MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mndvcl Structured version   Unicode version

Theorem mndvcl 19063
Description: Tuple-wise additive closure in monoids. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mndvcl.b  |-  B  =  ( Base `  M
)
mndvcl.p  |-  .+  =  ( +g  `  M )
Assertion
Ref Expression
mndvcl  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  X  e.  ( B  ^m  I )  /\  Y  e.  ( B  ^m  I
) )  ->  ( X  oF  .+  Y
)  e.  ( B  ^m  I ) )

Proof of Theorem mndvcl
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mndvcl.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  M
)
2 mndvcl.p . . . . . 6  |-  .+  =  ( +g  `  M )
31, 2mndcl 16131 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( x  .+  y
)  e.  B )
433expb 1195 . . . 4  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  (
x  .+  y )  e.  B )
543ad2antl1 1156 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  Mnd  /\  X  e.  ( B  ^m  I )  /\  Y  e.  ( B  ^m  I ) )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  (
x  .+  y )  e.  B )
6 elmapi 7433 . . . 4  |-  ( X  e.  ( B  ^m  I )  ->  X : I --> B )
763ad2ant2 1016 . . 3  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  X  e.  ( B  ^m  I )  /\  Y  e.  ( B  ^m  I
) )  ->  X : I --> B )
8 elmapi 7433 . . . 4  |-  ( Y  e.  ( B  ^m  I )  ->  Y : I --> B )
983ad2ant3 1017 . . 3  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  X  e.  ( B  ^m  I )  /\  Y  e.  ( B  ^m  I
) )  ->  Y : I --> B )
10 elmapex 7432 . . . . 5  |-  ( X  e.  ( B  ^m  I )  ->  ( B  e.  _V  /\  I  e.  _V ) )
1110simprd 461 . . . 4  |-  ( X  e.  ( B  ^m  I )  ->  I  e.  _V )
12113ad2ant2 1016 . . 3  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  X  e.  ( B  ^m  I )  /\  Y  e.  ( B  ^m  I
) )  ->  I  e.  _V )
13 inidm 3693 . . 3  |-  ( I  i^i  I )  =  I
145, 7, 9, 12, 12, 13off 6527 . 2  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  X  e.  ( B  ^m  I )  /\  Y  e.  ( B  ^m  I
) )  ->  ( X  oF  .+  Y
) : I --> B )
15 fvex 5858 . . . 4  |-  ( Base `  M )  e.  _V
161, 15eqeltri 2538 . . 3  |-  B  e. 
_V
17 elmapg 7425 . . 3  |-  ( ( B  e.  _V  /\  I  e.  _V )  ->  ( ( X  oF  .+  Y )  e.  ( B  ^m  I
)  <->  ( X  oF  .+  Y ) : I --> B ) )
1816, 12, 17sylancr 661 . 2  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  X  e.  ( B  ^m  I )  /\  Y  e.  ( B  ^m  I
) )  ->  (
( X  oF  .+  Y )  e.  ( B  ^m  I
)  <->  ( X  oF  .+  Y ) : I --> B ) )
1914, 18mpbird 232 1  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  X  e.  ( B  ^m  I )  /\  Y  e.  ( B  ^m  I
) )  ->  ( X  oF  .+  Y
)  e.  ( B  ^m  I ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1398    e. wcel 1823   _Vcvv 3106   -->wf 5566   ` cfv 5570  (class class class)co 6270    oFcof 6511    ^m cmap 7412   Basecbs 14719   +g cplusg 14787   Mndcmnd 16121
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-id 4784  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-map 7414  df-mgm 16074  df-sgrp 16113  df-mnd 16123
This theorem is referenced by:  ringvcl  19070  mamudi  19075  mamudir  19076
  Copyright terms: Public domain W3C validator