MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mnfnre Structured version   Unicode version

Theorem mnfnre 9627
Description: Minus infinity is not a real number. (Contributed by NM, 13-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
mnfnre  |- -oo  e/  RR

Proof of Theorem mnfnre
StepHypRef Expression
1 2pwuninel 7664 . . . 4  |-  -.  ~P ~P U. CC  e.  CC
2 df-mnf 9622 . . . . . 6  |- -oo  =  ~P +oo
3 df-pnf 9621 . . . . . . 7  |- +oo  =  ~P U. CC
43pweqi 4009 . . . . . 6  |-  ~P +oo  =  ~P ~P U. CC
52, 4eqtri 2491 . . . . 5  |- -oo  =  ~P ~P U. CC
65eleq1i 2539 . . . 4  |-  ( -oo  e.  CC  <->  ~P ~P U. CC  e.  CC )
71, 6mtbir 299 . . 3  |-  -. -oo  e.  CC
8 recn 9573 . . 3  |-  ( -oo  e.  RR  -> -oo  e.  CC )
97, 8mto 176 . 2  |-  -. -oo  e.  RR
109nelir 2798 1  |- -oo  e/  RR
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    e. wcel 1762    e/ wnel 2658   ~Pcpw 4005   U.cuni 4240   CCcc 9481   RRcr 9482   +oocpnf 9616   -oocmnf 9617
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-resscn 9540
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-op 4029  df-uni 4241  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-id 4790  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-er 7303  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-pnf 9621  df-mnf 9622
This theorem is referenced by:  renemnf  9633  ltxrlt  9646  xrltnr  11321  nltmnf  11329  hashnemnf  12374  mnfnei  19483  deg1nn0clb  22220
  Copyright terms: Public domain W3C validator