MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mnfle Structured version   Unicode version

Theorem mnfle 11424
Description: Minus infinity is less than or equal to any extended real. (Contributed by NM, 19-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
mnfle  |-  ( A  e.  RR*  -> -oo  <_  A )

Proof of Theorem mnfle
StepHypRef Expression
1 nltmnf 11420 . 2  |-  ( A  e.  RR*  ->  -.  A  < -oo )
2 mnfxr 11403 . . 3  |- -oo  e.  RR*
3 xrlenlt 9688 . . 3  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  A  e.  RR* )  ->  ( -oo  <_  A  <->  -.  A  < -oo ) )
42, 3mpan 674 . 2  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( -oo  <_  A  <->  -.  A  < -oo ) )
51, 4mpbird 235 1  |-  ( A  e.  RR*  -> -oo  <_  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    e. wcel 1867   class class class wbr 4417   -oocmnf 9662   RR*cxr 9663    < clt 9664    <_ cle 9665
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588  ax-cnex 9584  ax-resscn 9585
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-op 4000  df-uni 4214  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-id 4760  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-er 7362  df-en 7569  df-dom 7570  df-sdom 7571  df-pnf 9666  df-mnf 9667  df-xr 9668  df-ltxr 9669  df-le 9670
This theorem is referenced by:  ngtmnft  11451  xrre2  11454  xleadd1a  11528  xlt2add  11535  xsubge0  11536  xlesubadd  11538  xlemul1a  11563  supxrmnf  11592  elioc2  11686  iccmax  11699  xrsdsreclblem  18942  leordtvallem2  20151  lecldbas  20159  tgioo  21738  xrtgioo  21748  ioombl  22412  ismbfd  22490  degltlem1  22915  ply1rem  23008  xrdifh  28224  tpr2rico  28583  itg2gt0cn  31730  hbtlem2  35722  supxrgelem  37202  supxrge  37203  suplesup  37204  eliocre  37227  fouriersw  37696
  Copyright terms: Public domain W3C validator