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Theorem modfsummod 30245
Description: A finite sum modulo a positive real number equals the finite sum of their summands modulo the positive real number, modulo the positive real number. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
modfsummod.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
modfsummod.1  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
modfsummod.2  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  B  e.  ZZ )
Assertion
Ref Expression
modfsummod  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N ) )
Distinct variable groups:    A, k    k, N
Allowed substitution hints:    ph( k)    B( k)

Proof of Theorem modfsummod
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 modfsummod.2 . 2  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  B  e.  ZZ )
2 modfsummod.n . 2  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
3 modfsummod.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
4 raleq 2917 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  ( A. k  e.  x  B  e.  ZZ  <->  A. k  e.  (/)  B  e.  ZZ ) )
54anbi1d 704 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( A. k  e.  x  B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  <->  ( A. k  e.  (/)  B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN ) ) )
6 sumeq1 13166 . . . . . . 7  |-  ( x  =  (/)  ->  sum_ k  e.  x  B  =  sum_ k  e.  (/)  B )
76oveq1d 6106 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  ( sum_ k  e.  x  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  (/)  B  mod  N ) )
8 sumeq1 13166 . . . . . . 7  |-  ( x  =  (/)  ->  sum_ k  e.  x  ( B  mod  N )  =  sum_ k  e.  (/)  ( B  mod  N ) )
98oveq1d 6106 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  ( sum_ k  e.  x  ( B  mod  N )  mod 
N )  =  (
sum_ k  e.  (/)  ( B  mod  N )  mod  N ) )
107, 9eqeq12d 2457 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  ( (
sum_ k  e.  x  B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  x  ( B  mod  N )  mod  N )  <->  ( sum_ k  e.  (/)  B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  (/)  ( B  mod  N )  mod 
N ) ) )
115, 10imbi12d 320 . . . 4  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( ( A. k  e.  x  B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( sum_ k  e.  x  B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  x  ( B  mod  N )  mod 
N ) )  <->  ( ( A. k  e.  (/)  B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( sum_ k  e.  (/)  B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  (/)  ( B  mod  N )  mod 
N ) ) ) )
12 raleq 2917 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  ( A. k  e.  x  B  e.  ZZ  <->  A. k  e.  y  B  e.  ZZ ) )
1312anbi1d 704 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
( A. k  e.  x  B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  <-> 
( A. k  e.  y  B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN ) ) )
14 sumeq1 13166 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  sum_ k  e.  x  B  =  sum_ k  e.  y  B )
1514oveq1d 6106 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  ( sum_ k  e.  x  B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  y  B  mod  N ) )
16 sumeq1 13166 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  sum_ k  e.  x  ( B  mod  N )  =  sum_ k  e.  y  ( B  mod  N ) )
1716oveq1d 6106 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  ( sum_ k  e.  x  ( B  mod  N )  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  y  ( B  mod  N
)  mod  N )
)
1815, 17eqeq12d 2457 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
( sum_ k  e.  x  B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  x  ( B  mod  N )  mod  N )  <->  ( sum_ k  e.  y  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  y  ( B  mod  N
)  mod  N )
) )
1913, 18imbi12d 320 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( A. k  e.  x  B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( sum_ k  e.  x  B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  x  ( B  mod  N )  mod 
N ) )  <->  ( ( A. k  e.  y  B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( sum_ k  e.  y  B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  y  ( B  mod  N
)  mod  N )
) ) )
20 raleq 2917 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( A. k  e.  x  B  e.  ZZ 
<-> 
A. k  e.  ( y  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )
2120anbi1d 704 . . . . 5  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( A. k  e.  x  B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  <->  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )
) )
22 sumeq1 13166 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  sum_ k  e.  x  B  =  sum_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) B )
2322oveq1d 6106 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( sum_ k  e.  x  B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B  mod  N ) )
24 sumeq1 13166 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  sum_ k  e.  x  ( B  mod  N )  =  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  mod  N ) )
2524oveq1d 6106 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( sum_ k  e.  x  ( B  mod  N )  mod  N
)  =  ( sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  mod  N
)  mod  N )
)
2623, 25eqeq12d 2457 . . . . 5  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( sum_ k  e.  x  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  x  ( B  mod  N )  mod  N )  <->  ( sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) ( B  mod  N )  mod  N ) ) )
2721, 26imbi12d 320 . . . 4  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( ( A. k  e.  x  B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( sum_ k  e.  x  B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  x  ( B  mod  N )  mod  N ) )  <-> 
( ( A. k  e.  ( y  u.  {
z } ) B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B  mod  N
)  =  ( sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  mod  N
)  mod  N )
) ) )
28 raleq 2917 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  ( A. k  e.  x  B  e.  ZZ  <->  A. k  e.  A  B  e.  ZZ ) )
2928anbi1d 704 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  (
( A. k  e.  x  B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  <-> 
( A. k  e.  A  B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN ) ) )
30 sumeq1 13166 . . . . . . 7  |-  ( x  =  A  ->  sum_ k  e.  x  B  =  sum_ k  e.  A  B
)
3130oveq1d 6106 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  ( sum_ k  e.  x  B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  A  B  mod  N ) )
32 sumeq1 13166 . . . . . . 7  |-  ( x  =  A  ->  sum_ k  e.  x  ( B  mod  N )  =  sum_ k  e.  A  ( B  mod  N ) )
3332oveq1d 6106 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  ( sum_ k  e.  x  ( B  mod  N )  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N ) )
3431, 33eqeq12d 2457 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  (
( sum_ k  e.  x  B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  x  ( B  mod  N )  mod  N )  <->  ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N ) ) )
3529, 34imbi12d 320 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  (
( ( A. k  e.  x  B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( sum_ k  e.  x  B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  x  ( B  mod  N )  mod 
N ) )  <->  ( ( A. k  e.  A  B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N ) ) ) )
36 sum0 13198 . . . . . . . 8  |-  sum_ k  e.  (/)  ( B  mod  N )  =  0
3736a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ k  e.  (/)  ( B  mod  N )  =  0 )
3837oveq1d 6106 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sum_ k  e.  (/)  ( B  mod  N )  mod 
N )  =  ( 0  mod  N ) )
39 sum0 13198 . . . . . . 7  |-  sum_ k  e.  (/)  B  =  0
4039oveq1i 6101 . . . . . 6  |-  ( sum_ k  e.  (/)  B  mod  N )  =  ( 0  mod  N )
4138, 40syl6reqr 2494 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sum_ k  e.  (/)  B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  (/)  ( B  mod  N )  mod 
N ) )
4241adantl 466 . . . 4  |-  ( ( A. k  e.  (/)  B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( sum_ k  e.  (/)  B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  (/)  ( B  mod  N )  mod 
N ) )
43 simpll 753 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\  ( A. k  e.  y  B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN ) )  /\  A. k  e.  { z } B  e.  ZZ )  ->  y  e.  Fin )
44 simplrr 760 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\  ( A. k  e.  y  B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN ) )  /\  A. k  e.  { z } B  e.  ZZ )  ->  N  e.  NN )
45 ralun 3538 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A. k  e.  y  B  e.  ZZ  /\  A. k  e.  { z } B  e.  ZZ )  ->  A. k  e.  ( y  u.  { z } ) B  e.  ZZ )
4645ex 434 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. k  e.  y  B  e.  ZZ  ->  ( A. k  e.  { z } B  e.  ZZ  ->  A. k  e.  ( y  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )
4746ad2antrl 727 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  ( A. k  e.  y  B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )
)  ->  ( A. k  e.  { z } B  e.  ZZ  ->  A. k  e.  ( y  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )
4847imp 429 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\  ( A. k  e.  y  B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN ) )  /\  A. k  e.  { z } B  e.  ZZ )  ->  A. k  e.  ( y  u.  {
z } ) B  e.  ZZ )
49 modfsummods 30244 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( y  u.  { z } ) B  e.  ZZ )  ->  ( ( sum_ k  e.  y  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  y  ( B  mod  N
)  mod  N )  ->  ( sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  mod  N
)  mod  N )
) )
5043, 44, 48, 49syl3anc 1218 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\  ( A. k  e.  y  B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN ) )  /\  A. k  e.  { z } B  e.  ZZ )  ->  (
( sum_ k  e.  y  B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  y  ( B  mod  N )  mod  N
)  ->  ( sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) ( B  mod  N )  mod  N ) ) )
5150ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  ( A. k  e.  y  B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )
)  ->  ( A. k  e.  { z } B  e.  ZZ  ->  ( ( sum_ k  e.  y  B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  y  ( B  mod  N )  mod 
N )  ->  ( sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B  mod  N
)  =  ( sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  mod  N
)  mod  N )
) ) )
5251com23 78 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  ( A. k  e.  y  B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )
)  ->  ( ( sum_ k  e.  y  B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  y  ( B  mod  N
)  mod  N )  ->  ( A. k  e. 
{ z } B  e.  ZZ  ->  ( sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) ( B  mod  N )  mod  N ) ) ) )
5352ex 434 . . . . . 6  |-  ( y  e.  Fin  ->  (
( A. k  e.  y  B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( sum_ k  e.  y  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  y  ( B  mod  N
)  mod  N )  ->  ( A. k  e. 
{ z } B  e.  ZZ  ->  ( sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) ( B  mod  N )  mod  N ) ) ) ) )
5453a2d 26 . . . . 5  |-  ( y  e.  Fin  ->  (
( ( A. k  e.  y  B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( sum_ k  e.  y  B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  y  ( B  mod  N )  mod 
N ) )  -> 
( ( A. k  e.  y  B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( A. k  e.  { z } B  e.  ZZ  ->  ( sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) ( B  mod  N )  mod  N ) ) ) ) )
55 ralunb 3537 . . . . . . . 8  |-  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) B  e.  ZZ  <->  ( A. k  e.  y  B  e.  ZZ  /\  A. k  e.  { z } B  e.  ZZ ) )
5655anbi1i 695 . . . . . . 7  |-  ( ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  <->  ( ( A. k  e.  y  B  e.  ZZ  /\  A. k  e.  { z } B  e.  ZZ )  /\  N  e.  NN ) )
5756imbi1i 325 . . . . . 6  |-  ( ( ( A. k  e.  ( y  u.  {
z } ) B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B  mod  N
)  =  ( sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  mod  N
)  mod  N )
)  <->  ( ( ( A. k  e.  y  B  e.  ZZ  /\  A. k  e.  { z } B  e.  ZZ )  /\  N  e.  NN )  ->  ( sum_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  mod  N )  mod 
N ) ) )
58 an32 796 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A. k  e.  y  B  e.  ZZ  /\ 
A. k  e.  {
z } B  e.  ZZ )  /\  N  e.  NN )  <->  ( ( A. k  e.  y  B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  A. k  e.  { z } B  e.  ZZ ) )
5958imbi1i 325 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A. k  e.  y  B  e.  ZZ  /\  A. k  e. 
{ z } B  e.  ZZ )  /\  N  e.  NN )  ->  ( sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B  mod  N
)  =  ( sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  mod  N
)  mod  N )
)  <->  ( ( ( A. k  e.  y  B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  A. k  e.  {
z } B  e.  ZZ )  ->  ( sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B  mod  N
)  =  ( sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  mod  N
)  mod  N )
) )
60 impexp 446 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A. k  e.  y  B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  A. k  e. 
{ z } B  e.  ZZ )  ->  ( sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B  mod  N
)  =  ( sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  mod  N
)  mod  N )
)  <->  ( ( A. k  e.  y  B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( A. k  e.  { z } B  e.  ZZ  ->  ( sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  mod  N
)  mod  N )
) ) )
6157, 59, 603bitri 271 . . . . 5  |-  ( ( ( A. k  e.  ( y  u.  {
z } ) B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B  mod  N
)  =  ( sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  mod  N
)  mod  N )
)  <->  ( ( A. k  e.  y  B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( A. k  e.  { z } B  e.  ZZ  ->  ( sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  mod  N
)  mod  N )
) ) )
6254, 61syl6ibr 227 . . . 4  |-  ( y  e.  Fin  ->  (
( ( A. k  e.  y  B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( sum_ k  e.  y  B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  y  ( B  mod  N )  mod 
N ) )  -> 
( ( A. k  e.  ( y  u.  {
z } ) B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B  mod  N
)  =  ( sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  mod  N
)  mod  N )
) ) )
6311, 19, 27, 35, 42, 62findcard2 7552 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  (
( A. k  e.  A  B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod 
N ) ) )
643, 63syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A. k  e.  A  B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod 
N ) ) )
651, 2, 64mp2and 679 1  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2715    u. cun 3326   (/)c0 3637   {csn 3877  (class class class)co 6091   Fincfn 7310   0cc0 9282   NNcn 10322   ZZcz 10646    mod cmo 11708   sum_csu 13163
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-inf2 7847  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359  ax-pre-sup 9360
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-se 4680  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-isom 5427  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-oadd 6924  df-er 7101  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-sup 7691  df-oi 7724  df-card 8109  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-div 9994  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-n0 10580  df-z 10647  df-uz 10862  df-rp 10992  df-fz 11438  df-fzo 11549  df-fl 11642  df-mod 11709  df-seq 11807  df-exp 11866  df-hash 12104  df-cj 12588  df-re 12589  df-im 12590  df-sqr 12724  df-abs 12725  df-clim 12966  df-sum 13164
This theorem is referenced by:  numclwwlk6  30706
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