MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mndrid Structured version   Unicode version

Theorem mndrid 15811
Description: The identity element of a monoid is a right identity. (Contributed by NM, 18-Aug-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
mndlrid.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
mndlrid.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
mndlrid.o  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
Assertion
Ref Expression
mndrid  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  X  e.  B )  ->  ( X  .+  .0.  )  =  X )

Proof of Theorem mndrid
StepHypRef Expression
1 mndlrid.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 mndlrid.p . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  G )
3 mndlrid.o . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
41, 2, 3mndlrid 15809 . 2  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  X  e.  B )  ->  ( (  .0.  .+  X )  =  X  /\  ( X  .+  .0.  )  =  X
) )
54simprd 463 1  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  X  e.  B )  ->  ( X  .+  .0.  )  =  X )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1381    e. wcel 1802   ` cfv 5574  (class class class)co 6277   Basecbs 14504   +g cplusg 14569   0gc0g 14709   Mndcmnd 15788
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-nul 3768  df-if 3923  df-sn 4011  df-pr 4013  df-op 4017  df-uni 4231  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-id 4781  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fv 5582  df-riota 6238  df-ov 6280  df-0g 14711  df-mgm 15741  df-sgrp 15780  df-mnd 15790
This theorem is referenced by:  mndpfo  15813  issubmnd  15817  ress0g  15818  submnd0  15819  prdsidlem  15821  imasmnd  15827  mrcmndind  15866  gsumccat  15878  grprid  15950  mulgnn0dir  16034  mhmid  16060  mhmmnd  16061  cntzsubm  16242  oppgmnd  16258  lsmub1x  16535  gsumval3OLD  16777  gsumval3  16780  gsumzsplit  16813  gsumzsplitOLD  16814  srgbinomlem3  17061  mndvrid  18763  mndifsplit  19005  gsummatr01  19028  smadiadet  19039  pmatcollpw3fi1lem1  19154  chfacfscmulgsum  19228  chfacfpmmulgsum  19232  tsmssplit  20520  tsmsxp  20523  slmd0vrid  27632
  Copyright terms: Public domain W3C validator