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Theorem modfsummod 13832
Description: A finite sum modulo a positive integer equals the finite sum of their summands modulo the positive integer, modulo the positive integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
modfsummod.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
modfsummod.1  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
modfsummod.2  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  B  e.  ZZ )
Assertion
Ref Expression
modfsummod  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N ) )
Distinct variable groups:    A, k    k, N
Allowed substitution hints:    ph( k)    B( k)

Proof of Theorem modfsummod
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 modfsummod.2 . 2  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  B  e.  ZZ )
2 modfsummod.n . 2  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
3 modfsummod.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
4 raleq 3032 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  ( A. k  e.  x  B  e.  ZZ  <->  A. k  e.  (/)  B  e.  ZZ ) )
54anbi1d 709 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( A. k  e.  x  B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  <->  ( A. k  e.  (/)  B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN ) ) )
6 sumeq1 13733 . . . . . . 7  |-  ( x  =  (/)  ->  sum_ k  e.  x  B  =  sum_ k  e.  (/)  B )
76oveq1d 6320 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  ( sum_ k  e.  x  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  (/)  B  mod  N ) )
8 sumeq1 13733 . . . . . . 7  |-  ( x  =  (/)  ->  sum_ k  e.  x  ( B  mod  N )  =  sum_ k  e.  (/)  ( B  mod  N ) )
98oveq1d 6320 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  ( sum_ k  e.  x  ( B  mod  N )  mod 
N )  =  (
sum_ k  e.  (/)  ( B  mod  N )  mod  N ) )
107, 9eqeq12d 2451 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  ( (
sum_ k  e.  x  B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  x  ( B  mod  N )  mod  N )  <->  ( sum_ k  e.  (/)  B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  (/)  ( B  mod  N )  mod 
N ) ) )
115, 10imbi12d 321 . . . 4  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( ( A. k  e.  x  B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( sum_ k  e.  x  B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  x  ( B  mod  N )  mod 
N ) )  <->  ( ( A. k  e.  (/)  B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( sum_ k  e.  (/)  B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  (/)  ( B  mod  N )  mod 
N ) ) ) )
12 raleq 3032 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  ( A. k  e.  x  B  e.  ZZ  <->  A. k  e.  y  B  e.  ZZ ) )
1312anbi1d 709 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
( A. k  e.  x  B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  <-> 
( A. k  e.  y  B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN ) ) )
14 sumeq1 13733 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  sum_ k  e.  x  B  =  sum_ k  e.  y  B )
1514oveq1d 6320 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  ( sum_ k  e.  x  B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  y  B  mod  N ) )
16 sumeq1 13733 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  sum_ k  e.  x  ( B  mod  N )  =  sum_ k  e.  y  ( B  mod  N ) )
1716oveq1d 6320 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  ( sum_ k  e.  x  ( B  mod  N )  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  y  ( B  mod  N
)  mod  N )
)
1815, 17eqeq12d 2451 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
( sum_ k  e.  x  B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  x  ( B  mod  N )  mod  N )  <->  ( sum_ k  e.  y  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  y  ( B  mod  N
)  mod  N )
) )
1913, 18imbi12d 321 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( A. k  e.  x  B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( sum_ k  e.  x  B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  x  ( B  mod  N )  mod 
N ) )  <->  ( ( A. k  e.  y  B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( sum_ k  e.  y  B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  y  ( B  mod  N
)  mod  N )
) ) )
20 raleq 3032 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( A. k  e.  x  B  e.  ZZ 
<-> 
A. k  e.  ( y  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )
2120anbi1d 709 . . . . 5  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( A. k  e.  x  B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  <->  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )
) )
22 sumeq1 13733 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  sum_ k  e.  x  B  =  sum_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) B )
2322oveq1d 6320 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( sum_ k  e.  x  B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B  mod  N ) )
24 sumeq1 13733 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  sum_ k  e.  x  ( B  mod  N )  =  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  mod  N ) )
2524oveq1d 6320 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( sum_ k  e.  x  ( B  mod  N )  mod  N
)  =  ( sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  mod  N
)  mod  N )
)
2623, 25eqeq12d 2451 . . . . 5  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( sum_ k  e.  x  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  x  ( B  mod  N )  mod  N )  <->  ( sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) ( B  mod  N )  mod  N ) ) )
2721, 26imbi12d 321 . . . 4  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( ( A. k  e.  x  B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( sum_ k  e.  x  B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  x  ( B  mod  N )  mod  N ) )  <-> 
( ( A. k  e.  ( y  u.  {
z } ) B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B  mod  N
)  =  ( sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  mod  N
)  mod  N )
) ) )
28 raleq 3032 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  ( A. k  e.  x  B  e.  ZZ  <->  A. k  e.  A  B  e.  ZZ ) )
2928anbi1d 709 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  (
( A. k  e.  x  B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  <-> 
( A. k  e.  A  B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN ) ) )
30 sumeq1 13733 . . . . . . 7  |-  ( x  =  A  ->  sum_ k  e.  x  B  =  sum_ k  e.  A  B
)
3130oveq1d 6320 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  ( sum_ k  e.  x  B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  A  B  mod  N ) )
32 sumeq1 13733 . . . . . . 7  |-  ( x  =  A  ->  sum_ k  e.  x  ( B  mod  N )  =  sum_ k  e.  A  ( B  mod  N ) )
3332oveq1d 6320 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  ( sum_ k  e.  x  ( B  mod  N )  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N ) )
3431, 33eqeq12d 2451 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  (
( sum_ k  e.  x  B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  x  ( B  mod  N )  mod  N )  <->  ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N ) ) )
3529, 34imbi12d 321 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  (
( ( A. k  e.  x  B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( sum_ k  e.  x  B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  x  ( B  mod  N )  mod 
N ) )  <->  ( ( A. k  e.  A  B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N ) ) ) )
36 sum0 13765 . . . . . . . 8  |-  sum_ k  e.  (/)  ( B  mod  N )  =  0
3736a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ k  e.  (/)  ( B  mod  N )  =  0 )
3837oveq1d 6320 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sum_ k  e.  (/)  ( B  mod  N )  mod 
N )  =  ( 0  mod  N ) )
39 sum0 13765 . . . . . . 7  |-  sum_ k  e.  (/)  B  =  0
4039oveq1i 6315 . . . . . 6  |-  ( sum_ k  e.  (/)  B  mod  N )  =  ( 0  mod  N )
4138, 40syl6reqr 2489 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sum_ k  e.  (/)  B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  (/)  ( B  mod  N )  mod 
N ) )
4241adantl 467 . . . 4  |-  ( ( A. k  e.  (/)  B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( sum_ k  e.  (/)  B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  (/)  ( B  mod  N )  mod 
N ) )
43 simpll 758 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\  ( A. k  e.  y  B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN ) )  /\  A. k  e.  { z } B  e.  ZZ )  ->  y  e.  Fin )
44 simplrr 769 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\  ( A. k  e.  y  B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN ) )  /\  A. k  e.  { z } B  e.  ZZ )  ->  N  e.  NN )
45 ralun 3654 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A. k  e.  y  B  e.  ZZ  /\  A. k  e.  { z } B  e.  ZZ )  ->  A. k  e.  ( y  u.  { z } ) B  e.  ZZ )
4645ex 435 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. k  e.  y  B  e.  ZZ  ->  ( A. k  e.  { z } B  e.  ZZ  ->  A. k  e.  ( y  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )
4746ad2antrl 732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  ( A. k  e.  y  B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )
)  ->  ( A. k  e.  { z } B  e.  ZZ  ->  A. k  e.  ( y  u.  { z } ) B  e.  ZZ ) )
4847imp 430 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\  ( A. k  e.  y  B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN ) )  /\  A. k  e.  { z } B  e.  ZZ )  ->  A. k  e.  ( y  u.  {
z } ) B  e.  ZZ )
49 modfsummods 13831 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( y  u.  { z } ) B  e.  ZZ )  ->  ( ( sum_ k  e.  y  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  y  ( B  mod  N
)  mod  N )  ->  ( sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  mod  N
)  mod  N )
) )
5043, 44, 48, 49syl3anc 1264 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\  ( A. k  e.  y  B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN ) )  /\  A. k  e.  { z } B  e.  ZZ )  ->  (
( sum_ k  e.  y  B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  y  ( B  mod  N )  mod  N
)  ->  ( sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) ( B  mod  N )  mod  N ) ) )
5150ex 435 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  ( A. k  e.  y  B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )
)  ->  ( A. k  e.  { z } B  e.  ZZ  ->  ( ( sum_ k  e.  y  B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  y  ( B  mod  N )  mod 
N )  ->  ( sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B  mod  N
)  =  ( sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  mod  N
)  mod  N )
) ) )
5251com23 81 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  ( A. k  e.  y  B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )
)  ->  ( ( sum_ k  e.  y  B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  y  ( B  mod  N
)  mod  N )  ->  ( A. k  e. 
{ z } B  e.  ZZ  ->  ( sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) ( B  mod  N )  mod  N ) ) ) )
5352ex 435 . . . . . 6  |-  ( y  e.  Fin  ->  (
( A. k  e.  y  B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( sum_ k  e.  y  B  mod  N )  =  (
sum_ k  e.  y  ( B  mod  N
)  mod  N )  ->  ( A. k  e. 
{ z } B  e.  ZZ  ->  ( sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) ( B  mod  N )  mod  N ) ) ) ) )
5453a2d 29 . . . . 5  |-  ( y  e.  Fin  ->  (
( ( A. k  e.  y  B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( sum_ k  e.  y  B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  y  ( B  mod  N )  mod 
N ) )  -> 
( ( A. k  e.  y  B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( A. k  e.  { z } B  e.  ZZ  ->  ( sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) ( B  mod  N )  mod  N ) ) ) ) )
55 ralunb 3653 . . . . . . . 8  |-  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) B  e.  ZZ  <->  ( A. k  e.  y  B  e.  ZZ  /\  A. k  e.  { z } B  e.  ZZ ) )
5655anbi1i 699 . . . . . . 7  |-  ( ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  <->  ( ( A. k  e.  y  B  e.  ZZ  /\  A. k  e.  { z } B  e.  ZZ )  /\  N  e.  NN ) )
5756imbi1i 326 . . . . . 6  |-  ( ( ( A. k  e.  ( y  u.  {
z } ) B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B  mod  N
)  =  ( sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  mod  N
)  mod  N )
)  <->  ( ( ( A. k  e.  y  B  e.  ZZ  /\  A. k  e.  { z } B  e.  ZZ )  /\  N  e.  NN )  ->  ( sum_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  mod  N )  mod 
N ) ) )
58 an32 805 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A. k  e.  y  B  e.  ZZ  /\ 
A. k  e.  {
z } B  e.  ZZ )  /\  N  e.  NN )  <->  ( ( A. k  e.  y  B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  A. k  e.  { z } B  e.  ZZ ) )
5958imbi1i 326 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A. k  e.  y  B  e.  ZZ  /\  A. k  e. 
{ z } B  e.  ZZ )  /\  N  e.  NN )  ->  ( sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B  mod  N
)  =  ( sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  mod  N
)  mod  N )
)  <->  ( ( ( A. k  e.  y  B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  A. k  e.  {
z } B  e.  ZZ )  ->  ( sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B  mod  N
)  =  ( sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  mod  N
)  mod  N )
) )
60 impexp 447 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A. k  e.  y  B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  A. k  e. 
{ z } B  e.  ZZ )  ->  ( sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B  mod  N
)  =  ( sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  mod  N
)  mod  N )
)  <->  ( ( A. k  e.  y  B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( A. k  e.  { z } B  e.  ZZ  ->  ( sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  mod  N
)  mod  N )
) ) )
6157, 59, 603bitri 274 . . . . 5  |-  ( ( ( A. k  e.  ( y  u.  {
z } ) B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B  mod  N
)  =  ( sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  mod  N
)  mod  N )
)  <->  ( ( A. k  e.  y  B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( A. k  e.  { z } B  e.  ZZ  ->  ( sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  mod  N
)  mod  N )
) ) )
6254, 61syl6ibr 230 . . . 4  |-  ( y  e.  Fin  ->  (
( ( A. k  e.  y  B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( sum_ k  e.  y  B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  y  ( B  mod  N )  mod 
N ) )  -> 
( ( A. k  e.  ( y  u.  {
z } ) B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B  mod  N
)  =  ( sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  mod  N
)  mod  N )
) ) )
6311, 19, 27, 35, 42, 62findcard2 7817 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  (
( A. k  e.  A  B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod 
N ) ) )
643, 63syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A. k  e.  A  B  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod 
N ) ) )
651, 2, 64mp2and 683 1  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  A  B  mod  N )  =  ( sum_ k  e.  A  ( B  mod  N )  mod  N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1870   A.wral 2782    u. cun 3440   (/)c0 3767   {csn 4002  (class class class)co 6305   Fincfn 7577   0cc0 9538   NNcn 10609   ZZcz 10937    mod cmo 12093   sum_csu 13730
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-oadd 7194  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-sup 7962  df-oi 8025  df-card 8372  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-fl 12025  df-mod 12094  df-seq 12211  df-exp 12270  df-hash 12513  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-clim 13530  df-sum 13731
This theorem is referenced by:  numclwwlk6  25686
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