Theorem mo2v 2326

Description: Alternate definition of "at most one." Unlike mo2 2328, which is slightly more general, it does not depend on ax-11 1937 and ax-13 2104, whence it is preferable within predicate logic. Elsewhere, most theorems depend on these axioms anyway, so this advantage is no longer important. (Contributed by Wolf Lammen, 27-May-2019.) (Proof shortened by Wolf Lammen, 10-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
mo2v	|- ( E* x ph <-> E. y A. x ( ph -> x = y ) )

Distinct variable groups:   x, y   ph, y

Allowed substitution hint:   ph( x)

Proof of Theorem mo2v

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-mo 2324	. 2 |- ( E* x ph <-> ( E. x ph -> E! x ph ) )
2		df-eu 2323	. . 3 |- ( E! x ph <-> E. y A. x ( ph <-> x = y ) )
3	2	imbi2i 319	. 2 |- ( ( E. x ph -> E! x ph ) <-> ( E. x ph -> E. y A. x ( ph <-> x = y ) ) )
4		alnex 1673	. . . . . . 7 |- ( A. x -. ph <-> -. E. x ph )
5		pm2.21 111	. . . . . . . 8 |- ( -. ph -> ( ph -> x = y ) )
6	5	alimi 1692	. . . . . . 7 |- ( A. x -. ph -> A. x ( ph -> x = y ) )
7	4, 6	sylbir 218	. . . . . 6 |- ( -. E. x ph -> A. x ( ph -> x = y ) )
8	7	eximi 1715	. . . . 5 |- ( E. y -. E. x ph -> E. y A. x ( ph -> x = y ) )
9	8	19.23bi 1969	. . . 4 |- ( -. E. x ph -> E. y A. x ( ph -> x = y ) )
10		biimp 198	. . . . . 6 |- ( ( ph <-> x = y ) -> ( ph -> x = y ) )
11	10	alimi 1692	. . . . 5 |- ( A. x ( ph <-> x = y ) -> A. x ( ph -> x = y ) )
12	11	eximi 1715	. . . 4 |- ( E. y A. x ( ph <-> x = y ) -> E. y A. x ( ph -> x = y ) )
13	9, 12	ja 166	. . 3 |- ( ( E. x ph -> E. y A. x ( ph <-> x = y ) ) -> E. y A. x ( ph -> x = y ) )
14		nfia1 2056	. . . . . 6 |- F/ x ( A. x ( ph -> x = y ) -> A. x ( ph <-> x = y ) )
15		id 22	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ph )
16		ax12v 1951	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = y -> ( ph -> A. x ( x = y -> ph ) ) )
17	16	com12 31	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( x = y -> A. x ( x = y -> ph ) ) )
18	15, 17	embantd 55	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ph -> x = y ) -> A. x ( x = y -> ph ) ) )
19	18	spsd 1965	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A. x ( ph -> x = y ) -> A. x ( x = y -> ph ) ) )
20	19	ancld 562	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A. x ( ph -> x = y ) -> ( A. x ( ph -> x = y ) /\ A. x ( x = y -> ph ) ) ) )
21		albiim 1760	. . . . . . 7 |- ( A. x ( ph <-> x = y ) <-> ( A. x ( ph -> x = y ) /\ A. x ( x = y -> ph ) ) )
22	20, 21	syl6ibr 235	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A. x ( ph -> x = y ) -> A. x ( ph <-> x = y ) ) )
23	14, 22	exlimi 2015	. . . . 5 |- ( E. x ph -> ( A. x ( ph -> x = y ) -> A. x ( ph <-> x = y ) ) )
24	23	eximdv 1772	. . . 4 |- ( E. x ph -> ( E. y A. x ( ph -> x = y ) -> E. y A. x ( ph <-> x = y ) ) )
25	24	com12 31	. . 3 |- ( E. y A. x ( ph -> x = y ) -> ( E. x ph -> E. y A. x ( ph <-> x = y ) ) )
26	13, 25	impbii 192	. 2 |- ( ( E. x ph -> E. y A. x ( ph <-> x = y ) ) <-> E. y A. x ( ph -> x = y ) )
27	1, 3, 26	3bitri 279	1 |- ( E* x ph <-> E. y A. x ( ph -> x = y ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   A.wal 1450   E.wex 1671   E!weu 2319   E*wmo 2320

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-10 1932  ax-12 1950

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-an 378  df-ex 1672  df-nf 1676  df-eu 2323  df-mo 2324

This theorem is referenced by:  mo2  2328  eu3v  2347  mo3  2356  sbmo  2364  moim  2368  mopick  2384  2mo2  2399  mo2icl  3205  moabex  4659  dffun3  5600  dffun6f  5603  grothprim  9277  bj-mo3OLD  31515  wl-mo2df  31969  wl-mo2t  31974  wl-mo3t  31975  dffrege115  36645