Theorem modfsummods 13853

Description: Induction step for modfsummod 13854. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
modfsummods	|- ( ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) -> ( ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) -> ( sum_ k e. ( A u. { z } ) B mod N ) = ( sum_ k e. ( A u. { z } ) ( B mod N ) mod N ) ) )

Distinct variable groups:   A, k   k, N   z, k

Allowed substitution hints:   A( z)   B( z, k)   N( z)

Proof of Theorem modfsummods

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snssi 4116	. . 3 |- ( z e. A -> { z } C_ A )
2		ssequn1 3604	. . . 4 |- ( { z } C_ A <-> ( { z } u. A ) = A )
3		uncom 3578	. . . . . . . 8 |- ( { z } u. A ) = ( A u. { z } )
4	3	eqeq1i 2456	. . . . . . 7 |- ( ( { z } u. A ) = A <-> ( A u. { z } ) = A )
5		sumeq1 13755	. . . . . . . . . 10 |- ( A = ( A u. { z } ) -> sum_ k e. A B = sum_ k e. ( A u. { z } ) B )
6	5	oveq1d 6305	. . . . . . . . 9 |- ( A = ( A u. { z } ) -> ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. ( A u. { z } ) B mod N ) )
7		sumeq1 13755	. . . . . . . . . 10 |- ( A = ( A u. { z } ) -> sum_ k e. A ( B mod N ) = sum_ k e. ( A u. { z } ) ( B mod N ) )
8	7	oveq1d 6305	. . . . . . . . 9 |- ( A = ( A u. { z } ) -> ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) = ( sum_ k e. ( A u. { z } ) ( B mod N ) mod N ) )
9	6, 8	eqeq12d 2466	. . . . . . . 8 |- ( A = ( A u. { z } ) -> ( ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) <-> ( sum_ k e. ( A u. { z } ) B mod N ) = ( sum_ k e. ( A u. { z } ) ( B mod N ) mod N ) ) )
10	9	eqcoms 2459	. . . . . . 7 |- ( ( A u. { z } ) = A -> ( ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) <-> ( sum_ k e. ( A u. { z } ) B mod N ) = ( sum_ k e. ( A u. { z } ) ( B mod N ) mod N ) ) )
11	4, 10	sylbi 199	. . . . . 6 |- ( ( { z } u. A ) = A -> ( ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) <-> ( sum_ k e. ( A u. { z } ) B mod N ) = ( sum_ k e. ( A u. { z } ) ( B mod N ) mod N ) ) )
12	11	biimpd 211	. . . . 5 |- ( ( { z } u. A ) = A -> ( ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) -> ( sum_ k e. ( A u. { z } ) B mod N ) = ( sum_ k e. ( A u. { z } ) ( B mod N ) mod N ) ) )
13	12	a1d 26	. . . 4 |- ( ( { z } u. A ) = A -> ( ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) -> ( ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) -> ( sum_ k e. ( A u. { z } ) B mod N ) = ( sum_ k e. ( A u. { z } ) ( B mod N ) mod N ) ) ) )
14	2, 13	sylbi 199	. . 3 |- ( { z } C_ A -> ( ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) -> ( ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) -> ( sum_ k e. ( A u. { z } ) B mod N ) = ( sum_ k e. ( A u. { z } ) ( B mod N ) mod N ) ) ) )
15	1, 14	syl 17	. 2 |- ( z e. A -> ( ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) -> ( ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) -> ( sum_ k e. ( A u. { z } ) B mod N ) = ( sum_ k e. ( A u. { z } ) ( B mod N ) mod N ) ) ) )
16		df-nel 2625	. . 3 |- ( z e/ A <-> -. z e. A )
17		simp1 1008	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) -> A e. Fin )
18	17	adantl 468	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e/ A /\ ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) ) -> A e. Fin )
19		simpl 459	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e/ A /\ ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) ) -> z e/ A )
20		simpr3 1016	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e/ A /\ ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) ) -> A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ )
21	18, 19, 20	3jca 1188	. . . . . . . 8 |- ( ( z e/ A /\ ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) ) -> ( A e. Fin /\ z e/ A /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) )
22	21	adantr 467	. . . . . . 7 |- ( ( ( z e/ A /\ ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) ) /\ ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) ) -> ( A e. Fin /\ z e/ A /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) )
23		fsumsplitsnun 13816	. . . . . . 7 |- ( ( A e. Fin /\ z e/ A /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) -> sum_ k e. ( A u. { z } ) B = ( sum_ k e. A B + [_ z / k ]_ B ) )
24	22, 23	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ( z e/ A /\ ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) ) /\ ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) ) -> sum_ k e. ( A u. { z } ) B = ( sum_ k e. A B + [_ z / k ]_ B ) )
25	24	oveq1d 6305	. . . . 5 |- ( ( ( z e/ A /\ ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) ) /\ ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) ) -> ( sum_ k e. ( A u. { z } ) B mod N ) = ( ( sum_ k e. A B + [_ z / k ]_ B ) mod N ) )
26		ralunb 3615	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ <-> ( A. k e. A B e. ZZ /\ A. k e. { z } B e. ZZ ) )
27		simpl 459	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A. k e. A B e. ZZ /\ A. k e. { z } B e. ZZ ) -> A. k e. A B e. ZZ )
28	26, 27	sylbi 199	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ -> A. k e. A B e. ZZ )
29		fsumzcl2 13804	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. Fin /\ A. k e. A B e. ZZ ) -> sum_ k e. A B e. ZZ )
30	28, 29	sylan2 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. Fin /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) -> sum_ k e. A B e. ZZ )
31	30	3adant2 1027	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) -> sum_ k e. A B e. ZZ )
32	31	adantl 468	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e/ A /\ ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) ) -> sum_ k e. A B e. ZZ )
33	32	zred 11040	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e/ A /\ ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) ) -> sum_ k e. A B e. RR )
34		modfsummodslem1 13852	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ -> [_ z / k ]_ B e. ZZ )
35	34	3ad2ant3 1031	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) -> [_ z / k ]_ B e. ZZ )
36	35	adantl 468	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e/ A /\ ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) ) -> [_ z / k ]_ B e. ZZ )
37	36	zred 11040	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e/ A /\ ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) ) -> [_ z / k ]_ B e. RR )
38		nnrp 11311	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN -> N e. RR+ )
39	38	3ad2ant2 1030	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) -> N e. RR+ )
40	39	adantl 468	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e/ A /\ ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) ) -> N e. RR+ )
41		modaddabs 12135	. . . . . . . . 9 |- ( ( sum_ k e. A B e. RR /\ [_ z / k ]_ B e. RR /\ N e. RR+ ) -> ( ( ( sum_ k e. A B mod N ) + ( [_ z / k ]_ B mod N ) ) mod N ) = ( ( sum_ k e. A B + [_ z / k ]_ B ) mod N ) )
42	33, 37, 40, 41	syl3anc 1268	. . . . . . . 8 |- ( ( z e/ A /\ ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) ) -> ( ( ( sum_ k e. A B mod N ) + ( [_ z / k ]_ B mod N ) ) mod N ) = ( ( sum_ k e. A B + [_ z / k ]_ B ) mod N ) )
43	42	eqcomd 2457	. . . . . . 7 |- ( ( z e/ A /\ ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) ) -> ( ( sum_ k e. A B + [_ z / k ]_ B ) mod N ) = ( ( ( sum_ k e. A B mod N ) + ( [_ z / k ]_ B mod N ) ) mod N ) )
44	43	adantr 467	. . . . . 6 |- ( ( ( z e/ A /\ ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) ) /\ ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) ) -> ( ( sum_ k e. A B + [_ z / k ]_ B ) mod N ) = ( ( ( sum_ k e. A B mod N ) + ( [_ z / k ]_ B mod N ) ) mod N ) )
45		simpr 463	. . . . . . . 8 |- ( ( ( z e/ A /\ ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) ) /\ ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) ) -> ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) )
46	34	zred 11040	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ -> [_ z / k ]_ B e. RR )
47	46	3ad2ant3 1031	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) -> [_ z / k ]_ B e. RR )
48	47	adantl 468	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e/ A /\ ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) ) -> [_ z / k ]_ B e. RR )
49	48, 40	jca 535	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e/ A /\ ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) ) -> ( [_ z / k ]_ B e. RR /\ N e. RR+ ) )
50	49	adantr 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( z e/ A /\ ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) ) /\ ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) ) -> ( [_ z / k ]_ B e. RR /\ N e. RR+ ) )
51		modabs2 12131	. . . . . . . . . 10 |- ( ( [_ z / k ]_ B e. RR /\ N e. RR+ ) -> ( ( [_ z / k ]_ B mod N ) mod N ) = ( [_ z / k ]_ B mod N ) )
52	51	eqcomd 2457	. . . . . . . . 9 |- ( ( [_ z / k ]_ B e. RR /\ N e. RR+ ) -> ( [_ z / k ]_ B mod N ) = ( ( [_ z / k ]_ B mod N ) mod N ) )
53	50, 52	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( z e/ A /\ ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) ) /\ ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) ) -> ( [_ z / k ]_ B mod N ) = ( ( [_ z / k ]_ B mod N ) mod N ) )
54	45, 53	oveq12d 6308	. . . . . . 7 |- ( ( ( z e/ A /\ ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) ) /\ ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) ) -> ( ( sum_ k e. A B mod N ) + ( [_ z / k ]_ B mod N ) ) = ( ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) + ( ( [_ z / k ]_ B mod N ) mod N ) ) )
55	54	oveq1d 6305	. . . . . 6 |- ( ( ( z e/ A /\ ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) ) /\ ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) ) -> ( ( ( sum_ k e. A B mod N ) + ( [_ z / k ]_ B mod N ) ) mod N ) = ( ( ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) + ( ( [_ z / k ]_ B mod N ) mod N ) ) mod N ) )
56	44, 55	eqtrd 2485	. . . . 5 |- ( ( ( z e/ A /\ ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) ) /\ ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) ) -> ( ( sum_ k e. A B + [_ z / k ]_ B ) mod N ) = ( ( ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) + ( ( [_ z / k ]_ B mod N ) mod N ) ) mod N ) )
57		zmodcl 12116	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( B e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( B mod N ) e. NN0 )
58	57	nn0zd 11038	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( B e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( B mod N ) e. ZZ )
59	58	expcom 437	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( N e. NN -> ( B e. ZZ -> ( B mod N ) e. ZZ ) )
60	59	ralimdv 2798	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( N e. NN -> ( A. k e. A B e. ZZ -> A. k e. A ( B mod N ) e. ZZ ) )
61	60	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A. k e. A B e. ZZ -> ( N e. NN -> A. k e. A ( B mod N ) e. ZZ ) )
62	61	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A. k e. A B e. ZZ /\ A. k e. { z } B e. ZZ ) -> ( N e. NN -> A. k e. A ( B mod N ) e. ZZ ) )
63	26, 62	sylbi 199	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ -> ( N e. NN -> A. k e. A ( B mod N ) e. ZZ ) )
64	63	impcom 432	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) -> A. k e. A ( B mod N ) e. ZZ )
65	64	3adant1 1026	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) -> A. k e. A ( B mod N ) e. ZZ )
66	17, 65	jca 535	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) -> ( A e. Fin /\ A. k e. A ( B mod N ) e. ZZ ) )
67		fsumzcl2 13804	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. Fin /\ A. k e. A ( B mod N ) e. ZZ ) -> sum_ k e. A ( B mod N ) e. ZZ )
68	67	zred 11040	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. Fin /\ A. k e. A ( B mod N ) e. ZZ ) -> sum_ k e. A ( B mod N ) e. RR )
69	66, 68	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) -> sum_ k e. A ( B mod N ) e. RR )
70	69	adantl 468	. . . . . . . 8 |- ( ( z e/ A /\ ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) ) -> sum_ k e. A ( B mod N ) e. RR )
71	70	adantr 467	. . . . . . 7 |- ( ( ( z e/ A /\ ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) ) /\ ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) ) -> sum_ k e. A ( B mod N ) e. RR )
72	34	anim1i 572	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( [_ z / k ]_ B e. ZZ /\ N e. NN ) )
73	72	ancoms 455	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) -> ( [_ z / k ]_ B e. ZZ /\ N e. NN ) )
74		zmodcl 12116	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( [_ z / k ]_ B e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( [_ z / k ]_ B mod N ) e. NN0 )
75	73, 74	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) -> ( [_ z / k ]_ B mod N ) e. NN0 )
76	75	nn0red 10926	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) -> ( [_ z / k ]_ B mod N ) e. RR )
77	76	3adant1 1026	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) -> ( [_ z / k ]_ B mod N ) e. RR )
78	77	adantl 468	. . . . . . . 8 |- ( ( z e/ A /\ ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) ) -> ( [_ z / k ]_ B mod N ) e. RR )
79	78	adantr 467	. . . . . . 7 |- ( ( ( z e/ A /\ ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) ) /\ ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) ) -> ( [_ z / k ]_ B mod N ) e. RR )
80	40	adantr 467	. . . . . . 7 |- ( ( ( z e/ A /\ ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) ) /\ ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) ) -> N e. RR+ )
81		modaddabs 12135	. . . . . . 7 |- ( ( sum_ k e. A ( B mod N ) e. RR /\ ( [_ z / k ]_ B mod N ) e. RR /\ N e. RR+ ) -> ( ( ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) + ( ( [_ z / k ]_ B mod N ) mod N ) ) mod N ) = ( ( sum_ k e. A ( B mod N ) + ( [_ z / k ]_ B mod N ) ) mod N ) )
82	71, 79, 80, 81	syl3anc 1268	. . . . . 6 |- ( ( ( z e/ A /\ ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) ) /\ ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) ) -> ( ( ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) + ( ( [_ z / k ]_ B mod N ) mod N ) ) mod N ) = ( ( sum_ k e. A ( B mod N ) + ( [_ z / k ]_ B mod N ) ) mod N ) )
83	18	adantr 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( z e/ A /\ ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) ) /\ ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) ) -> A e. Fin )
84	19	adantr 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( z e/ A /\ ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) ) /\ ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) ) -> z e/ A )
85	59	ralimdv 2798	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. NN -> ( A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ -> A. k e. ( A u. { z } ) ( B mod N ) e. ZZ ) )
86	85	imp 431	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) -> A. k e. ( A u. { z } ) ( B mod N ) e. ZZ )
87	86	3adant1 1026	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) -> A. k e. ( A u. { z } ) ( B mod N ) e. ZZ )
88	87	adantl 468	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e/ A /\ ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) ) -> A. k e. ( A u. { z } ) ( B mod N ) e. ZZ )
89	88	adantr 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( z e/ A /\ ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) ) /\ ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) ) -> A. k e. ( A u. { z } ) ( B mod N ) e. ZZ )
90		fsumsplitsnun 13816	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. Fin /\ z e/ A /\ A. k e. ( A u. { z } ) ( B mod N ) e. ZZ ) -> sum_ k e. ( A u. { z } ) ( B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) + [_ z / k ]_ ( B mod N ) ) )
91	83, 84, 89, 90	syl3anc 1268	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( z e/ A /\ ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) ) /\ ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) ) -> sum_ k e. ( A u. { z } ) ( B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) + [_ z / k ]_ ( B mod N ) ) )
92		vex 3048	. . . . . . . . . . 11 |- z e. _V
93		csbov1g 6327	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. _V -> [_ z / k ]_ ( B mod N ) = ( [_ z / k ]_ B mod N ) )
94	92, 93	mp1i 13	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( z e/ A /\ ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) ) /\ ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) ) -> [_ z / k ]_ ( B mod N ) = ( [_ z / k ]_ B mod N ) )
95	94	oveq2d 6306	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( z e/ A /\ ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) ) /\ ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) ) -> ( sum_ k e. A ( B mod N ) + [_ z / k ]_ ( B mod N ) ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) + ( [_ z / k ]_ B mod N ) ) )
96	91, 95	eqtrd 2485	. . . . . . . 8 |- ( ( ( z e/ A /\ ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) ) /\ ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) ) -> sum_ k e. ( A u. { z } ) ( B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) + ( [_ z / k ]_ B mod N ) ) )
97	96	eqcomd 2457	. . . . . . 7 |- ( ( ( z e/ A /\ ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) ) /\ ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) ) -> ( sum_ k e. A ( B mod N ) + ( [_ z / k ]_ B mod N ) ) = sum_ k e. ( A u. { z } ) ( B mod N ) )
98	97	oveq1d 6305	. . . . . 6 |- ( ( ( z e/ A /\ ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) ) /\ ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) ) -> ( ( sum_ k e. A ( B mod N ) + ( [_ z / k ]_ B mod N ) ) mod N ) = ( sum_ k e. ( A u. { z } ) ( B mod N ) mod N ) )
99	82, 98	eqtrd 2485	. . . . 5 |- ( ( ( z e/ A /\ ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) ) /\ ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) ) -> ( ( ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) + ( ( [_ z / k ]_ B mod N ) mod N ) ) mod N ) = ( sum_ k e. ( A u. { z } ) ( B mod N ) mod N ) )
100	25, 56, 99	3eqtrd 2489	. . . 4 |- ( ( ( z e/ A /\ ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) ) /\ ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) ) -> ( sum_ k e. ( A u. { z } ) B mod N ) = ( sum_ k e. ( A u. { z } ) ( B mod N ) mod N ) )
101	100	exp31 609	. . 3 |- ( z e/ A -> ( ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) -> ( ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) -> ( sum_ k e. ( A u. { z } ) B mod N ) = ( sum_ k e. ( A u. { z } ) ( B mod N ) mod N ) ) ) )
102	16, 101	sylbir 217	. 2 |- ( -. z e. A -> ( ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) -> ( ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) -> ( sum_ k e. ( A u. { z } ) B mod N ) = ( sum_ k e. ( A u. { z } ) ( B mod N ) mod N ) ) ) )
103	15, 102	pm2.61i 168	1 |- ( ( A e. Fin /\ N e. NN /\ A. k e. ( A u. { z } ) B e. ZZ ) -> ( ( sum_ k e. A B mod N ) = ( sum_ k e. A ( B mod N ) mod N ) -> ( sum_ k e. ( A u. { z } ) B mod N ) = ( sum_ k e. ( A u. { z } ) ( B mod N ) mod N ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   /\ w3a 985   = wceq 1444   e. wcel 1887   e/ wnel 2623   A.wral 2737   _Vcvv 3045   [_csb 3363   u. cun 3402   C_ wss 3404   {csn 3968  (class class class)co 6290   Fincfn 7569   RRcr 9538   + caddc 9542   NNcn 10609   NN0cn0 10869   ZZcz 10937   RR+crp 11302   mod cmo 12096   sum_csu 13752

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-sup 7956  df-inf 7957  df-oi 8025  df-card 8373  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-fl 12028  df-mod 12097  df-seq 12214  df-exp 12273  df-hash 12516  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-clim 13552  df-sum 13753

This theorem is referenced by:  modfsummod  13854