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Theorem mnfnei 20223
Description: A neighborhood of -oo contains an unbounded interval based at a real number. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
mnfnei  |-  ( ( A  e.  (ordTop `  <_  )  /\ -oo  e.  A )  ->  E. x  e.  RR  ( -oo [,) x )  C_  A
)
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem mnfnei
Dummy variables  a 
b  c  u  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2422 . . . 4  |-  ran  (
y  e.  RR*  |->  ( y (,] +oo ) )  =  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( y (,] +oo ) )
2 eqid 2422 . . . 4  |-  ran  (
y  e.  RR*  |->  ( -oo [,) y ) )  =  ran  ( y  e. 
RR*  |->  ( -oo [,) y ) )
3 eqid 2422 . . . 4  |-  ran  (,)  =  ran  (,)
41, 2, 3leordtval 20215 . . 3  |-  (ordTop `  <_  )  =  ( topGen `  ( ( ran  (
y  e.  RR*  |->  ( y (,] +oo ) )  u.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( -oo [,) y ) ) )  u.  ran  (,) )
)
54eleq2i 2500 . 2  |-  ( A  e.  (ordTop `  <_  )  <-> 
A  e.  ( topGen `  ( ( ran  (
y  e.  RR*  |->  ( y (,] +oo ) )  u.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( -oo [,) y ) ) )  u.  ran  (,) )
) )
6 tg2 19966 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( topGen `  ( ( ran  (
y  e.  RR*  |->  ( y (,] +oo ) )  u.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( -oo [,) y ) ) )  u.  ran  (,) )
)  /\ -oo  e.  A
)  ->  E. u  e.  ( ( ran  (
y  e.  RR*  |->  ( y (,] +oo ) )  u.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( -oo [,) y ) ) )  u.  ran  (,) )
( -oo  e.  u  /\  u  C_  A ) )
7 elun 3606 . . . . 5  |-  ( u  e.  ( ( ran  ( y  e.  RR*  |->  ( y (,] +oo ) )  u.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( -oo [,) y ) ) )  u.  ran  (,) )  <->  ( u  e.  ( ran  ( y  e.  RR*  |->  ( y (,] +oo ) )  u.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( -oo [,) y ) ) )  \/  u  e.  ran  (,) ) )
8 elun 3606 . . . . . . 7  |-  ( u  e.  ( ran  (
y  e.  RR*  |->  ( y (,] +oo ) )  u.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( -oo [,) y ) ) )  <-> 
( u  e.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( y (,] +oo ) )  \/  u  e.  ran  ( y  e. 
RR*  |->  ( -oo [,) y ) ) ) )
9 vex 3084 . . . . . . . . . 10  |-  u  e. 
_V
10 eqid 2422 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  RR*  |->  ( y (,] +oo ) )  =  ( y  e. 
RR*  |->  ( y (,] +oo ) )
1110elrnmpt 5096 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  _V  ->  (
u  e.  ran  (
y  e.  RR*  |->  ( y (,] +oo ) )  <->  E. y  e.  RR*  u  =  ( y (,] +oo ) ) )
129, 11ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( u  e.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( y (,] +oo ) )  <->  E. y  e.  RR*  u  =  ( y (,] +oo ) )
13 nltmnf 11431 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  RR*  ->  -.  y  < -oo )
14 pnfxr 11412 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |- +oo  e.  RR*
15 elioc1 11678 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  ->  ( -oo  e.  ( y (,] +oo )  <->  ( -oo  e.  RR* 
/\  y  < -oo  /\ -oo  <_ +oo ) ) )
1614, 15mpan2 675 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  RR*  ->  ( -oo  e.  ( y (,] +oo ) 
<->  ( -oo  e.  RR*  /\  y  < -oo  /\ -oo 
<_ +oo ) ) )
17 simp2 1006 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  y  < -oo  /\ -oo  <_ +oo )  ->  y  < -oo )
1816, 17syl6bi 231 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  RR*  ->  ( -oo  e.  ( y (,] +oo )  ->  y  < -oo ) )
1913, 18mtod 180 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  RR*  ->  -. -oo  e.  ( y (,] +oo ) )
20 eleq2 2495 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  ( y (,] +oo )  ->  ( -oo  e.  u  <-> -oo  e.  ( y (,] +oo ) ) )
2120notbid 295 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  ( y (,] +oo )  ->  ( -. -oo  e.  u  <->  -. -oo  e.  ( y (,] +oo ) ) )
2219, 21syl5ibrcom 225 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  RR*  ->  ( u  =  ( y (,] +oo )  ->  -. -oo  e.  u ) )
2322rexlimiv 2911 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. y  e.  RR*  u  =  ( y (,] +oo )  ->  -. -oo  e.  u )
2423pm2.21d 109 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. y  e.  RR*  u  =  ( y (,] +oo )  ->  ( -oo  e.  u  ->  E. x  e.  RR  ( -oo [,) x )  C_  A
) )
2524adantrd 469 . . . . . . . . 9  |-  ( E. y  e.  RR*  u  =  ( y (,] +oo )  ->  ( ( -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  ->  E. x  e.  RR  ( -oo [,) x ) 
C_  A ) )
2612, 25sylbi 198 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( y (,] +oo ) )  ->  ( ( -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  ->  E. x  e.  RR  ( -oo [,) x )  C_  A
) )
27 eqid 2422 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  RR*  |->  ( -oo [,) y ) )  =  ( y  e.  RR*  |->  ( -oo [,) y ) )
2827elrnmpt 5096 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  _V  ->  (
u  e.  ran  (
y  e.  RR*  |->  ( -oo [,) y ) )  <->  E. y  e.  RR*  u  =  ( -oo [,) y ) ) )
299, 28ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( u  e.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( -oo [,) y ) )  <->  E. y  e.  RR*  u  =  ( -oo [,) y ) )
30 mnfxr 11414 . . . . . . . . . . . . . 14  |- -oo  e.  RR*
3130a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( -oo [,) y ) ) )  -> -oo  e.  RR* )
32 0xr 9687 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  RR*
33 simprl 762 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( -oo [,) y ) ) )  ->  y  e.  RR* )
34 ifcl 3951 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  if ( 0  <_  y ,  0 ,  y )  e.  RR* )
3532, 33, 34sylancr 667 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( -oo [,) y ) ) )  ->  if ( 0  <_  y ,  0 ,  y )  e.  RR* )
3614a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( -oo [,) y ) ) )  -> +oo  e.  RR* )
37 mnflt0 11427 . . . . . . . . . . . . . 14  |- -oo  <  0
38 simpll 758 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( -oo [,) y ) ) )  -> -oo  e.  u )
39 simprr 764 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( -oo [,) y ) ) )  ->  u  =  ( -oo [,) y
) )
4038, 39eleqtrd 2512 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( -oo [,) y ) ) )  -> -oo  e.  ( -oo [,) y ) )
41 elico1 11679 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  ( -oo  e.  ( -oo [,) y )  <->  ( -oo  e.  RR*  /\ -oo  <_ -oo 
/\ -oo  <  y ) ) )
4230, 33, 41sylancr 667 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( -oo [,) y ) ) )  ->  ( -oo  e.  ( -oo [,) y )  <->  ( -oo  e.  RR*  /\ -oo  <_ -oo 
/\ -oo  <  y ) ) )
4340, 42mpbid 213 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( -oo [,) y ) ) )  ->  ( -oo  e.  RR*  /\ -oo  <_ -oo 
/\ -oo  <  y ) )
4443simp3d 1019 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( -oo [,) y ) ) )  -> -oo  <  y )
45 breq2 4424 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0  =  if ( 0  <_  y ,  0 ,  y )  -> 
( -oo  <  0  <-> -oo 
<  if ( 0  <_ 
y ,  0 ,  y ) ) )
46 breq2 4424 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  if ( 0  <_  y ,  0 ,  y )  -> 
( -oo  <  y  <-> -oo  <  if ( 0  <_  y ,  0 ,  y ) ) )
4745, 46ifboth 3945 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( -oo  <  0  /\ -oo 
<  y )  -> -oo  <  if ( 0  <_  y ,  0 ,  y ) )
4837, 44, 47sylancr 667 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( -oo [,) y ) ) )  -> -oo  <  if ( 0  <_  y ,  0 ,  y ) )
4932a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( -oo [,) y ) ) )  ->  0  e.  RR* )
50 xrmin1 11472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  if ( 0  <_  y ,  0 ,  y )  <_  0 )
5132, 33, 50sylancr 667 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( -oo [,) y ) ) )  ->  if ( 0  <_  y ,  0 ,  y )  <_  0 )
52 0re 9643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  e.  RR
53 ltpnf 11422 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0  e.  RR  ->  0  < +oo )
5452, 53mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( -oo [,) y ) ) )  ->  0  < +oo )
5535, 49, 36, 51, 54xrlelttrd 11457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( -oo [,) y ) ) )  ->  if ( 0  <_  y ,  0 ,  y )  < +oo )
56 xrre2 11465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( -oo  e.  RR*  /\  if ( 0  <_ 
y ,  0 ,  y )  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  /\  ( -oo  <  if ( 0  <_  y ,  0 ,  y )  /\  if ( 0  <_  y ,  0 ,  y )  < +oo )
)  ->  if (
0  <_  y , 
0 ,  y )  e.  RR )
5731, 35, 36, 48, 55, 56syl32anc 1272 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( -oo [,) y ) ) )  ->  if ( 0  <_  y ,  0 ,  y )  e.  RR )
58 xrmin2 11473 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  if ( 0  <_  y ,  0 ,  y )  <_  y )
5932, 33, 58sylancr 667 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( -oo [,) y ) ) )  ->  if ( 0  <_  y ,  0 ,  y )  <_  y )
60 df-ico 11641 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  [,)  =  ( a  e.  RR* ,  b  e.  RR*  |->  { c  e.  RR*  |  (
a  <_  c  /\  c  <  b ) } )
61 xrltletr 11454 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  if ( 0  <_  y ,  0 ,  y )  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
( x  <  if ( 0  <_  y ,  0 ,  y )  /\  if ( 0  <_  y , 
0 ,  y )  <_  y )  ->  x  <  y ) )
6260, 60, 61ixxss2 11654 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  RR*  /\  if ( 0  <_  y ,  0 ,  y )  <_  y )  ->  ( -oo [,) if ( 0  <_  y ,  0 ,  y ) )  C_  ( -oo [,) y ) )
6333, 59, 62syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( -oo [,) y ) ) )  ->  ( -oo [,) if ( 0  <_  y ,  0 ,  y ) ) 
C_  ( -oo [,) y ) )
64 simplr 760 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( -oo [,) y ) ) )  ->  u  C_  A )
6539, 64eqsstr3d 3499 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( -oo [,) y ) ) )  ->  ( -oo [,) y )  C_  A )
6663, 65sstrd 3474 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( -oo [,) y ) ) )  ->  ( -oo [,) if ( 0  <_  y ,  0 ,  y ) ) 
C_  A )
67 oveq2 6309 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  if ( 0  <_  y ,  0 ,  y )  -> 
( -oo [,) x )  =  ( -oo [,) if ( 0  <_  y ,  0 ,  y ) ) )
6867sseq1d 3491 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  if ( 0  <_  y ,  0 ,  y )  -> 
( ( -oo [,) x )  C_  A  <->  ( -oo [,) if ( 0  <_  y , 
0 ,  y ) )  C_  A )
)
6968rspcev 3182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( if ( 0  <_ 
y ,  0 ,  y )  e.  RR  /\  ( -oo [,) if ( 0  <_  y ,  0 ,  y ) )  C_  A
)  ->  E. x  e.  RR  ( -oo [,) x )  C_  A
)
7057, 66, 69syl2anc 665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( -oo [,) y ) ) )  ->  E. x  e.  RR  ( -oo [,) x )  C_  A
)
7170rexlimdvaa 2918 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  -> 
( E. y  e. 
RR*  u  =  ( -oo [,) y )  ->  E. x  e.  RR  ( -oo [,) x ) 
C_  A ) )
7271com12 32 . . . . . . . . 9  |-  ( E. y  e.  RR*  u  =  ( -oo [,) y
)  ->  ( ( -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  ->  E. x  e.  RR  ( -oo [,) x )  C_  A
) )
7329, 72sylbi 198 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( -oo [,) y ) )  -> 
( ( -oo  e.  u  /\  u  C_  A
)  ->  E. x  e.  RR  ( -oo [,) x )  C_  A
) )
7426, 73jaoi 380 . . . . . . 7  |-  ( ( u  e.  ran  (
y  e.  RR*  |->  ( y (,] +oo ) )  \/  u  e.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( -oo [,) y ) ) )  ->  (
( -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  ->  E. x  e.  RR  ( -oo [,) x ) 
C_  A ) )
758, 74sylbi 198 . . . . . 6  |-  ( u  e.  ( ran  (
y  e.  RR*  |->  ( y (,] +oo ) )  u.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( -oo [,) y ) ) )  ->  ( ( -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  ->  E. x  e.  RR  ( -oo [,) x )  C_  A
) )
76 mnfnre 9683 . . . . . . . . . 10  |- -oo  e/  RR
7776neli 2760 . . . . . . . . 9  |-  -. -oo  e.  RR
78 elssuni 4245 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  e.  ran  (,)  ->  u 
C_  U. ran  (,) )
79 unirnioo 11734 . . . . . . . . . . 11  |-  RR  =  U. ran  (,)
8078, 79syl6sseqr 3511 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  ran  (,)  ->  u 
C_  RR )
8180sseld 3463 . . . . . . . . 9  |-  ( u  e.  ran  (,)  ->  ( -oo  e.  u  -> -oo  e.  RR ) )
8277, 81mtoi 181 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  ran  (,)  ->  -. -oo  e.  u )
8382pm2.21d 109 . . . . . . 7  |-  ( u  e.  ran  (,)  ->  ( -oo  e.  u  ->  E. x  e.  RR  ( -oo [,) x ) 
C_  A ) )
8483adantrd 469 . . . . . 6  |-  ( u  e.  ran  (,)  ->  ( ( -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  ->  E. x  e.  RR  ( -oo [,) x ) 
C_  A ) )
8575, 84jaoi 380 . . . . 5  |-  ( ( u  e.  ( ran  ( y  e.  RR*  |->  ( y (,] +oo ) )  u.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( -oo [,) y ) ) )  \/  u  e.  ran  (,) )  -> 
( ( -oo  e.  u  /\  u  C_  A
)  ->  E. x  e.  RR  ( -oo [,) x )  C_  A
) )
867, 85sylbi 198 . . . 4  |-  ( u  e.  ( ( ran  ( y  e.  RR*  |->  ( y (,] +oo ) )  u.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( -oo [,) y ) ) )  u.  ran  (,) )  ->  ( ( -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  ->  E. x  e.  RR  ( -oo [,) x )  C_  A
) )
8786rexlimiv 2911 . . 3  |-  ( E. u  e.  ( ( ran  ( y  e. 
RR*  |->  ( y (,] +oo ) )  u.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( -oo [,) y ) ) )  u.  ran  (,) ) ( -oo  e.  u  /\  u  C_  A
)  ->  E. x  e.  RR  ( -oo [,) x )  C_  A
)
886, 87syl 17 . 2  |-  ( ( A  e.  ( topGen `  ( ( ran  (
y  e.  RR*  |->  ( y (,] +oo ) )  u.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( -oo [,) y ) ) )  u.  ran  (,) )
)  /\ -oo  e.  A
)  ->  E. x  e.  RR  ( -oo [,) x )  C_  A
)
895, 88sylanb 474 1  |-  ( ( A  e.  (ordTop `  <_  )  /\ -oo  e.  A )  ->  E. x  e.  RR  ( -oo [,) x )  C_  A
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    \/ wo 369    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1868   E.wrex 2776   _Vcvv 3081    u. cun 3434    C_ wss 3436   ifcif 3909   U.cuni 4216   class class class wbr 4420    |-> cmpt 4479   ran crn 4850   ` cfv 5597  (class class class)co 6301   RRcr 9538   0cc0 9539   +oocpnf 9672   -oocmnf 9673   RR*cxr 9674    < clt 9675    <_ cle 9676   (,)cioo 11635   (,]cioc 11636   [,)cico 11637   topGenctg 15323  ordTopcordt 15384
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6593  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4760  df-id 4764  df-po 4770  df-so 4771  df-fr 4808  df-we 4810  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-co 4858  df-dm 4859  df-rn 4860  df-res 4861  df-ima 4862  df-pred 5395  df-ord 5441  df-on 5442  df-lim 5443  df-suc 5444  df-iota 5561  df-fun 5599  df-fn 5600  df-f 5601  df-f1 5602  df-fo 5603  df-f1o 5604  df-fv 5605  df-riota 6263  df-ov 6304  df-oprab 6305  df-mpt2 6306  df-om 6703  df-1st 6803  df-2nd 6804  df-wrecs 7032  df-recs 7094  df-rdg 7132  df-1o 7186  df-oadd 7190  df-er 7367  df-en 7574  df-dom 7575  df-sdom 7576  df-fin 7577  df-fi 7927  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-ioo 11639  df-ioc 11640  df-ico 11641  df-icc 11642  df-topgen 15329  df-ordt 15386  df-ps 16433  df-tsr 16434  df-top 19907  df-bases 19908
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