrd 4452 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  -> 
0  <_  ( A  mod  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    e. wcel 1870   class class class wbr 4426   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   RRcr 9537   0cc0 9538    x. cmul 9543    < clt 9674    <_ cle 9675    - cmin 9859    / cdiv 10268   RR+crp 11302   |_cfl 12023    mod cmo 12093
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-sup 7962  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-fl 12025  df-mod 12094
This theorem is referenced by:  zmodcl  12113  modid2  12121  modabs  12127  modltm1p1mod  12139  modsubdir  12155  modeqmodmin  12156  digit1  12403  bitsinv1lem  14389  4sqlem6  14850  sineq0  23341  efif1olem2  23357  modelico  35374  irrapxlem1  35375  pellfund14  35451  jm2.19  35553  sineq0ALT  36973  fourierswlem  37661  fouriersw  37662  difmodm1lt  39085
  Copyright terms: Public domain W3C validator