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Theorem modfsummods 30382
Description: Induction step for modfsummod 30383. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
modfsummods  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ )  ->  ( ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N )  -> 
( sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) ( B  mod  N
)  mod  N )
) )
Distinct variable groups:    A, k    k, N    z, k
Allowed substitution hints:    A( z)    B( z, k)    N( z)

Proof of Theorem modfsummods
StepHypRef Expression
1 snssi 4115 . . 3  |-  ( z  e.  A  ->  { z }  C_  A )
2 ssequn1 3624 . . . 4  |-  ( { z }  C_  A  <->  ( { z }  u.  A )  =  A )
3 uncom 3598 . . . . . . . 8  |-  ( { z }  u.  A
)  =  ( A  u.  { z } )
43eqeq1i 2458 . . . . . . 7  |-  ( ( { z }  u.  A )  =  A  <-> 
( A  u.  {
z } )  =  A )
5 sumeq1 13268 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  =  ( A  u.  { z } )  ->  sum_ k  e.  A  B  =  sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) B )
65oveq1d 6205 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  ( A  u.  { z } )  -> 
( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) B  mod  N ) )
7 sumeq1 13268 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  =  ( A  u.  { z } )  ->  sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  =  sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) ( B  mod  N ) )
87oveq1d 6205 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  ( A  u.  { z } )  -> 
( sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) ( B  mod  N )  mod 
N ) )
96, 8eqeq12d 2473 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  ( A  u.  { z } )  -> 
( ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod 
N )  <->  ( sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  ( A  u.  {
z } ) ( B  mod  N )  mod  N ) ) )
109eqcoms 2463 . . . . . . 7  |-  ( ( A  u.  { z } )  =  A  ->  ( ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N )  <->  ( sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  ( A  u.  {
z } ) ( B  mod  N )  mod  N ) ) )
114, 10sylbi 195 . . . . . 6  |-  ( ( { z }  u.  A )  =  A  ->  ( ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N )  <->  ( sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  ( A  u.  {
z } ) ( B  mod  N )  mod  N ) ) )
1211biimpd 207 . . . . 5  |-  ( ( { z }  u.  A )  =  A  ->  ( ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N )  -> 
( sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) ( B  mod  N
)  mod  N )
) )
1312a1d 25 . . . 4  |-  ( ( { z }  u.  A )  =  A  ->  ( ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  {
z } ) B  e.  ZZ )  -> 
( ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod 
N )  ->  ( sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) B  mod  N
)  =  ( sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) ( B  mod  N
)  mod  N )
) ) )
142, 13sylbi 195 . . 3  |-  ( { z }  C_  A  ->  ( ( A  e. 
Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  {
z } ) B  e.  ZZ )  -> 
( ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod 
N )  ->  ( sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) B  mod  N
)  =  ( sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) ( B  mod  N
)  mod  N )
) ) )
151, 14syl 16 . 2  |-  ( z  e.  A  ->  (
( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ )  ->  ( ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N )  -> 
( sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) ( B  mod  N
)  mod  N )
) ) )
16 df-nel 2647 . . 3  |-  ( z  e/  A  <->  -.  z  e.  A )
17 simp1 988 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ )  ->  A  e.  Fin )
1817adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  ->  A  e.  Fin )
19 simpl 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  ->  z  e/  A )
20 simpr3 996 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  ->  A. k  e.  ( A  u.  {
z } ) B  e.  ZZ )
2118, 19, 203jca 1168 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  ->  ( A  e.  Fin  /\  z  e/  A  /\  A. k  e.  ( A  u.  {
z } ) B  e.  ZZ ) )
2221adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  /\  ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N ) )  ->  ( A  e. 
Fin  /\  z  e/  A  /\  A. k  e.  ( A  u.  {
z } ) B  e.  ZZ ) )
23 fsumsplitsnun 30380 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  z  e/  A  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ )  ->  sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) B  =  ( sum_ k  e.  A  B  +  [_ z  / 
k ]_ B ) )
2422, 23syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  /\  ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N ) )  ->  sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) B  =  ( sum_ k  e.  A  B  +  [_ z  / 
k ]_ B ) )
2524oveq1d 6205 . . . . 5  |-  ( ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  /\  ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N ) )  ->  ( sum_ k  e.  ( A  u.  {
z } ) B  mod  N )  =  ( ( sum_ k  e.  A  B  +  [_ z  /  k ]_ B )  mod  N
) )
26 ralunb 3635 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ  <->  ( A. k  e.  A  B  e.  ZZ  /\  A. k  e.  { z } B  e.  ZZ ) )
27 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A. k  e.  A  B  e.  ZZ  /\  A. k  e.  { z } B  e.  ZZ )  ->  A. k  e.  A  B  e.  ZZ )
2826, 27sylbi 195 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ  ->  A. k  e.  A  B  e.  ZZ )
29 fsumz 30374 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. k  e.  A  B  e.  ZZ )  ->  sum_ k  e.  A  B  e.  ZZ )
3028, 29sylan2 474 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ )  ->  sum_ k  e.  A  B  e.  ZZ )
31303adant2 1007 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ )  ->  sum_ k  e.  A  B  e.  ZZ )
3231adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  ->  sum_ k  e.  A  B  e.  ZZ )
3332zred 10848 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  ->  sum_ k  e.  A  B  e.  RR )
34 modfsummodslem1 30378 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ  ->  [_ z  /  k ]_ B  e.  ZZ )
35343ad2ant3 1011 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ )  ->  [_ z  /  k ]_ B  e.  ZZ )
3635adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  ->  [_ z  /  k ]_ B  e.  ZZ )
3736zred 10848 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  ->  [_ z  /  k ]_ B  e.  RR )
38 nnrp 11101 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR+ )
39383ad2ant2 1010 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ )  ->  N  e.  RR+ )
4039adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  ->  N  e.  RR+ )
41 modaddabs 11847 . . . . . . . . 9  |-  ( (
sum_ k  e.  A  B  e.  RR  /\  [_ z  /  k ]_ B  e.  RR  /\  N  e.  RR+ )  ->  ( ( ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  +  ( [_ z  / 
k ]_ B  mod  N
) )  mod  N
)  =  ( (
sum_ k  e.  A  B  +  [_ z  / 
k ]_ B )  mod 
N ) )
4233, 37, 40, 41syl3anc 1219 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  ->  (
( ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  +  ( [_ z  /  k ]_ B  mod  N ) )  mod 
N )  =  ( ( sum_ k  e.  A  B  +  [_ z  / 
k ]_ B )  mod 
N ) )
4342eqcomd 2459 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  ->  (
( sum_ k  e.  A  B  +  [_ z  / 
k ]_ B )  mod 
N )  =  ( ( ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  +  ( [_ z  /  k ]_ B  mod  N ) )  mod 
N ) )
4443adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  /\  ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N ) )  ->  ( ( sum_ k  e.  A  B  +  [_ z  /  k ]_ B )  mod  N
)  =  ( ( ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  +  ( [_ z  / 
k ]_ B  mod  N
) )  mod  N
) )
45 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  /\  ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N ) )  ->  ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod 
N ) )
4634zred 10848 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ  ->  [_ z  /  k ]_ B  e.  RR )
47463ad2ant3 1011 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ )  ->  [_ z  /  k ]_ B  e.  RR )
4847adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  ->  [_ z  /  k ]_ B  e.  RR )
4948, 40jca 532 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  ->  ( [_ z  /  k ]_ B  e.  RR  /\  N  e.  RR+ )
)
5049adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  /\  ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N ) )  ->  ( [_ z  /  k ]_ B  e.  RR  /\  N  e.  RR+ ) )
51 modabs2 11843 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
[_ z  /  k ]_ B  e.  RR  /\  N  e.  RR+ )  ->  ( ( [_ z  /  k ]_ B  mod  N )  mod  N
)  =  ( [_ z  /  k ]_ B  mod  N ) )
5251eqcomd 2459 . . . . . . . . 9  |-  ( (
[_ z  /  k ]_ B  e.  RR  /\  N  e.  RR+ )  ->  ( [_ z  / 
k ]_ B  mod  N
)  =  ( (
[_ z  /  k ]_ B  mod  N )  mod  N ) )
5350, 52syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  /\  ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N ) )  ->  ( [_ z  /  k ]_ B  mod  N )  =  ( ( [_ z  / 
k ]_ B  mod  N
)  mod  N )
)
5445, 53oveq12d 6208 . . . . . . 7  |-  ( ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  /\  ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N ) )  ->  ( ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  +  (
[_ z  /  k ]_ B  mod  N ) )  =  ( (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N )  +  ( ( [_ z  /  k ]_ B  mod  N )  mod  N
) ) )
5554oveq1d 6205 . . . . . 6  |-  ( ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  /\  ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N ) )  ->  ( ( (
sum_ k  e.  A  B  mod  N )  +  ( [_ z  / 
k ]_ B  mod  N
) )  mod  N
)  =  ( ( ( sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N )  +  ( ( [_ z  /  k ]_ B  mod  N )  mod  N
) )  mod  N
) )
5644, 55eqtrd 2492 . . . . 5  |-  ( ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  /\  ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N ) )  ->  ( ( sum_ k  e.  A  B  +  [_ z  /  k ]_ B )  mod  N
)  =  ( ( ( sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N )  +  ( ( [_ z  /  k ]_ B  mod  N )  mod  N
) )  mod  N
) )
57 zmodcl 11828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( B  mod  N
)  e.  NN0 )
5857nn0zd 10846 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( B  mod  N
)  e.  ZZ )
5958expcom 435 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  e.  NN  ->  ( B  e.  ZZ  ->  ( B  mod  N )  e.  ZZ ) )
6059ralimdv 2826 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  NN  ->  ( A. k  e.  A  B  e.  ZZ  ->  A. k  e.  A  ( B  mod  N )  e.  ZZ ) )
6160com12 31 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. k  e.  A  B  e.  ZZ  ->  ( N  e.  NN  ->  A. k  e.  A  ( B  mod  N )  e.  ZZ ) )
6261adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A. k  e.  A  B  e.  ZZ  /\  A. k  e.  { z } B  e.  ZZ )  ->  ( N  e.  NN  ->  A. k  e.  A  ( B  mod  N )  e.  ZZ ) )
6326, 62sylbi 195 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ  ->  ( N  e.  NN  ->  A. k  e.  A  ( B  mod  N )  e.  ZZ ) )
6463impcom 430 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ )  ->  A. k  e.  A  ( B  mod  N )  e.  ZZ )
65643adant1 1006 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ )  ->  A. k  e.  A  ( B  mod  N )  e.  ZZ )
6617, 65jca 532 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ )  ->  ( A  e. 
Fin  /\  A. k  e.  A  ( B  mod  N )  e.  ZZ ) )
67 fsumz 30374 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. k  e.  A  ( B  mod  N )  e.  ZZ )  ->  sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  e.  ZZ )
6867zred 10848 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. k  e.  A  ( B  mod  N )  e.  ZZ )  ->  sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  e.  RR )
6966, 68syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ )  ->  sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  e.  RR )
7069adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  ->  sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  e.  RR )
7170adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  /\  ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N ) )  ->  sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  e.  RR )
7234anim1i 568 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( [_ z  /  k ]_ B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN ) )
7372ancoms 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ )  ->  ( [_ z  /  k ]_ B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN ) )
74 zmodcl 11828 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
[_ z  /  k ]_ B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( [_ z  /  k ]_ B  mod  N )  e.  NN0 )
7573, 74syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ )  ->  ( [_ z  /  k ]_ B  mod  N )  e.  NN0 )
7675nn0red 10738 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ )  ->  ( [_ z  /  k ]_ B  mod  N )  e.  RR )
77763adant1 1006 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ )  ->  ( [_ z  /  k ]_ B  mod  N )  e.  RR )
7877adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  ->  ( [_ z  /  k ]_ B  mod  N )  e.  RR )
7978adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  /\  ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N ) )  ->  ( [_ z  /  k ]_ B  mod  N )  e.  RR )
8040adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  /\  ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N ) )  ->  N  e.  RR+ )
81 modaddabs 11847 . . . . . . 7  |-  ( (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  e.  RR  /\  ( [_ z  /  k ]_ B  mod  N )  e.  RR  /\  N  e.  RR+ )  ->  (
( ( sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N
)  +  ( (
[_ z  /  k ]_ B  mod  N )  mod  N ) )  mod  N )  =  ( ( sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  +  (
[_ z  /  k ]_ B  mod  N ) )  mod  N ) )
8271, 79, 80, 81syl3anc 1219 . . . . . 6  |-  ( ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  /\  ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N ) )  ->  ( ( (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N )  +  ( ( [_ z  /  k ]_ B  mod  N )  mod  N
) )  mod  N
)  =  ( (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  +  ( [_ z  /  k ]_ B  mod  N ) )  mod 
N ) )
8318adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  /\  ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N ) )  ->  A  e.  Fin )
8419adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  /\  ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N ) )  ->  z  e/  A
)
8559ralimdv 2826 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  ( A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ  ->  A. k  e.  ( A  u.  {
z } ) ( B  mod  N )  e.  ZZ ) )
8685imp 429 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ )  ->  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) ( B  mod  N )  e.  ZZ )
87863adant1 1006 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ )  ->  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) ( B  mod  N )  e.  ZZ )
8887adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  ->  A. k  e.  ( A  u.  {
z } ) ( B  mod  N )  e.  ZZ )
8988adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  /\  ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N ) )  ->  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) ( B  mod  N )  e.  ZZ )
90 fsumsplitsnun 30380 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  z  e/  A  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) ( B  mod  N
)  e.  ZZ )  ->  sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) ( B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  +  [_ z  / 
k ]_ ( B  mod  N ) ) )
9183, 84, 89, 90syl3anc 1219 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  /\  ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N ) )  ->  sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) ( B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  +  [_ z  / 
k ]_ ( B  mod  N ) ) )
92 vex 3071 . . . . . . . . . . 11  |-  z  e. 
_V
93 csbov1g 6225 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  _V  ->  [_ z  /  k ]_ ( B  mod  N )  =  ( [_ z  / 
k ]_ B  mod  N
) )
9492, 93mp1i 12 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  /\  ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N ) )  ->  [_ z  /  k ]_ ( B  mod  N
)  =  ( [_ z  /  k ]_ B  mod  N ) )
9594oveq2d 6206 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  /\  ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N ) )  ->  ( sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  +  [_ z  /  k ]_ ( B  mod  N ) )  =  ( sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  +  (
[_ z  /  k ]_ B  mod  N ) ) )
9691, 95eqtrd 2492 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  /\  ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N ) )  ->  sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) ( B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  +  ( [_ z  /  k ]_ B  mod  N ) ) )
9796eqcomd 2459 . . . . . . 7  |-  ( ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  /\  ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N ) )  ->  ( sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  +  (
[_ z  /  k ]_ B  mod  N ) )  =  sum_ k  e.  ( A  u.  {
z } ) ( B  mod  N ) )
9897oveq1d 6205 . . . . . 6  |-  ( ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  /\  ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N ) )  ->  ( ( sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  +  ( [_ z  / 
k ]_ B  mod  N
) )  mod  N
)  =  ( sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) ( B  mod  N
)  mod  N )
)
9982, 98eqtrd 2492 . . . . 5  |-  ( ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  /\  ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N ) )  ->  ( ( (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N )  +  ( ( [_ z  /  k ]_ B  mod  N )  mod  N
) )  mod  N
)  =  ( sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) ( B  mod  N
)  mod  N )
)
10025, 56, 993eqtrd 2496 . . . 4  |-  ( ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  /\  ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N ) )  ->  ( sum_ k  e.  ( A  u.  {
z } ) B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) ( B  mod  N )  mod 
N ) )
101100exp31 604 . . 3  |-  ( z  e/  A  ->  (
( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ )  ->  ( ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N )  -> 
( sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) ( B  mod  N
)  mod  N )
) ) )
10216, 101sylbir 213 . 2  |-  ( -.  z  e.  A  -> 
( ( A  e. 
Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  {
z } ) B  e.  ZZ )  -> 
( ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod 
N )  ->  ( sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) B  mod  N
)  =  ( sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) ( B  mod  N
)  mod  N )
) ) )
10315, 102pm2.61i 164 1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ )  ->  ( ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N )  -> 
( sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) ( B  mod  N
)  mod  N )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758    e/ wnel 2645   A.wral 2795   _Vcvv 3068   [_csb 3386    u. cun 3424    C_ wss 3426   {csn 3975  (class class class)co 6190   Fincfn 7410   RRcr 9382    + caddc 9386   NNcn 10423   NN0cn0 10680   ZZcz 10747   RR+crp 11092    mod cmo 11809   sum_csu 13265
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4501  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629  ax-un 6472  ax-inf2 7948  ax-cnex 9439  ax-resscn 9440  ax-1cn 9441  ax-icn 9442  ax-addcl 9443  ax-addrcl 9444  ax-mulcl 9445  ax-mulrcl 9446  ax-mulcom 9447  ax-addass 9448  ax-mulass 9449  ax-distr 9450  ax-i2m1 9451  ax-1ne0 9452  ax-1rid 9453  ax-rnegex 9454  ax-rrecex 9455  ax-cnre 9456  ax-pre-lttri 9457  ax-pre-lttrn 9458  ax-pre-ltadd 9459  ax-pre-mulgt0 9460  ax-pre-sup 9461
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-pss 3442  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-tp 3980  df-op 3982  df-uni 4190  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-tr 4484  df-eprel 4730  df-id 4734  df-po 4739  df-so 4740  df-fr 4777  df-se 4778  df-we 4779  df-ord 4820  df-on 4821  df-lim 4822  df-suc 4823  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-f1 5521  df-fo 5522  df-f1o 5523  df-fv 5524  df-isom 5525  df-riota 6151  df-ov 6193  df-oprab 6194  df-mpt2 6195  df-om 6577  df-1st 6677  df-2nd 6678  df-recs 6932  df-rdg 6966  df-1o 7020  df-oadd 7024  df-er 7201  df-en 7411  df-dom 7412  df-sdom 7413  df-fin 7414  df-sup 7792  df-oi 7825  df-card 8210  df-pnf 9521  df-mnf 9522  df-xr 9523  df-ltxr 9524  df-le 9525  df-sub 9698  df-neg 9699  df-div 10095  df-nn 10424  df-2 10481  df-3 10482  df-n0 10681  df-z 10748  df-uz 10963  df-rp 11093  df-fz 11539  df-fzo 11650  df-fl 11743  df-mod 11810  df-seq 11908  df-exp 11967  df-hash 12205  df-cj 12690  df-re 12691  df-im 12692  df-sqr 12826  df-abs 12827  df-clim 13068  df-sum 13266
This theorem is referenced by:  modfsummod  30383
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