MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mnfle Structured version   Unicode version

Theorem mnfle 11343
Description: Minus infinity is less than or equal to any extended real. (Contributed by NM, 19-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
mnfle  |-  ( A  e.  RR*  -> -oo  <_  A )

Proof of Theorem mnfle
StepHypRef Expression
1 nltmnf 11339 . 2  |-  ( A  e.  RR*  ->  -.  A  < -oo )
2 mnfxr 11324 . . 3  |- -oo  e.  RR*
3 xrlenlt 9653 . . 3  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  A  e.  RR* )  ->  ( -oo  <_  A  <->  -.  A  < -oo ) )
42, 3mpan 670 . 2  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( -oo  <_  A  <->  -.  A  < -oo ) )
51, 4mpbird 232 1  |-  ( A  e.  RR*  -> -oo  <_  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    e. wcel 1767   class class class wbr 4447   -oocmnf 9627   RR*cxr 9628    < clt 9629    <_ cle 9630
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-er 7312  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635
This theorem is referenced by:  ngtmnft  11369  xrre2  11372  xleadd1a  11446  xlt2add  11453  xsubge0  11454  xlesubadd  11456  xlemul1a  11481  supxrmnf  11510  elioc2  11588  iccmax  11601  xrsdsreclblem  18272  leordtvallem2  19518  lecldbas  19526  tgioo  21128  xrtgioo  21138  ioombl  21802  ismbfd  21874  degltlem1  22299  ply1rem  22391  xrdifh  27356  tpr2rico  27645  itg2gt0cn  29923  hbtlem2  30904  eliocre  31338  fouriersw  31759
  Copyright terms: Public domain W3C validator