Theorem modcyc 7516

Description: The modulo operation is periodic.

Assertion

Ref	Expression
modcyc	|- ((A e. RR /\ B e. RR+ /\ N e. ZZ) -> ((A + (N x. B)) mod B) = (A mod B))

Proof of Theorem modcyc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		readdcl 6455	. . . . . . 7 |- ((A e. RR /\ (N x. B) e. RR) -> (A + (N x. B)) e. RR)
2		remulcl 6457	. . . . . . . 8 |- ((N e. RR /\ B e. RR) -> (N x. B) e. RR)
3		zre 7348	. . . . . . . 8 |- (N e. ZZ -> N e. RR)
4		rpre 7236	. . . . . . . 8 |- (B e. RR+ -> B e. RR)
5	2, 3, 4	syl2an 503	. . . . . . 7 |- ((N e. ZZ /\ B e. RR+) -> (N x. B) e. RR)
6	1, 5	sylan2 500	. . . . . 6 |- ((A e. RR /\ (N e. ZZ /\ B e. RR+)) -> (A + (N x. B)) e. RR)
7	6	3impb 1063	. . . . 5 |- ((A e. RR /\ N e. ZZ /\ B e. RR+) -> (A + (N x. B)) e. RR)
8		simp3 878	. . . . 5 |- ((A e. RR /\ N e. ZZ /\ B e. RR+) -> B e. RR+)
9		modval 7501	. . . . 5 |- (((A + (N x. B)) e. RR /\ B e. RR+) -> ((A + (N x. B)) mod B) = ((A + (N x. B)) - (B x. (|_` ((A + (N x. B)) / B)))))
10	7, 8, 9	syl11anc 524	. . . 4 |- ((A e. RR /\ N e. ZZ /\ B e. RR+) -> ((A + (N x. B)) mod B) = ((A + (N x. B)) - (B x. (|_` ((A + (N x. B)) / B)))))
11		recn 6466	. . . . . . . . . . . 12 |- (A e. RR -> A e. CC)
12	11	3ad2ant1 897	. . . . . . . . . . 11 |- ((A e. RR /\ N e. ZZ /\ B e. RR+) -> A e. CC)
13	5	recnd 6468	. . . . . . . . . . . 12 |- ((N e. ZZ /\ B e. RR+) -> (N x. B) e. CC)
14	13	3adant1 894	. . . . . . . . . . 11 |- ((A e. RR /\ N e. ZZ /\ B e. RR+) -> (N x. B) e. CC)
15		rpcnne0 7245	. . . . . . . . . . . 12 |- (B e. RR+ -> (B e. CC /\ B =/= 0))
16	15	3ad2ant3 899	. . . . . . . . . . 11 |- ((A e. RR /\ N e. ZZ /\ B e. RR+) -> (B e. CC /\ B =/= 0))
17		divdir 6933	. . . . . . . . . . 11 |- ((A e. CC /\ (N x. B) e. CC /\ (B e. CC /\ B =/= 0)) -> ((A + (N x. B)) / B) = ((A / B) + ((N x. B) / B)))
18	12, 14, 16, 17	syl111anc 1100	. . . . . . . . . 10 |- ((A e. RR /\ N e. ZZ /\ B e. RR+) -> ((A + (N x. B)) / B) = ((A / B) + ((N x. B) / B)))
19		divcan4 6939	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((N e. CC /\ B e. CC /\ B =/= 0) -> ((N x. B) / B) = N)
20	19	3expb 1068	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((N e. CC /\ (B e. CC /\ B =/= 0)) -> ((N x. B) / B) = N)
21		zcn 7349	. . . . . . . . . . . . 13 |- (N e. ZZ -> N e. CC)
22	20, 21, 15	syl2an 503	. . . . . . . . . . . 12 |- ((N e. ZZ /\ B e. RR+) -> ((N x. B) / B) = N)
23	22	3adant1 894	. . . . . . . . . . 11 |- ((A e. RR /\ N e. ZZ /\ B e. RR+) -> ((N x. B) / B) = N)
24	23	opreq2d 4898	. . . . . . . . . 10 |- ((A e. RR /\ N e. ZZ /\ B e. RR+) -> ((A / B) + ((N x. B) / B)) = ((A / B) + N))
25	18, 24	eqtrd 1925	. . . . . . . . 9 |- ((A e. RR /\ N e. ZZ /\ B e. RR+) -> ((A + (N x. B)) / B) = ((A / B) + N))
26	25	fveq2d 4685	. . . . . . . 8 |- ((A e. RR /\ N e. ZZ /\ B e. RR+) -> (|_` ((A + (N x. B)) / B)) = (|_` ((A / B) + N)))
27		rerpdivcl 7251	. . . . . . . . . 10 |- ((A e. RR /\ B e. RR+) -> (A / B) e. RR)
28	27	3adant2 895	. . . . . . . . 9 |- ((A e. RR /\ N e. ZZ /\ B e. RR+) -> (A / B) e. RR)
29		simp2 877	. . . . . . . . 9 |- ((A e. RR /\ N e. ZZ /\ B e. RR+) -> N e. ZZ)
30		fladdz 7484	. . . . . . . . 9 |- (((A / B) e. RR /\ N e. ZZ) -> (|_` ((A / B) + N)) = ((|_` (A / B)) + N))
31	28, 29, 30	syl11anc 524	. . . . . . . 8 |- ((A e. RR /\ N e. ZZ /\ B e. RR+) -> (|_` ((A / B) + N)) = ((|_` (A / B)) + N))
32	26, 31	eqtrd 1925	. . . . . . 7 |- ((A e. RR /\ N e. ZZ /\ B e. RR+) -> (|_` ((A + (N x. B)) / B)) = ((|_` (A / B)) + N))
33	32	opreq2d 4898	. . . . . 6 |- ((A e. RR /\ N e. ZZ /\ B e. RR+) -> (B x. (|_` ((A + (N x. B)) / B))) = (B x. ((|_` (A / B)) + N)))
34		rpcn 7237	. . . . . . . 8 |- (B e. RR+ -> B e. CC)
35	34	3ad2ant3 899	. . . . . . 7 |- ((A e. RR /\ N e. ZZ /\ B e. RR+) -> B e. CC)
36		reflcl 7466	. . . . . . . . . 10 |- ((A / B) e. RR -> (|_` (A / B)) e. RR)
37	36	recnd 6468	. . . . . . . . 9 |- ((A / B) e. RR -> (|_` (A / B)) e. CC)
38	27, 37	syl 12	. . . . . . . 8 |- ((A e. RR /\ B e. RR+) -> (|_` (A / B)) e. CC)
39	38	3adant2 895	. . . . . . 7 |- ((A e. RR /\ N e. ZZ /\ B e. RR+) -> (|_` (A / B)) e. CC)
40	21	3ad2ant2 898	. . . . . . 7 |- ((A e. RR /\ N e. ZZ /\ B e. RR+) -> N e. CC)
41		adddi 6462	. . . . . . 7 |- ((B e. CC /\ (|_` (A / B)) e. CC /\ N e. CC) -> (B x. ((|_` (A / B)) + N)) = ((B x. (|_` (A / B))) + (B x. N)))
42	35, 39, 40, 41	syl111anc 1100	. . . . . 6 |- ((A e. RR /\ N e. ZZ /\ B e. RR+) -> (B x. ((|_` (A / B)) + N)) = ((B x. (|_` (A / B))) + (B x. N)))
43		mulcom 6459	. . . . . . . . . 10 |- ((N e. CC /\ B e. CC) -> (N x. B) = (B x. N))
44	43, 21, 34	syl2an 503	. . . . . . . . 9 |- ((N e. ZZ /\ B e. RR+) -> (N x. B) = (B x. N))
45	44	3adant1 894	. . . . . . . 8 |- ((A e. RR /\ N e. ZZ /\ B e. RR+) -> (N x. B) = (B x. N))
46	45	eqcomd 1889	. . . . . . 7 |- ((A e. RR /\ N e. ZZ /\ B e. RR+) -> (B x. N) = (N x. B))
47	46	opreq2d 4898	. . . . . 6 |- ((A e. RR /\ N e. ZZ /\ B e. RR+) -> ((B x. (|_` (A / B))) + (B x. N)) = ((B x. (|_` (A / B))) + (N x. B)))
48	33, 42, 47	3eqtrd 1929	. . . . 5 |- ((A e. RR /\ N e. ZZ /\ B e. RR+) -> (B x. (|_` ((A + (N x. B)) / B))) = ((B x. (|_` (A / B))) + (N x. B)))
49	48	opreq2d 4898	. . . 4 |- ((A e. RR /\ N e. ZZ /\ B e. RR+) -> ((A + (N x. B)) - (B x. (|_` ((A + (N x. B)) / B)))) = ((A + (N x. B)) - ((B x. (|_` (A / B))) + (N x. B))))
50	34	adantl 424	. . . . . . 7 |- ((A e. RR /\ B e. RR+) -> B e. CC)
51		mulcl 6456	. . . . . . 7 |- ((B e. CC /\ (|_` (A / B)) e. CC) -> (B x. (|_` (A / B))) e. CC)
52	50, 38, 51	syl11anc 524	. . . . . 6 |- ((A e. RR /\ B e. RR+) -> (B x. (|_` (A / B))) e. CC)
53	52	3adant2 895	. . . . 5 |- ((A e. RR /\ N e. ZZ /\ B e. RR+) -> (B x. (|_` (A / B))) e. CC)
54		pnpcan2 6646	. . . . 5 |- ((A e. CC /\ (B x. (|_` (A / B))) e. CC /\ (N x. B) e. CC) -> ((A + (N x. B)) - ((B x. (|_` (A / B))) + (N x. B))) = (A - (B x. (|_` (A / B)))))
55	12, 53, 14, 54	syl111anc 1100	. . . 4 |- ((A e. RR /\ N e. ZZ /\ B e. RR+) -> ((A + (N x. B)) - ((B x. (|_` (A / B))) + (N x. B))) = (A - (B x. (|_` (A / B)))))
56	10, 49, 55	3eqtrd 1929	. . 3 |- ((A e. RR /\ N e. ZZ /\ B e. RR+) -> ((A + (N x. B)) mod B) = (A - (B x. (|_` (A / B)))))
57		modval 7501	. . . 4 |- ((A e. RR /\ B e. RR+) -> (A mod B) = (A - (B x. (|_` (A / B)))))
58	57	3adant2 895	. . 3 |- ((A e. RR /\ N e. ZZ /\ B e. RR+) -> (A mod B) = (A - (B x. (|_` (A / B)))))
59	56, 58	eqtr4d 1928	. 2 |- ((A e. RR /\ N e. ZZ /\ B e. RR+) -> ((A + (N x. B)) mod B) = (A mod B))
60	59	3com23 1074	1 |- ((A e. RR /\ B e. RR+ /\ N e. ZZ) -> ((A + (N x. B)) mod B) = (A mod B))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300   =/= wne 2017  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384  RRcr 6385  0cc0 6386   + caddc 6389   x. cmul 6391   - cmin 6445   / cdiv 6447  ZZcz 6451  RR+crp 6453  |_cfl 7462   mod cmo 7499

This theorem is referenced by:  modcyc2 7517

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-rp 7232  df-n0 7309  df-z 7345  df-fl 7463  df-mod 7500

Copyright terms: Public domain