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Theorem mndpsuppss 33066
Description: The support of a mapping of a scalar multiplication with a function of scalars is a subset of the support of the function of scalars. (Contributed by AV, 5-Apr-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
mndpsuppss.r  |-  R  =  ( Base `  M
)
Assertion
Ref Expression
mndpsuppss  |-  ( ( ( M  e.  Mnd  /\  V  e.  X )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  (
( A  oF ( +g  `  M
) B ) supp  ( 0g `  M ) ) 
C_  ( ( A supp  ( 0g `  M
) )  u.  ( B supp  ( 0g `  M
) ) ) )

Proof of Theorem mndpsuppss
Dummy variables  v  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ioran 490 . . . . . 6  |-  ( -.  ( ( A `  x )  =/=  ( 0g `  M )  \/  ( B `  x
)  =/=  ( 0g
`  M ) )  <-> 
( -.  ( A `
 x )  =/=  ( 0g `  M
)  /\  -.  ( B `  x )  =/=  ( 0g `  M
) ) )
2 nne 2658 . . . . . . 7  |-  ( -.  ( A `  x
)  =/=  ( 0g
`  M )  <->  ( A `  x )  =  ( 0g `  M ) )
3 nne 2658 . . . . . . 7  |-  ( -.  ( B `  x
)  =/=  ( 0g
`  M )  <->  ( B `  x )  =  ( 0g `  M ) )
42, 3anbi12i 697 . . . . . 6  |-  ( ( -.  ( A `  x )  =/=  ( 0g `  M )  /\  -.  ( B `  x
)  =/=  ( 0g
`  M ) )  <-> 
( ( A `  x )  =  ( 0g `  M )  /\  ( B `  x )  =  ( 0g `  M ) ) )
51, 4bitri 249 . . . . 5  |-  ( -.  ( ( A `  x )  =/=  ( 0g `  M )  \/  ( B `  x
)  =/=  ( 0g
`  M ) )  <-> 
( ( A `  x )  =  ( 0g `  M )  /\  ( B `  x )  =  ( 0g `  M ) ) )
6 elmapfn 7460 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  ( R  ^m  V )  ->  A  Fn  V )
76ad2antrl 727 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  Mnd  /\  V  e.  X )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  A  Fn  V )
87adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( M  e. 
Mnd  /\  V  e.  X )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V )  /\  B  e.  ( R  ^m  V
) ) )  /\  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  M )  /\  ( B `  x )  =  ( 0g `  M ) ) )  ->  A  Fn  V )
9 elmapfn 7460 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  ( R  ^m  V )  ->  B  Fn  V )
109ad2antll 728 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  Mnd  /\  V  e.  X )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  B  Fn  V )
1110adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( M  e. 
Mnd  /\  V  e.  X )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V )  /\  B  e.  ( R  ^m  V
) ) )  /\  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  M )  /\  ( B `  x )  =  ( 0g `  M ) ) )  ->  B  Fn  V )
12 simplr 755 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  Mnd  /\  V  e.  X )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  V  e.  X )
1312adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( M  e. 
Mnd  /\  V  e.  X )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V )  /\  B  e.  ( R  ^m  V
) ) )  /\  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  M )  /\  ( B `  x )  =  ( 0g `  M ) ) )  ->  V  e.  X )
14 inidm 3703 . . . . . . . . . 10  |-  ( V  i^i  V )  =  V
15 simplrl 761 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( M  e.  Mnd  /\  V  e.  X )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V )  /\  B  e.  ( R  ^m  V
) ) )  /\  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  M )  /\  ( B `  x )  =  ( 0g `  M ) ) )  /\  x  e.  V )  ->  ( A `  x )  =  ( 0g `  M ) )
16 simplrr 762 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( M  e.  Mnd  /\  V  e.  X )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V )  /\  B  e.  ( R  ^m  V
) ) )  /\  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  M )  /\  ( B `  x )  =  ( 0g `  M ) ) )  /\  x  e.  V )  ->  ( B `  x )  =  ( 0g `  M ) )
178, 11, 13, 13, 14, 15, 16ofval 6548 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( M  e.  Mnd  /\  V  e.  X )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V )  /\  B  e.  ( R  ^m  V
) ) )  /\  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  M )  /\  ( B `  x )  =  ( 0g `  M ) ) )  /\  x  e.  V )  ->  (
( A  oF ( +g  `  M
) B ) `  x )  =  ( ( 0g `  M
) ( +g  `  M
) ( 0g `  M ) ) )
1817an32s 804 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( M  e.  Mnd  /\  V  e.  X )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V )  /\  B  e.  ( R  ^m  V
) ) )  /\  x  e.  V )  /\  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  M )  /\  ( B `  x )  =  ( 0g `  M ) ) )  ->  (
( A  oF ( +g  `  M
) B ) `  x )  =  ( ( 0g `  M
) ( +g  `  M
) ( 0g `  M ) ) )
19 eqid 2457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Base `  M )  =  (
Base `  M )
20 eqid 2457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0g
`  M )  =  ( 0g `  M
)
2119, 20mndidcl 16064 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  Mnd  ->  ( 0g `  M )  e.  ( Base `  M
) )
2221ancli 551 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  Mnd  ->  ( M  e.  Mnd  /\  ( 0g `  M )  e.  ( Base `  M
) ) )
2322ad4antr 731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( M  e.  Mnd  /\  V  e.  X )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V )  /\  B  e.  ( R  ^m  V
) ) )  /\  x  e.  V )  /\  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  M )  /\  ( B `  x )  =  ( 0g `  M ) ) )  ->  ( M  e.  Mnd  /\  ( 0g `  M )  e.  ( Base `  M
) ) )
24 eqid 2457 . . . . . . . . . 10  |-  ( +g  `  M )  =  ( +g  `  M )
2519, 24, 20mndlid 16067 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  ( 0g `  M )  e.  ( Base `  M
) )  ->  (
( 0g `  M
) ( +g  `  M
) ( 0g `  M ) )  =  ( 0g `  M
) )
2623, 25syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( M  e.  Mnd  /\  V  e.  X )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V )  /\  B  e.  ( R  ^m  V
) ) )  /\  x  e.  V )  /\  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  M )  /\  ( B `  x )  =  ( 0g `  M ) ) )  ->  (
( 0g `  M
) ( +g  `  M
) ( 0g `  M ) )  =  ( 0g `  M
) )
2718, 26eqtrd 2498 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( M  e.  Mnd  /\  V  e.  X )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V )  /\  B  e.  ( R  ^m  V
) ) )  /\  x  e.  V )  /\  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  M )  /\  ( B `  x )  =  ( 0g `  M ) ) )  ->  (
( A  oF ( +g  `  M
) B ) `  x )  =  ( 0g `  M ) )
28 nne 2658 . . . . . . 7  |-  ( -.  ( ( A  oF ( +g  `  M
) B ) `  x )  =/=  ( 0g `  M )  <->  ( ( A  oF ( +g  `  M ) B ) `
 x )  =  ( 0g `  M
) )
2927, 28sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( M  e.  Mnd  /\  V  e.  X )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V )  /\  B  e.  ( R  ^m  V
) ) )  /\  x  e.  V )  /\  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  M )  /\  ( B `  x )  =  ( 0g `  M ) ) )  ->  -.  ( ( A  oF ( +g  `  M
) B ) `  x )  =/=  ( 0g `  M ) )
3029ex 434 . . . . 5  |-  ( ( ( ( M  e. 
Mnd  /\  V  e.  X )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V )  /\  B  e.  ( R  ^m  V
) ) )  /\  x  e.  V )  ->  ( ( ( A `
 x )  =  ( 0g `  M
)  /\  ( B `  x )  =  ( 0g `  M ) )  ->  -.  (
( A  oF ( +g  `  M
) B ) `  x )  =/=  ( 0g `  M ) ) )
315, 30syl5bi 217 . . . 4  |-  ( ( ( ( M  e. 
Mnd  /\  V  e.  X )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V )  /\  B  e.  ( R  ^m  V
) ) )  /\  x  e.  V )  ->  ( -.  ( ( A `  x )  =/=  ( 0g `  M )  \/  ( B `  x )  =/=  ( 0g `  M
) )  ->  -.  ( ( A  oF ( +g  `  M
) B ) `  x )  =/=  ( 0g `  M ) ) )
3231con4d 105 . . 3  |-  ( ( ( ( M  e. 
Mnd  /\  V  e.  X )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V )  /\  B  e.  ( R  ^m  V
) ) )  /\  x  e.  V )  ->  ( ( ( A  oF ( +g  `  M ) B ) `
 x )  =/=  ( 0g `  M
)  ->  ( ( A `  x )  =/=  ( 0g `  M
)  \/  ( B `
 x )  =/=  ( 0g `  M
) ) ) )
3332ss2rabdv 3577 . 2  |-  ( ( ( M  e.  Mnd  /\  V  e.  X )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  { x  e.  V  |  (
( A  oF ( +g  `  M
) B ) `  x )  =/=  ( 0g `  M ) } 
C_  { x  e.  V  |  ( ( A `  x )  =/=  ( 0g `  M )  \/  ( B `  x )  =/=  ( 0g `  M
) ) } )
347, 10, 12, 12, 14offn 6550 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  Mnd  /\  V  e.  X )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  ( A  oF ( +g  `  M ) B )  Fn  V )
35 fnfun 5684 . . . . 5  |-  ( ( A  oF ( +g  `  M ) B )  Fn  V  ->  Fun  ( A  oF ( +g  `  M
) B ) )
3634, 35syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  Mnd  /\  V  e.  X )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  Fun  ( A  oF
( +g  `  M ) B ) )
37 ovex 6324 . . . . 5  |-  ( A  oF ( +g  `  M ) B )  e.  _V
3837a1i 11 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  Mnd  /\  V  e.  X )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  ( A  oF ( +g  `  M ) B )  e.  _V )
39 fvex 5882 . . . . 5  |-  ( 0g
`  M )  e. 
_V
4039a1i 11 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  Mnd  /\  V  e.  X )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  ( 0g `  M )  e. 
_V )
41 suppval1 6923 . . . 4  |-  ( ( Fun  ( A  oF ( +g  `  M
) B )  /\  ( A  oF
( +g  `  M ) B )  e.  _V  /\  ( 0g `  M
)  e.  _V )  ->  ( ( A  oF ( +g  `  M
) B ) supp  ( 0g `  M ) )  =  { x  e. 
dom  ( A  oF ( +g  `  M
) B )  |  ( ( A  oF ( +g  `  M
) B ) `  x )  =/=  ( 0g `  M ) } )
4236, 38, 40, 41syl3anc 1228 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  Mnd  /\  V  e.  X )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  (
( A  oF ( +g  `  M
) B ) supp  ( 0g `  M ) )  =  { x  e. 
dom  ( A  oF ( +g  `  M
) B )  |  ( ( A  oF ( +g  `  M
) B ) `  x )  =/=  ( 0g `  M ) } )
4312, 7, 10offvalfv 33034 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  Mnd  /\  V  e.  X )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  ( A  oF ( +g  `  M ) B )  =  ( v  e.  V  |->  ( ( A `
 v ) ( +g  `  M ) ( B `  v
) ) ) )
4443dmeqd 5215 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  Mnd  /\  V  e.  X )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  dom  ( A  oF
( +g  `  M ) B )  =  dom  ( v  e.  V  |->  ( ( A `  v ) ( +g  `  M ) ( B `
 v ) ) ) )
45 ovex 6324 . . . . . 6  |-  ( ( A `  v ) ( +g  `  M
) ( B `  v ) )  e. 
_V
46 eqid 2457 . . . . . 6  |-  ( v  e.  V  |->  ( ( A `  v ) ( +g  `  M
) ( B `  v ) ) )  =  ( v  e.  V  |->  ( ( A `
 v ) ( +g  `  M ) ( B `  v
) ) )
4745, 46dmmpti 5716 . . . . 5  |-  dom  (
v  e.  V  |->  ( ( A `  v
) ( +g  `  M
) ( B `  v ) ) )  =  V
4844, 47syl6eq 2514 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  Mnd  /\  V  e.  X )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  dom  ( A  oF
( +g  `  M ) B )  =  V )
49 rabeq 3103 . . . 4  |-  ( dom  ( A  oF ( +g  `  M
) B )  =  V  ->  { x  e.  dom  ( A  oF ( +g  `  M
) B )  |  ( ( A  oF ( +g  `  M
) B ) `  x )  =/=  ( 0g `  M ) }  =  { x  e.  V  |  ( ( A  oF ( +g  `  M ) B ) `  x
)  =/=  ( 0g
`  M ) } )
5048, 49syl 16 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  Mnd  /\  V  e.  X )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  { x  e.  dom  ( A  oF ( +g  `  M
) B )  |  ( ( A  oF ( +g  `  M
) B ) `  x )  =/=  ( 0g `  M ) }  =  { x  e.  V  |  ( ( A  oF ( +g  `  M ) B ) `  x
)  =/=  ( 0g
`  M ) } )
5142, 50eqtrd 2498 . 2  |-  ( ( ( M  e.  Mnd  /\  V  e.  X )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  (
( A  oF ( +g  `  M
) B ) supp  ( 0g `  M ) )  =  { x  e.  V  |  ( ( A  oF ( +g  `  M ) B ) `  x
)  =/=  ( 0g
`  M ) } )
52 elmapfun 7461 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( R  ^m  V )  ->  Fun  A )
53 id 22 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( R  ^m  V )  ->  A  e.  ( R  ^m  V
) )
5439a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( R  ^m  V )  ->  ( 0g `  M )  e. 
_V )
55 suppval1 6923 . . . . . . 7  |-  ( ( Fun  A  /\  A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  ( 0g `  M )  e.  _V )  ->  ( A supp  ( 0g `  M ) )  =  { x  e. 
dom  A  |  ( A `  x )  =/=  ( 0g `  M
) } )
5652, 53, 54, 55syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( R  ^m  V )  ->  ( A supp  ( 0g `  M
) )  =  {
x  e.  dom  A  |  ( A `  x )  =/=  ( 0g `  M ) } )
57 elmapi 7459 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( R  ^m  V )  ->  A : V --> R )
58 fdm 5741 . . . . . . 7  |-  ( A : V --> R  ->  dom  A  =  V )
59 rabeq 3103 . . . . . . 7  |-  ( dom 
A  =  V  ->  { x  e.  dom  A  |  ( A `  x )  =/=  ( 0g `  M ) }  =  { x  e.  V  |  ( A `
 x )  =/=  ( 0g `  M
) } )
6057, 58, 593syl 20 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( R  ^m  V )  ->  { x  e.  dom  A  |  ( A `  x )  =/=  ( 0g `  M ) }  =  { x  e.  V  |  ( A `  x )  =/=  ( 0g `  M ) } )
6156, 60eqtrd 2498 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( R  ^m  V )  ->  ( A supp  ( 0g `  M
) )  =  {
x  e.  V  | 
( A `  x
)  =/=  ( 0g
`  M ) } )
6261ad2antrl 727 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  Mnd  /\  V  e.  X )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  ( A supp  ( 0g `  M
) )  =  {
x  e.  V  | 
( A `  x
)  =/=  ( 0g
`  M ) } )
63 elmapfun 7461 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  ( R  ^m  V )  ->  Fun  B )
6463ad2antll 728 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  Mnd  /\  V  e.  X )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  Fun  B )
65 simprr 757 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  Mnd  /\  V  e.  X )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  B  e.  ( R  ^m  V
) )
66 suppval1 6923 . . . . . 6  |-  ( ( Fun  B  /\  B  e.  ( R  ^m  V
)  /\  ( 0g `  M )  e.  _V )  ->  ( B supp  ( 0g `  M ) )  =  { x  e. 
dom  B  |  ( B `  x )  =/=  ( 0g `  M
) } )
6764, 65, 40, 66syl3anc 1228 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  Mnd  /\  V  e.  X )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  ( B supp  ( 0g `  M
) )  =  {
x  e.  dom  B  |  ( B `  x )  =/=  ( 0g `  M ) } )
68 elmapi 7459 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  ( R  ^m  V )  ->  B : V --> R )
69 fdm 5741 . . . . . . . 8  |-  ( B : V --> R  ->  dom  B  =  V )
7068, 69syl 16 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  ( R  ^m  V )  ->  dom  B  =  V )
7170ad2antll 728 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  Mnd  /\  V  e.  X )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  dom  B  =  V )
72 rabeq 3103 . . . . . 6  |-  ( dom 
B  =  V  ->  { x  e.  dom  B  |  ( B `  x )  =/=  ( 0g `  M ) }  =  { x  e.  V  |  ( B `
 x )  =/=  ( 0g `  M
) } )
7371, 72syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  Mnd  /\  V  e.  X )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  { x  e.  dom  B  |  ( B `  x )  =/=  ( 0g `  M ) }  =  { x  e.  V  |  ( B `  x )  =/=  ( 0g `  M ) } )
7467, 73eqtrd 2498 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  Mnd  /\  V  e.  X )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  ( B supp  ( 0g `  M
) )  =  {
x  e.  V  | 
( B `  x
)  =/=  ( 0g
`  M ) } )
7562, 74uneq12d 3655 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  Mnd  /\  V  e.  X )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  (
( A supp  ( 0g `  M ) )  u.  ( B supp  ( 0g
`  M ) ) )  =  ( { x  e.  V  | 
( A `  x
)  =/=  ( 0g
`  M ) }  u.  { x  e.  V  |  ( B `
 x )  =/=  ( 0g `  M
) } ) )
76 unrab 3776 . . 3  |-  ( { x  e.  V  | 
( A `  x
)  =/=  ( 0g
`  M ) }  u.  { x  e.  V  |  ( B `
 x )  =/=  ( 0g `  M
) } )  =  { x  e.  V  |  ( ( A `
 x )  =/=  ( 0g `  M
)  \/  ( B `
 x )  =/=  ( 0g `  M
) ) }
7775, 76syl6eq 2514 . 2  |-  ( ( ( M  e.  Mnd  /\  V  e.  X )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  (
( A supp  ( 0g `  M ) )  u.  ( B supp  ( 0g
`  M ) ) )  =  { x  e.  V  |  (
( A `  x
)  =/=  ( 0g
`  M )  \/  ( B `  x
)  =/=  ( 0g
`  M ) ) } )
7833, 51, 773sstr4d 3542 1  |-  ( ( ( M  e.  Mnd  /\  V  e.  X )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  (
( A  oF ( +g  `  M
) B ) supp  ( 0g `  M ) ) 
C_  ( ( A supp  ( 0g `  M
) )  u.  ( B supp  ( 0g `  M
) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819    =/= wne 2652   {crab 2811   _Vcvv 3109    u. cun 3469    C_ wss 3471    |-> cmpt 4515   dom cdm 5008   Fun wfun 5588    Fn wfn 5589   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296    oFcof 6537   supp csupp 6917    ^m cmap 7438   Basecbs 14643   +g cplusg 14711   0gc0g 14856   Mndcmnd 16045
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-map 7440  df-0g 14858  df-mgm 15998  df-sgrp 16037  df-mnd 16047
This theorem is referenced by:  mndpsuppfi  33070
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