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Theorem mnfnei 19488
Description: A neighborhood of -oo contains an unbounded interval based at a real number. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
mnfnei  |-  ( ( A  e.  (ordTop `  <_  )  /\ -oo  e.  A )  ->  E. x  e.  RR  ( -oo [,) x )  C_  A
)
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem mnfnei
Dummy variables  a 
b  c  u  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2467 . . . 4  |-  ran  (
y  e.  RR*  |->  ( y (,] +oo ) )  =  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( y (,] +oo ) )
2 eqid 2467 . . . 4  |-  ran  (
y  e.  RR*  |->  ( -oo [,) y ) )  =  ran  ( y  e. 
RR*  |->  ( -oo [,) y ) )
3 eqid 2467 . . . 4  |-  ran  (,)  =  ran  (,)
41, 2, 3leordtval 19480 . . 3  |-  (ordTop `  <_  )  =  ( topGen `  ( ( ran  (
y  e.  RR*  |->  ( y (,] +oo ) )  u.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( -oo [,) y ) ) )  u.  ran  (,) )
)
54eleq2i 2545 . 2  |-  ( A  e.  (ordTop `  <_  )  <-> 
A  e.  ( topGen `  ( ( ran  (
y  e.  RR*  |->  ( y (,] +oo ) )  u.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( -oo [,) y ) ) )  u.  ran  (,) )
) )
6 tg2 19233 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( topGen `  ( ( ran  (
y  e.  RR*  |->  ( y (,] +oo ) )  u.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( -oo [,) y ) ) )  u.  ran  (,) )
)  /\ -oo  e.  A
)  ->  E. u  e.  ( ( ran  (
y  e.  RR*  |->  ( y (,] +oo ) )  u.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( -oo [,) y ) ) )  u.  ran  (,) )
( -oo  e.  u  /\  u  C_  A ) )
7 elun 3645 . . . . 5  |-  ( u  e.  ( ( ran  ( y  e.  RR*  |->  ( y (,] +oo ) )  u.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( -oo [,) y ) ) )  u.  ran  (,) )  <->  ( u  e.  ( ran  ( y  e.  RR*  |->  ( y (,] +oo ) )  u.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( -oo [,) y ) ) )  \/  u  e.  ran  (,) ) )
8 elun 3645 . . . . . . 7  |-  ( u  e.  ( ran  (
y  e.  RR*  |->  ( y (,] +oo ) )  u.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( -oo [,) y ) ) )  <-> 
( u  e.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( y (,] +oo ) )  \/  u  e.  ran  ( y  e. 
RR*  |->  ( -oo [,) y ) ) ) )
9 vex 3116 . . . . . . . . . 10  |-  u  e. 
_V
10 eqid 2467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  RR*  |->  ( y (,] +oo ) )  =  ( y  e. 
RR*  |->  ( y (,] +oo ) )
1110elrnmpt 5247 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  _V  ->  (
u  e.  ran  (
y  e.  RR*  |->  ( y (,] +oo ) )  <->  E. y  e.  RR*  u  =  ( y (,] +oo ) ) )
129, 11ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( u  e.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( y (,] +oo ) )  <->  E. y  e.  RR*  u  =  ( y (,] +oo ) )
13 nltmnf 11334 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  RR*  ->  -.  y  < -oo )
14 pnfxr 11317 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |- +oo  e.  RR*
15 elioc1 11567 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  ->  ( -oo  e.  ( y (,] +oo )  <->  ( -oo  e.  RR* 
/\  y  < -oo  /\ -oo  <_ +oo ) ) )
1614, 15mpan2 671 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  RR*  ->  ( -oo  e.  ( y (,] +oo ) 
<->  ( -oo  e.  RR*  /\  y  < -oo  /\ -oo 
<_ +oo ) ) )
17 simp2 997 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  y  < -oo  /\ -oo  <_ +oo )  ->  y  < -oo )
1816, 17syl6bi 228 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  RR*  ->  ( -oo  e.  ( y (,] +oo )  ->  y  < -oo ) )
1913, 18mtod 177 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  RR*  ->  -. -oo  e.  ( y (,] +oo ) )
20 eleq2 2540 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  ( y (,] +oo )  ->  ( -oo  e.  u  <-> -oo  e.  ( y (,] +oo ) ) )
2120notbid 294 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  ( y (,] +oo )  ->  ( -. -oo  e.  u  <->  -. -oo  e.  ( y (,] +oo ) ) )
2219, 21syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  RR*  ->  ( u  =  ( y (,] +oo )  ->  -. -oo  e.  u ) )
2322rexlimiv 2949 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. y  e.  RR*  u  =  ( y (,] +oo )  ->  -. -oo  e.  u )
2423pm2.21d 106 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. y  e.  RR*  u  =  ( y (,] +oo )  ->  ( -oo  e.  u  ->  E. x  e.  RR  ( -oo [,) x )  C_  A
) )
2524adantrd 468 . . . . . . . . 9  |-  ( E. y  e.  RR*  u  =  ( y (,] +oo )  ->  ( ( -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  ->  E. x  e.  RR  ( -oo [,) x ) 
C_  A ) )
2612, 25sylbi 195 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( y (,] +oo ) )  ->  ( ( -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  ->  E. x  e.  RR  ( -oo [,) x )  C_  A
) )
27 eqid 2467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  RR*  |->  ( -oo [,) y ) )  =  ( y  e.  RR*  |->  ( -oo [,) y ) )
2827elrnmpt 5247 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  _V  ->  (
u  e.  ran  (
y  e.  RR*  |->  ( -oo [,) y ) )  <->  E. y  e.  RR*  u  =  ( -oo [,) y ) ) )
299, 28ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( u  e.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( -oo [,) y ) )  <->  E. y  e.  RR*  u  =  ( -oo [,) y ) )
30 mnfxr 11319 . . . . . . . . . . . . . 14  |- -oo  e.  RR*
3130a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( -oo [,) y ) ) )  -> -oo  e.  RR* )
32 0xr 9636 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  RR*
33 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( -oo [,) y ) ) )  ->  y  e.  RR* )
34 ifcl 3981 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  if ( 0  <_  y ,  0 ,  y )  e.  RR* )
3532, 33, 34sylancr 663 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( -oo [,) y ) ) )  ->  if ( 0  <_  y ,  0 ,  y )  e.  RR* )
3614a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( -oo [,) y ) ) )  -> +oo  e.  RR* )
37 mnflt0 11330 . . . . . . . . . . . . . 14  |- -oo  <  0
38 simpll 753 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( -oo [,) y ) ) )  -> -oo  e.  u )
39 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( -oo [,) y ) ) )  ->  u  =  ( -oo [,) y
) )
4038, 39eleqtrd 2557 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( -oo [,) y ) ) )  -> -oo  e.  ( -oo [,) y ) )
41 elico1 11568 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  ( -oo  e.  ( -oo [,) y )  <->  ( -oo  e.  RR*  /\ -oo  <_ -oo 
/\ -oo  <  y ) ) )
4230, 33, 41sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( -oo [,) y ) ) )  ->  ( -oo  e.  ( -oo [,) y )  <->  ( -oo  e.  RR*  /\ -oo  <_ -oo 
/\ -oo  <  y ) ) )
4340, 42mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( -oo [,) y ) ) )  ->  ( -oo  e.  RR*  /\ -oo  <_ -oo 
/\ -oo  <  y ) )
4443simp3d 1010 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( -oo [,) y ) ) )  -> -oo  <  y )
45 breq2 4451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0  =  if ( 0  <_  y ,  0 ,  y )  -> 
( -oo  <  0  <-> -oo 
<  if ( 0  <_ 
y ,  0 ,  y ) ) )
46 breq2 4451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  if ( 0  <_  y ,  0 ,  y )  -> 
( -oo  <  y  <-> -oo  <  if ( 0  <_  y ,  0 ,  y ) ) )
4745, 46ifboth 3975 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( -oo  <  0  /\ -oo 
<  y )  -> -oo  <  if ( 0  <_  y ,  0 ,  y ) )
4837, 44, 47sylancr 663 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( -oo [,) y ) ) )  -> -oo  <  if ( 0  <_  y ,  0 ,  y ) )
4932a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( -oo [,) y ) ) )  ->  0  e.  RR* )
50 xrmin1 11374 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  if ( 0  <_  y ,  0 ,  y )  <_  0 )
5132, 33, 50sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( -oo [,) y ) ) )  ->  if ( 0  <_  y ,  0 ,  y )  <_  0 )
52 0re 9592 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  e.  RR
53 ltpnf 11327 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0  e.  RR  ->  0  < +oo )
5452, 53mp1i 12 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( -oo [,) y ) ) )  ->  0  < +oo )
5535, 49, 36, 51, 54xrlelttrd 11359 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( -oo [,) y ) ) )  ->  if ( 0  <_  y ,  0 ,  y )  < +oo )
56 xrre2 11367 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( -oo  e.  RR*  /\  if ( 0  <_ 
y ,  0 ,  y )  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  /\  ( -oo  <  if ( 0  <_  y ,  0 ,  y )  /\  if ( 0  <_  y ,  0 ,  y )  < +oo )
)  ->  if (
0  <_  y , 
0 ,  y )  e.  RR )
5731, 35, 36, 48, 55, 56syl32anc 1236 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( -oo [,) y ) ) )  ->  if ( 0  <_  y ,  0 ,  y )  e.  RR )
58 xrmin2 11375 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  if ( 0  <_  y ,  0 ,  y )  <_  y )
5932, 33, 58sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( -oo [,) y ) ) )  ->  if ( 0  <_  y ,  0 ,  y )  <_  y )
60 df-ico 11531 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  [,)  =  ( a  e.  RR* ,  b  e.  RR*  |->  { c  e.  RR*  |  (
a  <_  c  /\  c  <  b ) } )
61 xrltletr 11356 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  if ( 0  <_  y ,  0 ,  y )  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
( x  <  if ( 0  <_  y ,  0 ,  y )  /\  if ( 0  <_  y , 
0 ,  y )  <_  y )  ->  x  <  y ) )
6260, 60, 61ixxss2 11544 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  RR*  /\  if ( 0  <_  y ,  0 ,  y )  <_  y )  ->  ( -oo [,) if ( 0  <_  y ,  0 ,  y ) )  C_  ( -oo [,) y ) )
6333, 59, 62syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( -oo [,) y ) ) )  ->  ( -oo [,) if ( 0  <_  y ,  0 ,  y ) ) 
C_  ( -oo [,) y ) )
64 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( -oo [,) y ) ) )  ->  u  C_  A )
6539, 64eqsstr3d 3539 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( -oo [,) y ) ) )  ->  ( -oo [,) y )  C_  A )
6663, 65sstrd 3514 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( -oo [,) y ) ) )  ->  ( -oo [,) if ( 0  <_  y ,  0 ,  y ) ) 
C_  A )
67 oveq2 6290 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  if ( 0  <_  y ,  0 ,  y )  -> 
( -oo [,) x )  =  ( -oo [,) if ( 0  <_  y ,  0 ,  y ) ) )
6867sseq1d 3531 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  if ( 0  <_  y ,  0 ,  y )  -> 
( ( -oo [,) x )  C_  A  <->  ( -oo [,) if ( 0  <_  y , 
0 ,  y ) )  C_  A )
)
6968rspcev 3214 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( if ( 0  <_ 
y ,  0 ,  y )  e.  RR  /\  ( -oo [,) if ( 0  <_  y ,  0 ,  y ) )  C_  A
)  ->  E. x  e.  RR  ( -oo [,) x )  C_  A
)
7057, 66, 69syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( -oo [,) y ) ) )  ->  E. x  e.  RR  ( -oo [,) x )  C_  A
)
7170rexlimdvaa 2956 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  -> 
( E. y  e. 
RR*  u  =  ( -oo [,) y )  ->  E. x  e.  RR  ( -oo [,) x ) 
C_  A ) )
7271com12 31 . . . . . . . . 9  |-  ( E. y  e.  RR*  u  =  ( -oo [,) y
)  ->  ( ( -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  ->  E. x  e.  RR  ( -oo [,) x )  C_  A
) )
7329, 72sylbi 195 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( -oo [,) y ) )  -> 
( ( -oo  e.  u  /\  u  C_  A
)  ->  E. x  e.  RR  ( -oo [,) x )  C_  A
) )
7426, 73jaoi 379 . . . . . . 7  |-  ( ( u  e.  ran  (
y  e.  RR*  |->  ( y (,] +oo ) )  \/  u  e.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( -oo [,) y ) ) )  ->  (
( -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  ->  E. x  e.  RR  ( -oo [,) x ) 
C_  A ) )
758, 74sylbi 195 . . . . . 6  |-  ( u  e.  ( ran  (
y  e.  RR*  |->  ( y (,] +oo ) )  u.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( -oo [,) y ) ) )  ->  ( ( -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  ->  E. x  e.  RR  ( -oo [,) x )  C_  A
) )
76 mnfnre 9632 . . . . . . . . . 10  |- -oo  e/  RR
7776neli 2802 . . . . . . . . 9  |-  -. -oo  e.  RR
78 elssuni 4275 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  e.  ran  (,)  ->  u 
C_  U. ran  (,) )
79 unirnioo 11620 . . . . . . . . . . 11  |-  RR  =  U. ran  (,)
8078, 79syl6sseqr 3551 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  ran  (,)  ->  u 
C_  RR )
8180sseld 3503 . . . . . . . . 9  |-  ( u  e.  ran  (,)  ->  ( -oo  e.  u  -> -oo  e.  RR ) )
8277, 81mtoi 178 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  ran  (,)  ->  -. -oo  e.  u )
8382pm2.21d 106 . . . . . . 7  |-  ( u  e.  ran  (,)  ->  ( -oo  e.  u  ->  E. x  e.  RR  ( -oo [,) x ) 
C_  A ) )
8483adantrd 468 . . . . . 6  |-  ( u  e.  ran  (,)  ->  ( ( -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  ->  E. x  e.  RR  ( -oo [,) x ) 
C_  A ) )
8575, 84jaoi 379 . . . . 5  |-  ( ( u  e.  ( ran  ( y  e.  RR*  |->  ( y (,] +oo ) )  u.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( -oo [,) y ) ) )  \/  u  e.  ran  (,) )  -> 
( ( -oo  e.  u  /\  u  C_  A
)  ->  E. x  e.  RR  ( -oo [,) x )  C_  A
) )
867, 85sylbi 195 . . . 4  |-  ( u  e.  ( ( ran  ( y  e.  RR*  |->  ( y (,] +oo ) )  u.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( -oo [,) y ) ) )  u.  ran  (,) )  ->  ( ( -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  ->  E. x  e.  RR  ( -oo [,) x )  C_  A
) )
8786rexlimiv 2949 . . 3  |-  ( E. u  e.  ( ( ran  ( y  e. 
RR*  |->  ( y (,] +oo ) )  u.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( -oo [,) y ) ) )  u.  ran  (,) ) ( -oo  e.  u  /\  u  C_  A
)  ->  E. x  e.  RR  ( -oo [,) x )  C_  A
)
886, 87syl 16 . 2  |-  ( ( A  e.  ( topGen `  ( ( ran  (
y  e.  RR*  |->  ( y (,] +oo ) )  u.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( -oo [,) y ) ) )  u.  ran  (,) )
)  /\ -oo  e.  A
)  ->  E. x  e.  RR  ( -oo [,) x )  C_  A
)
895, 88sylanb 472 1  |-  ( ( A  e.  (ordTop `  <_  )  /\ -oo  e.  A )  ->  E. x  e.  RR  ( -oo [,) x )  C_  A
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   E.wrex 2815   _Vcvv 3113    u. cun 3474    C_ wss 3476   ifcif 3939   U.cuni 4245   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505   ran crn 5000   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   RRcr 9487   0cc0 9488   +oocpnf 9621   -oocmnf 9622   RR*cxr 9623    < clt 9624    <_ cle 9625   (,)cioo 11525   (,]cioc 11526   [,)cico 11527   topGenctg 14689  ordTopcordt 14750
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-fi 7867  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-ioo 11529  df-ioc 11530  df-ico 11531  df-icc 11532  df-topgen 14695  df-ordt 14752  df-ps 15683  df-tsr 15684  df-top 19166  df-bases 19168
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