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Theorem mnfnei 18956
Description: A neighborhood of -oo contains an unbounded interval based at a real number. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
mnfnei  |-  ( ( A  e.  (ordTop `  <_  )  /\ -oo  e.  A )  ->  E. x  e.  RR  ( -oo [,) x )  C_  A
)
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem mnfnei
Dummy variables  a 
b  c  u  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2454 . . . 4  |-  ran  (
y  e.  RR*  |->  ( y (,] +oo ) )  =  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( y (,] +oo ) )
2 eqid 2454 . . . 4  |-  ran  (
y  e.  RR*  |->  ( -oo [,) y ) )  =  ran  ( y  e. 
RR*  |->  ( -oo [,) y ) )
3 eqid 2454 . . . 4  |-  ran  (,)  =  ran  (,)
41, 2, 3leordtval 18948 . . 3  |-  (ordTop `  <_  )  =  ( topGen `  ( ( ran  (
y  e.  RR*  |->  ( y (,] +oo ) )  u.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( -oo [,) y ) ) )  u.  ran  (,) )
)
54eleq2i 2532 . 2  |-  ( A  e.  (ordTop `  <_  )  <-> 
A  e.  ( topGen `  ( ( ran  (
y  e.  RR*  |->  ( y (,] +oo ) )  u.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( -oo [,) y ) ) )  u.  ran  (,) )
) )
6 tg2 18701 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( topGen `  ( ( ran  (
y  e.  RR*  |->  ( y (,] +oo ) )  u.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( -oo [,) y ) ) )  u.  ran  (,) )
)  /\ -oo  e.  A
)  ->  E. u  e.  ( ( ran  (
y  e.  RR*  |->  ( y (,] +oo ) )  u.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( -oo [,) y ) ) )  u.  ran  (,) )
( -oo  e.  u  /\  u  C_  A ) )
7 elun 3604 . . . . 5  |-  ( u  e.  ( ( ran  ( y  e.  RR*  |->  ( y (,] +oo ) )  u.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( -oo [,) y ) ) )  u.  ran  (,) )  <->  ( u  e.  ( ran  ( y  e.  RR*  |->  ( y (,] +oo ) )  u.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( -oo [,) y ) ) )  \/  u  e.  ran  (,) ) )
8 elun 3604 . . . . . . 7  |-  ( u  e.  ( ran  (
y  e.  RR*  |->  ( y (,] +oo ) )  u.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( -oo [,) y ) ) )  <-> 
( u  e.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( y (,] +oo ) )  \/  u  e.  ran  ( y  e. 
RR*  |->  ( -oo [,) y ) ) ) )
9 vex 3079 . . . . . . . . . 10  |-  u  e. 
_V
10 eqid 2454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  RR*  |->  ( y (,] +oo ) )  =  ( y  e. 
RR*  |->  ( y (,] +oo ) )
1110elrnmpt 5193 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  _V  ->  (
u  e.  ran  (
y  e.  RR*  |->  ( y (,] +oo ) )  <->  E. y  e.  RR*  u  =  ( y (,] +oo ) ) )
129, 11ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( u  e.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( y (,] +oo ) )  <->  E. y  e.  RR*  u  =  ( y (,] +oo ) )
13 nltmnf 11219 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  RR*  ->  -.  y  < -oo )
14 pnfxr 11202 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |- +oo  e.  RR*
15 elioc1 11452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  ->  ( -oo  e.  ( y (,] +oo )  <->  ( -oo  e.  RR* 
/\  y  < -oo  /\ -oo  <_ +oo ) ) )
1614, 15mpan2 671 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  RR*  ->  ( -oo  e.  ( y (,] +oo ) 
<->  ( -oo  e.  RR*  /\  y  < -oo  /\ -oo 
<_ +oo ) ) )
17 simp2 989 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  y  < -oo  /\ -oo  <_ +oo )  ->  y  < -oo )
1816, 17syl6bi 228 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  RR*  ->  ( -oo  e.  ( y (,] +oo )  ->  y  < -oo ) )
1913, 18mtod 177 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  RR*  ->  -. -oo  e.  ( y (,] +oo ) )
20 eleq2 2527 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  ( y (,] +oo )  ->  ( -oo  e.  u  <-> -oo  e.  ( y (,] +oo ) ) )
2120notbid 294 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  ( y (,] +oo )  ->  ( -. -oo  e.  u  <->  -. -oo  e.  ( y (,] +oo ) ) )
2219, 21syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  RR*  ->  ( u  =  ( y (,] +oo )  ->  -. -oo  e.  u ) )
2322rexlimiv 2939 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. y  e.  RR*  u  =  ( y (,] +oo )  ->  -. -oo  e.  u )
2423pm2.21d 106 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. y  e.  RR*  u  =  ( y (,] +oo )  ->  ( -oo  e.  u  ->  E. x  e.  RR  ( -oo [,) x )  C_  A
) )
2524adantrd 468 . . . . . . . . 9  |-  ( E. y  e.  RR*  u  =  ( y (,] +oo )  ->  ( ( -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  ->  E. x  e.  RR  ( -oo [,) x ) 
C_  A ) )
2612, 25sylbi 195 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( y (,] +oo ) )  ->  ( ( -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  ->  E. x  e.  RR  ( -oo [,) x )  C_  A
) )
27 eqid 2454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  RR*  |->  ( -oo [,) y ) )  =  ( y  e.  RR*  |->  ( -oo [,) y ) )
2827elrnmpt 5193 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  _V  ->  (
u  e.  ran  (
y  e.  RR*  |->  ( -oo [,) y ) )  <->  E. y  e.  RR*  u  =  ( -oo [,) y ) ) )
299, 28ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( u  e.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( -oo [,) y ) )  <->  E. y  e.  RR*  u  =  ( -oo [,) y ) )
30 mnfxr 11204 . . . . . . . . . . . . . 14  |- -oo  e.  RR*
3130a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( -oo [,) y ) ) )  -> -oo  e.  RR* )
32 0xr 9540 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  RR*
33 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( -oo [,) y ) ) )  ->  y  e.  RR* )
34 ifcl 3938 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  if ( 0  <_  y ,  0 ,  y )  e.  RR* )
3532, 33, 34sylancr 663 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( -oo [,) y ) ) )  ->  if ( 0  <_  y ,  0 ,  y )  e.  RR* )
3614a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( -oo [,) y ) ) )  -> +oo  e.  RR* )
37 mnflt0 11215 . . . . . . . . . . . . . 14  |- -oo  <  0
38 simpll 753 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( -oo [,) y ) ) )  -> -oo  e.  u )
39 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( -oo [,) y ) ) )  ->  u  =  ( -oo [,) y
) )
4038, 39eleqtrd 2544 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( -oo [,) y ) ) )  -> -oo  e.  ( -oo [,) y ) )
41 elico1 11453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  ( -oo  e.  ( -oo [,) y )  <->  ( -oo  e.  RR*  /\ -oo  <_ -oo 
/\ -oo  <  y ) ) )
4230, 33, 41sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( -oo [,) y ) ) )  ->  ( -oo  e.  ( -oo [,) y )  <->  ( -oo  e.  RR*  /\ -oo  <_ -oo 
/\ -oo  <  y ) ) )
4340, 42mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( -oo [,) y ) ) )  ->  ( -oo  e.  RR*  /\ -oo  <_ -oo 
/\ -oo  <  y ) )
4443simp3d 1002 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( -oo [,) y ) ) )  -> -oo  <  y )
45 breq2 4403 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0  =  if ( 0  <_  y ,  0 ,  y )  -> 
( -oo  <  0  <-> -oo 
<  if ( 0  <_ 
y ,  0 ,  y ) ) )
46 breq2 4403 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  if ( 0  <_  y ,  0 ,  y )  -> 
( -oo  <  y  <-> -oo  <  if ( 0  <_  y ,  0 ,  y ) ) )
4745, 46ifboth 3932 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( -oo  <  0  /\ -oo 
<  y )  -> -oo  <  if ( 0  <_  y ,  0 ,  y ) )
4837, 44, 47sylancr 663 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( -oo [,) y ) ) )  -> -oo  <  if ( 0  <_  y ,  0 ,  y ) )
4932a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( -oo [,) y ) ) )  ->  0  e.  RR* )
50 xrmin1 11259 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  if ( 0  <_  y ,  0 ,  y )  <_  0 )
5132, 33, 50sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( -oo [,) y ) ) )  ->  if ( 0  <_  y ,  0 ,  y )  <_  0 )
52 0re 9496 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  e.  RR
53 ltpnf 11212 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0  e.  RR  ->  0  < +oo )
5452, 53mp1i 12 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( -oo [,) y ) ) )  ->  0  < +oo )
5535, 49, 36, 51, 54xrlelttrd 11244 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( -oo [,) y ) ) )  ->  if ( 0  <_  y ,  0 ,  y )  < +oo )
56 xrre2 11252 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( -oo  e.  RR*  /\  if ( 0  <_ 
y ,  0 ,  y )  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  /\  ( -oo  <  if ( 0  <_  y ,  0 ,  y )  /\  if ( 0  <_  y ,  0 ,  y )  < +oo )
)  ->  if (
0  <_  y , 
0 ,  y )  e.  RR )
5731, 35, 36, 48, 55, 56syl32anc 1227 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( -oo [,) y ) ) )  ->  if ( 0  <_  y ,  0 ,  y )  e.  RR )
58 xrmin2 11260 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  if ( 0  <_  y ,  0 ,  y )  <_  y )
5932, 33, 58sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( -oo [,) y ) ) )  ->  if ( 0  <_  y ,  0 ,  y )  <_  y )
60 df-ico 11416 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  [,)  =  ( a  e.  RR* ,  b  e.  RR*  |->  { c  e.  RR*  |  (
a  <_  c  /\  c  <  b ) } )
61 xrltletr 11241 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  if ( 0  <_  y ,  0 ,  y )  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
( x  <  if ( 0  <_  y ,  0 ,  y )  /\  if ( 0  <_  y , 
0 ,  y )  <_  y )  ->  x  <  y ) )
6260, 60, 61ixxss2 11429 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  RR*  /\  if ( 0  <_  y ,  0 ,  y )  <_  y )  ->  ( -oo [,) if ( 0  <_  y ,  0 ,  y ) )  C_  ( -oo [,) y ) )
6333, 59, 62syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( -oo [,) y ) ) )  ->  ( -oo [,) if ( 0  <_  y ,  0 ,  y ) ) 
C_  ( -oo [,) y ) )
64 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( -oo [,) y ) ) )  ->  u  C_  A )
6539, 64eqsstr3d 3498 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( -oo [,) y ) ) )  ->  ( -oo [,) y )  C_  A )
6663, 65sstrd 3473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( -oo [,) y ) ) )  ->  ( -oo [,) if ( 0  <_  y ,  0 ,  y ) ) 
C_  A )
67 oveq2 6207 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  if ( 0  <_  y ,  0 ,  y )  -> 
( -oo [,) x )  =  ( -oo [,) if ( 0  <_  y ,  0 ,  y ) ) )
6867sseq1d 3490 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  if ( 0  <_  y ,  0 ,  y )  -> 
( ( -oo [,) x )  C_  A  <->  ( -oo [,) if ( 0  <_  y , 
0 ,  y ) )  C_  A )
)
6968rspcev 3177 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( if ( 0  <_ 
y ,  0 ,  y )  e.  RR  /\  ( -oo [,) if ( 0  <_  y ,  0 ,  y ) )  C_  A
)  ->  E. x  e.  RR  ( -oo [,) x )  C_  A
)
7057, 66, 69syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  /\  ( y  e. 
RR*  /\  u  =  ( -oo [,) y ) ) )  ->  E. x  e.  RR  ( -oo [,) x )  C_  A
)
7170rexlimdvaa 2946 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  -> 
( E. y  e. 
RR*  u  =  ( -oo [,) y )  ->  E. x  e.  RR  ( -oo [,) x ) 
C_  A ) )
7271com12 31 . . . . . . . . 9  |-  ( E. y  e.  RR*  u  =  ( -oo [,) y
)  ->  ( ( -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  ->  E. x  e.  RR  ( -oo [,) x )  C_  A
) )
7329, 72sylbi 195 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( -oo [,) y ) )  -> 
( ( -oo  e.  u  /\  u  C_  A
)  ->  E. x  e.  RR  ( -oo [,) x )  C_  A
) )
7426, 73jaoi 379 . . . . . . 7  |-  ( ( u  e.  ran  (
y  e.  RR*  |->  ( y (,] +oo ) )  \/  u  e.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( -oo [,) y ) ) )  ->  (
( -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  ->  E. x  e.  RR  ( -oo [,) x ) 
C_  A ) )
758, 74sylbi 195 . . . . . 6  |-  ( u  e.  ( ran  (
y  e.  RR*  |->  ( y (,] +oo ) )  u.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( -oo [,) y ) ) )  ->  ( ( -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  ->  E. x  e.  RR  ( -oo [,) x )  C_  A
) )
76 mnfnre 9536 . . . . . . . . . 10  |- -oo  e/  RR
7776neli 2786 . . . . . . . . 9  |-  -. -oo  e.  RR
78 elssuni 4228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  e.  ran  (,)  ->  u 
C_  U. ran  (,) )
79 unirnioo 11505 . . . . . . . . . . 11  |-  RR  =  U. ran  (,)
8078, 79syl6sseqr 3510 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  ran  (,)  ->  u 
C_  RR )
8180sseld 3462 . . . . . . . . 9  |-  ( u  e.  ran  (,)  ->  ( -oo  e.  u  -> -oo  e.  RR ) )
8277, 81mtoi 178 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  ran  (,)  ->  -. -oo  e.  u )
8382pm2.21d 106 . . . . . . 7  |-  ( u  e.  ran  (,)  ->  ( -oo  e.  u  ->  E. x  e.  RR  ( -oo [,) x ) 
C_  A ) )
8483adantrd 468 . . . . . 6  |-  ( u  e.  ran  (,)  ->  ( ( -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  ->  E. x  e.  RR  ( -oo [,) x ) 
C_  A ) )
8575, 84jaoi 379 . . . . 5  |-  ( ( u  e.  ( ran  ( y  e.  RR*  |->  ( y (,] +oo ) )  u.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( -oo [,) y ) ) )  \/  u  e.  ran  (,) )  -> 
( ( -oo  e.  u  /\  u  C_  A
)  ->  E. x  e.  RR  ( -oo [,) x )  C_  A
) )
867, 85sylbi 195 . . . 4  |-  ( u  e.  ( ( ran  ( y  e.  RR*  |->  ( y (,] +oo ) )  u.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( -oo [,) y ) ) )  u.  ran  (,) )  ->  ( ( -oo  e.  u  /\  u  C_  A )  ->  E. x  e.  RR  ( -oo [,) x )  C_  A
) )
8786rexlimiv 2939 . . 3  |-  ( E. u  e.  ( ( ran  ( y  e. 
RR*  |->  ( y (,] +oo ) )  u.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( -oo [,) y ) ) )  u.  ran  (,) ) ( -oo  e.  u  /\  u  C_  A
)  ->  E. x  e.  RR  ( -oo [,) x )  C_  A
)
886, 87syl 16 . 2  |-  ( ( A  e.  ( topGen `  ( ( ran  (
y  e.  RR*  |->  ( y (,] +oo ) )  u.  ran  ( y  e.  RR*  |->  ( -oo [,) y ) ) )  u.  ran  (,) )
)  /\ -oo  e.  A
)  ->  E. x  e.  RR  ( -oo [,) x )  C_  A
)
895, 88sylanb 472 1  |-  ( ( A  e.  (ordTop `  <_  )  /\ -oo  e.  A )  ->  E. x  e.  RR  ( -oo [,) x )  C_  A
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   E.wrex 2799   _Vcvv 3076    u. cun 3433    C_ wss 3435   ifcif 3898   U.cuni 4198   class class class wbr 4399    |-> cmpt 4457   ran crn 4948   ` cfv 5525  (class class class)co 6199   RRcr 9391   0cc0 9392   +oocpnf 9525   -oocmnf 9526   RR*cxr 9527    < clt 9528    <_ cle 9529   (,)cioo 11410   (,]cioc 11411   [,)cico 11412   topGenctg 14494  ordTopcordt 14555
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pow 4577  ax-pr 4638  ax-un 6481  ax-cnex 9448  ax-resscn 9449  ax-1cn 9450  ax-icn 9451  ax-addcl 9452  ax-addrcl 9453  ax-mulcl 9454  ax-mulrcl 9455  ax-mulcom 9456  ax-addass 9457  ax-mulass 9458  ax-distr 9459  ax-i2m1 9460  ax-1ne0 9461  ax-1rid 9462  ax-rnegex 9463  ax-rrecex 9464  ax-cnre 9465  ax-pre-lttri 9466  ax-pre-lttrn 9467  ax-pre-ltadd 9468  ax-pre-mulgt0 9469
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-nel 2650  df-ral 2803  df-rex 2804  df-reu 2805  df-rab 2807  df-v 3078  df-sbc 3293  df-csb 3395  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-pss 3451  df-nul 3745  df-if 3899  df-pw 3969  df-sn 3985  df-pr 3987  df-tp 3989  df-op 3991  df-uni 4199  df-int 4236  df-iun 4280  df-br 4400  df-opab 4458  df-mpt 4459  df-tr 4493  df-eprel 4739  df-id 4743  df-po 4748  df-so 4749  df-fr 4786  df-we 4788  df-ord 4829  df-on 4830  df-lim 4831  df-suc 4832  df-xp 4953  df-rel 4954  df-cnv 4955  df-co 4956  df-dm 4957  df-rn 4958  df-res 4959  df-ima 4960  df-iota 5488  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-riota 6160  df-ov 6202  df-oprab 6203  df-mpt2 6204  df-om 6586  df-1st 6686  df-2nd 6687  df-recs 6941  df-rdg 6975  df-1o 7029  df-oadd 7033  df-er 7210  df-en 7420  df-dom 7421  df-sdom 7422  df-fin 7423  df-fi 7771  df-pnf 9530  df-mnf 9531  df-xr 9532  df-ltxr 9533  df-le 9534  df-sub 9707  df-neg 9708  df-ioo 11414  df-ioc 11415  df-ico 11416  df-icc 11417  df-topgen 14500  df-ordt 14557  df-ps 15488  df-tsr 15489  df-top 18634  df-bases 18636
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