Theorem mnfxrOLD 6663

Description: Minus infinity belongs to the set of extended reals. (The proof was shortened by Anthony Hart, 29-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
mnfxrOLD	|- -oo e. RR*

Proof of Theorem mnfxrOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-mnf 6655	. . . . 5 |- -oo = ~P +oo
2		df-pnf 6654	. . . . . . 7 |- +oo = ~PU.CC
3		axcnex 6419	. . . . . . . . 9 |- CC e. _V
4	3	uniex 3794	. . . . . . . 8 |- U.CC e. _V
5	4	pwex 3487	. . . . . . 7 |- ~PU.CC e. _V
6	2, 5	eqeltri 1967	. . . . . 6 |- +oo e. _V
7	6	pwex 3487	. . . . 5 |- ~P +oo e. _V
8	1, 7	eqeltri 1967	. . . 4 |- -oo e. _V
9	8	prid2 3107	. . 3 |- -oo e. { +oo, -oo}
10		elun2 2772	. . 3 |- ( -oo e. { +oo, -oo} -> -oo e. (RR u. { +oo, -oo}))
11	9, 10	ax-mp 7	. 2 |- -oo e. (RR u. { +oo, -oo})
12		df-xr 6656	. 2 |- RR* = (RR u. { +oo, -oo})
13	11, 12	eleqtrri 1970	1 |- -oo e. RR*

Syntax hints:   e. wcel 1300  _Vcvv 2292   u. cun 2591  ~Pcpw 3032  {cpr 3045  U.cuni 3177  CCcc 6384  RRcr 6385   +oocpnf 6650   -oocmnf 6651  RR*cxr 6652

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-qs 5323  df-ni 6152  df-nq 6190  df-np 6238  df-nr 6319  df-c 6392  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656

Copyright terms: Public domain