MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mnfnre Structured version   Unicode version

Theorem mnfnre 9639
Description: Minus infinity is not a real number. (Contributed by NM, 13-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
mnfnre  |- -oo  e/  RR

Proof of Theorem mnfnre
StepHypRef Expression
1 2pwuninel 7674 . . . 4  |-  -.  ~P ~P U. CC  e.  CC
2 df-mnf 9634 . . . . . 6  |- -oo  =  ~P +oo
3 df-pnf 9633 . . . . . . 7  |- +oo  =  ~P U. CC
43pweqi 4001 . . . . . 6  |-  ~P +oo  =  ~P ~P U. CC
52, 4eqtri 2472 . . . . 5  |- -oo  =  ~P ~P U. CC
65eleq1i 2520 . . . 4  |-  ( -oo  e.  CC  <->  ~P ~P U. CC  e.  CC )
71, 6mtbir 299 . . 3  |-  -. -oo  e.  CC
8 recn 9585 . . 3  |-  ( -oo  e.  RR  -> -oo  e.  CC )
97, 8mto 176 . 2  |-  -. -oo  e.  RR
109nelir 2779 1  |- -oo  e/  RR
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    e. wcel 1804    e/ wnel 2639   ~Pcpw 3997   U.cuni 4234   CCcc 9493   RRcr 9494   +oocpnf 9628   -oocmnf 9629
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-resscn 9552
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-op 4021  df-uni 4235  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-id 4785  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-pnf 9633  df-mnf 9634
This theorem is referenced by:  renemnf  9645  ltxrlt  9658  xrltnr  11341  nltmnf  11349  hashnemnf  12399  mnfnei  19700  deg1nn0clb  22468
  Copyright terms: Public domain W3C validator