MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  modcld Structured version   Unicode version

Theorem modcld 12045
Description: Closure law for the modulo operation. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
modcld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
modcld.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
Assertion
Ref Expression
modcld  |-  ( ph  ->  ( A  mod  B
)  e.  RR )

Proof of Theorem modcld
StepHypRef Expression
1 modcld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 modcld.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
3 modcl 12043 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  -> 
( A  mod  B
)  e.  RR )
41, 2, 3syl2anc 665 1  |-  ( ph  ->  ( A  mod  B
)  e.  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1872  (class class class)co 6242   RRcr 9482   RR+crp 11246    mod cmo 12039
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2058  ax-ext 2402  ax-sep 4482  ax-nul 4491  ax-pow 4538  ax-pr 4596  ax-un 6534  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560  ax-pre-sup 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2552  df-ne 2595  df-nel 2596  df-ral 2713  df-rex 2714  df-reu 2715  df-rmo 2716  df-rab 2717  df-v 3018  df-sbc 3236  df-csb 3332  df-dif 3375  df-un 3377  df-in 3379  df-ss 3386  df-pss 3388  df-nul 3698  df-if 3848  df-pw 3919  df-sn 3935  df-pr 3937  df-tp 3939  df-op 3941  df-uni 4156  df-iun 4237  df-br 4360  df-opab 4419  df-mpt 4420  df-tr 4455  df-eprel 4700  df-id 4704  df-po 4710  df-so 4711  df-fr 4748  df-we 4750  df-xp 4795  df-rel 4796  df-cnv 4797  df-co 4798  df-dm 4799  df-rn 4800  df-res 4801  df-ima 4802  df-pred 5335  df-ord 5381  df-on 5382  df-lim 5383  df-suc 5384  df-iota 5501  df-fun 5539  df-fn 5540  df-f 5541  df-f1 5542  df-fo 5543  df-f1o 5544  df-fv 5545  df-riota 6204  df-ov 6245  df-oprab 6246  df-mpt2 6247  df-om 6644  df-wrecs 6976  df-recs 7038  df-rdg 7076  df-er 7311  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-sup 7902  df-inf 7903  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9806  df-neg 9807  df-div 10214  df-nn 10554  df-n0 10814  df-z 10882  df-uz 11104  df-rp 11247  df-fl 11971  df-mod 12040
This theorem is referenced by:  modaddmulmod  12099  digit1  12349  bitsmod  14346  bitsinv1lem  14351  eulerthlem2  14666  vfermltlALT  14689  4sqlem5  14822  4sqlem6  14823  4sqlem10  14827  lgsvalmod  24178  irrapxlem2  35574  irrapxlem3  35575  modabsdifz  35746  jm2.19  35755  sineq0ALT  37244  lefldiveq  37397  ltmod  37595  dirkertrigeq  37840  sqwvfoura  37969  sqwvfourb  37970  fouriersw  37972  m1mod0mod1  38530  fsummmodsndifre  38861  m1modmmod  39911  difmodm1lt  39912  dignn0flhalflem1  40013
  Copyright terms: Public domain W3C validator