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Theorem modfsummods 13558
Description: Induction step for modfsummod 13559. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
modfsummods  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ )  ->  ( ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N )  -> 
( sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) ( B  mod  N
)  mod  N )
) )
Distinct variable groups:    A, k    k, N    z, k
Allowed substitution hints:    A( z)    B( z, k)    N( z)

Proof of Theorem modfsummods
StepHypRef Expression
1 snssi 4166 . . 3  |-  ( z  e.  A  ->  { z }  C_  A )
2 ssequn1 3669 . . . 4  |-  ( { z }  C_  A  <->  ( { z }  u.  A )  =  A )
3 uncom 3643 . . . . . . . 8  |-  ( { z }  u.  A
)  =  ( A  u.  { z } )
43eqeq1i 2469 . . . . . . 7  |-  ( ( { z }  u.  A )  =  A  <-> 
( A  u.  {
z } )  =  A )
5 sumeq1 13462 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  =  ( A  u.  { z } )  ->  sum_ k  e.  A  B  =  sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) B )
65oveq1d 6292 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  ( A  u.  { z } )  -> 
( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) B  mod  N ) )
7 sumeq1 13462 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  =  ( A  u.  { z } )  ->  sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  =  sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) ( B  mod  N ) )
87oveq1d 6292 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  ( A  u.  { z } )  -> 
( sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) ( B  mod  N )  mod 
N ) )
96, 8eqeq12d 2484 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  ( A  u.  { z } )  -> 
( ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod 
N )  <->  ( sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  ( A  u.  {
z } ) ( B  mod  N )  mod  N ) ) )
109eqcoms 2474 . . . . . . 7  |-  ( ( A  u.  { z } )  =  A  ->  ( ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N )  <->  ( sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  ( A  u.  {
z } ) ( B  mod  N )  mod  N ) ) )
114, 10sylbi 195 . . . . . 6  |-  ( ( { z }  u.  A )  =  A  ->  ( ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N )  <->  ( sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  ( A  u.  {
z } ) ( B  mod  N )  mod  N ) ) )
1211biimpd 207 . . . . 5  |-  ( ( { z }  u.  A )  =  A  ->  ( ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N )  -> 
( sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) ( B  mod  N
)  mod  N )
) )
1312a1d 25 . . . 4  |-  ( ( { z }  u.  A )  =  A  ->  ( ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  {
z } ) B  e.  ZZ )  -> 
( ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod 
N )  ->  ( sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) B  mod  N
)  =  ( sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) ( B  mod  N
)  mod  N )
) ) )
142, 13sylbi 195 . . 3  |-  ( { z }  C_  A  ->  ( ( A  e. 
Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  {
z } ) B  e.  ZZ )  -> 
( ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod 
N )  ->  ( sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) B  mod  N
)  =  ( sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) ( B  mod  N
)  mod  N )
) ) )
151, 14syl 16 . 2  |-  ( z  e.  A  ->  (
( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ )  ->  ( ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N )  -> 
( sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) ( B  mod  N
)  mod  N )
) ) )
16 df-nel 2660 . . 3  |-  ( z  e/  A  <->  -.  z  e.  A )
17 simp1 991 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ )  ->  A  e.  Fin )
1817adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  ->  A  e.  Fin )
19 simpl 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  ->  z  e/  A )
20 simpr3 999 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  ->  A. k  e.  ( A  u.  {
z } ) B  e.  ZZ )
2118, 19, 203jca 1171 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  ->  ( A  e.  Fin  /\  z  e/  A  /\  A. k  e.  ( A  u.  {
z } ) B  e.  ZZ ) )
2221adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  /\  ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N ) )  ->  ( A  e. 
Fin  /\  z  e/  A  /\  A. k  e.  ( A  u.  {
z } ) B  e.  ZZ ) )
23 fsumsplitsnun 13521 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  z  e/  A  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ )  ->  sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) B  =  ( sum_ k  e.  A  B  +  [_ z  / 
k ]_ B ) )
2422, 23syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  /\  ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N ) )  ->  sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) B  =  ( sum_ k  e.  A  B  +  [_ z  / 
k ]_ B ) )
2524oveq1d 6292 . . . . 5  |-  ( ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  /\  ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N ) )  ->  ( sum_ k  e.  ( A  u.  {
z } ) B  mod  N )  =  ( ( sum_ k  e.  A  B  +  [_ z  /  k ]_ B )  mod  N
) )
26 ralunb 3680 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ  <->  ( A. k  e.  A  B  e.  ZZ  /\  A. k  e.  { z } B  e.  ZZ ) )
27 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A. k  e.  A  B  e.  ZZ  /\  A. k  e.  { z } B  e.  ZZ )  ->  A. k  e.  A  B  e.  ZZ )
2826, 27sylbi 195 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ  ->  A. k  e.  A  B  e.  ZZ )
29 fsumzcl2 13511 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. k  e.  A  B  e.  ZZ )  ->  sum_ k  e.  A  B  e.  ZZ )
3028, 29sylan2 474 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ )  ->  sum_ k  e.  A  B  e.  ZZ )
31303adant2 1010 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ )  ->  sum_ k  e.  A  B  e.  ZZ )
3231adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  ->  sum_ k  e.  A  B  e.  ZZ )
3332zred 10957 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  ->  sum_ k  e.  A  B  e.  RR )
34 modfsummodslem1 13557 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ  ->  [_ z  /  k ]_ B  e.  ZZ )
35343ad2ant3 1014 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ )  ->  [_ z  /  k ]_ B  e.  ZZ )
3635adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  ->  [_ z  /  k ]_ B  e.  ZZ )
3736zred 10957 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  ->  [_ z  /  k ]_ B  e.  RR )
38 nnrp 11220 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR+ )
39383ad2ant2 1013 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ )  ->  N  e.  RR+ )
4039adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  ->  N  e.  RR+ )
41 modaddabs 11992 . . . . . . . . 9  |-  ( (
sum_ k  e.  A  B  e.  RR  /\  [_ z  /  k ]_ B  e.  RR  /\  N  e.  RR+ )  ->  ( ( ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  +  ( [_ z  / 
k ]_ B  mod  N
) )  mod  N
)  =  ( (
sum_ k  e.  A  B  +  [_ z  / 
k ]_ B )  mod 
N ) )
4233, 37, 40, 41syl3anc 1223 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  ->  (
( ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  +  ( [_ z  /  k ]_ B  mod  N ) )  mod 
N )  =  ( ( sum_ k  e.  A  B  +  [_ z  / 
k ]_ B )  mod 
N ) )
4342eqcomd 2470 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  ->  (
( sum_ k  e.  A  B  +  [_ z  / 
k ]_ B )  mod 
N )  =  ( ( ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  +  ( [_ z  /  k ]_ B  mod  N ) )  mod 
N ) )
4443adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  /\  ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N ) )  ->  ( ( sum_ k  e.  A  B  +  [_ z  /  k ]_ B )  mod  N
)  =  ( ( ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  +  ( [_ z  / 
k ]_ B  mod  N
) )  mod  N
) )
45 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  /\  ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N ) )  ->  ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod 
N ) )
4634zred 10957 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ  ->  [_ z  /  k ]_ B  e.  RR )
47463ad2ant3 1014 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ )  ->  [_ z  /  k ]_ B  e.  RR )
4847adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  ->  [_ z  /  k ]_ B  e.  RR )
4948, 40jca 532 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  ->  ( [_ z  /  k ]_ B  e.  RR  /\  N  e.  RR+ )
)
5049adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  /\  ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N ) )  ->  ( [_ z  /  k ]_ B  e.  RR  /\  N  e.  RR+ ) )
51 modabs2 11988 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
[_ z  /  k ]_ B  e.  RR  /\  N  e.  RR+ )  ->  ( ( [_ z  /  k ]_ B  mod  N )  mod  N
)  =  ( [_ z  /  k ]_ B  mod  N ) )
5251eqcomd 2470 . . . . . . . . 9  |-  ( (
[_ z  /  k ]_ B  e.  RR  /\  N  e.  RR+ )  ->  ( [_ z  / 
k ]_ B  mod  N
)  =  ( (
[_ z  /  k ]_ B  mod  N )  mod  N ) )
5350, 52syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  /\  ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N ) )  ->  ( [_ z  /  k ]_ B  mod  N )  =  ( ( [_ z  / 
k ]_ B  mod  N
)  mod  N )
)
5445, 53oveq12d 6295 . . . . . . 7  |-  ( ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  /\  ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N ) )  ->  ( ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  +  (
[_ z  /  k ]_ B  mod  N ) )  =  ( (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N )  +  ( ( [_ z  /  k ]_ B  mod  N )  mod  N
) ) )
5554oveq1d 6292 . . . . . 6  |-  ( ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  /\  ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N ) )  ->  ( ( (
sum_ k  e.  A  B  mod  N )  +  ( [_ z  / 
k ]_ B  mod  N
) )  mod  N
)  =  ( ( ( sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N )  +  ( ( [_ z  /  k ]_ B  mod  N )  mod  N
) )  mod  N
) )
5644, 55eqtrd 2503 . . . . 5  |-  ( ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  /\  ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N ) )  ->  ( ( sum_ k  e.  A  B  +  [_ z  /  k ]_ B )  mod  N
)  =  ( ( ( sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N )  +  ( ( [_ z  /  k ]_ B  mod  N )  mod  N
) )  mod  N
) )
57 zmodcl 11973 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( B  mod  N
)  e.  NN0 )
5857nn0zd 10955 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( B  mod  N
)  e.  ZZ )
5958expcom 435 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  e.  NN  ->  ( B  e.  ZZ  ->  ( B  mod  N )  e.  ZZ ) )
6059ralimdv 2869 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  NN  ->  ( A. k  e.  A  B  e.  ZZ  ->  A. k  e.  A  ( B  mod  N )  e.  ZZ ) )
6160com12 31 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. k  e.  A  B  e.  ZZ  ->  ( N  e.  NN  ->  A. k  e.  A  ( B  mod  N )  e.  ZZ ) )
6261adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A. k  e.  A  B  e.  ZZ  /\  A. k  e.  { z } B  e.  ZZ )  ->  ( N  e.  NN  ->  A. k  e.  A  ( B  mod  N )  e.  ZZ ) )
6326, 62sylbi 195 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ  ->  ( N  e.  NN  ->  A. k  e.  A  ( B  mod  N )  e.  ZZ ) )
6463impcom 430 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ )  ->  A. k  e.  A  ( B  mod  N )  e.  ZZ )
65643adant1 1009 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ )  ->  A. k  e.  A  ( B  mod  N )  e.  ZZ )
6617, 65jca 532 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ )  ->  ( A  e. 
Fin  /\  A. k  e.  A  ( B  mod  N )  e.  ZZ ) )
67 fsumzcl2 13511 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. k  e.  A  ( B  mod  N )  e.  ZZ )  ->  sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  e.  ZZ )
6867zred 10957 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. k  e.  A  ( B  mod  N )  e.  ZZ )  ->  sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  e.  RR )
6966, 68syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ )  ->  sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  e.  RR )
7069adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  ->  sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  e.  RR )
7170adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  /\  ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N ) )  ->  sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  e.  RR )
7234anim1i 568 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( [_ z  /  k ]_ B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN ) )
7372ancoms 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ )  ->  ( [_ z  /  k ]_ B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN ) )
74 zmodcl 11973 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
[_ z  /  k ]_ B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( [_ z  /  k ]_ B  mod  N )  e.  NN0 )
7573, 74syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ )  ->  ( [_ z  /  k ]_ B  mod  N )  e.  NN0 )
7675nn0red 10844 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ )  ->  ( [_ z  /  k ]_ B  mod  N )  e.  RR )
77763adant1 1009 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ )  ->  ( [_ z  /  k ]_ B  mod  N )  e.  RR )
7877adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  ->  ( [_ z  /  k ]_ B  mod  N )  e.  RR )
7978adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  /\  ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N ) )  ->  ( [_ z  /  k ]_ B  mod  N )  e.  RR )
8040adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  /\  ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N ) )  ->  N  e.  RR+ )
81 modaddabs 11992 . . . . . . 7  |-  ( (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  e.  RR  /\  ( [_ z  /  k ]_ B  mod  N )  e.  RR  /\  N  e.  RR+ )  ->  (
( ( sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N
)  +  ( (
[_ z  /  k ]_ B  mod  N )  mod  N ) )  mod  N )  =  ( ( sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  +  (
[_ z  /  k ]_ B  mod  N ) )  mod  N ) )
8271, 79, 80, 81syl3anc 1223 . . . . . 6  |-  ( ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  /\  ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N ) )  ->  ( ( (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N )  +  ( ( [_ z  /  k ]_ B  mod  N )  mod  N
) )  mod  N
)  =  ( (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  +  ( [_ z  /  k ]_ B  mod  N ) )  mod 
N ) )
8318adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  /\  ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N ) )  ->  A  e.  Fin )
8419adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  /\  ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N ) )  ->  z  e/  A
)
8559ralimdv 2869 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  ( A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ  ->  A. k  e.  ( A  u.  {
z } ) ( B  mod  N )  e.  ZZ ) )
8685imp 429 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ )  ->  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) ( B  mod  N )  e.  ZZ )
87863adant1 1009 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ )  ->  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) ( B  mod  N )  e.  ZZ )
8887adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  ->  A. k  e.  ( A  u.  {
z } ) ( B  mod  N )  e.  ZZ )
8988adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  /\  ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N ) )  ->  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) ( B  mod  N )  e.  ZZ )
90 fsumsplitsnun 13521 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  z  e/  A  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) ( B  mod  N
)  e.  ZZ )  ->  sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) ( B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  +  [_ z  / 
k ]_ ( B  mod  N ) ) )
9183, 84, 89, 90syl3anc 1223 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  /\  ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N ) )  ->  sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) ( B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  +  [_ z  / 
k ]_ ( B  mod  N ) ) )
92 vex 3111 . . . . . . . . . . 11  |-  z  e. 
_V
93 csbov1g 6312 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  _V  ->  [_ z  /  k ]_ ( B  mod  N )  =  ( [_ z  / 
k ]_ B  mod  N
) )
9492, 93mp1i 12 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  /\  ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N ) )  ->  [_ z  /  k ]_ ( B  mod  N
)  =  ( [_ z  /  k ]_ B  mod  N ) )
9594oveq2d 6293 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  /\  ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N ) )  ->  ( sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  +  [_ z  /  k ]_ ( B  mod  N ) )  =  ( sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  +  (
[_ z  /  k ]_ B  mod  N ) ) )
9691, 95eqtrd 2503 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  /\  ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N ) )  ->  sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) ( B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  +  ( [_ z  /  k ]_ B  mod  N ) ) )
9796eqcomd 2470 . . . . . . 7  |-  ( ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  /\  ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N ) )  ->  ( sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  +  (
[_ z  /  k ]_ B  mod  N ) )  =  sum_ k  e.  ( A  u.  {
z } ) ( B  mod  N ) )
9897oveq1d 6292 . . . . . 6  |-  ( ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  /\  ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N ) )  ->  ( ( sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  +  ( [_ z  / 
k ]_ B  mod  N
) )  mod  N
)  =  ( sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) ( B  mod  N
)  mod  N )
)
9982, 98eqtrd 2503 . . . . 5  |-  ( ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  /\  ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N ) )  ->  ( ( (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N )  +  ( ( [_ z  /  k ]_ B  mod  N )  mod  N
) )  mod  N
)  =  ( sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) ( B  mod  N
)  mod  N )
)
10025, 56, 993eqtrd 2507 . . . 4  |-  ( ( ( z  e/  A  /\  ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )  /\  ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N ) )  ->  ( sum_ k  e.  ( A  u.  {
z } ) B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) ( B  mod  N )  mod 
N ) )
101100exp31 604 . . 3  |-  ( z  e/  A  ->  (
( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ )  ->  ( ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N )  -> 
( sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) ( B  mod  N
)  mod  N )
) ) )
10216, 101sylbir 213 . 2  |-  ( -.  z  e.  A  -> 
( ( A  e. 
Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  {
z } ) B  e.  ZZ )  -> 
( ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod 
N )  ->  ( sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) B  mod  N
)  =  ( sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) ( B  mod  N
)  mod  N )
) ) )
10315, 102pm2.61i 164 1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ )  ->  ( ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N )  -> 
( sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) ( B  mod  N
)  mod  N )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 968    = wceq 1374    e. wcel 1762    e/ wnel 2658   A.wral 2809   _Vcvv 3108   [_csb 3430    u. cun 3469    C_ wss 3471   {csn 4022  (class class class)co 6277   Fincfn 7508   RRcr 9482    + caddc 9486   NNcn 10527   NN0cn0 10786   ZZcz 10855   RR+crp 11211    mod cmo 11954   sum_csu 13459
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-rep 4553  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-inf2 8049  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560  ax-pre-sup 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-fal 1380  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rmo 2817  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-int 4278  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-se 4834  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6674  df-1st 6776  df-2nd 6777  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-fin 7512  df-sup 7892  df-oi 7926  df-card 8311  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10198  df-nn 10528  df-2 10585  df-3 10586  df-n0 10787  df-z 10856  df-uz 11074  df-rp 11212  df-fz 11664  df-fzo 11784  df-fl 11888  df-mod 11955  df-seq 12066  df-exp 12125  df-hash 12363  df-cj 12884  df-re 12885  df-im 12886  df-sqr 13020  df-abs 13021  df-clim 13262  df-sum 13460
This theorem is referenced by:  modfsummod  13559
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