Theorem modfsummods 13665

Description: Induction step for modfsummod 13666. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
modfsummods	|- ( ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) -> ( ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) -> ( sum_ k e. ( A u. { z } ) B mod N ) = ( sum_ k e. ( A u. { z } ) ( B mod N ) mod N ) ) )

Distinct variable groups:   A, k   k, N   z, k

Allowed substitution hints:   A( z)   B( z, k)   N( z)

Proof of Theorem modfsummods

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snssi 4115	. . 3 |- ( z e. A -> { z } C_ A )
2		ssequn1 3612	. . . 4 |- ( { z } C_ A <-> ( { z } u. A ) = A )
3		uncom 3586	. . . . . . . 8 |- ( { z } u. A ) = ( A u. { z } )
4	3	eqeq1i 2409	. . . . . . 7 |- ( ( { z } u. A ) = A <-> ( A u. { z } ) = A )
5		sumeq1 13567	. . . . . . . . . 10 |- ( A = ( A u. { z } ) -> sum_ k e. A B = sum_ k e. ( A u. { z } ) B )
6	5	oveq1d 6249	. . . . . . . . 9 |- ( A = ( A u. { z } ) -> ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. ( A u. { z } ) B mod N ) )
7		sumeq1 13567	. . . . . . . . . 10 |- ( A = ( A u. { z } ) -> sum_ k e. A ( B mod N ) = sum_ k e. ( A u. { z } ) ( B mod N ) )
8	7	oveq1d 6249	. . . . . . . . 9 |- ( A = ( A u. { z } ) -> ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) = ( sum_ k e. ( A u. { z } ) ( B mod N ) mod N ) )
9	6, 8	eqeq12d 2424	. . . . . . . 8 |- ( A = ( A u. { z } ) -> ( ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) <-> ( sum_ k e. ( A u. { z } ) B mod N ) = ( sum_ k e. ( A u. { z } ) ( B mod N ) mod N ) ) )
10	9	eqcoms 2414	. . . . . . 7 |- ( ( A u. { z } ) = A -> ( ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) <-> ( sum_ k e. ( A u. { z } ) B mod N ) = ( sum_ k e. ( A u. { z } ) ( B mod N ) mod N ) ) )
11	4, 10	sylbi 195	. . . . . 6 |- ( ( { z } u. A ) = A -> ( ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) <-> ( sum_ k e. ( A u. { z } ) B mod N ) = ( sum_ k e. ( A u. { z } ) ( B mod N ) mod N ) ) )
12	11	biimpd 207	. . . . 5 |- ( ( { z } u. A ) = A -> ( ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) -> ( sum_ k e. ( A u. { z } ) B mod N ) = ( sum_ k e. ( A u. { z } ) ( B mod N ) mod N ) ) )
13	12	a1d 25	. . . 4 |- ( ( { z } u. A ) = A -> ( ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) -> ( ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) -> ( sum_ k e. ( A u. { z } ) B mod N ) = ( sum_ k e. ( A u. { z } ) ( B mod N ) mod N ) ) ) )
14	2, 13	sylbi 195	. . 3 |- ( { z } C_ A -> ( ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) -> ( ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) -> ( sum_ k e. ( A u. { z } ) B mod N ) = ( sum_ k e. ( A u. { z } ) ( B mod N ) mod N ) ) ) )
15	1, 14	syl 17	. 2 |- ( z e. A -> ( ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) -> ( ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) -> ( sum_ k e. ( A u. { z } ) B mod N ) = ( sum_ k e. ( A u. { z } ) ( B mod N ) mod N ) ) ) )
16		df-nel 2601	. . 3 |- ( z e/ A <-> -. z e. A )
17		simp1 997	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) -> A e. Fin )
18	17	adantl 464	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e/ A /\ ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) ) -> A e. Fin )
19		simpl 455	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e/ A /\ ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) ) -> z e/ A )
20		simpr3 1005	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e/ A /\ ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) ) -> A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ )
21	18, 19, 20	3jca 1177	. . . . . . . 8 |- ( ( z e/ A /\ ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) ) -> ( A e. Fin /\ z e/ A /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) )
22	21	adantr 463	. . . . . . 7 |- ( ( ( z e/ A /\ ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) ) /\ ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) ) -> ( A e. Fin /\ z e/ A /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) )
23		fsumsplitsnun 13628	. . . . . . 7 |- ( ( A e. Fin /\ z e/ A /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) -> sum_ k e. ( A u. { z } ) B = ( sum_ k e. A B + [_ z / k ]_ B ) )
24	22, 23	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ( z e/ A /\ ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) ) /\ ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) ) -> sum_ k e. ( A u. { z } ) B = ( sum_ k e. A B + [_ z / k ]_ B ) )
25	24	oveq1d 6249	. . . . 5 |- ( ( ( z e/ A /\ ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) ) /\ ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) ) -> ( sum_ k e. ( A u. { z } ) B mod N ) = ( ( sum_ k e. A B + [_ z / k ]_ B ) mod N ) )
26		ralunb 3623	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ <-> ( A. k e. A B e. ZZ /\ A. k e. { z } B e. ZZ ) )
27		simpl 455	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A. k e. A B e. ZZ /\ A. k e. { z } B e. ZZ ) -> A. k e. A B e. ZZ )
28	26, 27	sylbi 195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ -> A. k e. A B e. ZZ )
29		fsumzcl2 13616	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. Fin /\ A. k e. A B e. ZZ ) -> sum_ k e. A B e. ZZ )
30	28, 29	sylan2 472	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. Fin /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) -> sum_ k e. A B e. ZZ )
31	30	3adant2 1016	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) -> sum_ k e. A B e. ZZ )
32	31	adantl 464	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e/ A /\ ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) ) -> sum_ k e. A B e. ZZ )
33	32	zred 10928	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e/ A /\ ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) ) -> sum_ k e. A B e. RR )
34		modfsummodslem1 13664	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ -> [_ z / k ]_ B e. ZZ )
35	34	3ad2ant3 1020	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) -> [_ z / k ]_ B e. ZZ )
36	35	adantl 464	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e/ A /\ ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) ) -> [_ z / k ]_ B e. ZZ )
37	36	zred 10928	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e/ A /\ ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) ) -> [_ z / k ]_ B e. RR )
38		nnrp 11192	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN -> N e. RR+ )
39	38	3ad2ant2 1019	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) -> N e. RR+ )
40	39	adantl 464	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e/ A /\ ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) ) -> N e. RR+ )
41		modaddabs 11986	. . . . . . . . 9 |- ( ( sum_ k e. A B e. RR /\ [_ z / k ]_ B e. RR /\ N e. RR+ ) -> ( ( ( sum_ k e. A B mod N ) + ( [_ z / k ]_ B mod N ) ) mod N ) = ( ( sum_ k e. A B + [_ z / k ]_ B ) mod N ) )
42	33, 37, 40, 41	syl3anc 1230	. . . . . . . 8 |- ( ( z e/ A /\ ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) ) -> ( ( ( sum_ k e. A B mod N ) + ( [_ z / k ]_ B mod N ) ) mod N ) = ( ( sum_ k e. A B + [_ z / k ]_ B ) mod N ) )
43	42	eqcomd 2410	. . . . . . 7 |- ( ( z e/ A /\ ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) ) -> ( ( sum_ k e. A B + [_ z / k ]_ B ) mod N ) = ( ( ( sum_ k e. A B mod N ) + ( [_ z / k ]_ B mod N ) ) mod N ) )
44	43	adantr 463	. . . . . 6 |- ( ( ( z e/ A /\ ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) ) /\ ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) ) -> ( ( sum_ k e. A B + [_ z / k ]_ B ) mod N ) = ( ( ( sum_ k e. A B mod N ) + ( [_ z / k ]_ B mod N ) ) mod N ) )
45		simpr 459	. . . . . . . 8 |- ( ( ( z e/ A /\ ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) ) /\ ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) ) -> ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) )
46	34	zred 10928	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ -> [_ z / k ]_ B e. RR )
47	46	3ad2ant3 1020	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) -> [_ z / k ]_ B e. RR )
48	47	adantl 464	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e/ A /\ ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) ) -> [_ z / k ]_ B e. RR )
49	48, 40	jca 530	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e/ A /\ ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) ) -> ( [_ z / k ]_ B e. RR /\ N e. RR+ ) )
50	49	adantr 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( z e/ A /\ ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) ) /\ ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) ) -> ( [_ z / k ]_ B e. RR /\ N e. RR+ ) )
51		modabs2 11982	. . . . . . . . . 10 |- ( ( [_ z / k ]_ B e. RR /\ N e. RR+ ) -> ( ( [_ z / k ]_ B mod N ) mod N ) = ( [_ z / k ]_ B mod N ) )
52	51	eqcomd 2410	. . . . . . . . 9 |- ( ( [_ z / k ]_ B e. RR /\ N e. RR+ ) -> ( [_ z / k ]_ B mod N ) = ( ( [_ z / k ]_ B mod N ) mod N ) )
53	50, 52	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( z e/ A /\ ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) ) /\ ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) ) -> ( [_ z / k ]_ B mod N ) = ( ( [_ z / k ]_ B mod N ) mod N ) )
54	45, 53	oveq12d 6252	. . . . . . 7 |- ( ( ( z e/ A /\ ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) ) /\ ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) ) -> ( ( sum_ k e. A B mod N ) + ( [_ z / k ]_ B mod N ) ) = ( ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) + ( ( [_ z / k ]_ B mod N ) mod N ) ) )
55	54	oveq1d 6249	. . . . . 6 |- ( ( ( z e/ A /\ ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) ) /\ ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) ) -> ( ( ( sum_ k e. A B mod N ) + ( [_ z / k ]_ B mod N ) ) mod N ) = ( ( ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) + ( ( [_ z / k ]_ B mod N ) mod N ) ) mod N ) )
56	44, 55	eqtrd 2443	. . . . 5 |- ( ( ( z e/ A /\ ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) ) /\ ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) ) -> ( ( sum_ k e. A B + [_ z / k ]_ B ) mod N ) = ( ( ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) + ( ( [_ z / k ]_ B mod N ) mod N ) ) mod N ) )
57		zmodcl 11967	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( B e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( B mod N ) e. NN0 )
58	57	nn0zd 10926	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( B e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( B mod N ) e. ZZ )
59	58	expcom 433	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( N e. NN -> ( B e. ZZ -> ( B mod N ) e. ZZ ) )
60	59	ralimdv 2813	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( N e. NN -> ( A. k e. A B e. ZZ -> A. k e. A ( B mod N ) e. ZZ ) )
61	60	com12 29	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A. k e. A B e. ZZ -> ( N e. NN -> A. k e. A ( B mod N ) e. ZZ ) )
62	61	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A. k e. A B e. ZZ /\ A. k e. { z } B e. ZZ ) -> ( N e. NN -> A. k e. A ( B mod N ) e. ZZ ) )
63	26, 62	sylbi 195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ -> ( N e. NN -> A. k e. A ( B mod N ) e. ZZ ) )
64	63	impcom 428	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) -> A. k e. A ( B mod N ) e. ZZ )
65	64	3adant1 1015	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) -> A. k e. A ( B mod N ) e. ZZ )
66	17, 65	jca 530	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) -> ( A e. Fin /\ A. k e. A ( B mod N ) e. ZZ ) )
67		fsumzcl2 13616	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. Fin /\ A. k e. A ( B mod N ) e. ZZ ) -> sum_ k e. A ( B mod N ) e. ZZ )
68	67	zred 10928	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. Fin /\ A. k e. A ( B mod N ) e. ZZ ) -> sum_ k e. A ( B mod N ) e. RR )
69	66, 68	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) -> sum_ k e. A ( B mod N ) e. RR )
70	69	adantl 464	. . . . . . . 8 |- ( ( z e/ A /\ ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) ) -> sum_ k e. A ( B mod N ) e. RR )
71	70	adantr 463	. . . . . . 7 |- ( ( ( z e/ A /\ ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) ) /\ ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) ) -> sum_ k e. A ( B mod N ) e. RR )
72	34	anim1i 566	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( [_ z / k ]_ B e. ZZ /\ N e. NN ) )
73	72	ancoms 451	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) -> ( [_ z / k ]_ B e. ZZ /\ N e. NN ) )
74		zmodcl 11967	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( [_ z / k ]_ B e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( [_ z / k ]_ B mod N ) e. NN0 )
75	73, 74	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) -> ( [_ z / k ]_ B mod N ) e. NN0 )
76	75	nn0red 10814	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) -> ( [_ z / k ]_ B mod N ) e. RR )
77	76	3adant1 1015	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) -> ( [_ z / k ]_ B mod N ) e. RR )
78	77	adantl 464	. . . . . . . 8 |- ( ( z e/ A /\ ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) ) -> ( [_ z / k ]_ B mod N ) e. RR )
79	78	adantr 463	. . . . . . 7 |- ( ( ( z e/ A /\ ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) ) /\ ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) ) -> ( [_ z / k ]_ B mod N ) e. RR )
80	40	adantr 463	. . . . . . 7 |- ( ( ( z e/ A /\ ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) ) /\ ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) ) -> N e. RR+ )
81		modaddabs 11986	. . . . . . 7 |- ( ( sum_ k e. A ( B mod N ) e. RR /\ ( [_ z / k ]_ B mod N ) e. RR /\ N e. RR+ ) -> ( ( ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) + ( ( [_ z / k ]_ B mod N ) mod N ) ) mod N ) = ( ( sum_ k e. A ( B mod N ) + ( [_ z / k ]_ B mod N ) ) mod N ) )
82	71, 79, 80, 81	syl3anc 1230	. . . . . 6 |- ( ( ( z e/ A /\ ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) ) /\ ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) ) -> ( ( ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) + ( ( [_ z / k ]_ B mod N ) mod N ) ) mod N ) = ( ( sum_ k e. A ( B mod N ) + ( [_ z / k ]_ B mod N ) ) mod N ) )
83	18	adantr 463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( z e/ A /\ ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) ) /\ ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) ) -> A e. Fin )
84	19	adantr 463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( z e/ A /\ ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) ) /\ ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) ) -> z e/ A )
85	59	ralimdv 2813	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. NN -> ( A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ -> A. k e. ( A u. { z } ) ( B mod N ) e. ZZ ) )
86	85	imp 427	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) -> A. k e. ( A u. { z } ) ( B mod N ) e. ZZ )
87	86	3adant1 1015	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) -> A. k e. ( A u. { z } ) ( B mod N ) e. ZZ )
88	87	adantl 464	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e/ A /\ ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) ) -> A. k e. ( A u. { z } ) ( B mod N ) e. ZZ )
89	88	adantr 463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( z e/ A /\ ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) ) /\ ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) ) -> A. k e. ( A u. { z } ) ( B mod N ) e. ZZ )
90		fsumsplitsnun 13628	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. Fin /\ z e/ A /\ A. k e. ( A u. { z } ) ( B mod N ) e. ZZ ) -> sum_ k e. ( A u. { z } ) ( B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) + [_ z / k ]_ ( B mod N ) ) )
91	83, 84, 89, 90	syl3anc 1230	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( z e/ A /\ ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) ) /\ ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) ) -> sum_ k e. ( A u. { z } ) ( B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) + [_ z / k ]_ ( B mod N ) ) )
92		vex 3061	. . . . . . . . . . 11 |- z e. _V
93		csbov1g 6271	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. _V -> [_ z / k ]_ ( B mod N ) = ( [_ z / k ]_ B mod N ) )
94	92, 93	mp1i 13	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( z e/ A /\ ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) ) /\ ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) ) -> [_ z / k ]_ ( B mod N ) = ( [_ z / k ]_ B mod N ) )
95	94	oveq2d 6250	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( z e/ A /\ ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) ) /\ ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) ) -> ( sum_ k e. A ( B mod N ) + [_ z / k ]_ ( B mod N ) ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) + ( [_ z / k ]_ B mod N ) ) )
96	91, 95	eqtrd 2443	. . . . . . . 8 |- ( ( ( z e/ A /\ ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) ) /\ ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) ) -> sum_ k e. ( A u. { z } ) ( B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) + ( [_ z / k ]_ B mod N ) ) )
97	96	eqcomd 2410	. . . . . . 7 |- ( ( ( z e/ A /\ ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) ) /\ ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) ) -> ( sum_ k e. A ( B mod N ) + ( [_ z / k ]_ B mod N ) ) = sum_ k e. ( A u. { z } ) ( B mod N ) )
98	97	oveq1d 6249	. . . . . 6 |- ( ( ( z e/ A /\ ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) ) /\ ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) ) -> ( ( sum_ k e. A ( B mod N ) + ( [_ z / k ]_ B mod N ) ) mod N ) = ( sum_ k e. ( A u. { z } ) ( B mod N ) mod N ) )
99	82, 98	eqtrd 2443	. . . . 5 |- ( ( ( z e/ A /\ ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) ) /\ ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) ) -> ( ( ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) + ( ( [_ z / k ]_ B mod N ) mod N ) ) mod N ) = ( sum_ k e. ( A u. { z } ) ( B mod N ) mod N ) )
100	25, 56, 99	3eqtrd 2447	. . . 4 |- ( ( ( z e/ A /\ ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) ) /\ ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) ) -> ( sum_ k e. ( A u. { z } ) B mod N ) = ( sum_ k e. ( A u. { z } ) ( B mod N ) mod N ) )
101	100	exp31 602	. . 3 |- ( z e/ A -> ( ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) -> ( ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) -> ( sum_ k e. ( A u. { z } ) B mod N ) = ( sum_ k e. ( A u. { z } ) ( B mod N ) mod N ) ) ) )
102	16, 101	sylbir 213	. 2 |- ( -. z e. A -> ( ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) -> ( ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) -> ( sum_ k e. ( A u. { z } ) B mod N ) = ( sum_ k e. ( A u. { z } ) ( B mod N ) mod N ) ) ) )
103	15, 102	pm2.61i 164	1 |- ( ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) -> ( ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) -> ( sum_ k e. ( A u. { z } ) B mod N ) = ( sum_ k e. ( A u. { z } ) ( B mod N ) mod N ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 367   /\ w3a 974   = wceq 1405   e. wcel 1842   e/ wnel 2599   A.wral 2753   _Vcvv 3058   [_csb 3372   u. cun 3411   C_ wss 3413   {csn 3971  (class class class)co 6234   Fincfn 7474   RRcr 9441   + caddc 9445   NNcn 10496   NN0cn0 10756   ZZcz 10825   RR+crp 11183   mod cmo 11947   sum_csu 13564

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6530  ax-inf2 8011  ax-cnex 9498  ax-resscn 9499  ax-1cn 9500  ax-icn 9501  ax-addcl 9502  ax-addrcl 9503  ax-mulcl 9504  ax-mulrcl 9505  ax-mulcom 9506  ax-addass 9507  ax-mulass 9508  ax-distr 9509  ax-i2m1 9510  ax-1ne0 9511  ax-1rid 9512  ax-rnegex 9513  ax-rrecex 9514  ax-cnre 9515  ax-pre-lttri 9516  ax-pre-lttrn 9517  ax-pre-ltadd 9518  ax-pre-mulgt0 9519  ax-pre-sup 9520

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-se 4782  df-we 4783  df-ord 4824  df-on 4825  df-lim 4826  df-suc 4827  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-rn 4953  df-res 4954  df-ima 4955  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-isom 5534  df-riota 6196  df-ov 6237  df-oprab 6238  df-mpt2 6239  df-om 6639  df-1st 6738  df-2nd 6739  df-recs 6999  df-rdg 7033  df-1o 7087  df-oadd 7091  df-er 7268  df-en 7475  df-dom 7476  df-sdom 7477  df-fin 7478  df-sup 7855  df-oi 7889  df-card 8272  df-pnf 9580  df-mnf 9581  df-xr 9582  df-ltxr 9583  df-le 9584  df-sub 9763  df-neg 9764  df-div 10168  df-nn 10497  df-2 10555  df-3 10556  df-n0 10757  df-z 10826  df-uz 11046  df-rp 11184  df-fz 11644  df-fzo 11768  df-fl 11879  df-mod 11948  df-seq 12062  df-exp 12121  df-hash 12360  df-cj 12988  df-re 12989  df-im 12990  df-sqrt 13124  df-abs 13125  df-clim 13367  df-sum 13565

This theorem is referenced by:  modfsummod  13666