MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  modaddmod Structured version   Unicode version

Theorem modaddmod 11987
Description: The sum of a real number modulo a positive real number and another real number equals the sum of the two real numbers modulo the positive real number. (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-May-2018.)
Assertion
Ref Expression
modaddmod  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  M  e.  RR+ )  ->  (
( ( A  mod  M )  +  B )  mod  M )  =  ( ( A  +  B )  mod  M
) )

Proof of Theorem modaddmod
StepHypRef Expression
1 modcl 11951 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  M  e.  RR+ )  -> 
( A  mod  M
)  e.  RR )
2 simpl 455 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  M  e.  RR+ )  ->  A  e.  RR )
31, 2jca 530 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  M  e.  RR+ )  -> 
( ( A  mod  M )  e.  RR  /\  A  e.  RR )
)
433adant2 1016 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  M  e.  RR+ )  ->  (
( A  mod  M
)  e.  RR  /\  A  e.  RR )
)
5 3simpc 996 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  M  e.  RR+ )  ->  ( B  e.  RR  /\  M  e.  RR+ ) )
6 modabs2 11982 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  M  e.  RR+ )  -> 
( ( A  mod  M )  mod  M )  =  ( A  mod  M ) )
763adant2 1016 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  M  e.  RR+ )  ->  (
( A  mod  M
)  mod  M )  =  ( A  mod  M ) )
8 modadd1 11985 . 2  |-  ( ( ( ( A  mod  M )  e.  RR  /\  A  e.  RR )  /\  ( B  e.  RR  /\  M  e.  RR+ )  /\  ( ( A  mod  M )  mod  M )  =  ( A  mod  M ) )  ->  (
( ( A  mod  M )  +  B )  mod  M )  =  ( ( A  +  B )  mod  M
) )
94, 5, 7, 8syl3anc 1230 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  M  e.  RR+ )  ->  (
( ( A  mod  M )  +  B )  mod  M )  =  ( ( A  +  B )  mod  M
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842  (class class class)co 6234   RRcr 9441    + caddc 9445   RR+crp 11183    mod cmo 11947
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6530  ax-cnex 9498  ax-resscn 9499  ax-1cn 9500  ax-icn 9501  ax-addcl 9502  ax-addrcl 9503  ax-mulcl 9504  ax-mulrcl 9505  ax-mulcom 9506  ax-addass 9507  ax-mulass 9508  ax-distr 9509  ax-i2m1 9510  ax-1ne0 9511  ax-1rid 9512  ax-rnegex 9513  ax-rrecex 9514  ax-cnre 9515  ax-pre-lttri 9516  ax-pre-lttrn 9517  ax-pre-ltadd 9518  ax-pre-mulgt0 9519  ax-pre-sup 9520
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-ord 4824  df-on 4825  df-lim 4826  df-suc 4827  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-rn 4953  df-res 4954  df-ima 4955  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-riota 6196  df-ov 6237  df-oprab 6238  df-mpt2 6239  df-om 6639  df-recs 6999  df-rdg 7033  df-er 7268  df-en 7475  df-dom 7476  df-sdom 7477  df-sup 7855  df-pnf 9580  df-mnf 9581  df-xr 9582  df-ltxr 9583  df-le 9584  df-sub 9763  df-neg 9764  df-div 10168  df-nn 10497  df-n0 10757  df-z 10826  df-uz 11046  df-rp 11184  df-fl 11879  df-mod 11948
This theorem is referenced by:  modadd2mod  11991  modm1p1mod0  11992  modltm1p1mod  11993  modaddmulmod  12007  2cshw  12744  cshweqrep  12752  mod2eq1n2dvds  37656
  Copyright terms: Public domain W3C validator