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Theorem mo2vOLD 2271
Description: Obsolete proof of mo2v 2270 as of 10-Nov-2019. (Contributed by Wolf Lammen, 27-May-2019.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
mo2vOLD  |-  ( E* x ph  <->  E. y A. x ( ph  ->  x  =  y ) )
Distinct variable groups:    x, y    ph, y
Allowed substitution hint:    ph( x)

Proof of Theorem mo2vOLD
StepHypRef Expression
1 df-mo 2268 . 2  |-  ( E* x ph  <->  ( E. x ph  ->  E! x ph ) )
2 df-eu 2267 . . 3  |-  ( E! x ph  <->  E. y A. x ( ph  <->  x  =  y ) )
32imbi2i 313 . 2  |-  ( ( E. x ph  ->  E! x ph )  <->  ( E. x ph  ->  E. y A. x ( ph  <->  x  =  y ) ) )
4 alnex 1661 . . . . . 6  |-  ( A. x  -.  ph  <->  -.  E. x ph )
5 pm2.21 111 . . . . . . 7  |-  ( -. 
ph  ->  ( ph  ->  x  =  y ) )
65alimi 1680 . . . . . 6  |-  ( A. x  -.  ph  ->  A. x
( ph  ->  x  =  y ) )
74, 6sylbir 216 . . . . 5  |-  ( -. 
E. x ph  ->  A. x ( ph  ->  x  =  y ) )
8 19.8a 1907 . . . . 5  |-  ( A. x ( ph  ->  x  =  y )  ->  E. y A. x (
ph  ->  x  =  y ) )
97, 8syl 17 . . . 4  |-  ( -. 
E. x ph  ->  E. y A. x (
ph  ->  x  =  y ) )
10 biimp 196 . . . . . 6  |-  ( (
ph 
<->  x  =  y )  ->  ( ph  ->  x  =  y ) )
1110alimi 1680 . . . . 5  |-  ( A. x ( ph  <->  x  =  y )  ->  A. x
( ph  ->  x  =  y ) )
1211eximi 1702 . . . 4  |-  ( E. y A. x (
ph 
<->  x  =  y )  ->  E. y A. x
( ph  ->  x  =  y ) )
139, 12ja 164 . . 3  |-  ( ( E. x ph  ->  E. y A. x (
ph 
<->  x  =  y ) )  ->  E. y A. x ( ph  ->  x  =  y ) )
14 nfia1 2009 . . . . . 6  |-  F/ x
( A. x (
ph  ->  x  =  y )  ->  A. x
( ph  <->  x  =  y
) )
15 id 23 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ph )
16 ax-5 1748 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. y ph )
17 ax-12 1904 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  ( A. y ph  ->  A. x
( x  =  y  ->  ph ) ) )
1816, 17syl5com 31 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  =  y  ->  A. x ( x  =  y  ->  ph )
) )
1915, 18embantd 56 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ph  ->  x  =  y )  ->  A. x ( x  =  y  ->  ph ) ) )
2019spsd 1917 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A. x (
ph  ->  x  =  y )  ->  A. x
( x  =  y  ->  ph ) ) )
2120ancld 555 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A. x (
ph  ->  x  =  y )  ->  ( A. x ( ph  ->  x  =  y )  /\  A. x ( x  =  y  ->  ph ) ) ) )
22 albiim 1743 . . . . . . 7  |-  ( A. x ( ph  <->  x  =  y )  <->  ( A. x ( ph  ->  x  =  y )  /\  A. x ( x  =  y  ->  ph ) ) )
2321, 22syl6ibr 230 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A. x (
ph  ->  x  =  y )  ->  A. x
( ph  <->  x  =  y
) ) )
2414, 23exlimi 1967 . . . . 5  |-  ( E. x ph  ->  ( A. x ( ph  ->  x  =  y )  ->  A. x ( ph  <->  x  =  y ) ) )
2524eximdv 1754 . . . 4  |-  ( E. x ph  ->  ( E. y A. x (
ph  ->  x  =  y )  ->  E. y A. x ( ph  <->  x  =  y ) ) )
2625com12 32 . . 3  |-  ( E. y A. x (
ph  ->  x  =  y )  ->  ( E. x ph  ->  E. y A. x ( ph  <->  x  =  y ) ) )
2713, 26impbii 190 . 2  |-  ( ( E. x ph  ->  E. y A. x (
ph 
<->  x  =  y ) )  <->  E. y A. x
( ph  ->  x  =  y ) )
281, 3, 273bitri 274 1  |-  ( E* x ph  <->  E. y A. x ( ph  ->  x  =  y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370   A.wal 1435   E.wex 1659   E!weu 2263   E*wmo 2264
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-10 1886  ax-12 1904
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-an 372  df-ex 1660  df-nf 1664  df-eu 2267  df-mo 2268
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