MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mndvass Structured version   Unicode version

Theorem mndvass 18656
Description: Tuple-wise associativity in monoids. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mndvcl.b  |-  B  =  ( Base `  M
)
mndvcl.p  |-  .+  =  ( +g  `  M )
Assertion
Ref Expression
mndvass  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  ( X  e.  ( B  ^m  I )  /\  Y  e.  ( B  ^m  I )  /\  Z  e.  ( B  ^m  I
) ) )  -> 
( ( X  oF  .+  Y )  oF  .+  Z )  =  ( X  oF  .+  ( Y  oF  .+  Z ) ) )

Proof of Theorem mndvass
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elmapex 7431 . . . . 5  |-  ( X  e.  ( B  ^m  I )  ->  ( B  e.  _V  /\  I  e.  _V ) )
21simprd 463 . . . 4  |-  ( X  e.  ( B  ^m  I )  ->  I  e.  _V )
323ad2ant1 1012 . . 3  |-  ( ( X  e.  ( B  ^m  I )  /\  Y  e.  ( B  ^m  I )  /\  Z  e.  ( B  ^m  I
) )  ->  I  e.  _V )
43adantl 466 . 2  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  ( X  e.  ( B  ^m  I )  /\  Y  e.  ( B  ^m  I )  /\  Z  e.  ( B  ^m  I
) ) )  ->  I  e.  _V )
5 elmapi 7432 . . . 4  |-  ( X  e.  ( B  ^m  I )  ->  X : I --> B )
653ad2ant1 1012 . . 3  |-  ( ( X  e.  ( B  ^m  I )  /\  Y  e.  ( B  ^m  I )  /\  Z  e.  ( B  ^m  I
) )  ->  X : I --> B )
76adantl 466 . 2  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  ( X  e.  ( B  ^m  I )  /\  Y  e.  ( B  ^m  I )  /\  Z  e.  ( B  ^m  I
) ) )  ->  X : I --> B )
8 elmapi 7432 . . . 4  |-  ( Y  e.  ( B  ^m  I )  ->  Y : I --> B )
983ad2ant2 1013 . . 3  |-  ( ( X  e.  ( B  ^m  I )  /\  Y  e.  ( B  ^m  I )  /\  Z  e.  ( B  ^m  I
) )  ->  Y : I --> B )
109adantl 466 . 2  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  ( X  e.  ( B  ^m  I )  /\  Y  e.  ( B  ^m  I )  /\  Z  e.  ( B  ^m  I
) ) )  ->  Y : I --> B )
11 elmapi 7432 . . . 4  |-  ( Z  e.  ( B  ^m  I )  ->  Z : I --> B )
12113ad2ant3 1014 . . 3  |-  ( ( X  e.  ( B  ^m  I )  /\  Y  e.  ( B  ^m  I )  /\  Z  e.  ( B  ^m  I
) )  ->  Z : I --> B )
1312adantl 466 . 2  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  ( X  e.  ( B  ^m  I )  /\  Y  e.  ( B  ^m  I )  /\  Z  e.  ( B  ^m  I
) ) )  ->  Z : I --> B )
14 mndvcl.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  M
)
15 mndvcl.p . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  M )
1614, 15mndass 15729 . . 3  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  (
( x  .+  y
)  .+  z )  =  ( x  .+  ( y  .+  z
) ) )
1716adantlr 714 . 2  |-  ( ( ( M  e.  Mnd  /\  ( X  e.  ( B  ^m  I )  /\  Y  e.  ( B  ^m  I )  /\  Z  e.  ( B  ^m  I ) ) )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  ->  ( (
x  .+  y )  .+  z )  =  ( x  .+  ( y 
.+  z ) ) )
184, 7, 10, 13, 17caofass 6551 1  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  ( X  e.  ( B  ^m  I )  /\  Y  e.  ( B  ^m  I )  /\  Z  e.  ( B  ^m  I
) ) )  -> 
( ( X  oF  .+  Y )  oF  .+  Z )  =  ( X  oF  .+  ( Y  oF  .+  Z ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 968    = wceq 1374    e. wcel 1762   _Vcvv 3108   -->wf 5577   ` cfv 5581  (class class class)co 6277    oFcof 6515    ^m cmap 7412   Basecbs 14481   +g cplusg 14546   Mndcmnd 15717
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-rep 4553  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-op 4029  df-uni 4241  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-id 4790  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-of 6517  df-1st 6776  df-2nd 6777  df-map 7414  df-mnd 15723
This theorem is referenced by:  mendrng  30737
  Copyright terms: Public domain W3C validator