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Theorem modfsummods 30169
Description: Induction step for modfsummod 30170. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
modfsummods  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ )  ->  ( ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N )  -> 
( sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) ( B  mod  N
)  mod  N )
) )
Distinct variable groups:    A, k    k, N    z, k
Allowed substitution hints:    A( z)    B( z, k)    N( z)

Proof of Theorem modfsummods
StepHypRef Expression
1 snssi 4014 . . 3  |-  ( z  e.  A  ->  { z }  C_  A )
2 ssequn1 3523 . . . 4  |-  ( { z }  C_  A  <->  ( { z }  u.  A )  =  A )
3 uncom 3497 . . . . . . . 8  |-  ( { z }  u.  A
)  =  ( A  u.  { z } )
43eqeq1i 2448 . . . . . . 7  |-  ( ( { z }  u.  A )  =  A  <-> 
( A  u.  {
z } )  =  A )
5 sumeq1 13162 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  =  ( A  u.  { z } )  ->  sum_ k  e.  A  B  =  sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) B )
65oveq1d 6105 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  ( A  u.  { z } )  -> 
( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) B  mod  N ) )
7 sumeq1 13162 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  =  ( A  u.  { z } )  ->  sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  =  sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) ( B  mod  N ) )
87oveq1d 6105 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  ( A  u.  { z } )  -> 
( sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) ( B  mod  N )  mod 
N ) )
96, 8eqeq12d 2455 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  ( A  u.  { z } )  -> 
( ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod 
N )  <->  ( sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  ( A  u.  {
z } ) ( B  mod  N )  mod  N ) ) )
109eqcoms 2444 . . . . . . 7  |-  ( ( A  u.  { z } )  =  A  ->  ( ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N )  <->  ( sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  ( A  u.  {
z } ) ( B  mod  N )  mod  N ) ) )
114, 10sylbi 195 . . . . . 6  |-  ( ( { z }  u.  A )  =  A  ->  ( ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N )  <->  ( sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  ( A  u.  {
z } ) ( B  mod  N )  mod  N ) ) )
1211biimpd 207 . . . . 5  |-  ( ( { z }  u.  A )  =  A  ->  ( ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N )  -> 
( sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) ( B  mod  N
)  mod  N )
) )
1312a1d 25 . . . 4  |-  ( ( { z }  u.  A )  =  A  ->  ( ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  {
z } ) B  e.  ZZ )  -> 
( ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod 
N )  ->  ( sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) B  mod  N
)  =  ( sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) ( B  mod  N
)  mod  N )
) ) )
142, 13sylbi 195 . . 3  |-  ( { z }  C_  A  ->  ( ( A  e. 
Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  {
z } ) B  e.  ZZ )  -> 
( ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod 
N )  ->  ( sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) B  mod  N
)  =  ( sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) ( B  mod  N
)  mod  N )
) ) )
151, 14syl 16 . 2  |-  ( z  e.  A  ->  (
( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ )  ->  ( ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N )  -> 
( sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) ( B  mod  N
)  mod  N )
) ) )
16 df-nel 2607 . . 3  |-  ( z  e/  A  <->  -.  z  e.  A )
17 simp1 983 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ )  ->  A  e.  Fin )
1817adantl 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  ->  A  e.  Fin )
19 simpl 454 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  ->  z  e/  A )
20 simpr3 991 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  ->  A. k  e.  ( A  u.  {
z } ) B  e.  ZZ )
2118, 19, 203jca 1163 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  ->  ( A  e.  Fin  /\  z  e/  A  /\  A. k  e.  ( A  u.  {
z } ) B  e.  ZZ ) )
2221adantr 462 . . . . . . 7  |-  ( ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  /\  ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N ) )  ->  ( A  e. 
Fin  /\  z  e/  A  /\  A. k  e.  ( A  u.  {
z } ) B  e.  ZZ ) )
23 fsumsplitsnun 30167 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  z  e/  A  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ )  ->  sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) B  =  ( sum_ k  e.  A  B  +  [_ z  / 
k ]_ B ) )
2422, 23syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  /\  ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N ) )  ->  sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) B  =  ( sum_ k  e.  A  B  +  [_ z  / 
k ]_ B ) )
2524oveq1d 6105 . . . . 5  |-  ( ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  /\  ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N ) )  ->  ( sum_ k  e.  ( A  u.  {
z } ) B  mod  N )  =  ( ( sum_ k  e.  A  B  +  [_ z  /  k ]_ B )  mod  N
) )
26 ralunb 3534 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ  <->  ( A. k  e.  A  B  e.  ZZ  /\  A. k  e.  { z } B  e.  ZZ ) )
27 simpl 454 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A. k  e.  A  B  e.  ZZ  /\  A. k  e.  { z } B  e.  ZZ )  ->  A. k  e.  A  B  e.  ZZ )
2826, 27sylbi 195 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ  ->  A. k  e.  A  B  e.  ZZ )
29 fsumz 30161 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. k  e.  A  B  e.  ZZ )  ->  sum_ k  e.  A  B  e.  ZZ )
3028, 29sylan2 471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ )  ->  sum_ k  e.  A  B  e.  ZZ )
31303adant2 1002 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ )  ->  sum_ k  e.  A  B  e.  ZZ )
3231adantl 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  ->  sum_ k  e.  A  B  e.  ZZ )
3332zred 10743 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  ->  sum_ k  e.  A  B  e.  RR )
34 modfsummodslem1 30165 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ  ->  [_ z  /  k ]_ B  e.  ZZ )
35343ad2ant3 1006 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ )  ->  [_ z  /  k ]_ B  e.  ZZ )
3635adantl 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  ->  [_ z  /  k ]_ B  e.  ZZ )
3736zred 10743 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  ->  [_ z  /  k ]_ B  e.  RR )
38 nnrp 10996 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR+ )
39383ad2ant2 1005 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ )  ->  N  e.  RR+ )
4039adantl 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  ->  N  e.  RR+ )
41 modaddabs 11742 . . . . . . . . 9  |-  ( (
sum_ k  e.  A  B  e.  RR  /\  [_ z  /  k ]_ B  e.  RR  /\  N  e.  RR+ )  ->  ( ( ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  +  ( [_ z  / 
k ]_ B  mod  N
) )  mod  N
)  =  ( (
sum_ k  e.  A  B  +  [_ z  / 
k ]_ B )  mod 
N ) )
4233, 37, 40, 41syl3anc 1213 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  ->  (
( ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  +  ( [_ z  /  k ]_ B  mod  N ) )  mod 
N )  =  ( ( sum_ k  e.  A  B  +  [_ z  / 
k ]_ B )  mod 
N ) )
4342eqcomd 2446 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  ->  (
( sum_ k  e.  A  B  +  [_ z  / 
k ]_ B )  mod 
N )  =  ( ( ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  +  ( [_ z  /  k ]_ B  mod  N ) )  mod 
N ) )
4443adantr 462 . . . . . 6  |-  ( ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  /\  ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N ) )  ->  ( ( sum_ k  e.  A  B  +  [_ z  /  k ]_ B )  mod  N
)  =  ( ( ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  +  ( [_ z  / 
k ]_ B  mod  N
) )  mod  N
) )
45 simpr 458 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  /\  ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N ) )  ->  ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod 
N ) )
4634zred 10743 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ  ->  [_ z  /  k ]_ B  e.  RR )
47463ad2ant3 1006 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ )  ->  [_ z  /  k ]_ B  e.  RR )
4847adantl 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  ->  [_ z  /  k ]_ B  e.  RR )
4948, 40jca 529 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  ->  ( [_ z  /  k ]_ B  e.  RR  /\  N  e.  RR+ )
)
5049adantr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  /\  ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N ) )  ->  ( [_ z  /  k ]_ B  e.  RR  /\  N  e.  RR+ ) )
51 modabs2 11738 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
[_ z  /  k ]_ B  e.  RR  /\  N  e.  RR+ )  ->  ( ( [_ z  /  k ]_ B  mod  N )  mod  N
)  =  ( [_ z  /  k ]_ B  mod  N ) )
5251eqcomd 2446 . . . . . . . . 9  |-  ( (
[_ z  /  k ]_ B  e.  RR  /\  N  e.  RR+ )  ->  ( [_ z  / 
k ]_ B  mod  N
)  =  ( (
[_ z  /  k ]_ B  mod  N )  mod  N ) )
5350, 52syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  /\  ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N ) )  ->  ( [_ z  /  k ]_ B  mod  N )  =  ( ( [_ z  / 
k ]_ B  mod  N
)  mod  N )
)
5445, 53oveq12d 6108 . . . . . . 7  |-  ( ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  /\  ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N ) )  ->  ( ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  +  (
[_ z  /  k ]_ B  mod  N ) )  =  ( (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N )  +  ( ( [_ z  /  k ]_ B  mod  N )  mod  N
) ) )
5554oveq1d 6105 . . . . . 6  |-  ( ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  /\  ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N ) )  ->  ( ( (
sum_ k  e.  A  B  mod  N )  +  ( [_ z  / 
k ]_ B  mod  N
) )  mod  N
)  =  ( ( ( sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N )  +  ( ( [_ z  /  k ]_ B  mod  N )  mod  N
) )  mod  N
) )
5644, 55eqtrd 2473 . . . . 5  |-  ( ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  /\  ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N ) )  ->  ( ( sum_ k  e.  A  B  +  [_ z  /  k ]_ B )  mod  N
)  =  ( ( ( sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N )  +  ( ( [_ z  /  k ]_ B  mod  N )  mod  N
) )  mod  N
) )
57 zmodcl 11723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( B  mod  N
)  e.  NN0 )
5857nn0zd 10741 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( B  mod  N
)  e.  ZZ )
5958expcom 435 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  e.  NN  ->  ( B  e.  ZZ  ->  ( B  mod  N )  e.  ZZ ) )
6059ralimdv 2793 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  NN  ->  ( A. k  e.  A  B  e.  ZZ  ->  A. k  e.  A  ( B  mod  N )  e.  ZZ ) )
6160com12 31 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. k  e.  A  B  e.  ZZ  ->  ( N  e.  NN  ->  A. k  e.  A  ( B  mod  N )  e.  ZZ ) )
6261adantr 462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A. k  e.  A  B  e.  ZZ  /\  A. k  e.  { z } B  e.  ZZ )  ->  ( N  e.  NN  ->  A. k  e.  A  ( B  mod  N )  e.  ZZ ) )
6326, 62sylbi 195 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ  ->  ( N  e.  NN  ->  A. k  e.  A  ( B  mod  N )  e.  ZZ ) )
6463impcom 430 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ )  ->  A. k  e.  A  ( B  mod  N )  e.  ZZ )
65643adant1 1001 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ )  ->  A. k  e.  A  ( B  mod  N )  e.  ZZ )
6617, 65jca 529 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ )  ->  ( A  e. 
Fin  /\  A. k  e.  A  ( B  mod  N )  e.  ZZ ) )
67 fsumz 30161 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. k  e.  A  ( B  mod  N )  e.  ZZ )  ->  sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  e.  ZZ )
6867zred 10743 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. k  e.  A  ( B  mod  N )  e.  ZZ )  ->  sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  e.  RR )
6966, 68syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ )  ->  sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  e.  RR )
7069adantl 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  ->  sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  e.  RR )
7170adantr 462 . . . . . . 7  |-  ( ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  /\  ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N ) )  ->  sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  e.  RR )
7234anim1i 565 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( [_ z  /  k ]_ B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN ) )
7372ancoms 450 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ )  ->  ( [_ z  /  k ]_ B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN ) )
74 zmodcl 11723 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
[_ z  /  k ]_ B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( [_ z  /  k ]_ B  mod  N )  e.  NN0 )
7573, 74syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ )  ->  ( [_ z  /  k ]_ B  mod  N )  e.  NN0 )
7675nn0red 10633 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ )  ->  ( [_ z  /  k ]_ B  mod  N )  e.  RR )
77763adant1 1001 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ )  ->  ( [_ z  /  k ]_ B  mod  N )  e.  RR )
7877adantl 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  ->  ( [_ z  /  k ]_ B  mod  N )  e.  RR )
7978adantr 462 . . . . . . 7  |-  ( ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  /\  ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N ) )  ->  ( [_ z  /  k ]_ B  mod  N )  e.  RR )
8040adantr 462 . . . . . . 7  |-  ( ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  /\  ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N ) )  ->  N  e.  RR+ )
81 modaddabs 11742 . . . . . . 7  |-  ( (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  e.  RR  /\  ( [_ z  /  k ]_ B  mod  N )  e.  RR  /\  N  e.  RR+ )  ->  (
( ( sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N
)  +  ( (
[_ z  /  k ]_ B  mod  N )  mod  N ) )  mod  N )  =  ( ( sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  +  (
[_ z  /  k ]_ B  mod  N ) )  mod  N ) )
8271, 79, 80, 81syl3anc 1213 . . . . . 6  |-  ( ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  /\  ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N ) )  ->  ( ( (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N )  +  ( ( [_ z  /  k ]_ B  mod  N )  mod  N
) )  mod  N
)  =  ( (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  +  ( [_ z  /  k ]_ B  mod  N ) )  mod 
N ) )
8318adantr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  /\  ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N ) )  ->  A  e.  Fin )
8419adantr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  /\  ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N ) )  ->  z  e/  A
)
8559ralimdv 2793 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  ( A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ  ->  A. k  e.  ( A  u.  {
z } ) ( B  mod  N )  e.  ZZ ) )
8685imp 429 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ )  ->  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) ( B  mod  N )  e.  ZZ )
87863adant1 1001 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ )  ->  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) ( B  mod  N )  e.  ZZ )
8887adantl 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  ->  A. k  e.  ( A  u.  {
z } ) ( B  mod  N )  e.  ZZ )
8988adantr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  /\  ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N ) )  ->  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) ( B  mod  N )  e.  ZZ )
90 fsumsplitsnun 30167 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  z  e/  A  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) ( B  mod  N
)  e.  ZZ )  ->  sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) ( B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  +  [_ z  / 
k ]_ ( B  mod  N ) ) )
9183, 84, 89, 90syl3anc 1213 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  /\  ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N ) )  ->  sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) ( B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  +  [_ z  / 
k ]_ ( B  mod  N ) ) )
92 vex 2973 . . . . . . . . . . 11  |-  z  e. 
_V
93 csbov1g 6125 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  _V  ->  [_ z  /  k ]_ ( B  mod  N )  =  ( [_ z  / 
k ]_ B  mod  N
) )
9492, 93mp1i 12 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  /\  ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N ) )  ->  [_ z  /  k ]_ ( B  mod  N
)  =  ( [_ z  /  k ]_ B  mod  N ) )
9594oveq2d 6106 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  /\  ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N ) )  ->  ( sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  +  [_ z  /  k ]_ ( B  mod  N ) )  =  ( sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  +  (
[_ z  /  k ]_ B  mod  N ) ) )
9691, 95eqtrd 2473 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  /\  ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N ) )  ->  sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) ( B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  +  ( [_ z  /  k ]_ B  mod  N ) ) )
9796eqcomd 2446 . . . . . . 7  |-  ( ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  /\  ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N ) )  ->  ( sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  +  (
[_ z  /  k ]_ B  mod  N ) )  =  sum_ k  e.  ( A  u.  {
z } ) ( B  mod  N ) )
9897oveq1d 6105 . . . . . 6  |-  ( ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  /\  ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N ) )  ->  ( ( sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  +  ( [_ z  / 
k ]_ B  mod  N
) )  mod  N
)  =  ( sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) ( B  mod  N
)  mod  N )
)
9982, 98eqtrd 2473 . . . . 5  |-  ( ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  /\  ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N ) )  ->  ( ( (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N )  +  ( ( [_ z  /  k ]_ B  mod  N )  mod  N
) )  mod  N
)  =  ( sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) ( B  mod  N
)  mod  N )
)
10025, 56, 993eqtrd 2477 . . . 4  |-  ( ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  /\  ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N ) )  ->  ( sum_ k  e.  ( A  u.  {
z } ) B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) ( B  mod  N )  mod 
N ) )
101100exp31 601 . . 3  |-  ( z  e/  A  ->  (
( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ )  ->  ( ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N )  -> 
( sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) ( B  mod  N
)  mod  N )
) ) )
10216, 101sylbir 213 . 2  |-  ( -.  z  e.  A  -> 
( ( A  e. 
Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  {
z } ) B  e.  ZZ )  -> 
( ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod 
N )  ->  ( sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) B  mod  N
)  =  ( sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) ( B  mod  N
)  mod  N )
) ) )
10315, 102pm2.61i 164 1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ )  ->  ( ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N )  -> 
( sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) ( B  mod  N
)  mod  N )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 960    = wceq 1364    e. wcel 1761    e/ wnel 2605   A.wral 2713   _Vcvv 2970   [_csb 3285    u. cun 3323    C_ wss 3325   {csn 3874  (class class class)co 6090   Fincfn 7306   RRcr 9277    + caddc 9281   NNcn 10318   NN0cn0 10575   ZZcz 10642   RR+crp 10987    mod cmo 11704   sum_csu 13159
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-fal 1370  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-oadd 6920  df-er 7097  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-sup 7687  df-oi 7720  df-card 8105  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-rp 10988  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-fl 11638  df-mod 11705  df-seq 11803  df-exp 11862  df-hash 12100  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586  df-sqr 12720  df-abs 12721  df-clim 12962  df-sum 13160
This theorem is referenced by:  modfsummod  30170
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