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Theorem mndpsuppss 39429
Description: The support of a mapping of a scalar multiplication with a function of scalars is a subset of the support of the function of scalars. (Contributed by AV, 5-Apr-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
mndpsuppss.r  |-  R  =  ( Base `  M
)
Assertion
Ref Expression
mndpsuppss  |-  ( ( ( M  e.  Mnd  /\  V  e.  X )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  (
( A  oF ( +g  `  M
) B ) supp  ( 0g `  M ) ) 
C_  ( ( A supp  ( 0g `  M
) )  u.  ( B supp  ( 0g `  M
) ) ) )

Proof of Theorem mndpsuppss
Dummy variables  v  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ioran 492 . . . . . 6  |-  ( -.  ( ( A `  x )  =/=  ( 0g `  M )  \/  ( B `  x
)  =/=  ( 0g
`  M ) )  <-> 
( -.  ( A `
 x )  =/=  ( 0g `  M
)  /\  -.  ( B `  x )  =/=  ( 0g `  M
) ) )
2 nne 2624 . . . . . . 7  |-  ( -.  ( A `  x
)  =/=  ( 0g
`  M )  <->  ( A `  x )  =  ( 0g `  M ) )
3 nne 2624 . . . . . . 7  |-  ( -.  ( B `  x
)  =/=  ( 0g
`  M )  <->  ( B `  x )  =  ( 0g `  M ) )
42, 3anbi12i 701 . . . . . 6  |-  ( ( -.  ( A `  x )  =/=  ( 0g `  M )  /\  -.  ( B `  x
)  =/=  ( 0g
`  M ) )  <-> 
( ( A `  x )  =  ( 0g `  M )  /\  ( B `  x )  =  ( 0g `  M ) ) )
51, 4bitri 252 . . . . 5  |-  ( -.  ( ( A `  x )  =/=  ( 0g `  M )  \/  ( B `  x
)  =/=  ( 0g
`  M ) )  <-> 
( ( A `  x )  =  ( 0g `  M )  /\  ( B `  x )  =  ( 0g `  M ) ) )
6 elmapfn 7498 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  ( R  ^m  V )  ->  A  Fn  V )
76ad2antrl 732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  Mnd  /\  V  e.  X )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  A  Fn  V )
87adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( M  e. 
Mnd  /\  V  e.  X )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V )  /\  B  e.  ( R  ^m  V
) ) )  /\  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  M )  /\  ( B `  x )  =  ( 0g `  M ) ) )  ->  A  Fn  V )
9 elmapfn 7498 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  ( R  ^m  V )  ->  B  Fn  V )
109ad2antll 733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  Mnd  /\  V  e.  X )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  B  Fn  V )
1110adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( M  e. 
Mnd  /\  V  e.  X )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V )  /\  B  e.  ( R  ^m  V
) ) )  /\  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  M )  /\  ( B `  x )  =  ( 0g `  M ) ) )  ->  B  Fn  V )
12 simplr 760 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  Mnd  /\  V  e.  X )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  V  e.  X )
1312adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( M  e. 
Mnd  /\  V  e.  X )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V )  /\  B  e.  ( R  ^m  V
) ) )  /\  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  M )  /\  ( B `  x )  =  ( 0g `  M ) ) )  ->  V  e.  X )
14 inidm 3671 . . . . . . . . . 10  |-  ( V  i^i  V )  =  V
15 simplrl 768 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( M  e.  Mnd  /\  V  e.  X )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V )  /\  B  e.  ( R  ^m  V
) ) )  /\  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  M )  /\  ( B `  x )  =  ( 0g `  M ) ) )  /\  x  e.  V )  ->  ( A `  x )  =  ( 0g `  M ) )
16 simplrr 769 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( M  e.  Mnd  /\  V  e.  X )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V )  /\  B  e.  ( R  ^m  V
) ) )  /\  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  M )  /\  ( B `  x )  =  ( 0g `  M ) ) )  /\  x  e.  V )  ->  ( B `  x )  =  ( 0g `  M ) )
178, 11, 13, 13, 14, 15, 16ofval 6550 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( M  e.  Mnd  /\  V  e.  X )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V )  /\  B  e.  ( R  ^m  V
) ) )  /\  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  M )  /\  ( B `  x )  =  ( 0g `  M ) ) )  /\  x  e.  V )  ->  (
( A  oF ( +g  `  M
) B ) `  x )  =  ( ( 0g `  M
) ( +g  `  M
) ( 0g `  M ) ) )
1817an32s 811 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( M  e.  Mnd  /\  V  e.  X )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V )  /\  B  e.  ( R  ^m  V
) ) )  /\  x  e.  V )  /\  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  M )  /\  ( B `  x )  =  ( 0g `  M ) ) )  ->  (
( A  oF ( +g  `  M
) B ) `  x )  =  ( ( 0g `  M
) ( +g  `  M
) ( 0g `  M ) ) )
19 eqid 2422 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Base `  M )  =  (
Base `  M )
20 eqid 2422 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0g
`  M )  =  ( 0g `  M
)
2119, 20mndidcl 16541 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  Mnd  ->  ( 0g `  M )  e.  ( Base `  M
) )
2221ancli 553 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  Mnd  ->  ( M  e.  Mnd  /\  ( 0g `  M )  e.  ( Base `  M
) ) )
2322ad4antr 736 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( M  e.  Mnd  /\  V  e.  X )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V )  /\  B  e.  ( R  ^m  V
) ) )  /\  x  e.  V )  /\  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  M )  /\  ( B `  x )  =  ( 0g `  M ) ) )  ->  ( M  e.  Mnd  /\  ( 0g `  M )  e.  ( Base `  M
) ) )
24 eqid 2422 . . . . . . . . . 10  |-  ( +g  `  M )  =  ( +g  `  M )
2519, 24, 20mndlid 16544 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  ( 0g `  M )  e.  ( Base `  M
) )  ->  (
( 0g `  M
) ( +g  `  M
) ( 0g `  M ) )  =  ( 0g `  M
) )
2623, 25syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( M  e.  Mnd  /\  V  e.  X )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V )  /\  B  e.  ( R  ^m  V
) ) )  /\  x  e.  V )  /\  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  M )  /\  ( B `  x )  =  ( 0g `  M ) ) )  ->  (
( 0g `  M
) ( +g  `  M
) ( 0g `  M ) )  =  ( 0g `  M
) )
2718, 26eqtrd 2463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( M  e.  Mnd  /\  V  e.  X )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V )  /\  B  e.  ( R  ^m  V
) ) )  /\  x  e.  V )  /\  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  M )  /\  ( B `  x )  =  ( 0g `  M ) ) )  ->  (
( A  oF ( +g  `  M
) B ) `  x )  =  ( 0g `  M ) )
28 nne 2624 . . . . . . 7  |-  ( -.  ( ( A  oF ( +g  `  M
) B ) `  x )  =/=  ( 0g `  M )  <->  ( ( A  oF ( +g  `  M ) B ) `
 x )  =  ( 0g `  M
) )
2927, 28sylibr 215 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( M  e.  Mnd  /\  V  e.  X )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V )  /\  B  e.  ( R  ^m  V
) ) )  /\  x  e.  V )  /\  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  M )  /\  ( B `  x )  =  ( 0g `  M ) ) )  ->  -.  ( ( A  oF ( +g  `  M
) B ) `  x )  =/=  ( 0g `  M ) )
3029ex 435 . . . . 5  |-  ( ( ( ( M  e. 
Mnd  /\  V  e.  X )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V )  /\  B  e.  ( R  ^m  V
) ) )  /\  x  e.  V )  ->  ( ( ( A `
 x )  =  ( 0g `  M
)  /\  ( B `  x )  =  ( 0g `  M ) )  ->  -.  (
( A  oF ( +g  `  M
) B ) `  x )  =/=  ( 0g `  M ) ) )
315, 30syl5bi 220 . . . 4  |-  ( ( ( ( M  e. 
Mnd  /\  V  e.  X )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V )  /\  B  e.  ( R  ^m  V
) ) )  /\  x  e.  V )  ->  ( -.  ( ( A `  x )  =/=  ( 0g `  M )  \/  ( B `  x )  =/=  ( 0g `  M
) )  ->  -.  ( ( A  oF ( +g  `  M
) B ) `  x )  =/=  ( 0g `  M ) ) )
3231con4d 108 . . 3  |-  ( ( ( ( M  e. 
Mnd  /\  V  e.  X )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V )  /\  B  e.  ( R  ^m  V
) ) )  /\  x  e.  V )  ->  ( ( ( A  oF ( +g  `  M ) B ) `
 x )  =/=  ( 0g `  M
)  ->  ( ( A `  x )  =/=  ( 0g `  M
)  \/  ( B `
 x )  =/=  ( 0g `  M
) ) ) )
3332ss2rabdv 3542 . 2  |-  ( ( ( M  e.  Mnd  /\  V  e.  X )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  { x  e.  V  |  (
( A  oF ( +g  `  M
) B ) `  x )  =/=  ( 0g `  M ) } 
C_  { x  e.  V  |  ( ( A `  x )  =/=  ( 0g `  M )  \/  ( B `  x )  =/=  ( 0g `  M
) ) } )
347, 10, 12, 12, 14offn 6552 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  Mnd  /\  V  e.  X )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  ( A  oF ( +g  `  M ) B )  Fn  V )
35 fnfun 5687 . . . . 5  |-  ( ( A  oF ( +g  `  M ) B )  Fn  V  ->  Fun  ( A  oF ( +g  `  M
) B ) )
3634, 35syl 17 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  Mnd  /\  V  e.  X )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  Fun  ( A  oF
( +g  `  M ) B ) )
37 ovex 6329 . . . . 5  |-  ( A  oF ( +g  `  M ) B )  e.  _V
3837a1i 11 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  Mnd  /\  V  e.  X )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  ( A  oF ( +g  `  M ) B )  e.  _V )
39 fvex 5887 . . . . 5  |-  ( 0g
`  M )  e. 
_V
4039a1i 11 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  Mnd  /\  V  e.  X )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  ( 0g `  M )  e. 
_V )
41 suppval1 6927 . . . 4  |-  ( ( Fun  ( A  oF ( +g  `  M
) B )  /\  ( A  oF
( +g  `  M ) B )  e.  _V  /\  ( 0g `  M
)  e.  _V )  ->  ( ( A  oF ( +g  `  M
) B ) supp  ( 0g `  M ) )  =  { x  e. 
dom  ( A  oF ( +g  `  M
) B )  |  ( ( A  oF ( +g  `  M
) B ) `  x )  =/=  ( 0g `  M ) } )
4236, 38, 40, 41syl3anc 1264 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  Mnd  /\  V  e.  X )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  (
( A  oF ( +g  `  M
) B ) supp  ( 0g `  M ) )  =  { x  e. 
dom  ( A  oF ( +g  `  M
) B )  |  ( ( A  oF ( +g  `  M
) B ) `  x )  =/=  ( 0g `  M ) } )
4312, 7, 10offvalfv 39397 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  Mnd  /\  V  e.  X )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  ( A  oF ( +g  `  M ) B )  =  ( v  e.  V  |->  ( ( A `
 v ) ( +g  `  M ) ( B `  v
) ) ) )
4443dmeqd 5052 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  Mnd  /\  V  e.  X )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  dom  ( A  oF
( +g  `  M ) B )  =  dom  ( v  e.  V  |->  ( ( A `  v ) ( +g  `  M ) ( B `
 v ) ) ) )
45 ovex 6329 . . . . . 6  |-  ( ( A `  v ) ( +g  `  M
) ( B `  v ) )  e. 
_V
46 eqid 2422 . . . . . 6  |-  ( v  e.  V  |->  ( ( A `  v ) ( +g  `  M
) ( B `  v ) ) )  =  ( v  e.  V  |->  ( ( A `
 v ) ( +g  `  M ) ( B `  v
) ) )
4745, 46dmmpti 5721 . . . . 5  |-  dom  (
v  e.  V  |->  ( ( A `  v
) ( +g  `  M
) ( B `  v ) ) )  =  V
4844, 47syl6eq 2479 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  Mnd  /\  V  e.  X )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  dom  ( A  oF
( +g  `  M ) B )  =  V )
49 rabeq 3074 . . . 4  |-  ( dom  ( A  oF ( +g  `  M
) B )  =  V  ->  { x  e.  dom  ( A  oF ( +g  `  M
) B )  |  ( ( A  oF ( +g  `  M
) B ) `  x )  =/=  ( 0g `  M ) }  =  { x  e.  V  |  ( ( A  oF ( +g  `  M ) B ) `  x
)  =/=  ( 0g
`  M ) } )
5048, 49syl 17 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  Mnd  /\  V  e.  X )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  { x  e.  dom  ( A  oF ( +g  `  M
) B )  |  ( ( A  oF ( +g  `  M
) B ) `  x )  =/=  ( 0g `  M ) }  =  { x  e.  V  |  ( ( A  oF ( +g  `  M ) B ) `  x
)  =/=  ( 0g
`  M ) } )
5142, 50eqtrd 2463 . 2  |-  ( ( ( M  e.  Mnd  /\  V  e.  X )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  (
( A  oF ( +g  `  M
) B ) supp  ( 0g `  M ) )  =  { x  e.  V  |  ( ( A  oF ( +g  `  M ) B ) `  x
)  =/=  ( 0g
`  M ) } )
52 elmapfun 7499 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( R  ^m  V )  ->  Fun  A )
53 id 23 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( R  ^m  V )  ->  A  e.  ( R  ^m  V
) )
5439a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( R  ^m  V )  ->  ( 0g `  M )  e. 
_V )
55 suppval1 6927 . . . . . . 7  |-  ( ( Fun  A  /\  A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  ( 0g `  M )  e.  _V )  ->  ( A supp  ( 0g `  M ) )  =  { x  e. 
dom  A  |  ( A `  x )  =/=  ( 0g `  M
) } )
5652, 53, 54, 55syl3anc 1264 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( R  ^m  V )  ->  ( A supp  ( 0g `  M
) )  =  {
x  e.  dom  A  |  ( A `  x )  =/=  ( 0g `  M ) } )
57 elmapi 7497 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( R  ^m  V )  ->  A : V --> R )
58 fdm 5746 . . . . . . 7  |-  ( A : V --> R  ->  dom  A  =  V )
59 rabeq 3074 . . . . . . 7  |-  ( dom 
A  =  V  ->  { x  e.  dom  A  |  ( A `  x )  =/=  ( 0g `  M ) }  =  { x  e.  V  |  ( A `
 x )  =/=  ( 0g `  M
) } )
6057, 58, 593syl 18 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( R  ^m  V )  ->  { x  e.  dom  A  |  ( A `  x )  =/=  ( 0g `  M ) }  =  { x  e.  V  |  ( A `  x )  =/=  ( 0g `  M ) } )
6156, 60eqtrd 2463 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( R  ^m  V )  ->  ( A supp  ( 0g `  M
) )  =  {
x  e.  V  | 
( A `  x
)  =/=  ( 0g
`  M ) } )
6261ad2antrl 732 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  Mnd  /\  V  e.  X )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  ( A supp  ( 0g `  M
) )  =  {
x  e.  V  | 
( A `  x
)  =/=  ( 0g
`  M ) } )
63 elmapfun 7499 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  ( R  ^m  V )  ->  Fun  B )
6463ad2antll 733 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  Mnd  /\  V  e.  X )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  Fun  B )
65 simprr 764 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  Mnd  /\  V  e.  X )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  B  e.  ( R  ^m  V
) )
66 suppval1 6927 . . . . . 6  |-  ( ( Fun  B  /\  B  e.  ( R  ^m  V
)  /\  ( 0g `  M )  e.  _V )  ->  ( B supp  ( 0g `  M ) )  =  { x  e. 
dom  B  |  ( B `  x )  =/=  ( 0g `  M
) } )
6764, 65, 40, 66syl3anc 1264 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  Mnd  /\  V  e.  X )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  ( B supp  ( 0g `  M
) )  =  {
x  e.  dom  B  |  ( B `  x )  =/=  ( 0g `  M ) } )
68 elmapi 7497 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  ( R  ^m  V )  ->  B : V --> R )
69 fdm 5746 . . . . . . . 8  |-  ( B : V --> R  ->  dom  B  =  V )
7068, 69syl 17 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  ( R  ^m  V )  ->  dom  B  =  V )
7170ad2antll 733 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  Mnd  /\  V  e.  X )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  dom  B  =  V )
72 rabeq 3074 . . . . . 6  |-  ( dom 
B  =  V  ->  { x  e.  dom  B  |  ( B `  x )  =/=  ( 0g `  M ) }  =  { x  e.  V  |  ( B `
 x )  =/=  ( 0g `  M
) } )
7371, 72syl 17 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  Mnd  /\  V  e.  X )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  { x  e.  dom  B  |  ( B `  x )  =/=  ( 0g `  M ) }  =  { x  e.  V  |  ( B `  x )  =/=  ( 0g `  M ) } )
7467, 73eqtrd 2463 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  Mnd  /\  V  e.  X )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  ( B supp  ( 0g `  M
) )  =  {
x  e.  V  | 
( B `  x
)  =/=  ( 0g
`  M ) } )
7562, 74uneq12d 3621 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  Mnd  /\  V  e.  X )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  (
( A supp  ( 0g `  M ) )  u.  ( B supp  ( 0g
`  M ) ) )  =  ( { x  e.  V  | 
( A `  x
)  =/=  ( 0g
`  M ) }  u.  { x  e.  V  |  ( B `
 x )  =/=  ( 0g `  M
) } ) )
76 unrab 3744 . . 3  |-  ( { x  e.  V  | 
( A `  x
)  =/=  ( 0g
`  M ) }  u.  { x  e.  V  |  ( B `
 x )  =/=  ( 0g `  M
) } )  =  { x  e.  V  |  ( ( A `
 x )  =/=  ( 0g `  M
)  \/  ( B `
 x )  =/=  ( 0g `  M
) ) }
7775, 76syl6eq 2479 . 2  |-  ( ( ( M  e.  Mnd  /\  V  e.  X )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  (
( A supp  ( 0g `  M ) )  u.  ( B supp  ( 0g
`  M ) ) )  =  { x  e.  V  |  (
( A `  x
)  =/=  ( 0g
`  M )  \/  ( B `  x
)  =/=  ( 0g
`  M ) ) } )
7833, 51, 773sstr4d 3507 1  |-  ( ( ( M  e.  Mnd  /\  V  e.  X )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  (
( A  oF ( +g  `  M
) B ) supp  ( 0g `  M ) ) 
C_  ( ( A supp  ( 0g `  M
) )  u.  ( B supp  ( 0g `  M
) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 369    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1868    =/= wne 2618   {crab 2779   _Vcvv 3081    u. cun 3434    C_ wss 3436    |-> cmpt 4479   dom cdm 4849   Fun wfun 5591    Fn wfn 5592   -->wf 5593   ` cfv 5597  (class class class)co 6301    oFcof 6539   supp csupp 6921    ^m cmap 7476   Basecbs 15108   +g cplusg 15177   0gc0g 15325   Mndcmnd 16522
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6593
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-op 4003  df-uni 4217  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-id 4764  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-co 4858  df-dm 4859  df-rn 4860  df-res 4861  df-ima 4862  df-iota 5561  df-fun 5599  df-fn 5600  df-f 5601  df-f1 5602  df-fo 5603  df-f1o 5604  df-fv 5605  df-riota 6263  df-ov 6304  df-oprab 6305  df-mpt2 6306  df-of 6541  df-1st 6803  df-2nd 6804  df-supp 6922  df-map 7478  df-0g 15327  df-mgm 16475  df-sgrp 16514  df-mnd 16524
This theorem is referenced by:  mndpsuppfi  39433
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