MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  modcyc2 Structured version   Unicode version

Theorem modcyc2 12006
Description: The modulo operation is periodic. (Contributed by NM, 12-Nov-2008.)
Assertion
Ref Expression
modcyc2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR+  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A  -  ( B  x.  N )
)  mod  B )  =  ( A  mod  B ) )

Proof of Theorem modcyc2
StepHypRef Expression
1 recn 9580 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  CC )
2 rpcn 11232 . . . 4  |-  ( B  e.  RR+  ->  B  e.  CC )
3 zcn 10870 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  CC )
4 mulneg1 9994 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( -u N  x.  B )  =  -u ( N  x.  B
) )
54ancoms 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  ( -u N  x.  B )  =  -u ( N  x.  B
) )
6 mulcom 9576 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  ( B  x.  N
)  =  ( N  x.  B ) )
76negeqd 9814 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  CC  /\  N  e.  CC )  -> 
-u ( B  x.  N )  =  -u ( N  x.  B
) )
85, 7eqtr4d 2485 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  ( -u N  x.  B )  =  -u ( B  x.  N
) )
983adant1 1013 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  ( -u N  x.  B )  =  -u ( B  x.  N ) )
109oveq2d 6293 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  ( A  +  ( -u N  x.  B ) )  =  ( A  +  -u ( B  x.  N
) ) )
11 mulcl 9574 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  ( B  x.  N
)  e.  CC )
12 negsub 9867 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( B  x.  N
)  e.  CC )  ->  ( A  +  -u ( B  x.  N
) )  =  ( A  -  ( B  x.  N ) ) )
1311, 12sylan2 474 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( B  e.  CC  /\  N  e.  CC ) )  ->  ( A  +  -u ( B  x.  N ) )  =  ( A  -  ( B  x.  N )
) )
14133impb 1191 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  ( A  +  -u ( B  x.  N ) )  =  ( A  -  ( B  x.  N
) ) )
1510, 14eqtr2d 2483 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  ( A  -  ( B  x.  N ) )  =  ( A  +  (
-u N  x.  B
) ) )
161, 2, 3, 15syl3an 1269 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR+  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A  -  ( B  x.  N ) )  =  ( A  +  (
-u N  x.  B
) ) )
1716oveq1d 6292 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR+  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A  -  ( B  x.  N )
)  mod  B )  =  ( ( A  +  ( -u N  x.  B ) )  mod 
B ) )
18 znegcl 10900 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  -u N  e.  ZZ )
19 modcyc 12005 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR+  /\  -u N  e.  ZZ )  ->  (
( A  +  (
-u N  x.  B
) )  mod  B
)  =  ( A  mod  B ) )
2018, 19syl3an3 1262 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR+  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A  +  (
-u N  x.  B
) )  mod  B
)  =  ( A  mod  B ) )
2117, 20eqtrd 2482 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR+  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A  -  ( B  x.  N )
)  mod  B )  =  ( A  mod  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 972    = wceq 1381    e. wcel 1802  (class class class)co 6277   CCcc 9488   RRcr 9489    + caddc 9493    x. cmul 9495    - cmin 9805   -ucneg 9806   ZZcz 10865   RR+crp 11224    mod cmo 11970
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567  ax-pre-sup 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-pss 3474  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-tp 4015  df-op 4017  df-uni 4231  df-iun 4313  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-tr 4527  df-eprel 4777  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-fr 4824  df-we 4826  df-ord 4867  df-on 4868  df-lim 4869  df-suc 4870  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6682  df-recs 7040  df-rdg 7074  df-er 7309  df-en 7515  df-dom 7516  df-sdom 7517  df-sup 7899  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10208  df-nn 10538  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11086  df-rp 11225  df-fl 11903  df-mod 11971
This theorem is referenced by:  modadd1  12007  modmul1  12014  2submod  12022  modsubdir  12029
  Copyright terms: Public domain W3C validator