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Theorem mnfnei 20314
Description: A neighborhood of -oo contains an unbounded interval based at a real number. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
mnfnei  |-  ( ( A  e.  (ordTop `  <_  )  /\ -oo  e.  A )  ->  E. x  e.  RR  ( -oo [,) x )  C_  A
)
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem mnfnei
Dummy variables  a 
b  c  u  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2471 . . . 4  |-  ran  (
y  e.  RR*  |->  ( y (,] +oo ) )  =  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( y (,] +oo ) )
2 eqid 2471 . . . 4  |-  ran  (
y  e.  RR*  |->  ( -oo [,) y ) )  =  ran  ( y  e. 
RR*  |->  ( -oo [,) y ) )
3 eqid 2471 . . . 4  |-  ran  (,)  =  ran  (,)
41, 2, 3leordtval 20306 . . 3  |-  (ordTop `  <_  )  =  ( topGen `  ( ( ran  (
y  e.  RR*  |->  ( y (,] +oo ) )  u.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( -oo [,) y ) ) )  u.  ran  (,) )
)
54eleq2i 2541 . 2  |-  ( A  e.  (ordTop `  <_  )  <-> 
A  e.  ( topGen `  ( ( ran  (
y  e.  RR*  |->  ( y (,] +oo ) )  u.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( -oo [,) y ) ) )  u.  ran  (,) )
) )
6 tg2 20057 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( topGen `  ( ( ran  (
y  e.  RR*  |->  ( y (,] +oo ) )  u.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( -oo [,) y ) ) )  u.  ran  (,) )
)  /\ -oo  e.  A
)  ->  E. u  e.  ( ( ran  (
y  e.  RR*  |->  ( y (,] +oo ) )  u.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( -oo [,) y ) ) )  u.  ran  (,) )
( -oo  e.  u  /\  u  C_  A ) )
7 elun 3565 . . . . 5  |-  ( u  e.  ( ( ran  ( y  e.  RR*  |->  ( y (,] +oo ) )  u.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( -oo [,) y ) ) )  u.  ran  (,) )  <->  ( u  e.  ( ran  ( y  e.  RR*  |->  ( y (,] +oo ) )  u.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( -oo [,) y ) ) )  \/  u  e.  ran  (,) ) )
8 elun 3565 . . . . . . 7  |-  ( u  e.  ( ran  (
y  e.  RR*  |->  ( y (,] +oo ) )  u.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( -oo [,) y ) ) )  <-> 
( u  e.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( y (,] +oo ) )  \/  u  e.  ran  ( y  e. 
RR*  |->  ( -oo [,) y ) ) ) )
9 vex 3034 . . . . . . . . . 10  |-  u  e. 
_V
10 eqid 2471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  RR*  |->  ( y (,] +oo ) )  =  ( y  e. 
RR*  |->  ( y (,] +oo ) )
1110elrnmpt 5087 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  _V  ->  (
u  e.  ran  (
y  e.  RR*  |->  ( y (,] +oo ) )  <->  E. y  e.  RR*  u  =  ( y (,] +oo ) ) )
129, 11ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( u  e.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( y (,] +oo ) )  <->  E. y  e.  RR*  u  =  ( y (,] +oo ) )
13 nltmnf 11454 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  RR*  ->  -.  y  < -oo )
14 pnfxr 11435 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |- +oo  e.  RR*
15 elioc1 11703 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  ->  ( -oo  e.  ( y (,] +oo )  <->  ( -oo  e.  RR* 
/\  y  < -oo  /\ -oo  <_ +oo ) ) )
1614, 15mpan2 685 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  RR*  ->  ( -oo  e.  ( y (,] +oo ) 
<->  ( -oo  e.  RR*  /\  y  < -oo  /\ -oo 
<_ +oo ) ) )
17 simp2 1031 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  y  < -oo  /\ -oo  <_ +oo )  ->  y  < -oo )
1816, 17syl6bi 236 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  RR*  ->  ( -oo  e.  ( y (,] +oo )  ->  y  < -oo ) )
1913, 18mtod 182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  RR*  ->  -. -oo  e.  ( y (,] +oo ) )
20 eleq2 2538 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  ( y (,] +oo )  ->  ( -oo  e.  u  <-> -oo  e.  ( y (,] +oo ) ) )
2120notbid 301 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  ( y (,] +oo )  ->  ( -. -oo  e.  u  <->  -. -oo  e.  ( y (,] +oo ) ) )
2219, 21syl5ibrcom 230 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  RR*  ->  ( u  =  ( y (,] +oo )  ->  -. -oo  e.  u ) )
2322rexlimiv 2867 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. y  e.  RR*  u  =  ( y (,] +oo )  ->  -. -oo  e.  u )
2423pm2.21d 109 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. y  e.  RR*  u  =  ( y (,] +oo )  ->  ( -oo  e.  u  ->  E. x  e.  RR  ( -oo [,) x )  C_  A
) )
2524adantrd 475 . . . . . . . . 9  |-  ( E. y  e.  RR*  u  =  ( y (,] +oo )  ->  ( ( -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  ->  E. x  e.  RR  ( -oo [,) x ) 
C_  A ) )
2612, 25sylbi 200 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( y (,] +oo ) )  ->  ( ( -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  ->  E. x  e.  RR  ( -oo [,) x )  C_  A
) )
27 eqid 2471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  RR*  |->  ( -oo [,) y ) )  =  ( y  e.  RR*  |->  ( -oo [,) y ) )
2827elrnmpt 5087 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  _V  ->  (
u  e.  ran  (
y  e.  RR*  |->  ( -oo [,) y ) )  <->  E. y  e.  RR*  u  =  ( -oo [,) y ) ) )
299, 28ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( u  e.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( -oo [,) y ) )  <->  E. y  e.  RR*  u  =  ( -oo [,) y ) )
30 mnfxr 11437 . . . . . . . . . . . . . 14  |- -oo  e.  RR*
3130a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( -oo [,) y ) ) )  -> -oo  e.  RR* )
32 0xr 9705 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  RR*
33 simprl 772 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( -oo [,) y ) ) )  ->  y  e.  RR* )
34 ifcl 3914 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  if ( 0  <_  y ,  0 ,  y )  e.  RR* )
3532, 33, 34sylancr 676 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( -oo [,) y ) ) )  ->  if ( 0  <_  y ,  0 ,  y )  e.  RR* )
3614a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( -oo [,) y ) ) )  -> +oo  e.  RR* )
37 mnflt0 11450 . . . . . . . . . . . . . 14  |- -oo  <  0
38 simpll 768 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( -oo [,) y ) ) )  -> -oo  e.  u )
39 simprr 774 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( -oo [,) y ) ) )  ->  u  =  ( -oo [,) y
) )
4038, 39eleqtrd 2551 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( -oo [,) y ) ) )  -> -oo  e.  ( -oo [,) y ) )
41 elico1 11704 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  ( -oo  e.  ( -oo [,) y )  <->  ( -oo  e.  RR*  /\ -oo  <_ -oo 
/\ -oo  <  y ) ) )
4230, 33, 41sylancr 676 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( -oo [,) y ) ) )  ->  ( -oo  e.  ( -oo [,) y )  <->  ( -oo  e.  RR*  /\ -oo  <_ -oo 
/\ -oo  <  y ) ) )
4340, 42mpbid 215 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( -oo [,) y ) ) )  ->  ( -oo  e.  RR*  /\ -oo  <_ -oo 
/\ -oo  <  y ) )
4443simp3d 1044 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( -oo [,) y ) ) )  -> -oo  <  y )
45 breq2 4399 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0  =  if ( 0  <_  y ,  0 ,  y )  -> 
( -oo  <  0  <-> -oo 
<  if ( 0  <_ 
y ,  0 ,  y ) ) )
46 breq2 4399 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  if ( 0  <_  y ,  0 ,  y )  -> 
( -oo  <  y  <-> -oo  <  if ( 0  <_  y ,  0 ,  y ) ) )
4745, 46ifboth 3908 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( -oo  <  0  /\ -oo 
<  y )  -> -oo  <  if ( 0  <_  y ,  0 ,  y ) )
4837, 44, 47sylancr 676 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( -oo [,) y ) ) )  -> -oo  <  if ( 0  <_  y ,  0 ,  y ) )
4932a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( -oo [,) y ) ) )  ->  0  e.  RR* )
50 xrmin1 11495 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  if ( 0  <_  y ,  0 ,  y )  <_  0 )
5132, 33, 50sylancr 676 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( -oo [,) y ) ) )  ->  if ( 0  <_  y ,  0 ,  y )  <_  0 )
52 0re 9661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  e.  RR
53 ltpnf 11445 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0  e.  RR  ->  0  < +oo )
5452, 53mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( -oo [,) y ) ) )  ->  0  < +oo )
5535, 49, 36, 51, 54xrlelttrd 11480 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( -oo [,) y ) ) )  ->  if ( 0  <_  y ,  0 ,  y )  < +oo )
56 xrre2 11488 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( -oo  e.  RR*  /\  if ( 0  <_ 
y ,  0 ,  y )  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  /\  ( -oo  <  if ( 0  <_  y ,  0 ,  y )  /\  if ( 0  <_  y ,  0 ,  y )  < +oo )
)  ->  if (
0  <_  y , 
0 ,  y )  e.  RR )
5731, 35, 36, 48, 55, 56syl32anc 1300 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( -oo [,) y ) ) )  ->  if ( 0  <_  y ,  0 ,  y )  e.  RR )
58 xrmin2 11496 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  if ( 0  <_  y ,  0 ,  y )  <_  y )
5932, 33, 58sylancr 676 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( -oo [,) y ) ) )  ->  if ( 0  <_  y ,  0 ,  y )  <_  y )
60 df-ico 11666 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  [,)  =  ( a  e.  RR* ,  b  e.  RR*  |->  { c  e.  RR*  |  (
a  <_  c  /\  c  <  b ) } )
61 xrltletr 11477 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  if ( 0  <_  y ,  0 ,  y )  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
( x  <  if ( 0  <_  y ,  0 ,  y )  /\  if ( 0  <_  y , 
0 ,  y )  <_  y )  ->  x  <  y ) )
6260, 60, 61ixxss2 11679 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  RR*  /\  if ( 0  <_  y ,  0 ,  y )  <_  y )  ->  ( -oo [,) if ( 0  <_  y ,  0 ,  y ) )  C_  ( -oo [,) y ) )
6333, 59, 62syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( -oo [,) y ) ) )  ->  ( -oo [,) if ( 0  <_  y ,  0 ,  y ) ) 
C_  ( -oo [,) y ) )
64 simplr 770 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( -oo [,) y ) ) )  ->  u  C_  A )
6539, 64eqsstr3d 3453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( -oo [,) y ) ) )  ->  ( -oo [,) y )  C_  A )
6663, 65sstrd 3428 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( -oo [,) y ) ) )  ->  ( -oo [,) if ( 0  <_  y ,  0 ,  y ) ) 
C_  A )
67 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  if ( 0  <_  y ,  0 ,  y )  -> 
( -oo [,) x )  =  ( -oo [,) if ( 0  <_  y ,  0 ,  y ) ) )
6867sseq1d 3445 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  if ( 0  <_  y ,  0 ,  y )  -> 
( ( -oo [,) x )  C_  A  <->  ( -oo [,) if ( 0  <_  y , 
0 ,  y ) )  C_  A )
)
6968rspcev 3136 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( if ( 0  <_ 
y ,  0 ,  y )  e.  RR  /\  ( -oo [,) if ( 0  <_  y ,  0 ,  y ) )  C_  A
)  ->  E. x  e.  RR  ( -oo [,) x )  C_  A
)
7057, 66, 69syl2anc 673 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( -oo [,) y ) ) )  ->  E. x  e.  RR  ( -oo [,) x )  C_  A
)
7170rexlimdvaa 2872 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  -> 
( E. y  e. 
RR*  u  =  ( -oo [,) y )  ->  E. x  e.  RR  ( -oo [,) x ) 
C_  A ) )
7271com12 31 . . . . . . . . 9  |-  ( E. y  e.  RR*  u  =  ( -oo [,) y
)  ->  ( ( -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  ->  E. x  e.  RR  ( -oo [,) x )  C_  A
) )
7329, 72sylbi 200 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( -oo [,) y ) )  -> 
( ( -oo  e.  u  /\  u  C_  A
)  ->  E. x  e.  RR  ( -oo [,) x )  C_  A
) )
7426, 73jaoi 386 . . . . . . 7  |-  ( ( u  e.  ran  (
y  e.  RR*  |->  ( y (,] +oo ) )  \/  u  e.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( -oo [,) y ) ) )  ->  (
( -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  ->  E. x  e.  RR  ( -oo [,) x ) 
C_  A ) )
758, 74sylbi 200 . . . . . 6  |-  ( u  e.  ( ran  (
y  e.  RR*  |->  ( y (,] +oo ) )  u.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( -oo [,) y ) ) )  ->  ( ( -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  ->  E. x  e.  RR  ( -oo [,) x )  C_  A
) )
76 mnfnre 9701 . . . . . . . . . 10  |- -oo  e/  RR
7776neli 2745 . . . . . . . . 9  |-  -. -oo  e.  RR
78 elssuni 4219 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  e.  ran  (,)  ->  u 
C_  U. ran  (,) )
79 unirnioo 11759 . . . . . . . . . . 11  |-  RR  =  U. ran  (,)
8078, 79syl6sseqr 3465 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  ran  (,)  ->  u 
C_  RR )
8180sseld 3417 . . . . . . . . 9  |-  ( u  e.  ran  (,)  ->  ( -oo  e.  u  -> -oo  e.  RR ) )
8277, 81mtoi 183 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  ran  (,)  ->  -. -oo  e.  u )
8382pm2.21d 109 . . . . . . 7  |-  ( u  e.  ran  (,)  ->  ( -oo  e.  u  ->  E. x  e.  RR  ( -oo [,) x ) 
C_  A ) )
8483adantrd 475 . . . . . 6  |-  ( u  e.  ran  (,)  ->  ( ( -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  ->  E. x  e.  RR  ( -oo [,) x ) 
C_  A ) )
8575, 84jaoi 386 . . . . 5  |-  ( ( u  e.  ( ran  ( y  e.  RR*  |->  ( y (,] +oo ) )  u.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( -oo [,) y ) ) )  \/  u  e.  ran  (,) )  -> 
( ( -oo  e.  u  /\  u  C_  A
)  ->  E. x  e.  RR  ( -oo [,) x )  C_  A
) )
867, 85sylbi 200 . . . 4  |-  ( u  e.  ( ( ran  ( y  e.  RR*  |->  ( y (,] +oo ) )  u.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( -oo [,) y ) ) )  u.  ran  (,) )  ->  ( ( -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  ->  E. x  e.  RR  ( -oo [,) x )  C_  A
) )
8786rexlimiv 2867 . . 3  |-  ( E. u  e.  ( ( ran  ( y  e. 
RR*  |->  ( y (,] +oo ) )  u.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( -oo [,) y ) ) )  u.  ran  (,) ) ( -oo  e.  u  /\  u  C_  A
)  ->  E. x  e.  RR  ( -oo [,) x )  C_  A
)
886, 87syl 17 . 2  |-  ( ( A  e.  ( topGen `  ( ( ran  (
y  e.  RR*  |->  ( y (,] +oo ) )  u.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( -oo [,) y ) ) )  u.  ran  (,) )
)  /\ -oo  e.  A
)  ->  E. x  e.  RR  ( -oo [,) x )  C_  A
)
895, 88sylanb 480 1  |-  ( ( A  e.  (ordTop `  <_  )  /\ -oo  e.  A )  ->  E. x  e.  RR  ( -oo [,) x )  C_  A
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    \/ wo 375    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904   E.wrex 2757   _Vcvv 3031    u. cun 3388    C_ wss 3390   ifcif 3872   U.cuni 4190   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454   ran crn 4840   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   RRcr 9556   0cc0 9557   +oocpnf 9690   -oocmnf 9691   RR*cxr 9692    < clt 9693    <_ cle 9694   (,)cioo 11660   (,]cioc 11661   [,)cico 11662   topGenctg 15414  ordTopcordt 15475
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fi 7943  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-ioo 11664  df-ioc 11665  df-ico 11666  df-icc 11667  df-topgen 15420  df-ordt 15477  df-ps 16524  df-tsr 16525  df-top 19998  df-bases 19999
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