Theorem mo2v 2269

Description: Alternate definition of "at most one." Unlike mo2 2274, which is slightly more general, it does not depend on ax-11 1782 and ax-13 1955, whence it is preferable within predicate logic. Elsewhere, most theorems depend on these axioms anyway, so this advantage is no longer important. (Contributed by Wolf Lammen, 27-May-2019.) (Proof shortened by Wolf Lammen, 10-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
mo2v	|- ( E* x ph <-> E. y A. x ( ph -> x = y ) )

Distinct variable groups:   x, y   ph, y

Allowed substitution hint:   ph( x)

Proof of Theorem mo2v

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-mo 2267	. 2 |- ( E* x ph <-> ( E. x ph -> E! x ph ) )
2		df-eu 2266	. . 3 |- ( E! x ph <-> E. y A. x ( ph <-> x = y ) )
3	2	imbi2i 312	. 2 |- ( ( E. x ph -> E! x ph ) <-> ( E. x ph -> E. y A. x ( ph <-> x = y ) ) )
4		alnex 1589	. . . . . . 7 |- ( A. x -. ph <-> -. E. x ph )
5		pm2.21 108	. . . . . . . 8 |- ( -. ph -> ( ph -> x = y ) )
6	5	alimi 1605	. . . . . . 7 |- ( A. x -. ph -> A. x ( ph -> x = y ) )
7	4, 6	sylbir 213	. . . . . 6 |- ( -. E. x ph -> A. x ( ph -> x = y ) )
8	7	eximi 1626	. . . . 5 |- ( E. y -. E. x ph -> E. y A. x ( ph -> x = y ) )
9	8	19.23bi 1810	. . . 4 |- ( -. E. x ph -> E. y A. x ( ph -> x = y ) )
10		bi1 186	. . . . . 6 |- ( ( ph <-> x = y ) -> ( ph -> x = y ) )
11	10	alimi 1605	. . . . 5 |- ( A. x ( ph <-> x = y ) -> A. x ( ph -> x = y ) )
12	11	eximi 1626	. . . 4 |- ( E. y A. x ( ph <-> x = y ) -> E. y A. x ( ph -> x = y ) )
13	9, 12	ja 161	. . 3 |- ( ( E. x ph -> E. y A. x ( ph <-> x = y ) ) -> E. y A. x ( ph -> x = y ) )
14		nfia1 1892	. . . . . 6 |- F/ x ( A. x ( ph -> x = y ) -> A. x ( ph <-> x = y ) )
15		id 22	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ph )
16		ax12v 1795	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = y -> ( ph -> A. x ( x = y -> ph ) ) )
17	16	com12 31	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( x = y -> A. x ( x = y -> ph ) ) )
18	15, 17	embantd 54	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ph -> x = y ) -> A. x ( x = y -> ph ) ) )
19	18	spsd 1807	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A. x ( ph -> x = y ) -> A. x ( x = y -> ph ) ) )
20	19	ancld 553	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A. x ( ph -> x = y ) -> ( A. x ( ph -> x = y ) /\ A. x ( x = y -> ph ) ) ) )
21		albiim 1666	. . . . . . 7 |- ( A. x ( ph <-> x = y ) <-> ( A. x ( ph -> x = y ) /\ A. x ( x = y -> ph ) ) )
22	20, 21	syl6ibr 227	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A. x ( ph -> x = y ) -> A. x ( ph <-> x = y ) ) )
23	14, 22	exlimi 1850	. . . . 5 |- ( E. x ph -> ( A. x ( ph -> x = y ) -> A. x ( ph <-> x = y ) ) )
24	23	eximdv 1677	. . . 4 |- ( E. x ph -> ( E. y A. x ( ph -> x = y ) -> E. y A. x ( ph <-> x = y ) ) )
25	24	com12 31	. . 3 |- ( E. y A. x ( ph -> x = y ) -> ( E. x ph -> E. y A. x ( ph <-> x = y ) ) )
26	13, 25	impbii 188	. 2 |- ( ( E. x ph -> E. y A. x ( ph <-> x = y ) ) <-> E. y A. x ( ph -> x = y ) )
27	1, 3, 26	3bitri 271	1 |- ( E* x ph <-> E. y A. x ( ph -> x = y ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   A.wal 1368   E.wex 1587   E!weu 2262   E*wmo 2263

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-10 1777  ax-12 1794

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-an 371  df-ex 1588  df-nf 1591  df-eu 2266  df-mo 2267

This theorem is referenced by:  mo2  2274  eu3v  2294  mo3  2307  mo3OLD  2308  sbmo  2324  moim  2328  mopick  2348  2mo2  2368  mo2icl  3245  moabex  4662  dffun3  5540  dffun6f  5543  grothprim  9115  wl-mo2dnae  28563  wl-mo2t  28564  wl-mo3t  28565