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Theorem modfsummods 13853
Description: Induction step for modfsummod 13854. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
modfsummods  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ )  ->  ( ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N )  -> 
( sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) ( B  mod  N
)  mod  N )
) )
Distinct variable groups:    A, k    k, N    z, k
Allowed substitution hints:    A( z)    B( z, k)    N( z)

Proof of Theorem modfsummods
StepHypRef Expression
1 snssi 4116 . . 3  |-  ( z  e.  A  ->  { z }  C_  A )
2 ssequn1 3604 . . . 4  |-  ( { z }  C_  A  <->  ( { z }  u.  A )  =  A )
3 uncom 3578 . . . . . . . 8  |-  ( { z }  u.  A
)  =  ( A  u.  { z } )
43eqeq1i 2456 . . . . . . 7  |-  ( ( { z }  u.  A )  =  A  <-> 
( A  u.  {
z } )  =  A )
5 sumeq1 13755 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  =  ( A  u.  { z } )  ->  sum_ k  e.  A  B  =  sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) B )
65oveq1d 6305 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  ( A  u.  { z } )  -> 
( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) B  mod  N ) )
7 sumeq1 13755 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  =  ( A  u.  { z } )  ->  sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  =  sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) ( B  mod  N ) )
87oveq1d 6305 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  ( A  u.  { z } )  -> 
( sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) ( B  mod  N )  mod 
N ) )
96, 8eqeq12d 2466 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  ( A  u.  { z } )  -> 
( ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod 
N )  <->  ( sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  ( A  u.  {
z } ) ( B  mod  N )  mod  N ) ) )
109eqcoms 2459 . . . . . . 7  |-  ( ( A  u.  { z } )  =  A  ->  ( ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N )  <->  ( sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  ( A  u.  {
z } ) ( B  mod  N )  mod  N ) ) )
114, 10sylbi 199 . . . . . 6  |-  ( ( { z }  u.  A )  =  A  ->  ( ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N )  <->  ( sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  ( A  u.  {
z } ) ( B  mod  N )  mod  N ) ) )
1211biimpd 211 . . . . 5  |-  ( ( { z }  u.  A )  =  A  ->  ( ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N )  -> 
( sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) ( B  mod  N
)  mod  N )
) )
1312a1d 26 . . . 4  |-  ( ( { z }  u.  A )  =  A  ->  ( ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  {
z } ) B  e.  ZZ )  -> 
( ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod 
N )  ->  ( sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) B  mod  N
)  =  ( sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) ( B  mod  N
)  mod  N )
) ) )
142, 13sylbi 199 . . 3  |-  ( { z }  C_  A  ->  ( ( A  e. 
Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  {
z } ) B  e.  ZZ )  -> 
( ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod 
N )  ->  ( sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) B  mod  N
)  =  ( sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) ( B  mod  N
)  mod  N )
) ) )
151, 14syl 17 . 2  |-  ( z  e.  A  ->  (
( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ )  ->  ( ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N )  -> 
( sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) ( B  mod  N
)  mod  N )
) ) )
16 df-nel 2625 . . 3  |-  ( z  e/  A  <->  -.  z  e.  A )
17 simp1 1008 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ )  ->  A  e.  Fin )
1817adantl 468 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  ->  A  e.  Fin )
19 simpl 459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  ->  z  e/  A )
20 simpr3 1016 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  ->  A. k  e.  ( A  u.  {
z } ) B  e.  ZZ )
2118, 19, 203jca 1188 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  ->  ( A  e.  Fin  /\  z  e/  A  /\  A. k  e.  ( A  u.  {
z } ) B  e.  ZZ ) )
2221adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  /\  ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N ) )  ->  ( A  e. 
Fin  /\  z  e/  A  /\  A. k  e.  ( A  u.  {
z } ) B  e.  ZZ ) )
23 fsumsplitsnun 13816 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  z  e/  A  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ )  ->  sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) B  =  ( sum_ k  e.  A  B  +  [_ z  / 
k ]_ B ) )
2422, 23syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  /\  ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N ) )  ->  sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) B  =  ( sum_ k  e.  A  B  +  [_ z  / 
k ]_ B ) )
2524oveq1d 6305 . . . . 5  |-  ( ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  /\  ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N ) )  ->  ( sum_ k  e.  ( A  u.  {
z } ) B  mod  N )  =  ( ( sum_ k  e.  A  B  +  [_ z  /  k ]_ B )  mod  N
) )
26 ralunb 3615 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ  <->  ( A. k  e.  A  B  e.  ZZ  /\  A. k  e.  { z } B  e.  ZZ ) )
27 simpl 459 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A. k  e.  A  B  e.  ZZ  /\  A. k  e.  { z } B  e.  ZZ )  ->  A. k  e.  A  B  e.  ZZ )
2826, 27sylbi 199 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ  ->  A. k  e.  A  B  e.  ZZ )
29 fsumzcl2 13804 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. k  e.  A  B  e.  ZZ )  ->  sum_ k  e.  A  B  e.  ZZ )
3028, 29sylan2 477 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ )  ->  sum_ k  e.  A  B  e.  ZZ )
31303adant2 1027 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ )  ->  sum_ k  e.  A  B  e.  ZZ )
3231adantl 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  ->  sum_ k  e.  A  B  e.  ZZ )
3332zred 11040 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  ->  sum_ k  e.  A  B  e.  RR )
34 modfsummodslem1 13852 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ  ->  [_ z  /  k ]_ B  e.  ZZ )
35343ad2ant3 1031 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ )  ->  [_ z  /  k ]_ B  e.  ZZ )
3635adantl 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  ->  [_ z  /  k ]_ B  e.  ZZ )
3736zred 11040 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  ->  [_ z  /  k ]_ B  e.  RR )
38 nnrp 11311 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR+ )
39383ad2ant2 1030 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ )  ->  N  e.  RR+ )
4039adantl 468 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  ->  N  e.  RR+ )
41 modaddabs 12135 . . . . . . . . 9  |-  ( (
sum_ k  e.  A  B  e.  RR  /\  [_ z  /  k ]_ B  e.  RR  /\  N  e.  RR+ )  ->  ( ( ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  +  ( [_ z  / 
k ]_ B  mod  N
) )  mod  N
)  =  ( (
sum_ k  e.  A  B  +  [_ z  / 
k ]_ B )  mod 
N ) )
4233, 37, 40, 41syl3anc 1268 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  ->  (
( ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  +  ( [_ z  /  k ]_ B  mod  N ) )  mod 
N )  =  ( ( sum_ k  e.  A  B  +  [_ z  / 
k ]_ B )  mod 
N ) )
4342eqcomd 2457 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  ->  (
( sum_ k  e.  A  B  +  [_ z  / 
k ]_ B )  mod 
N )  =  ( ( ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  +  ( [_ z  /  k ]_ B  mod  N ) )  mod 
N ) )
4443adantr 467 . . . . . 6  |-  ( ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  /\  ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N ) )  ->  ( ( sum_ k  e.  A  B  +  [_ z  /  k ]_ B )  mod  N
)  =  ( ( ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  +  ( [_ z  / 
k ]_ B  mod  N
) )  mod  N
) )
45 simpr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  /\  ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N ) )  ->  ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod 
N ) )
4634zred 11040 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ  ->  [_ z  /  k ]_ B  e.  RR )
47463ad2ant3 1031 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ )  ->  [_ z  /  k ]_ B  e.  RR )
4847adantl 468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  ->  [_ z  /  k ]_ B  e.  RR )
4948, 40jca 535 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  ->  ( [_ z  /  k ]_ B  e.  RR  /\  N  e.  RR+ )
)
5049adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  /\  ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N ) )  ->  ( [_ z  /  k ]_ B  e.  RR  /\  N  e.  RR+ ) )
51 modabs2 12131 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
[_ z  /  k ]_ B  e.  RR  /\  N  e.  RR+ )  ->  ( ( [_ z  /  k ]_ B  mod  N )  mod  N
)  =  ( [_ z  /  k ]_ B  mod  N ) )
5251eqcomd 2457 . . . . . . . . 9  |-  ( (
[_ z  /  k ]_ B  e.  RR  /\  N  e.  RR+ )  ->  ( [_ z  / 
k ]_ B  mod  N
)  =  ( (
[_ z  /  k ]_ B  mod  N )  mod  N ) )
5350, 52syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  /\  ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N ) )  ->  ( [_ z  /  k ]_ B  mod  N )  =  ( ( [_ z  / 
k ]_ B  mod  N
)  mod  N )
)
5445, 53oveq12d 6308 . . . . . . 7  |-  ( ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  /\  ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N ) )  ->  ( ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  +  (
[_ z  /  k ]_ B  mod  N ) )  =  ( (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N )  +  ( ( [_ z  /  k ]_ B  mod  N )  mod  N
) ) )
5554oveq1d 6305 . . . . . 6  |-  ( ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  /\  ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N ) )  ->  ( ( (
sum_ k  e.  A  B  mod  N )  +  ( [_ z  / 
k ]_ B  mod  N
) )  mod  N
)  =  ( ( ( sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N )  +  ( ( [_ z  /  k ]_ B  mod  N )  mod  N
) )  mod  N
) )
5644, 55eqtrd 2485 . . . . 5  |-  ( ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  /\  ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N ) )  ->  ( ( sum_ k  e.  A  B  +  [_ z  /  k ]_ B )  mod  N
)  =  ( ( ( sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N )  +  ( ( [_ z  /  k ]_ B  mod  N )  mod  N
) )  mod  N
) )
57 zmodcl 12116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( B  mod  N
)  e.  NN0 )
5857nn0zd 11038 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( B  mod  N
)  e.  ZZ )
5958expcom 437 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  e.  NN  ->  ( B  e.  ZZ  ->  ( B  mod  N )  e.  ZZ ) )
6059ralimdv 2798 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  NN  ->  ( A. k  e.  A  B  e.  ZZ  ->  A. k  e.  A  ( B  mod  N )  e.  ZZ ) )
6160com12 32 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. k  e.  A  B  e.  ZZ  ->  ( N  e.  NN  ->  A. k  e.  A  ( B  mod  N )  e.  ZZ ) )
6261adantr 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A. k  e.  A  B  e.  ZZ  /\  A. k  e.  { z } B  e.  ZZ )  ->  ( N  e.  NN  ->  A. k  e.  A  ( B  mod  N )  e.  ZZ ) )
6326, 62sylbi 199 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ  ->  ( N  e.  NN  ->  A. k  e.  A  ( B  mod  N )  e.  ZZ ) )
6463impcom 432 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ )  ->  A. k  e.  A  ( B  mod  N )  e.  ZZ )
65643adant1 1026 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ )  ->  A. k  e.  A  ( B  mod  N )  e.  ZZ )
6617, 65jca 535 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ )  ->  ( A  e. 
Fin  /\  A. k  e.  A  ( B  mod  N )  e.  ZZ ) )
67 fsumzcl2 13804 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. k  e.  A  ( B  mod  N )  e.  ZZ )  ->  sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  e.  ZZ )
6867zred 11040 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. k  e.  A  ( B  mod  N )  e.  ZZ )  ->  sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  e.  RR )
6966, 68syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ )  ->  sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  e.  RR )
7069adantl 468 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  ->  sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  e.  RR )
7170adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  /\  ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N ) )  ->  sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  e.  RR )
7234anim1i 572 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( [_ z  /  k ]_ B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN ) )
7372ancoms 455 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ )  ->  ( [_ z  /  k ]_ B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN ) )
74 zmodcl 12116 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
[_ z  /  k ]_ B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( [_ z  /  k ]_ B  mod  N )  e.  NN0 )
7573, 74syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ )  ->  ( [_ z  /  k ]_ B  mod  N )  e.  NN0 )
7675nn0red 10926 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ )  ->  ( [_ z  /  k ]_ B  mod  N )  e.  RR )
77763adant1 1026 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ )  ->  ( [_ z  /  k ]_ B  mod  N )  e.  RR )
7877adantl 468 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  ->  ( [_ z  /  k ]_ B  mod  N )  e.  RR )
7978adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  /\  ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N ) )  ->  ( [_ z  /  k ]_ B  mod  N )  e.  RR )
8040adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  /\  ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N ) )  ->  N  e.  RR+ )
81 modaddabs 12135 . . . . . . 7  |-  ( (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  e.  RR  /\  ( [_ z  /  k ]_ B  mod  N )  e.  RR  /\  N  e.  RR+ )  ->  (
( ( sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N
)  +  ( (
[_ z  /  k ]_ B  mod  N )  mod  N ) )  mod  N )  =  ( ( sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  +  (
[_ z  /  k ]_ B  mod  N ) )  mod  N ) )
8271, 79, 80, 81syl3anc 1268 . . . . . 6  |-  ( ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  /\  ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N ) )  ->  ( ( (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N )  +  ( ( [_ z  /  k ]_ B  mod  N )  mod  N
) )  mod  N
)  =  ( (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  +  ( [_ z  /  k ]_ B  mod  N ) )  mod 
N ) )
8318adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  /\  ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N ) )  ->  A  e.  Fin )
8419adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  /\  ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N ) )  ->  z  e/  A
)
8559ralimdv 2798 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  ( A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ  ->  A. k  e.  ( A  u.  {
z } ) ( B  mod  N )  e.  ZZ ) )
8685imp 431 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ )  ->  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) ( B  mod  N )  e.  ZZ )
87863adant1 1026 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ )  ->  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) ( B  mod  N )  e.  ZZ )
8887adantl 468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  ->  A. k  e.  ( A  u.  {
z } ) ( B  mod  N )  e.  ZZ )
8988adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  /\  ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N ) )  ->  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) ( B  mod  N )  e.  ZZ )
90 fsumsplitsnun 13816 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  z  e/  A  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) ( B  mod  N
)  e.  ZZ )  ->  sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) ( B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  +  [_ z  / 
k ]_ ( B  mod  N ) ) )
9183, 84, 89, 90syl3anc 1268 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  /\  ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N ) )  ->  sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) ( B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  +  [_ z  / 
k ]_ ( B  mod  N ) ) )
92 vex 3048 . . . . . . . . . . 11  |-  z  e. 
_V
93 csbov1g 6327 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  _V  ->  [_ z  /  k ]_ ( B  mod  N )  =  ( [_ z  / 
k ]_ B  mod  N
) )
9492, 93mp1i 13 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  /\  ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N ) )  ->  [_ z  /  k ]_ ( B  mod  N
)  =  ( [_ z  /  k ]_ B  mod  N ) )
9594oveq2d 6306 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  /\  ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N ) )  ->  ( sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  +  [_ z  /  k ]_ ( B  mod  N ) )  =  ( sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  +  (
[_ z  /  k ]_ B  mod  N ) ) )
9691, 95eqtrd 2485 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  /\  ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N ) )  ->  sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) ( B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  +  ( [_ z  /  k ]_ B  mod  N ) ) )
9796eqcomd 2457 . . . . . . 7  |-  ( ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  /\  ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N ) )  ->  ( sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  +  (
[_ z  /  k ]_ B  mod  N ) )  =  sum_ k  e.  ( A  u.  {
z } ) ( B  mod  N ) )
9897oveq1d 6305 . . . . . 6  |-  ( ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  /\  ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N ) )  ->  ( ( sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  +  ( [_ z  / 
k ]_ B  mod  N
) )  mod  N
)  =  ( sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) ( B  mod  N
)  mod  N )
)
9982, 98eqtrd 2485 . . . . 5  |-  ( ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  /\  ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N ) )  ->  ( ( (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N )  +  ( ( [_ z  /  k ]_ B  mod  N )  mod  N
) )  mod  N
)  =  ( sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) ( B  mod  N
)  mod  N )
)
10025, 56, 993eqtrd 2489 . . . 4  |-  ( ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  /\  ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N ) )  ->  ( sum_ k  e.  ( A  u.  {
z } ) B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) ( B  mod  N )  mod 
N ) )
101100exp31 609 . . 3  |-  ( z  e/  A  ->  (
( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ )  ->  ( ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N )  -> 
( sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) ( B  mod  N
)  mod  N )
) ) )
10216, 101sylbir 217 . 2  |-  ( -.  z  e.  A  -> 
( ( A  e. 
Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  {
z } ) B  e.  ZZ )  -> 
( ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod 
N )  ->  ( sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) B  mod  N
)  =  ( sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) ( B  mod  N
)  mod  N )
) ) )
10315, 102pm2.61i 168 1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ )  ->  ( ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N )  -> 
( sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) ( B  mod  N
)  mod  N )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 985    = wceq 1444    e. wcel 1887    e/ wnel 2623   A.wral 2737   _Vcvv 3045   [_csb 3363    u. cun 3402    C_ wss 3404   {csn 3968  (class class class)co 6290   Fincfn 7569   RRcr 9538    + caddc 9542   NNcn 10609   NN0cn0 10869   ZZcz 10937   RR+crp 11302    mod cmo 12096   sum_csu 13752
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-sup 7956  df-inf 7957  df-oi 8025  df-card 8373  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-fl 12028  df-mod 12097  df-seq 12214  df-exp 12273  df-hash 12516  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-clim 13552  df-sum 13753
This theorem is referenced by:  modfsummod  13854
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