MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mndvcl Structured version   Unicode version

Theorem mndvcl 18397
Description: Tuple-wise additive closure in monoids. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mndvcl.b  |-  B  =  ( Base `  M
)
mndvcl.p  |-  .+  =  ( +g  `  M )
Assertion
Ref Expression
mndvcl  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  X  e.  ( B  ^m  I )  /\  Y  e.  ( B  ^m  I
) )  ->  ( X  oF  .+  Y
)  e.  ( B  ^m  I ) )

Proof of Theorem mndvcl
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mndvcl.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  M
)
2 mndvcl.p . . . . . 6  |-  .+  =  ( +g  `  M )
31, 2mndcl 15519 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( x  .+  y
)  e.  B )
433expb 1189 . . . 4  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  (
x  .+  y )  e.  B )
543ad2antl1 1150 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  Mnd  /\  X  e.  ( B  ^m  I )  /\  Y  e.  ( B  ^m  I ) )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  (
x  .+  y )  e.  B )
6 elmapi 7331 . . . 4  |-  ( X  e.  ( B  ^m  I )  ->  X : I --> B )
763ad2ant2 1010 . . 3  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  X  e.  ( B  ^m  I )  /\  Y  e.  ( B  ^m  I
) )  ->  X : I --> B )
8 elmapi 7331 . . . 4  |-  ( Y  e.  ( B  ^m  I )  ->  Y : I --> B )
983ad2ant3 1011 . . 3  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  X  e.  ( B  ^m  I )  /\  Y  e.  ( B  ^m  I
) )  ->  Y : I --> B )
10 elmapex 7330 . . . . 5  |-  ( X  e.  ( B  ^m  I )  ->  ( B  e.  _V  /\  I  e.  _V ) )
1110simprd 463 . . . 4  |-  ( X  e.  ( B  ^m  I )  ->  I  e.  _V )
12113ad2ant2 1010 . . 3  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  X  e.  ( B  ^m  I )  /\  Y  e.  ( B  ^m  I
) )  ->  I  e.  _V )
13 inidm 3654 . . 3  |-  ( I  i^i  I )  =  I
145, 7, 9, 12, 12, 13off 6431 . 2  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  X  e.  ( B  ^m  I )  /\  Y  e.  ( B  ^m  I
) )  ->  ( X  oF  .+  Y
) : I --> B )
15 fvex 5796 . . . 4  |-  ( Base `  M )  e.  _V
161, 15eqeltri 2533 . . 3  |-  B  e. 
_V
17 elmapg 7324 . . 3  |-  ( ( B  e.  _V  /\  I  e.  _V )  ->  ( ( X  oF  .+  Y )  e.  ( B  ^m  I
)  <->  ( X  oF  .+  Y ) : I --> B ) )
1816, 12, 17sylancr 663 . 2  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  X  e.  ( B  ^m  I )  /\  Y  e.  ( B  ^m  I
) )  ->  (
( X  oF  .+  Y )  e.  ( B  ^m  I
)  <->  ( X  oF  .+  Y ) : I --> B ) )
1914, 18mpbird 232 1  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  X  e.  ( B  ^m  I )  /\  Y  e.  ( B  ^m  I
) )  ->  ( X  oF  .+  Y
)  e.  ( B  ^m  I ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   _Vcvv 3065   -->wf 5509   ` cfv 5513  (class class class)co 6187    oFcof 6415    ^m cmap 7311   Basecbs 14273   +g cplusg 14337   Mndcmnd 15508
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4498  ax-sep 4508  ax-nul 4516  ax-pow 4565  ax-pr 4626  ax-un 6469
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2599  df-ne 2644  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3067  df-sbc 3282  df-csb 3384  df-dif 3426  df-un 3428  df-in 3430  df-ss 3437  df-nul 3733  df-if 3887  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4187  df-iun 4268  df-br 4388  df-opab 4446  df-mpt 4447  df-id 4731  df-xp 4941  df-rel 4942  df-cnv 4943  df-co 4944  df-dm 4945  df-rn 4946  df-res 4947  df-ima 4948  df-iota 5476  df-fun 5515  df-fn 5516  df-f 5517  df-f1 5518  df-fo 5519  df-f1o 5520  df-fv 5521  df-ov 6190  df-oprab 6191  df-mpt2 6192  df-of 6417  df-1st 6674  df-2nd 6675  df-map 7313  df-mnd 15514
This theorem is referenced by:  rngvcl  18404  mamudi  18413  mamudir  18414
  Copyright terms: Public domain W3C validator