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Theorem modfsummods 13665
Description: Induction step for modfsummod 13666. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
modfsummods  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ )  ->  ( ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N )  -> 
( sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) ( B  mod  N
)  mod  N )
) )
Distinct variable groups:    A, k    k, N    z, k
Allowed substitution hints:    A( z)    B( z, k)    N( z)

Proof of Theorem modfsummods
StepHypRef Expression
1 snssi 4115 . . 3  |-  ( z  e.  A  ->  { z }  C_  A )
2 ssequn1 3612 . . . 4  |-  ( { z }  C_  A  <->  ( { z }  u.  A )  =  A )
3 uncom 3586 . . . . . . . 8  |-  ( { z }  u.  A
)  =  ( A  u.  { z } )
43eqeq1i 2409 . . . . . . 7  |-  ( ( { z }  u.  A )  =  A  <-> 
( A  u.  {
z } )  =  A )
5 sumeq1 13567 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  =  ( A  u.  { z } )  ->  sum_ k  e.  A  B  =  sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) B )
65oveq1d 6249 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  ( A  u.  { z } )  -> 
( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) B  mod  N ) )
7 sumeq1 13567 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  =  ( A  u.  { z } )  ->  sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  =  sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) ( B  mod  N ) )
87oveq1d 6249 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  ( A  u.  { z } )  -> 
( sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) ( B  mod  N )  mod 
N ) )
96, 8eqeq12d 2424 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  ( A  u.  { z } )  -> 
( ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod 
N )  <->  ( sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  ( A  u.  {
z } ) ( B  mod  N )  mod  N ) ) )
109eqcoms 2414 . . . . . . 7  |-  ( ( A  u.  { z } )  =  A  ->  ( ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N )  <->  ( sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  ( A  u.  {
z } ) ( B  mod  N )  mod  N ) ) )
114, 10sylbi 195 . . . . . 6  |-  ( ( { z }  u.  A )  =  A  ->  ( ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N )  <->  ( sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  ( A  u.  {
z } ) ( B  mod  N )  mod  N ) ) )
1211biimpd 207 . . . . 5  |-  ( ( { z }  u.  A )  =  A  ->  ( ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N )  -> 
( sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) ( B  mod  N
)  mod  N )
) )
1312a1d 25 . . . 4  |-  ( ( { z }  u.  A )  =  A  ->  ( ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  {
z } ) B  e.  ZZ )  -> 
( ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod 
N )  ->  ( sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) B  mod  N
)  =  ( sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) ( B  mod  N
)  mod  N )
) ) )
142, 13sylbi 195 . . 3  |-  ( { z }  C_  A  ->  ( ( A  e. 
Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  {
z } ) B  e.  ZZ )  -> 
( ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod 
N )  ->  ( sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) B  mod  N
)  =  ( sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) ( B  mod  N
)  mod  N )
) ) )
151, 14syl 17 . 2  |-  ( z  e.  A  ->  (
( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ )  ->  ( ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N )  -> 
( sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) ( B  mod  N
)  mod  N )
) ) )
16 df-nel 2601 . . 3  |-  ( z  e/  A  <->  -.  z  e.  A )
17 simp1 997 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ )  ->  A  e.  Fin )
1817adantl 464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  ->  A  e.  Fin )
19 simpl 455 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  ->  z  e/  A )
20 simpr3 1005 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  ->  A. k  e.  ( A  u.  {
z } ) B  e.  ZZ )
2118, 19, 203jca 1177 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  ->  ( A  e.  Fin  /\  z  e/  A  /\  A. k  e.  ( A  u.  {
z } ) B  e.  ZZ ) )
2221adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  /\  ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N ) )  ->  ( A  e. 
Fin  /\  z  e/  A  /\  A. k  e.  ( A  u.  {
z } ) B  e.  ZZ ) )
23 fsumsplitsnun 13628 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  z  e/  A  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ )  ->  sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) B  =  ( sum_ k  e.  A  B  +  [_ z  / 
k ]_ B ) )
2422, 23syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  /\  ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N ) )  ->  sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) B  =  ( sum_ k  e.  A  B  +  [_ z  / 
k ]_ B ) )
2524oveq1d 6249 . . . . 5  |-  ( ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  /\  ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N ) )  ->  ( sum_ k  e.  ( A  u.  {
z } ) B  mod  N )  =  ( ( sum_ k  e.  A  B  +  [_ z  /  k ]_ B )  mod  N
) )
26 ralunb 3623 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ  <->  ( A. k  e.  A  B  e.  ZZ  /\  A. k  e.  { z } B  e.  ZZ ) )
27 simpl 455 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A. k  e.  A  B  e.  ZZ  /\  A. k  e.  { z } B  e.  ZZ )  ->  A. k  e.  A  B  e.  ZZ )
2826, 27sylbi 195 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ  ->  A. k  e.  A  B  e.  ZZ )
29 fsumzcl2 13616 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. k  e.  A  B  e.  ZZ )  ->  sum_ k  e.  A  B  e.  ZZ )
3028, 29sylan2 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ )  ->  sum_ k  e.  A  B  e.  ZZ )
31303adant2 1016 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ )  ->  sum_ k  e.  A  B  e.  ZZ )
3231adantl 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  ->  sum_ k  e.  A  B  e.  ZZ )
3332zred 10928 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  ->  sum_ k  e.  A  B  e.  RR )
34 modfsummodslem1 13664 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ  ->  [_ z  /  k ]_ B  e.  ZZ )
35343ad2ant3 1020 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ )  ->  [_ z  /  k ]_ B  e.  ZZ )
3635adantl 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  ->  [_ z  /  k ]_ B  e.  ZZ )
3736zred 10928 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  ->  [_ z  /  k ]_ B  e.  RR )
38 nnrp 11192 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR+ )
39383ad2ant2 1019 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ )  ->  N  e.  RR+ )
4039adantl 464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  ->  N  e.  RR+ )
41 modaddabs 11986 . . . . . . . . 9  |-  ( (
sum_ k  e.  A  B  e.  RR  /\  [_ z  /  k ]_ B  e.  RR  /\  N  e.  RR+ )  ->  ( ( ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  +  ( [_ z  / 
k ]_ B  mod  N
) )  mod  N
)  =  ( (
sum_ k  e.  A  B  +  [_ z  / 
k ]_ B )  mod 
N ) )
4233, 37, 40, 41syl3anc 1230 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  ->  (
( ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  +  ( [_ z  /  k ]_ B  mod  N ) )  mod 
N )  =  ( ( sum_ k  e.  A  B  +  [_ z  / 
k ]_ B )  mod 
N ) )
4342eqcomd 2410 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  ->  (
( sum_ k  e.  A  B  +  [_ z  / 
k ]_ B )  mod 
N )  =  ( ( ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  +  ( [_ z  /  k ]_ B  mod  N ) )  mod 
N ) )
4443adantr 463 . . . . . 6  |-  ( ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  /\  ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N ) )  ->  ( ( sum_ k  e.  A  B  +  [_ z  /  k ]_ B )  mod  N
)  =  ( ( ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  +  ( [_ z  / 
k ]_ B  mod  N
) )  mod  N
) )
45 simpr 459 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  /\  ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N ) )  ->  ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod 
N ) )
4634zred 10928 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ  ->  [_ z  /  k ]_ B  e.  RR )
47463ad2ant3 1020 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ )  ->  [_ z  /  k ]_ B  e.  RR )
4847adantl 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  ->  [_ z  /  k ]_ B  e.  RR )
4948, 40jca 530 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  ->  ( [_ z  /  k ]_ B  e.  RR  /\  N  e.  RR+ )
)
5049adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  /\  ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N ) )  ->  ( [_ z  /  k ]_ B  e.  RR  /\  N  e.  RR+ ) )
51 modabs2 11982 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
[_ z  /  k ]_ B  e.  RR  /\  N  e.  RR+ )  ->  ( ( [_ z  /  k ]_ B  mod  N )  mod  N
)  =  ( [_ z  /  k ]_ B  mod  N ) )
5251eqcomd 2410 . . . . . . . . 9  |-  ( (
[_ z  /  k ]_ B  e.  RR  /\  N  e.  RR+ )  ->  ( [_ z  / 
k ]_ B  mod  N
)  =  ( (
[_ z  /  k ]_ B  mod  N )  mod  N ) )
5350, 52syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  /\  ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N ) )  ->  ( [_ z  /  k ]_ B  mod  N )  =  ( ( [_ z  / 
k ]_ B  mod  N
)  mod  N )
)
5445, 53oveq12d 6252 . . . . . . 7  |-  ( ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  /\  ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N ) )  ->  ( ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  +  (
[_ z  /  k ]_ B  mod  N ) )  =  ( (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N )  +  ( ( [_ z  /  k ]_ B  mod  N )  mod  N
) ) )
5554oveq1d 6249 . . . . . 6  |-  ( ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  /\  ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N ) )  ->  ( ( (
sum_ k  e.  A  B  mod  N )  +  ( [_ z  / 
k ]_ B  mod  N
) )  mod  N
)  =  ( ( ( sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N )  +  ( ( [_ z  /  k ]_ B  mod  N )  mod  N
) )  mod  N
) )
5644, 55eqtrd 2443 . . . . 5  |-  ( ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  /\  ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N ) )  ->  ( ( sum_ k  e.  A  B  +  [_ z  /  k ]_ B )  mod  N
)  =  ( ( ( sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N )  +  ( ( [_ z  /  k ]_ B  mod  N )  mod  N
) )  mod  N
) )
57 zmodcl 11967 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( B  mod  N
)  e.  NN0 )
5857nn0zd 10926 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( B  mod  N
)  e.  ZZ )
5958expcom 433 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  e.  NN  ->  ( B  e.  ZZ  ->  ( B  mod  N )  e.  ZZ ) )
6059ralimdv 2813 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  NN  ->  ( A. k  e.  A  B  e.  ZZ  ->  A. k  e.  A  ( B  mod  N )  e.  ZZ ) )
6160com12 29 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. k  e.  A  B  e.  ZZ  ->  ( N  e.  NN  ->  A. k  e.  A  ( B  mod  N )  e.  ZZ ) )
6261adantr 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A. k  e.  A  B  e.  ZZ  /\  A. k  e.  { z } B  e.  ZZ )  ->  ( N  e.  NN  ->  A. k  e.  A  ( B  mod  N )  e.  ZZ ) )
6326, 62sylbi 195 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ  ->  ( N  e.  NN  ->  A. k  e.  A  ( B  mod  N )  e.  ZZ ) )
6463impcom 428 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ )  ->  A. k  e.  A  ( B  mod  N )  e.  ZZ )
65643adant1 1015 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ )  ->  A. k  e.  A  ( B  mod  N )  e.  ZZ )
6617, 65jca 530 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ )  ->  ( A  e. 
Fin  /\  A. k  e.  A  ( B  mod  N )  e.  ZZ ) )
67 fsumzcl2 13616 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. k  e.  A  ( B  mod  N )  e.  ZZ )  ->  sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  e.  ZZ )
6867zred 10928 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. k  e.  A  ( B  mod  N )  e.  ZZ )  ->  sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  e.  RR )
6966, 68syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ )  ->  sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  e.  RR )
7069adantl 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  ->  sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  e.  RR )
7170adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  /\  ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N ) )  ->  sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  e.  RR )
7234anim1i 566 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( [_ z  /  k ]_ B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN ) )
7372ancoms 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ )  ->  ( [_ z  /  k ]_ B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN ) )
74 zmodcl 11967 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
[_ z  /  k ]_ B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( [_ z  /  k ]_ B  mod  N )  e.  NN0 )
7573, 74syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ )  ->  ( [_ z  /  k ]_ B  mod  N )  e.  NN0 )
7675nn0red 10814 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ )  ->  ( [_ z  /  k ]_ B  mod  N )  e.  RR )
77763adant1 1015 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ )  ->  ( [_ z  /  k ]_ B  mod  N )  e.  RR )
7877adantl 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  ->  ( [_ z  /  k ]_ B  mod  N )  e.  RR )
7978adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  /\  ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N ) )  ->  ( [_ z  /  k ]_ B  mod  N )  e.  RR )
8040adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  /\  ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N ) )  ->  N  e.  RR+ )
81 modaddabs 11986 . . . . . . 7  |-  ( (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  e.  RR  /\  ( [_ z  /  k ]_ B  mod  N )  e.  RR  /\  N  e.  RR+ )  ->  (
( ( sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N
)  +  ( (
[_ z  /  k ]_ B  mod  N )  mod  N ) )  mod  N )  =  ( ( sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  +  (
[_ z  /  k ]_ B  mod  N ) )  mod  N ) )
8271, 79, 80, 81syl3anc 1230 . . . . . 6  |-  ( ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  /\  ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N ) )  ->  ( ( (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N )  +  ( ( [_ z  /  k ]_ B  mod  N )  mod  N
) )  mod  N
)  =  ( (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  +  ( [_ z  /  k ]_ B  mod  N ) )  mod 
N ) )
8318adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  /\  ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N ) )  ->  A  e.  Fin )
8419adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  /\  ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N ) )  ->  z  e/  A
)
8559ralimdv 2813 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  ( A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ  ->  A. k  e.  ( A  u.  {
z } ) ( B  mod  N )  e.  ZZ ) )
8685imp 427 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ )  ->  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) ( B  mod  N )  e.  ZZ )
87863adant1 1015 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ )  ->  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) ( B  mod  N )  e.  ZZ )
8887adantl 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  ->  A. k  e.  ( A  u.  {
z } ) ( B  mod  N )  e.  ZZ )
8988adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  /\  ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N ) )  ->  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) ( B  mod  N )  e.  ZZ )
90 fsumsplitsnun 13628 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  z  e/  A  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) ( B  mod  N
)  e.  ZZ )  ->  sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) ( B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  +  [_ z  / 
k ]_ ( B  mod  N ) ) )
9183, 84, 89, 90syl3anc 1230 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  /\  ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N ) )  ->  sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) ( B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  +  [_ z  / 
k ]_ ( B  mod  N ) ) )
92 vex 3061 . . . . . . . . . . 11  |-  z  e. 
_V
93 csbov1g 6271 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  _V  ->  [_ z  /  k ]_ ( B  mod  N )  =  ( [_ z  / 
k ]_ B  mod  N
) )
9492, 93mp1i 13 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  /\  ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N ) )  ->  [_ z  /  k ]_ ( B  mod  N
)  =  ( [_ z  /  k ]_ B  mod  N ) )
9594oveq2d 6250 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  /\  ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N ) )  ->  ( sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  +  [_ z  /  k ]_ ( B  mod  N ) )  =  ( sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  +  (
[_ z  /  k ]_ B  mod  N ) ) )
9691, 95eqtrd 2443 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  /\  ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N ) )  ->  sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) ( B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  +  ( [_ z  /  k ]_ B  mod  N ) ) )
9796eqcomd 2410 . . . . . . 7  |-  ( ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  /\  ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N ) )  ->  ( sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  +  (
[_ z  /  k ]_ B  mod  N ) )  =  sum_ k  e.  ( A  u.  {
z } ) ( B  mod  N ) )
9897oveq1d 6249 . . . . . 6  |-  ( ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  /\  ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N ) )  ->  ( ( sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  +  ( [_ z  / 
k ]_ B  mod  N
) )  mod  N
)  =  ( sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) ( B  mod  N
)  mod  N )
)
9982, 98eqtrd 2443 . . . . 5  |-  ( ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  /\  ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N ) )  ->  ( ( (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N )  +  ( ( [_ z  /  k ]_ B  mod  N )  mod  N
) )  mod  N
)  =  ( sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) ( B  mod  N
)  mod  N )
)
10025, 56, 993eqtrd 2447 . . . 4  |-  ( ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  /\  ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N ) )  ->  ( sum_ k  e.  ( A  u.  {
z } ) B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) ( B  mod  N )  mod 
N ) )
101100exp31 602 . . 3  |-  ( z  e/  A  ->  (
( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ )  ->  ( ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N )  -> 
( sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) ( B  mod  N
)  mod  N )
) ) )
10216, 101sylbir 213 . 2  |-  ( -.  z  e.  A  -> 
( ( A  e. 
Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  {
z } ) B  e.  ZZ )  -> 
( ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod 
N )  ->  ( sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) B  mod  N
)  =  ( sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) ( B  mod  N
)  mod  N )
) ) )
10315, 102pm2.61i 164 1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ )  ->  ( ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N )  -> 
( sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) ( B  mod  N
)  mod  N )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842    e/ wnel 2599   A.wral 2753   _Vcvv 3058   [_csb 3372    u. cun 3411    C_ wss 3413   {csn 3971  (class class class)co 6234   Fincfn 7474   RRcr 9441    + caddc 9445   NNcn 10496   NN0cn0 10756   ZZcz 10825   RR+crp 11183    mod cmo 11947   sum_csu 13564
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6530  ax-inf2 8011  ax-cnex 9498  ax-resscn 9499  ax-1cn 9500  ax-icn 9501  ax-addcl 9502  ax-addrcl 9503  ax-mulcl 9504  ax-mulrcl 9505  ax-mulcom 9506  ax-addass 9507  ax-mulass 9508  ax-distr 9509  ax-i2m1 9510  ax-1ne0 9511  ax-1rid 9512  ax-rnegex 9513  ax-rrecex 9514  ax-cnre 9515  ax-pre-lttri 9516  ax-pre-lttrn 9517  ax-pre-ltadd 9518  ax-pre-mulgt0 9519  ax-pre-sup 9520
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-se 4782  df-we 4783  df-ord 4824  df-on 4825  df-lim 4826  df-suc 4827  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-rn 4953  df-res 4954  df-ima 4955  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-isom 5534  df-riota 6196  df-ov 6237  df-oprab 6238  df-mpt2 6239  df-om 6639  df-1st 6738  df-2nd 6739  df-recs 6999  df-rdg 7033  df-1o 7087  df-oadd 7091  df-er 7268  df-en 7475  df-dom 7476  df-sdom 7477  df-fin 7478  df-sup 7855  df-oi 7889  df-card 8272  df-pnf 9580  df-mnf 9581  df-xr 9582  df-ltxr 9583  df-le 9584  df-sub 9763  df-neg 9764  df-div 10168  df-nn 10497  df-2 10555  df-3 10556  df-n0 10757  df-z 10826  df-uz 11046  df-rp 11184  df-fz 11644  df-fzo 11768  df-fl 11879  df-mod 11948  df-seq 12062  df-exp 12121  df-hash 12360  df-cj 12988  df-re 12989  df-im 12990  df-sqrt 13124  df-abs 13125  df-clim 13367  df-sum 13565
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