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Theorem mnfnei 19849
Description: A neighborhood of -oo contains an unbounded interval based at a real number. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
mnfnei  |-  ( ( A  e.  (ordTop `  <_  )  /\ -oo  e.  A )  ->  E. x  e.  RR  ( -oo [,) x )  C_  A
)
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem mnfnei
Dummy variables  a 
b  c  u  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2457 . . . 4  |-  ran  (
y  e.  RR*  |->  ( y (,] +oo ) )  =  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( y (,] +oo ) )
2 eqid 2457 . . . 4  |-  ran  (
y  e.  RR*  |->  ( -oo [,) y ) )  =  ran  ( y  e. 
RR*  |->  ( -oo [,) y ) )
3 eqid 2457 . . . 4  |-  ran  (,)  =  ran  (,)
41, 2, 3leordtval 19841 . . 3  |-  (ordTop `  <_  )  =  ( topGen `  ( ( ran  (
y  e.  RR*  |->  ( y (,] +oo ) )  u.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( -oo [,) y ) ) )  u.  ran  (,) )
)
54eleq2i 2535 . 2  |-  ( A  e.  (ordTop `  <_  )  <-> 
A  e.  ( topGen `  ( ( ran  (
y  e.  RR*  |->  ( y (,] +oo ) )  u.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( -oo [,) y ) ) )  u.  ran  (,) )
) )
6 tg2 19593 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( topGen `  ( ( ran  (
y  e.  RR*  |->  ( y (,] +oo ) )  u.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( -oo [,) y ) ) )  u.  ran  (,) )
)  /\ -oo  e.  A
)  ->  E. u  e.  ( ( ran  (
y  e.  RR*  |->  ( y (,] +oo ) )  u.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( -oo [,) y ) ) )  u.  ran  (,) )
( -oo  e.  u  /\  u  C_  A ) )
7 elun 3641 . . . . 5  |-  ( u  e.  ( ( ran  ( y  e.  RR*  |->  ( y (,] +oo ) )  u.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( -oo [,) y ) ) )  u.  ran  (,) )  <->  ( u  e.  ( ran  ( y  e.  RR*  |->  ( y (,] +oo ) )  u.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( -oo [,) y ) ) )  \/  u  e.  ran  (,) ) )
8 elun 3641 . . . . . . 7  |-  ( u  e.  ( ran  (
y  e.  RR*  |->  ( y (,] +oo ) )  u.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( -oo [,) y ) ) )  <-> 
( u  e.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( y (,] +oo ) )  \/  u  e.  ran  ( y  e. 
RR*  |->  ( -oo [,) y ) ) ) )
9 vex 3112 . . . . . . . . . 10  |-  u  e. 
_V
10 eqid 2457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  RR*  |->  ( y (,] +oo ) )  =  ( y  e. 
RR*  |->  ( y (,] +oo ) )
1110elrnmpt 5259 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  _V  ->  (
u  e.  ran  (
y  e.  RR*  |->  ( y (,] +oo ) )  <->  E. y  e.  RR*  u  =  ( y (,] +oo ) ) )
129, 11ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( u  e.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( y (,] +oo ) )  <->  E. y  e.  RR*  u  =  ( y (,] +oo ) )
13 nltmnf 11363 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  RR*  ->  -.  y  < -oo )
14 pnfxr 11346 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |- +oo  e.  RR*
15 elioc1 11596 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  ->  ( -oo  e.  ( y (,] +oo )  <->  ( -oo  e.  RR* 
/\  y  < -oo  /\ -oo  <_ +oo ) ) )
1614, 15mpan2 671 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  RR*  ->  ( -oo  e.  ( y (,] +oo ) 
<->  ( -oo  e.  RR*  /\  y  < -oo  /\ -oo 
<_ +oo ) ) )
17 simp2 997 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  y  < -oo  /\ -oo  <_ +oo )  ->  y  < -oo )
1816, 17syl6bi 228 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  RR*  ->  ( -oo  e.  ( y (,] +oo )  ->  y  < -oo ) )
1913, 18mtod 177 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  RR*  ->  -. -oo  e.  ( y (,] +oo ) )
20 eleq2 2530 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  ( y (,] +oo )  ->  ( -oo  e.  u  <-> -oo  e.  ( y (,] +oo ) ) )
2120notbid 294 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  ( y (,] +oo )  ->  ( -. -oo  e.  u  <->  -. -oo  e.  ( y (,] +oo ) ) )
2219, 21syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  RR*  ->  ( u  =  ( y (,] +oo )  ->  -. -oo  e.  u ) )
2322rexlimiv 2943 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. y  e.  RR*  u  =  ( y (,] +oo )  ->  -. -oo  e.  u )
2423pm2.21d 106 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. y  e.  RR*  u  =  ( y (,] +oo )  ->  ( -oo  e.  u  ->  E. x  e.  RR  ( -oo [,) x )  C_  A
) )
2524adantrd 468 . . . . . . . . 9  |-  ( E. y  e.  RR*  u  =  ( y (,] +oo )  ->  ( ( -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  ->  E. x  e.  RR  ( -oo [,) x ) 
C_  A ) )
2612, 25sylbi 195 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( y (,] +oo ) )  ->  ( ( -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  ->  E. x  e.  RR  ( -oo [,) x )  C_  A
) )
27 eqid 2457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  RR*  |->  ( -oo [,) y ) )  =  ( y  e.  RR*  |->  ( -oo [,) y ) )
2827elrnmpt 5259 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  _V  ->  (
u  e.  ran  (
y  e.  RR*  |->  ( -oo [,) y ) )  <->  E. y  e.  RR*  u  =  ( -oo [,) y ) ) )
299, 28ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( u  e.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( -oo [,) y ) )  <->  E. y  e.  RR*  u  =  ( -oo [,) y ) )
30 mnfxr 11348 . . . . . . . . . . . . . 14  |- -oo  e.  RR*
3130a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( -oo [,) y ) ) )  -> -oo  e.  RR* )
32 0xr 9657 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  RR*
33 simprl 756 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( -oo [,) y ) ) )  ->  y  e.  RR* )
34 ifcl 3986 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  if ( 0  <_  y ,  0 ,  y )  e.  RR* )
3532, 33, 34sylancr 663 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( -oo [,) y ) ) )  ->  if ( 0  <_  y ,  0 ,  y )  e.  RR* )
3614a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( -oo [,) y ) ) )  -> +oo  e.  RR* )
37 mnflt0 11359 . . . . . . . . . . . . . 14  |- -oo  <  0
38 simpll 753 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( -oo [,) y ) ) )  -> -oo  e.  u )
39 simprr 757 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( -oo [,) y ) ) )  ->  u  =  ( -oo [,) y
) )
4038, 39eleqtrd 2547 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( -oo [,) y ) ) )  -> -oo  e.  ( -oo [,) y ) )
41 elico1 11597 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  ( -oo  e.  ( -oo [,) y )  <->  ( -oo  e.  RR*  /\ -oo  <_ -oo 
/\ -oo  <  y ) ) )
4230, 33, 41sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( -oo [,) y ) ) )  ->  ( -oo  e.  ( -oo [,) y )  <->  ( -oo  e.  RR*  /\ -oo  <_ -oo 
/\ -oo  <  y ) ) )
4340, 42mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( -oo [,) y ) ) )  ->  ( -oo  e.  RR*  /\ -oo  <_ -oo 
/\ -oo  <  y ) )
4443simp3d 1010 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( -oo [,) y ) ) )  -> -oo  <  y )
45 breq2 4460 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0  =  if ( 0  <_  y ,  0 ,  y )  -> 
( -oo  <  0  <-> -oo 
<  if ( 0  <_ 
y ,  0 ,  y ) ) )
46 breq2 4460 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  if ( 0  <_  y ,  0 ,  y )  -> 
( -oo  <  y  <-> -oo  <  if ( 0  <_  y ,  0 ,  y ) ) )
4745, 46ifboth 3980 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( -oo  <  0  /\ -oo 
<  y )  -> -oo  <  if ( 0  <_  y ,  0 ,  y ) )
4837, 44, 47sylancr 663 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( -oo [,) y ) ) )  -> -oo  <  if ( 0  <_  y ,  0 ,  y ) )
4932a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( -oo [,) y ) ) )  ->  0  e.  RR* )
50 xrmin1 11403 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  if ( 0  <_  y ,  0 ,  y )  <_  0 )
5132, 33, 50sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( -oo [,) y ) ) )  ->  if ( 0  <_  y ,  0 ,  y )  <_  0 )
52 0re 9613 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  e.  RR
53 ltpnf 11356 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0  e.  RR  ->  0  < +oo )
5452, 53mp1i 12 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( -oo [,) y ) ) )  ->  0  < +oo )
5535, 49, 36, 51, 54xrlelttrd 11388 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( -oo [,) y ) ) )  ->  if ( 0  <_  y ,  0 ,  y )  < +oo )
56 xrre2 11396 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( -oo  e.  RR*  /\  if ( 0  <_ 
y ,  0 ,  y )  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  /\  ( -oo  <  if ( 0  <_  y ,  0 ,  y )  /\  if ( 0  <_  y ,  0 ,  y )  < +oo )
)  ->  if (
0  <_  y , 
0 ,  y )  e.  RR )
5731, 35, 36, 48, 55, 56syl32anc 1236 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( -oo [,) y ) ) )  ->  if ( 0  <_  y ,  0 ,  y )  e.  RR )
58 xrmin2 11404 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  if ( 0  <_  y ,  0 ,  y )  <_  y )
5932, 33, 58sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( -oo [,) y ) ) )  ->  if ( 0  <_  y ,  0 ,  y )  <_  y )
60 df-ico 11560 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  [,)  =  ( a  e.  RR* ,  b  e.  RR*  |->  { c  e.  RR*  |  (
a  <_  c  /\  c  <  b ) } )
61 xrltletr 11385 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  if ( 0  <_  y ,  0 ,  y )  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
( x  <  if ( 0  <_  y ,  0 ,  y )  /\  if ( 0  <_  y , 
0 ,  y )  <_  y )  ->  x  <  y ) )
6260, 60, 61ixxss2 11573 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  RR*  /\  if ( 0  <_  y ,  0 ,  y )  <_  y )  ->  ( -oo [,) if ( 0  <_  y ,  0 ,  y ) )  C_  ( -oo [,) y ) )
6333, 59, 62syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( -oo [,) y ) ) )  ->  ( -oo [,) if ( 0  <_  y ,  0 ,  y ) ) 
C_  ( -oo [,) y ) )
64 simplr 755 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( -oo [,) y ) ) )  ->  u  C_  A )
6539, 64eqsstr3d 3534 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( -oo [,) y ) ) )  ->  ( -oo [,) y )  C_  A )
6663, 65sstrd 3509 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( -oo [,) y ) ) )  ->  ( -oo [,) if ( 0  <_  y ,  0 ,  y ) ) 
C_  A )
67 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  if ( 0  <_  y ,  0 ,  y )  -> 
( -oo [,) x )  =  ( -oo [,) if ( 0  <_  y ,  0 ,  y ) ) )
6867sseq1d 3526 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  if ( 0  <_  y ,  0 ,  y )  -> 
( ( -oo [,) x )  C_  A  <->  ( -oo [,) if ( 0  <_  y , 
0 ,  y ) )  C_  A )
)
6968rspcev 3210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( if ( 0  <_ 
y ,  0 ,  y )  e.  RR  /\  ( -oo [,) if ( 0  <_  y ,  0 ,  y ) )  C_  A
)  ->  E. x  e.  RR  ( -oo [,) x )  C_  A
)
7057, 66, 69syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( -oo [,) y ) ) )  ->  E. x  e.  RR  ( -oo [,) x )  C_  A
)
7170rexlimdvaa 2950 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  -> 
( E. y  e. 
RR*  u  =  ( -oo [,) y )  ->  E. x  e.  RR  ( -oo [,) x ) 
C_  A ) )
7271com12 31 . . . . . . . . 9  |-  ( E. y  e.  RR*  u  =  ( -oo [,) y
)  ->  ( ( -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  ->  E. x  e.  RR  ( -oo [,) x )  C_  A
) )
7329, 72sylbi 195 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( -oo [,) y ) )  -> 
( ( -oo  e.  u  /\  u  C_  A
)  ->  E. x  e.  RR  ( -oo [,) x )  C_  A
) )
7426, 73jaoi 379 . . . . . . 7  |-  ( ( u  e.  ran  (
y  e.  RR*  |->  ( y (,] +oo ) )  \/  u  e.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( -oo [,) y ) ) )  ->  (
( -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  ->  E. x  e.  RR  ( -oo [,) x ) 
C_  A ) )
758, 74sylbi 195 . . . . . 6  |-  ( u  e.  ( ran  (
y  e.  RR*  |->  ( y (,] +oo ) )  u.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( -oo [,) y ) ) )  ->  ( ( -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  ->  E. x  e.  RR  ( -oo [,) x )  C_  A
) )
76 mnfnre 9653 . . . . . . . . . 10  |- -oo  e/  RR
7776neli 2792 . . . . . . . . 9  |-  -. -oo  e.  RR
78 elssuni 4281 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  e.  ran  (,)  ->  u 
C_  U. ran  (,) )
79 unirnioo 11649 . . . . . . . . . . 11  |-  RR  =  U. ran  (,)
8078, 79syl6sseqr 3546 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  ran  (,)  ->  u 
C_  RR )
8180sseld 3498 . . . . . . . . 9  |-  ( u  e.  ran  (,)  ->  ( -oo  e.  u  -> -oo  e.  RR ) )
8277, 81mtoi 178 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  ran  (,)  ->  -. -oo  e.  u )
8382pm2.21d 106 . . . . . . 7  |-  ( u  e.  ran  (,)  ->  ( -oo  e.  u  ->  E. x  e.  RR  ( -oo [,) x ) 
C_  A ) )
8483adantrd 468 . . . . . 6  |-  ( u  e.  ran  (,)  ->  ( ( -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  ->  E. x  e.  RR  ( -oo [,) x ) 
C_  A ) )
8575, 84jaoi 379 . . . . 5  |-  ( ( u  e.  ( ran  ( y  e.  RR*  |->  ( y (,] +oo ) )  u.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( -oo [,) y ) ) )  \/  u  e.  ran  (,) )  -> 
( ( -oo  e.  u  /\  u  C_  A
)  ->  E. x  e.  RR  ( -oo [,) x )  C_  A
) )
867, 85sylbi 195 . . . 4  |-  ( u  e.  ( ( ran  ( y  e.  RR*  |->  ( y (,] +oo ) )  u.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( -oo [,) y ) ) )  u.  ran  (,) )  ->  ( ( -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  ->  E. x  e.  RR  ( -oo [,) x )  C_  A
) )
8786rexlimiv 2943 . . 3  |-  ( E. u  e.  ( ( ran  ( y  e. 
RR*  |->  ( y (,] +oo ) )  u.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( -oo [,) y ) ) )  u.  ran  (,) ) ( -oo  e.  u  /\  u  C_  A
)  ->  E. x  e.  RR  ( -oo [,) x )  C_  A
)
886, 87syl 16 . 2  |-  ( ( A  e.  ( topGen `  ( ( ran  (
y  e.  RR*  |->  ( y (,] +oo ) )  u.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( -oo [,) y ) ) )  u.  ran  (,) )
)  /\ -oo  e.  A
)  ->  E. x  e.  RR  ( -oo [,) x )  C_  A
)
895, 88sylanb 472 1  |-  ( ( A  e.  (ordTop `  <_  )  /\ -oo  e.  A )  ->  E. x  e.  RR  ( -oo [,) x )  C_  A
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819   E.wrex 2808   _Vcvv 3109    u. cun 3469    C_ wss 3471   ifcif 3944   U.cuni 4251   class class class wbr 4456    |-> cmpt 4515   ran crn 5009   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   RRcr 9508   0cc0 9509   +oocpnf 9642   -oocmnf 9643   RR*cxr 9644    < clt 9645    <_ cle 9646   (,)cioo 11554   (,]cioc 11555   [,)cico 11556   topGenctg 14855  ordTopcordt 14916
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fi 7889  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-ioo 11558  df-ioc 11559  df-ico 11560  df-icc 11561  df-topgen 14861  df-ordt 14918  df-ps 15957  df-tsr 15958  df-top 19526  df-bases 19528
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