MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  modcyc2 Structured version   Unicode version

Theorem modcyc2 11854
Description: The modulo operation is periodic. (Contributed by NM, 12-Nov-2008.)
Assertion
Ref Expression
modcyc2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR+  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A  -  ( B  x.  N )
)  mod  B )  =  ( A  mod  B ) )

Proof of Theorem modcyc2
StepHypRef Expression
1 recn 9476 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  CC )
2 rpcn 11103 . . . 4  |-  ( B  e.  RR+  ->  B  e.  CC )
3 zcn 10755 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  CC )
4 mulneg1 9885 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( -u N  x.  B )  =  -u ( N  x.  B
) )
54ancoms 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  ( -u N  x.  B )  =  -u ( N  x.  B
) )
6 mulcom 9472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  ( B  x.  N
)  =  ( N  x.  B ) )
76negeqd 9708 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  CC  /\  N  e.  CC )  -> 
-u ( B  x.  N )  =  -u ( N  x.  B
) )
85, 7eqtr4d 2495 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  ( -u N  x.  B )  =  -u ( B  x.  N
) )
983adant1 1006 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  ( -u N  x.  B )  =  -u ( B  x.  N ) )
109oveq2d 6209 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  ( A  +  ( -u N  x.  B ) )  =  ( A  +  -u ( B  x.  N
) ) )
11 mulcl 9470 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  ( B  x.  N
)  e.  CC )
12 negsub 9761 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( B  x.  N
)  e.  CC )  ->  ( A  +  -u ( B  x.  N
) )  =  ( A  -  ( B  x.  N ) ) )
1311, 12sylan2 474 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( B  e.  CC  /\  N  e.  CC ) )  ->  ( A  +  -u ( B  x.  N ) )  =  ( A  -  ( B  x.  N )
) )
14133impb 1184 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  ( A  +  -u ( B  x.  N ) )  =  ( A  -  ( B  x.  N
) ) )
1510, 14eqtr2d 2493 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  ( A  -  ( B  x.  N ) )  =  ( A  +  (
-u N  x.  B
) ) )
161, 2, 3, 15syl3an 1261 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR+  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A  -  ( B  x.  N ) )  =  ( A  +  (
-u N  x.  B
) ) )
1716oveq1d 6208 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR+  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A  -  ( B  x.  N )
)  mod  B )  =  ( ( A  +  ( -u N  x.  B ) )  mod 
B ) )
18 znegcl 10784 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  -u N  e.  ZZ )
19 modcyc 11853 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR+  /\  -u N  e.  ZZ )  ->  (
( A  +  (
-u N  x.  B
) )  mod  B
)  =  ( A  mod  B ) )
2018, 19syl3an3 1254 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR+  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A  +  (
-u N  x.  B
) )  mod  B
)  =  ( A  mod  B ) )
2117, 20eqtrd 2492 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR+  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A  -  ( B  x.  N )
)  mod  B )  =  ( A  mod  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758  (class class class)co 6193   CCcc 9384   RRcr 9385    + caddc 9389    x. cmul 9391    - cmin 9699   -ucneg 9700   ZZcz 10750   RR+crp 11095    mod cmo 11818
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-cnex 9442  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-mulcom 9450  ax-addass 9451  ax-mulass 9452  ax-distr 9453  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-1rid 9456  ax-rnegex 9457  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461  ax-pre-ltadd 9462  ax-pre-mulgt0 9463  ax-pre-sup 9464
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-iun 4274  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-om 6580  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-er 7204  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-sup 7795  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-xr 9526  df-ltxr 9527  df-le 9528  df-sub 9701  df-neg 9702  df-div 10098  df-nn 10427  df-n0 10684  df-z 10751  df-uz 10966  df-rp 11096  df-fl 11752  df-mod 11819
This theorem is referenced by:  modadd1  11855  modmul1  11862  2submod  11870  modsubdir  11877
  Copyright terms: Public domain W3C validator