MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  modcyc2 Structured version   Unicode version

Theorem modcyc2 11736
Description: The modulo operation is periodic. (Contributed by NM, 12-Nov-2008.)
Assertion
Ref Expression
modcyc2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR+  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A  -  ( B  x.  N )
)  mod  B )  =  ( A  mod  B ) )

Proof of Theorem modcyc2
StepHypRef Expression
1 recn 9364 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  CC )
2 rpcn 10991 . . . 4  |-  ( B  e.  RR+  ->  B  e.  CC )
3 zcn 10643 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  CC )
4 mulneg1 9773 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( -u N  x.  B )  =  -u ( N  x.  B
) )
54ancoms 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  ( -u N  x.  B )  =  -u ( N  x.  B
) )
6 mulcom 9360 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  ( B  x.  N
)  =  ( N  x.  B ) )
76negeqd 9596 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  CC  /\  N  e.  CC )  -> 
-u ( B  x.  N )  =  -u ( N  x.  B
) )
85, 7eqtr4d 2473 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  ( -u N  x.  B )  =  -u ( B  x.  N
) )
983adant1 1006 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  ( -u N  x.  B )  =  -u ( B  x.  N ) )
109oveq2d 6102 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  ( A  +  ( -u N  x.  B ) )  =  ( A  +  -u ( B  x.  N
) ) )
11 mulcl 9358 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  ( B  x.  N
)  e.  CC )
12 negsub 9649 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( B  x.  N
)  e.  CC )  ->  ( A  +  -u ( B  x.  N
) )  =  ( A  -  ( B  x.  N ) ) )
1311, 12sylan2 474 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( B  e.  CC  /\  N  e.  CC ) )  ->  ( A  +  -u ( B  x.  N ) )  =  ( A  -  ( B  x.  N )
) )
14133impb 1183 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  ( A  +  -u ( B  x.  N ) )  =  ( A  -  ( B  x.  N
) ) )
1510, 14eqtr2d 2471 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  ( A  -  ( B  x.  N ) )  =  ( A  +  (
-u N  x.  B
) ) )
161, 2, 3, 15syl3an 1260 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR+  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A  -  ( B  x.  N ) )  =  ( A  +  (
-u N  x.  B
) ) )
1716oveq1d 6101 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR+  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A  -  ( B  x.  N )
)  mod  B )  =  ( ( A  +  ( -u N  x.  B ) )  mod 
B ) )
18 znegcl 10672 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  -u N  e.  ZZ )
19 modcyc 11735 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR+  /\  -u N  e.  ZZ )  ->  (
( A  +  (
-u N  x.  B
) )  mod  B
)  =  ( A  mod  B ) )
2018, 19syl3an3 1253 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR+  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A  +  (
-u N  x.  B
) )  mod  B
)  =  ( A  mod  B ) )
2117, 20eqtrd 2470 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR+  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A  -  ( B  x.  N )
)  mod  B )  =  ( A  mod  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756  (class class class)co 6086   CCcc 9272   RRcr 9273    + caddc 9277    x. cmul 9279    - cmin 9587   -ucneg 9588   ZZcz 10638   RR+crp 10983    mod cmo 11700
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-sup 7683  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-rp 10984  df-fl 11634  df-mod 11701
This theorem is referenced by:  modadd1  11737  modmul1  11744  2submod  11752  modsubdir  11759
  Copyright terms: Public domain W3C validator