MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mndvass Structured version   Unicode version

Theorem mndvass 19188
Description: Tuple-wise associativity in monoids. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mndvcl.b  |-  B  =  ( Base `  M
)
mndvcl.p  |-  .+  =  ( +g  `  M )
Assertion
Ref Expression
mndvass  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  ( X  e.  ( B  ^m  I )  /\  Y  e.  ( B  ^m  I )  /\  Z  e.  ( B  ^m  I
) ) )  -> 
( ( X  oF  .+  Y )  oF  .+  Z )  =  ( X  oF  .+  ( Y  oF  .+  Z ) ) )

Proof of Theorem mndvass
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elmapex 7479 . . . . 5  |-  ( X  e.  ( B  ^m  I )  ->  ( B  e.  _V  /\  I  e.  _V ) )
21simprd 463 . . . 4  |-  ( X  e.  ( B  ^m  I )  ->  I  e.  _V )
323ad2ant1 1020 . . 3  |-  ( ( X  e.  ( B  ^m  I )  /\  Y  e.  ( B  ^m  I )  /\  Z  e.  ( B  ^m  I
) )  ->  I  e.  _V )
43adantl 466 . 2  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  ( X  e.  ( B  ^m  I )  /\  Y  e.  ( B  ^m  I )  /\  Z  e.  ( B  ^m  I
) ) )  ->  I  e.  _V )
5 elmapi 7480 . . . 4  |-  ( X  e.  ( B  ^m  I )  ->  X : I --> B )
653ad2ant1 1020 . . 3  |-  ( ( X  e.  ( B  ^m  I )  /\  Y  e.  ( B  ^m  I )  /\  Z  e.  ( B  ^m  I
) )  ->  X : I --> B )
76adantl 466 . 2  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  ( X  e.  ( B  ^m  I )  /\  Y  e.  ( B  ^m  I )  /\  Z  e.  ( B  ^m  I
) ) )  ->  X : I --> B )
8 elmapi 7480 . . . 4  |-  ( Y  e.  ( B  ^m  I )  ->  Y : I --> B )
983ad2ant2 1021 . . 3  |-  ( ( X  e.  ( B  ^m  I )  /\  Y  e.  ( B  ^m  I )  /\  Z  e.  ( B  ^m  I
) )  ->  Y : I --> B )
109adantl 466 . 2  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  ( X  e.  ( B  ^m  I )  /\  Y  e.  ( B  ^m  I )  /\  Z  e.  ( B  ^m  I
) ) )  ->  Y : I --> B )
11 elmapi 7480 . . . 4  |-  ( Z  e.  ( B  ^m  I )  ->  Z : I --> B )
12113ad2ant3 1022 . . 3  |-  ( ( X  e.  ( B  ^m  I )  /\  Y  e.  ( B  ^m  I )  /\  Z  e.  ( B  ^m  I
) )  ->  Z : I --> B )
1312adantl 466 . 2  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  ( X  e.  ( B  ^m  I )  /\  Y  e.  ( B  ^m  I )  /\  Z  e.  ( B  ^m  I
) ) )  ->  Z : I --> B )
14 mndvcl.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  M
)
15 mndvcl.p . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  M )
1614, 15mndass 16256 . . 3  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  (
( x  .+  y
)  .+  z )  =  ( x  .+  ( y  .+  z
) ) )
1716adantlr 715 . 2  |-  ( ( ( M  e.  Mnd  /\  ( X  e.  ( B  ^m  I )  /\  Y  e.  ( B  ^m  I )  /\  Z  e.  ( B  ^m  I ) ) )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  ->  ( (
x  .+  y )  .+  z )  =  ( x  .+  ( y 
.+  z ) ) )
184, 7, 10, 13, 17caofass 6558 1  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  ( X  e.  ( B  ^m  I )  /\  Y  e.  ( B  ^m  I )  /\  Z  e.  ( B  ^m  I
) ) )  -> 
( ( X  oF  .+  Y )  oF  .+  Z )  =  ( X  oF  .+  ( Y  oF  .+  Z ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 976    = wceq 1407    e. wcel 1844   _Vcvv 3061   -->wf 5567   ` cfv 5571  (class class class)co 6280    oFcof 6521    ^m cmap 7459   Basecbs 14843   +g cplusg 14911   Mndcmnd 16245
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-rep 4509  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-op 3981  df-uni 4194  df-iun 4275  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-id 4740  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-of 6523  df-1st 6786  df-2nd 6787  df-map 7461  df-sgrp 16237  df-mnd 16247
This theorem is referenced by:  mendring  35518
  Copyright terms: Public domain W3C validator