MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  modcl Structured version   Unicode version

Theorem modcl 11832
Description: Closure law for the modulo operation. (Contributed by NM, 10-Nov-2008.)
Assertion
Ref Expression
modcl  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  -> 
( A  mod  B
)  e.  RR )

Proof of Theorem modcl
StepHypRef Expression
1 modval 11830 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  -> 
( A  mod  B
)  =  ( A  -  ( B  x.  ( |_ `  ( A  /  B ) ) ) ) )
2 rpre 11111 . . . . 5  |-  ( B  e.  RR+  ->  B  e.  RR )
32adantl 466 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  ->  B  e.  RR )
4 rerpdivcl 11132 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  -> 
( A  /  B
)  e.  RR )
5 reflcl 11766 . . . . 5  |-  ( ( A  /  B )  e.  RR  ->  ( |_ `  ( A  /  B ) )  e.  RR )
64, 5syl 16 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  -> 
( |_ `  ( A  /  B ) )  e.  RR )
73, 6remulcld 9528 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  -> 
( B  x.  ( |_ `  ( A  /  B ) ) )  e.  RR )
8 resubcl 9787 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( B  x.  ( |_ `  ( A  /  B ) ) )  e.  RR )  -> 
( A  -  ( B  x.  ( |_ `  ( A  /  B
) ) ) )  e.  RR )
97, 8syldan 470 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  -> 
( A  -  ( B  x.  ( |_ `  ( A  /  B
) ) ) )  e.  RR )
101, 9eqeltrd 2542 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  -> 
( A  mod  B
)  e.  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1758   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   RRcr 9395    x. cmul 9401    - cmin 9709    / cdiv 10107   RR+crp 11105   |_cfl 11760    mod cmo 11828
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473  ax-pre-sup 9474
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-er 7214  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-sup 7805  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-div 10108  df-nn 10437  df-n0 10694  df-z 10761  df-uz 10976  df-rp 11106  df-fl 11762  df-mod 11829
This theorem is referenced by:  flpmodeq  11833  modcld  11834  modabs  11861  modaddabs  11866  modaddmod  11867  modadd2mod  11869  modltm1p1mod  11871  modsubmod  11877  modsubmodmod  11878  modmulmod  11884  modsubdir  11887  modeqmodmin  11888  repswcshw  12567  sineq0  22119  efif1olem2  22135  modelico  29330  irrapxlem1  29331
  Copyright terms: Public domain W3C validator