Theorem mo2v 2273

Description: Alternate definition of "at most one." Unlike mo2 2276, which is slightly more general, it does not depend on ax-11 1893 and ax-13 2054, whence it is preferable within predicate logic. Elsewhere, most theorems depend on these axioms anyway, so this advantage is no longer important. (Contributed by Wolf Lammen, 27-May-2019.) (Proof shortened by Wolf Lammen, 10-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
mo2v	|- ( E* x ph <-> E. y A. x ( ph -> x = y ) )

Distinct variable groups:   x, y   ph, y

Allowed substitution hint:   ph( x)

Proof of Theorem mo2v

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-mo 2271	. 2 |- ( E* x ph <-> ( E. x ph -> E! x ph ) )
2		df-eu 2270	. . 3 |- ( E! x ph <-> E. y A. x ( ph <-> x = y ) )
3	2	imbi2i 314	. 2 |- ( ( E. x ph -> E! x ph ) <-> ( E. x ph -> E. y A. x ( ph <-> x = y ) ) )
4		alnex 1662	. . . . . . 7 |- ( A. x -. ph <-> -. E. x ph )
5		pm2.21 112	. . . . . . . 8 |- ( -. ph -> ( ph -> x = y ) )
6	5	alimi 1681	. . . . . . 7 |- ( A. x -. ph -> A. x ( ph -> x = y ) )
7	4, 6	sylbir 217	. . . . . 6 |- ( -. E. x ph -> A. x ( ph -> x = y ) )
8	7	eximi 1703	. . . . 5 |- ( E. y -. E. x ph -> E. y A. x ( ph -> x = y ) )
9	8	19.23bi 1923	. . . 4 |- ( -. E. x ph -> E. y A. x ( ph -> x = y ) )
10		biimp 197	. . . . . 6 |- ( ( ph <-> x = y ) -> ( ph -> x = y ) )
11	10	alimi 1681	. . . . 5 |- ( A. x ( ph <-> x = y ) -> A. x ( ph -> x = y ) )
12	11	eximi 1703	. . . 4 |- ( E. y A. x ( ph <-> x = y ) -> E. y A. x ( ph -> x = y ) )
13	9, 12	ja 165	. . 3 |- ( ( E. x ph -> E. y A. x ( ph <-> x = y ) ) -> E. y A. x ( ph -> x = y ) )
14		nfia1 2011	. . . . . 6 |- F/ x ( A. x ( ph -> x = y ) -> A. x ( ph <-> x = y ) )
15		id 23	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ph )
16		ax12v 1907	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = y -> ( ph -> A. x ( x = y -> ph ) ) )
17	16	com12 33	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( x = y -> A. x ( x = y -> ph ) ) )
18	15, 17	embantd 57	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ph -> x = y ) -> A. x ( x = y -> ph ) ) )
19	18	spsd 1919	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A. x ( ph -> x = y ) -> A. x ( x = y -> ph ) ) )
20	19	ancld 556	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A. x ( ph -> x = y ) -> ( A. x ( ph -> x = y ) /\ A. x ( x = y -> ph ) ) ) )
21		albiim 1744	. . . . . . 7 |- ( A. x ( ph <-> x = y ) <-> ( A. x ( ph -> x = y ) /\ A. x ( x = y -> ph ) ) )
22	20, 21	syl6ibr 231	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A. x ( ph -> x = y ) -> A. x ( ph <-> x = y ) ) )
23	14, 22	exlimi 1969	. . . . 5 |- ( E. x ph -> ( A. x ( ph -> x = y ) -> A. x ( ph <-> x = y ) ) )
24	23	eximdv 1755	. . . 4 |- ( E. x ph -> ( E. y A. x ( ph -> x = y ) -> E. y A. x ( ph <-> x = y ) ) )
25	24	com12 33	. . 3 |- ( E. y A. x ( ph -> x = y ) -> ( E. x ph -> E. y A. x ( ph <-> x = y ) ) )
26	13, 25	impbii 191	. 2 |- ( ( E. x ph -> E. y A. x ( ph <-> x = y ) ) <-> E. y A. x ( ph -> x = y ) )
27	1, 3, 26	3bitri 275	1 |- ( E* x ph <-> E. y A. x ( ph -> x = y ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   A.wal 1436   E.wex 1660   E!weu 2266   E*wmo 2267

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-10 1888  ax-12 1906

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-an 373  df-ex 1661  df-nf 1665  df-eu 2270  df-mo 2271

This theorem is referenced by:  mo2  2276  eu3v  2295  mo3  2304  sbmo  2312  moim  2316  mopick  2332  2mo2  2347  mo2icl  3251  moabex  4678  dffun3  5610  dffun6f  5613  grothprim  9261  bj-mo3OLD  31411  wl-mo2df  31857  wl-mo2t  31862  wl-mo3t  31863  dffrege115  36476