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Theorem modfsummod 13567
Description: A finite sum modulo a positive integer equals the finite sum of their summands modulo the positive integer, modulo the positive integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
modfsummod.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
modfsummod.1  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
modfsummod.2  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  B  e.  ZZ )
Assertion
Ref Expression
modfsummod  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N ) )
Distinct variable groups:    A, k    k, N
Allowed substitution hints:    ph( k)    B( k)

Proof of Theorem modfsummod
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 modfsummod.2 . 2  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  B  e.  ZZ )
2 modfsummod.n . 2  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
3 modfsummod.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
4 raleq 3058 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  ( A. k  e.  x  B  e.  ZZ  <->  A. k  e.  (/)  B  e.  ZZ ) )
54anbi1d 704 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( A. k  e.  x  B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  <->  ( A. k  e.  (/)  B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN ) ) )
6 sumeq1 13470 . . . . . . 7  |-  ( x  =  (/)  ->  sum_ k  e.  x  B  =  sum_ k  e.  (/)  B )
76oveq1d 6297 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  ( sum_ k  e.  x  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  (/)  B  mod  N ) )
8 sumeq1 13470 . . . . . . 7  |-  ( x  =  (/)  ->  sum_ k  e.  x  ( B  mod  N )  =  sum_ k  e.  (/)  ( B  mod  N ) )
98oveq1d 6297 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  ( sum_ k  e.  x  ( B  mod  N )  mod 
N )  =  (
sum_ k  e.  (/)  ( B  mod  N )  mod  N ) )
107, 9eqeq12d 2489 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  ( (
sum_ k  e.  x  B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  x  ( B  mod  N )  mod  N )  <->  ( sum_ k  e.  (/)  B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  (/)  ( B  mod  N )  mod 
N ) ) )
115, 10imbi12d 320 . . . 4  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( ( A. k  e.  x  B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( sum_ k  e.  x  B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  x  ( B  mod  N )  mod 
N ) )  <->  ( ( A. k  e.  (/)  B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( sum_ k  e.  (/)  B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  (/)  ( B  mod  N )  mod 
N ) ) ) )
12 raleq 3058 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  ( A. k  e.  x  B  e.  ZZ  <->  A. k  e.  y  B  e.  ZZ ) )
1312anbi1d 704 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
( A. k  e.  x  B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  <-> 
( A. k  e.  y  B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN ) ) )
14 sumeq1 13470 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  sum_ k  e.  x  B  =  sum_ k  e.  y  B )
1514oveq1d 6297 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  ( sum_ k  e.  x  B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  y  B  mod  N ) )
16 sumeq1 13470 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  sum_ k  e.  x  ( B  mod  N )  =  sum_ k  e.  y  ( B  mod  N ) )
1716oveq1d 6297 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  ( sum_ k  e.  x  ( B  mod  N )  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  y  ( B  mod  N
)  mod  N )
)
1815, 17eqeq12d 2489 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
( sum_ k  e.  x  B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  x  ( B  mod  N )  mod  N )  <->  ( sum_ k  e.  y  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  y  ( B  mod  N
)  mod  N )
) )
1913, 18imbi12d 320 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( A. k  e.  x  B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( sum_ k  e.  x  B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  x  ( B  mod  N )  mod 
N ) )  <->  ( ( A. k  e.  y  B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( sum_ k  e.  y  B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  y  ( B  mod  N
)  mod  N )
) ) )
20 raleq 3058 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( A. k  e.  x  B  e.  ZZ 
<-> 
A. k  e.  ( y  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )
2120anbi1d 704 . . . . 5  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( A. k  e.  x  B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  <->  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )
) )
22 sumeq1 13470 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  sum_ k  e.  x  B  =  sum_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) B )
2322oveq1d 6297 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( sum_ k  e.  x  B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B  mod  N ) )
24 sumeq1 13470 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  sum_ k  e.  x  ( B  mod  N )  =  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  mod  N ) )
2524oveq1d 6297 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( sum_ k  e.  x  ( B  mod  N )  mod  N
)  =  ( sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  mod  N
)  mod  N )
)
2623, 25eqeq12d 2489 . . . . 5  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( sum_ k  e.  x  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  x  ( B  mod  N )  mod  N )  <->  ( sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) ( B  mod  N )  mod  N ) ) )
2721, 26imbi12d 320 . . . 4  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( ( A. k  e.  x  B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( sum_ k  e.  x  B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  x  ( B  mod  N )  mod  N ) )  <-> 
( ( A. k  e.  ( y  u.  {
z } ) B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B  mod  N
)  =  ( sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  mod  N
)  mod  N )
) ) )
28 raleq 3058 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  ( A. k  e.  x  B  e.  ZZ  <->  A. k  e.  A  B  e.  ZZ ) )
2928anbi1d 704 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  (
( A. k  e.  x  B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  <-> 
( A. k  e.  A  B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN ) ) )
30 sumeq1 13470 . . . . . . 7  |-  ( x  =  A  ->  sum_ k  e.  x  B  =  sum_ k  e.  A  B
)
3130oveq1d 6297 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  ( sum_ k  e.  x  B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  A  B  mod  N ) )
32 sumeq1 13470 . . . . . . 7  |-  ( x  =  A  ->  sum_ k  e.  x  ( B  mod  N )  =  sum_ k  e.  A  ( B  mod  N ) )
3332oveq1d 6297 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  ( sum_ k  e.  x  ( B  mod  N )  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N ) )
3431, 33eqeq12d 2489 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  (
( sum_ k  e.  x  B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  x  ( B  mod  N )  mod  N )  <->  ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N ) ) )
3529, 34imbi12d 320 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  (
( ( A. k  e.  x  B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( sum_ k  e.  x  B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  x  ( B  mod  N )  mod 
N ) )  <->  ( ( A. k  e.  A  B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N ) ) ) )
36 sum0 13502 . . . . . . . 8  |-  sum_ k  e.  (/)  ( B  mod  N )  =  0
3736a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ k  e.  (/)  ( B  mod  N )  =  0 )
3837oveq1d 6297 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sum_ k  e.  (/)  ( B  mod  N )  mod 
N )  =  ( 0  mod  N ) )
39 sum0 13502 . . . . . . 7  |-  sum_ k  e.  (/)  B  =  0
4039oveq1i 6292 . . . . . 6  |-  ( sum_ k  e.  (/)  B  mod  N )  =  ( 0  mod  N )
4138, 40syl6reqr 2527 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sum_ k  e.  (/)  B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  (/)  ( B  mod  N )  mod 
N ) )
4241adantl 466 . . . 4  |-  ( ( A. k  e.  (/)  B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( sum_ k  e.  (/)  B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  (/)  ( B  mod  N )  mod 
N ) )
43 simpll 753 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\  ( A. k  e.  y  B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN ) )  /\  A. k  e.  { z } B  e.  ZZ )  ->  y  e.  Fin )
44 simplrr 760 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\  ( A. k  e.  y  B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN ) )  /\  A. k  e.  { z } B  e.  ZZ )  ->  N  e.  NN )
45 ralun 3686 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A. k  e.  y  B  e.  ZZ  /\  A. k  e.  { z } B  e.  ZZ )  ->  A. k  e.  ( y  u.  { z } ) B  e.  ZZ )
4645ex 434 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. k  e.  y  B  e.  ZZ  ->  ( A. k  e.  { z } B  e.  ZZ  ->  A. k  e.  ( y  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )
4746ad2antrl 727 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  ( A. k  e.  y  B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )
)  ->  ( A. k  e.  { z } B  e.  ZZ  ->  A. k  e.  ( y  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )
4847imp 429 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\  ( A. k  e.  y  B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN ) )  /\  A. k  e.  { z } B  e.  ZZ )  ->  A. k  e.  ( y  u.  {
z } ) B  e.  ZZ )
49 modfsummods 13566 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( y  u.  { z } ) B  e.  ZZ )  ->  ( ( sum_ k  e.  y  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  y  ( B  mod  N
)  mod  N )  ->  ( sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  mod  N
)  mod  N )
) )
5043, 44, 48, 49syl3anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\  ( A. k  e.  y  B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN ) )  /\  A. k  e.  { z } B  e.  ZZ )  ->  (
( sum_ k  e.  y  B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  y  ( B  mod  N )  mod  N
)  ->  ( sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) ( B  mod  N )  mod  N ) ) )
5150ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  ( A. k  e.  y  B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )
)  ->  ( A. k  e.  { z } B  e.  ZZ  ->  ( ( sum_ k  e.  y  B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  y  ( B  mod  N )  mod 
N )  ->  ( sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B  mod  N
)  =  ( sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  mod  N
)  mod  N )
) ) )
5251com23 78 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  ( A. k  e.  y  B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )
)  ->  ( ( sum_ k  e.  y  B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  y  ( B  mod  N
)  mod  N )  ->  ( A. k  e. 
{ z } B  e.  ZZ  ->  ( sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) ( B  mod  N )  mod  N ) ) ) )
5352ex 434 . . . . . 6  |-  ( y  e.  Fin  ->  (
( A. k  e.  y  B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( sum_ k  e.  y  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  y  ( B  mod  N
)  mod  N )  ->  ( A. k  e. 
{ z } B  e.  ZZ  ->  ( sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) ( B  mod  N )  mod  N ) ) ) ) )
5453a2d 26 . . . . 5  |-  ( y  e.  Fin  ->  (
( ( A. k  e.  y  B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( sum_ k  e.  y  B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  y  ( B  mod  N )  mod 
N ) )  -> 
( ( A. k  e.  y  B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( A. k  e.  { z } B  e.  ZZ  ->  ( sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) ( B  mod  N )  mod  N ) ) ) ) )
55 ralunb 3685 . . . . . . . 8  |-  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) B  e.  ZZ  <->  ( A. k  e.  y  B  e.  ZZ  /\  A. k  e.  { z } B  e.  ZZ ) )
5655anbi1i 695 . . . . . . 7  |-  ( ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  <->  ( ( A. k  e.  y  B  e.  ZZ  /\  A. k  e.  { z } B  e.  ZZ )  /\  N  e.  NN ) )
5756imbi1i 325 . . . . . 6  |-  ( ( ( A. k  e.  ( y  u.  {
z } ) B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B  mod  N
)  =  ( sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  mod  N
)  mod  N )
)  <->  ( ( ( A. k  e.  y  B  e.  ZZ  /\  A. k  e.  { z } B  e.  ZZ )  /\  N  e.  NN )  ->  ( sum_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  mod  N )  mod 
N ) ) )
58 an32 796 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A. k  e.  y  B  e.  ZZ  /\ 
A. k  e.  {
z } B  e.  ZZ )  /\  N  e.  NN )  <->  ( ( A. k  e.  y  B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  A. k  e.  { z } B  e.  ZZ ) )
5958imbi1i 325 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A. k  e.  y  B  e.  ZZ  /\  A. k  e. 
{ z } B  e.  ZZ )  /\  N  e.  NN )  ->  ( sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B  mod  N
)  =  ( sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  mod  N
)  mod  N )
)  <->  ( ( ( A. k  e.  y  B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  A. k  e.  {
z } B  e.  ZZ )  ->  ( sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B  mod  N
)  =  ( sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  mod  N
)  mod  N )
) )
60 impexp 446 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A. k  e.  y  B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  A. k  e. 
{ z } B  e.  ZZ )  ->  ( sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B  mod  N
)  =  ( sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  mod  N
)  mod  N )
)  <->  ( ( A. k  e.  y  B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( A. k  e.  { z } B  e.  ZZ  ->  ( sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  mod  N
)  mod  N )
) ) )
6157, 59, 603bitri 271 . . . . 5  |-  ( ( ( A. k  e.  ( y  u.  {
z } ) B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B  mod  N
)  =  ( sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  mod  N
)  mod  N )
)  <->  ( ( A. k  e.  y  B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( A. k  e.  { z } B  e.  ZZ  ->  ( sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  mod  N
)  mod  N )
) ) )
6254, 61syl6ibr 227 . . . 4  |-  ( y  e.  Fin  ->  (
( ( A. k  e.  y  B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( sum_ k  e.  y  B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  y  ( B  mod  N )  mod 
N ) )  -> 
( ( A. k  e.  ( y  u.  {
z } ) B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B  mod  N
)  =  ( sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  mod  N
)  mod  N )
) ) )
6311, 19, 27, 35, 42, 62findcard2 7756 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  (
( A. k  e.  A  B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod 
N ) ) )
643, 63syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A. k  e.  A  B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod 
N ) ) )
651, 2, 64mp2and 679 1  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814    u. cun 3474   (/)c0 3785   {csn 4027  (class class class)co 6282   Fincfn 7513   0cc0 9488   NNcn 10532   ZZcz 10860    mod cmo 11960   sum_csu 13467
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-sup 7897  df-oi 7931  df-card 8316  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-rp 11217  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-fl 11893  df-mod 11961  df-seq 12072  df-exp 12131  df-hash 12370  df-cj 12891  df-re 12892  df-im 12893  df-sqrt 13027  df-abs 13028  df-clim 13270  df-sum 13468
This theorem is referenced by:  numclwwlk6  24790
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