Theorem modfsummods 30169

Description: Induction step for modfsummod 30170. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
modfsummods	|- ( ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) -> ( ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) -> ( sum_ k e. ( A u. { z } ) B mod N ) = ( sum_ k e. ( A u. { z } ) ( B mod N ) mod N ) ) )

Distinct variable groups:   A, k   k, N   z, k

Allowed substitution hints:   A( z)   B( z, k)   N( z)

Proof of Theorem modfsummods

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snssi 4014	. . 3 |- ( z e. A -> { z } C_ A )
2		ssequn1 3523	. . . 4 |- ( { z } C_ A <-> ( { z } u. A ) = A )
3		uncom 3497	. . . . . . . 8 |- ( { z } u. A ) = ( A u. { z } )
4	3	eqeq1i 2448	. . . . . . 7 |- ( ( { z } u. A ) = A <-> ( A u. { z } ) = A )
5		sumeq1 13162	. . . . . . . . . 10 |- ( A = ( A u. { z } ) -> sum_ k e. A B = sum_ k e. ( A u. { z } ) B )
6	5	oveq1d 6105	. . . . . . . . 9 |- ( A = ( A u. { z } ) -> ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. ( A u. { z } ) B mod N ) )
7		sumeq1 13162	. . . . . . . . . 10 |- ( A = ( A u. { z } ) -> sum_ k e. A ( B mod N ) = sum_ k e. ( A u. { z } ) ( B mod N ) )
8	7	oveq1d 6105	. . . . . . . . 9 |- ( A = ( A u. { z } ) -> ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) = ( sum_ k e. ( A u. { z } ) ( B mod N ) mod N ) )
9	6, 8	eqeq12d 2455	. . . . . . . 8 |- ( A = ( A u. { z } ) -> ( ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) <-> ( sum_ k e. ( A u. { z } ) B mod N ) = ( sum_ k e. ( A u. { z } ) ( B mod N ) mod N ) ) )
10	9	eqcoms 2444	. . . . . . 7 |- ( ( A u. { z } ) = A -> ( ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) <-> ( sum_ k e. ( A u. { z } ) B mod N ) = ( sum_ k e. ( A u. { z } ) ( B mod N ) mod N ) ) )
11	4, 10	sylbi 195	. . . . . 6 |- ( ( { z } u. A ) = A -> ( ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) <-> ( sum_ k e. ( A u. { z } ) B mod N ) = ( sum_ k e. ( A u. { z } ) ( B mod N ) mod N ) ) )
12	11	biimpd 207	. . . . 5 |- ( ( { z } u. A ) = A -> ( ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) -> ( sum_ k e. ( A u. { z } ) B mod N ) = ( sum_ k e. ( A u. { z } ) ( B mod N ) mod N ) ) )
13	12	a1d 25	. . . 4 |- ( ( { z } u. A ) = A -> ( ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) -> ( ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) -> ( sum_ k e. ( A u. { z } ) B mod N ) = ( sum_ k e. ( A u. { z } ) ( B mod N ) mod N ) ) ) )
14	2, 13	sylbi 195	. . 3 |- ( { z } C_ A -> ( ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) -> ( ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) -> ( sum_ k e. ( A u. { z } ) B mod N ) = ( sum_ k e. ( A u. { z } ) ( B mod N ) mod N ) ) ) )
15	1, 14	syl 16	. 2 |- ( z e. A -> ( ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) -> ( ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) -> ( sum_ k e. ( A u. { z } ) B mod N ) = ( sum_ k e. ( A u. { z } ) ( B mod N ) mod N ) ) ) )
16		df-nel 2607	. . 3 |- ( z e/ A <-> -. z e. A )
17		simp1 983	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) -> A e. Fin )
18	17	adantl 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e/ A /\ ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) ) -> A e. Fin )
19		simpl 454	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e/ A /\ ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) ) -> z e/ A )
20		simpr3 991	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e/ A /\ ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) ) -> A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ )
21	18, 19, 20	3jca 1163	. . . . . . . 8 |- ( ( z e/ A /\ ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) ) -> ( A e. Fin /\ z e/ A /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) )
22	21	adantr 462	. . . . . . 7 |- ( ( ( z e/ A /\ ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) ) /\ ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) ) -> ( A e. Fin /\ z e/ A /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) )
23		fsumsplitsnun 30167	. . . . . . 7 |- ( ( A e. Fin /\ z e/ A /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) -> sum_ k e. ( A u. { z } ) B = ( sum_ k e. A B + [_ z / k ]_ B ) )
24	22, 23	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( ( z e/ A /\ ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) ) /\ ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) ) -> sum_ k e. ( A u. { z } ) B = ( sum_ k e. A B + [_ z / k ]_ B ) )
25	24	oveq1d 6105	. . . . 5 |- ( ( ( z e/ A /\ ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) ) /\ ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) ) -> ( sum_ k e. ( A u. { z } ) B mod N ) = ( ( sum_ k e. A B + [_ z / k ]_ B ) mod N ) )
26		ralunb 3534	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ <-> ( A. k e. A B e. ZZ /\ A. k e. { z } B e. ZZ ) )
27		simpl 454	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A. k e. A B e. ZZ /\ A. k e. { z } B e. ZZ ) -> A. k e. A B e. ZZ )
28	26, 27	sylbi 195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ -> A. k e. A B e. ZZ )
29		fsumz 30161	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. Fin /\ A. k e. A B e. ZZ ) -> sum_ k e. A B e. ZZ )
30	28, 29	sylan2 471	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. Fin /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) -> sum_ k e. A B e. ZZ )
31	30	3adant2 1002	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) -> sum_ k e. A B e. ZZ )
32	31	adantl 463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e/ A /\ ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) ) -> sum_ k e. A B e. ZZ )
33	32	zred 10743	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e/ A /\ ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) ) -> sum_ k e. A B e. RR )
34		modfsummodslem1 30165	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ -> [_ z / k ]_ B e. ZZ )
35	34	3ad2ant3 1006	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) -> [_ z / k ]_ B e. ZZ )
36	35	adantl 463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e/ A /\ ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) ) -> [_ z / k ]_ B e. ZZ )
37	36	zred 10743	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e/ A /\ ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) ) -> [_ z / k ]_ B e. RR )
38		nnrp 10996	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN -> N e. RR+ )
39	38	3ad2ant2 1005	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) -> N e. RR+ )
40	39	adantl 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e/ A /\ ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) ) -> N e. RR+ )
41		modaddabs 11742	. . . . . . . . 9 |- ( ( sum_ k e. A B e. RR /\ [_ z / k ]_ B e. RR /\ N e. RR+ ) -> ( ( ( sum_ k e. A B mod N ) + ( [_ z / k ]_ B mod N ) ) mod N ) = ( ( sum_ k e. A B + [_ z / k ]_ B ) mod N ) )
42	33, 37, 40, 41	syl3anc 1213	. . . . . . . 8 |- ( ( z e/ A /\ ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) ) -> ( ( ( sum_ k e. A B mod N ) + ( [_ z / k ]_ B mod N ) ) mod N ) = ( ( sum_ k e. A B + [_ z / k ]_ B ) mod N ) )
43	42	eqcomd 2446	. . . . . . 7 |- ( ( z e/ A /\ ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) ) -> ( ( sum_ k e. A B + [_ z / k ]_ B ) mod N ) = ( ( ( sum_ k e. A B mod N ) + ( [_ z / k ]_ B mod N ) ) mod N ) )
44	43	adantr 462	. . . . . 6 |- ( ( ( z e/ A /\ ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) ) /\ ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) ) -> ( ( sum_ k e. A B + [_ z / k ]_ B ) mod N ) = ( ( ( sum_ k e. A B mod N ) + ( [_ z / k ]_ B mod N ) ) mod N ) )
45		simpr 458	. . . . . . . 8 |- ( ( ( z e/ A /\ ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) ) /\ ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) ) -> ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) )
46	34	zred 10743	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ -> [_ z / k ]_ B e. RR )
47	46	3ad2ant3 1006	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) -> [_ z / k ]_ B e. RR )
48	47	adantl 463	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e/ A /\ ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) ) -> [_ z / k ]_ B e. RR )
49	48, 40	jca 529	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e/ A /\ ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) ) -> ( [_ z / k ]_ B e. RR /\ N e. RR+ ) )
50	49	adantr 462	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( z e/ A /\ ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) ) /\ ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) ) -> ( [_ z / k ]_ B e. RR /\ N e. RR+ ) )
51		modabs2 11738	. . . . . . . . . 10 |- ( ( [_ z / k ]_ B e. RR /\ N e. RR+ ) -> ( ( [_ z / k ]_ B mod N ) mod N ) = ( [_ z / k ]_ B mod N ) )
52	51	eqcomd 2446	. . . . . . . . 9 |- ( ( [_ z / k ]_ B e. RR /\ N e. RR+ ) -> ( [_ z / k ]_ B mod N ) = ( ( [_ z / k ]_ B mod N ) mod N ) )
53	50, 52	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ( z e/ A /\ ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) ) /\ ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) ) -> ( [_ z / k ]_ B mod N ) = ( ( [_ z / k ]_ B mod N ) mod N ) )
54	45, 53	oveq12d 6108	. . . . . . 7 |- ( ( ( z e/ A /\ ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) ) /\ ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) ) -> ( ( sum_ k e. A B mod N ) + ( [_ z / k ]_ B mod N ) ) = ( ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) + ( ( [_ z / k ]_ B mod N ) mod N ) ) )
55	54	oveq1d 6105	. . . . . 6 |- ( ( ( z e/ A /\ ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) ) /\ ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) ) -> ( ( ( sum_ k e. A B mod N ) + ( [_ z / k ]_ B mod N ) ) mod N ) = ( ( ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) + ( ( [_ z / k ]_ B mod N ) mod N ) ) mod N ) )
56	44, 55	eqtrd 2473	. . . . 5 |- ( ( ( z e/ A /\ ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) ) /\ ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) ) -> ( ( sum_ k e. A B + [_ z / k ]_ B ) mod N ) = ( ( ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) + ( ( [_ z / k ]_ B mod N ) mod N ) ) mod N ) )
57		zmodcl 11723	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( B e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( B mod N ) e. NN0 )
58	57	nn0zd 10741	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( B e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( B mod N ) e. ZZ )
59	58	expcom 435	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( N e. NN -> ( B e. ZZ -> ( B mod N ) e. ZZ ) )
60	59	ralimdv 2793	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( N e. NN -> ( A. k e. A B e. ZZ -> A. k e. A ( B mod N ) e. ZZ ) )
61	60	com12 31	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A. k e. A B e. ZZ -> ( N e. NN -> A. k e. A ( B mod N ) e. ZZ ) )
62	61	adantr 462	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A. k e. A B e. ZZ /\ A. k e. { z } B e. ZZ ) -> ( N e. NN -> A. k e. A ( B mod N ) e. ZZ ) )
63	26, 62	sylbi 195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ -> ( N e. NN -> A. k e. A ( B mod N ) e. ZZ ) )
64	63	impcom 430	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) -> A. k e. A ( B mod N ) e. ZZ )
65	64	3adant1 1001	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) -> A. k e. A ( B mod N ) e. ZZ )
66	17, 65	jca 529	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) -> ( A e. Fin /\ A. k e. A ( B mod N ) e. ZZ ) )
67		fsumz 30161	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. Fin /\ A. k e. A ( B mod N ) e. ZZ ) -> sum_ k e. A ( B mod N ) e. ZZ )
68	67	zred 10743	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. Fin /\ A. k e. A ( B mod N ) e. ZZ ) -> sum_ k e. A ( B mod N ) e. RR )
69	66, 68	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) -> sum_ k e. A ( B mod N ) e. RR )
70	69	adantl 463	. . . . . . . 8 |- ( ( z e/ A /\ ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) ) -> sum_ k e. A ( B mod N ) e. RR )
71	70	adantr 462	. . . . . . 7 |- ( ( ( z e/ A /\ ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) ) /\ ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) ) -> sum_ k e. A ( B mod N ) e. RR )
72	34	anim1i 565	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( [_ z / k ]_ B e. ZZ /\ N e. NN ) )
73	72	ancoms 450	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) -> ( [_ z / k ]_ B e. ZZ /\ N e. NN ) )
74		zmodcl 11723	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( [_ z / k ]_ B e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( [_ z / k ]_ B mod N ) e. NN0 )
75	73, 74	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) -> ( [_ z / k ]_ B mod N ) e. NN0 )
76	75	nn0red 10633	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) -> ( [_ z / k ]_ B mod N ) e. RR )
77	76	3adant1 1001	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) -> ( [_ z / k ]_ B mod N ) e. RR )
78	77	adantl 463	. . . . . . . 8 |- ( ( z e/ A /\ ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) ) -> ( [_ z / k ]_ B mod N ) e. RR )
79	78	adantr 462	. . . . . . 7 |- ( ( ( z e/ A /\ ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) ) /\ ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) ) -> ( [_ z / k ]_ B mod N ) e. RR )
80	40	adantr 462	. . . . . . 7 |- ( ( ( z e/ A /\ ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) ) /\ ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) ) -> N e. RR+ )
81		modaddabs 11742	. . . . . . 7 |- ( ( sum_ k e. A ( B mod N ) e. RR /\ ( [_ z / k ]_ B mod N ) e. RR /\ N e. RR+ ) -> ( ( ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) + ( ( [_ z / k ]_ B mod N ) mod N ) ) mod N ) = ( ( sum_ k e. A ( B mod N ) + ( [_ z / k ]_ B mod N ) ) mod N ) )
82	71, 79, 80, 81	syl3anc 1213	. . . . . 6 |- ( ( ( z e/ A /\ ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) ) /\ ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) ) -> ( ( ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) + ( ( [_ z / k ]_ B mod N ) mod N ) ) mod N ) = ( ( sum_ k e. A ( B mod N ) + ( [_ z / k ]_ B mod N ) ) mod N ) )
83	18	adantr 462	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( z e/ A /\ ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) ) /\ ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) ) -> A e. Fin )
84	19	adantr 462	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( z e/ A /\ ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) ) /\ ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) ) -> z e/ A )
85	59	ralimdv 2793	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. NN -> ( A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ -> A. k e. ( A u. { z } ) ( B mod N ) e. ZZ ) )
86	85	imp 429	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) -> A. k e. ( A u. { z } ) ( B mod N ) e. ZZ )
87	86	3adant1 1001	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) -> A. k e. ( A u. { z } ) ( B mod N ) e. ZZ )
88	87	adantl 463	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e/ A /\ ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) ) -> A. k e. ( A u. { z } ) ( B mod N ) e. ZZ )
89	88	adantr 462	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( z e/ A /\ ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) ) /\ ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) ) -> A. k e. ( A u. { z } ) ( B mod N ) e. ZZ )
90		fsumsplitsnun 30167	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. Fin /\ z e/ A /\ A. k e. ( A u. { z } ) ( B mod N ) e. ZZ ) -> sum_ k e. ( A u. { z } ) ( B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) + [_ z / k ]_ ( B mod N ) ) )
91	83, 84, 89, 90	syl3anc 1213	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( z e/ A /\ ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) ) /\ ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) ) -> sum_ k e. ( A u. { z } ) ( B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) + [_ z / k ]_ ( B mod N ) ) )
92		vex 2973	. . . . . . . . . . 11 |- z e. _V
93		csbov1g 6125	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. _V -> [_ z / k ]_ ( B mod N ) = ( [_ z / k ]_ B mod N ) )
94	92, 93	mp1i 12	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( z e/ A /\ ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) ) /\ ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) ) -> [_ z / k ]_ ( B mod N ) = ( [_ z / k ]_ B mod N ) )
95	94	oveq2d 6106	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( z e/ A /\ ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) ) /\ ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) ) -> ( sum_ k e. A ( B mod N ) + [_ z / k ]_ ( B mod N ) ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) + ( [_ z / k ]_ B mod N ) ) )
96	91, 95	eqtrd 2473	. . . . . . . 8 |- ( ( ( z e/ A /\ ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) ) /\ ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) ) -> sum_ k e. ( A u. { z } ) ( B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) + ( [_ z / k ]_ B mod N ) ) )
97	96	eqcomd 2446	. . . . . . 7 |- ( ( ( z e/ A /\ ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) ) /\ ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) ) -> ( sum_ k e. A ( B mod N ) + ( [_ z / k ]_ B mod N ) ) = sum_ k e. ( A u. { z } ) ( B mod N ) )
98	97	oveq1d 6105	. . . . . 6 |- ( ( ( z e/ A /\ ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) ) /\ ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) ) -> ( ( sum_ k e. A ( B mod N ) + ( [_ z / k ]_ B mod N ) ) mod N ) = ( sum_ k e. ( A u. { z } ) ( B mod N ) mod N ) )
99	82, 98	eqtrd 2473	. . . . 5 |- ( ( ( z e/ A /\ ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) ) /\ ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) ) -> ( ( ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) + ( ( [_ z / k ]_ B mod N ) mod N ) ) mod N ) = ( sum_ k e. ( A u. { z } ) ( B mod N ) mod N ) )
100	25, 56, 99	3eqtrd 2477	. . . 4 |- ( ( ( z e/ A /\ ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) ) /\ ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) ) -> ( sum_ k e. ( A u. { z } ) B mod N ) = ( sum_ k e. ( A u. { z } ) ( B mod N ) mod N ) )
101	100	exp31 601	. . 3 |- ( z e/ A -> ( ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) -> ( ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) -> ( sum_ k e. ( A u. { z } ) B mod N ) = ( sum_ k e. ( A u. { z } ) ( B mod N ) mod N ) ) ) )
102	16, 101	sylbir 213	. 2 |- ( -. z e. A -> ( ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) -> ( ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) -> ( sum_ k e. ( A u. { z } ) B mod N ) = ( sum_ k e. ( A u. { z } ) ( B mod N ) mod N ) ) ) )
103	15, 102	pm2.61i 164	1 |- ( ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) -> ( ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) -> ( sum_ k e. ( A u. { z } ) B mod N ) = ( sum_ k e. ( A u. { z } ) ( B mod N ) mod N ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 960   = wceq 1364   e. wcel 1761   e/ wnel 2605   A.wral 2713   _Vcvv 2970   [_csb 3285   u. cun 3323   C_ wss 3325   {csn 3874  (class class class)co 6090   Fincfn 7306   RRcr 9277   + caddc 9281   NNcn 10318   NN0cn0 10575   ZZcz 10642   RR+crp 10987   mod cmo 11704   sum_csu 13159

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-fal 1370  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-oadd 6920  df-er 7097  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-sup 7687  df-oi 7720  df-card 8105  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-rp 10988  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-fl 11638  df-mod 11705  df-seq 11803  df-exp 11862  df-hash 12100  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586  df-sqr 12720  df-abs 12721  df-clim 12962  df-sum 13160

This theorem is referenced by:  modfsummod  30170