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Theorem mndpsuppss 32037
Description: The support of a mapping of a scalar multiplication with a function of scalars is a subset of the support of the function of scalars. (Contributed by AV, 5-Apr-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
mndpsuppss.r  |-  R  =  ( Base `  M
)
Assertion
Ref Expression
mndpsuppss  |-  ( ( ( M  e.  Mnd  /\  V  e.  X )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  (
( A  oF ( +g  `  M
) B ) supp  ( 0g `  M ) ) 
C_  ( ( A supp  ( 0g `  M
) )  u.  ( B supp  ( 0g `  M
) ) ) )

Proof of Theorem mndpsuppss
Dummy variables  v  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ioran 490 . . . . . 6  |-  ( -.  ( ( A `  x )  =/=  ( 0g `  M )  \/  ( B `  x
)  =/=  ( 0g
`  M ) )  <-> 
( -.  ( A `
 x )  =/=  ( 0g `  M
)  /\  -.  ( B `  x )  =/=  ( 0g `  M
) ) )
2 nne 2668 . . . . . . 7  |-  ( -.  ( A `  x
)  =/=  ( 0g
`  M )  <->  ( A `  x )  =  ( 0g `  M ) )
3 nne 2668 . . . . . . 7  |-  ( -.  ( B `  x
)  =/=  ( 0g
`  M )  <->  ( B `  x )  =  ( 0g `  M ) )
42, 3anbi12i 697 . . . . . 6  |-  ( ( -.  ( A `  x )  =/=  ( 0g `  M )  /\  -.  ( B `  x
)  =/=  ( 0g
`  M ) )  <-> 
( ( A `  x )  =  ( 0g `  M )  /\  ( B `  x )  =  ( 0g `  M ) ) )
51, 4bitri 249 . . . . 5  |-  ( -.  ( ( A `  x )  =/=  ( 0g `  M )  \/  ( B `  x
)  =/=  ( 0g
`  M ) )  <-> 
( ( A `  x )  =  ( 0g `  M )  /\  ( B `  x )  =  ( 0g `  M ) ) )
6 elmapfn 7438 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  ( R  ^m  V )  ->  A  Fn  V )
76ad2antrl 727 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  Mnd  /\  V  e.  X )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  A  Fn  V )
87adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( M  e. 
Mnd  /\  V  e.  X )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V )  /\  B  e.  ( R  ^m  V
) ) )  /\  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  M )  /\  ( B `  x )  =  ( 0g `  M ) ) )  ->  A  Fn  V )
9 elmapfn 7438 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  ( R  ^m  V )  ->  B  Fn  V )
109ad2antll 728 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  Mnd  /\  V  e.  X )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  B  Fn  V )
1110adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( M  e. 
Mnd  /\  V  e.  X )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V )  /\  B  e.  ( R  ^m  V
) ) )  /\  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  M )  /\  ( B `  x )  =  ( 0g `  M ) ) )  ->  B  Fn  V )
12 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  V  e.  X )  ->  V  e.  X )
1312adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  Mnd  /\  V  e.  X )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  V  e.  X )
1413adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( M  e. 
Mnd  /\  V  e.  X )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V )  /\  B  e.  ( R  ^m  V
) ) )  /\  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  M )  /\  ( B `  x )  =  ( 0g `  M ) ) )  ->  V  e.  X )
15 inidm 3707 . . . . . . . . . 10  |-  ( V  i^i  V )  =  V
16 simplrl 759 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( M  e.  Mnd  /\  V  e.  X )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V )  /\  B  e.  ( R  ^m  V
) ) )  /\  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  M )  /\  ( B `  x )  =  ( 0g `  M ) ) )  /\  x  e.  V )  ->  ( A `  x )  =  ( 0g `  M ) )
17 simplrr 760 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( M  e.  Mnd  /\  V  e.  X )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V )  /\  B  e.  ( R  ^m  V
) ) )  /\  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  M )  /\  ( B `  x )  =  ( 0g `  M ) ) )  /\  x  e.  V )  ->  ( B `  x )  =  ( 0g `  M ) )
188, 11, 14, 14, 15, 16, 17ofval 6531 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( M  e.  Mnd  /\  V  e.  X )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V )  /\  B  e.  ( R  ^m  V
) ) )  /\  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  M )  /\  ( B `  x )  =  ( 0g `  M ) ) )  /\  x  e.  V )  ->  (
( A  oF ( +g  `  M
) B ) `  x )  =  ( ( 0g `  M
) ( +g  `  M
) ( 0g `  M ) ) )
1918an32s 802 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( M  e.  Mnd  /\  V  e.  X )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V )  /\  B  e.  ( R  ^m  V
) ) )  /\  x  e.  V )  /\  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  M )  /\  ( B `  x )  =  ( 0g `  M ) ) )  ->  (
( A  oF ( +g  `  M
) B ) `  x )  =  ( ( 0g `  M
) ( +g  `  M
) ( 0g `  M ) ) )
20 eqid 2467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Base `  M )  =  (
Base `  M )
21 eqid 2467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0g
`  M )  =  ( 0g `  M
)
2220, 21mndidcl 15752 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  Mnd  ->  ( 0g `  M )  e.  ( Base `  M
) )
2322ancli 551 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  Mnd  ->  ( M  e.  Mnd  /\  ( 0g `  M )  e.  ( Base `  M
) ) )
2423ad4antr 731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( M  e.  Mnd  /\  V  e.  X )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V )  /\  B  e.  ( R  ^m  V
) ) )  /\  x  e.  V )  /\  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  M )  /\  ( B `  x )  =  ( 0g `  M ) ) )  ->  ( M  e.  Mnd  /\  ( 0g `  M )  e.  ( Base `  M
) ) )
25 eqid 2467 . . . . . . . . . 10  |-  ( +g  `  M )  =  ( +g  `  M )
2620, 25, 21mndlid 15754 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  ( 0g `  M )  e.  ( Base `  M
) )  ->  (
( 0g `  M
) ( +g  `  M
) ( 0g `  M ) )  =  ( 0g `  M
) )
2724, 26syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( M  e.  Mnd  /\  V  e.  X )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V )  /\  B  e.  ( R  ^m  V
) ) )  /\  x  e.  V )  /\  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  M )  /\  ( B `  x )  =  ( 0g `  M ) ) )  ->  (
( 0g `  M
) ( +g  `  M
) ( 0g `  M ) )  =  ( 0g `  M
) )
2819, 27eqtrd 2508 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( M  e.  Mnd  /\  V  e.  X )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V )  /\  B  e.  ( R  ^m  V
) ) )  /\  x  e.  V )  /\  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  M )  /\  ( B `  x )  =  ( 0g `  M ) ) )  ->  (
( A  oF ( +g  `  M
) B ) `  x )  =  ( 0g `  M ) )
29 nne 2668 . . . . . . 7  |-  ( -.  ( ( A  oF ( +g  `  M
) B ) `  x )  =/=  ( 0g `  M )  <->  ( ( A  oF ( +g  `  M ) B ) `
 x )  =  ( 0g `  M
) )
3028, 29sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( M  e.  Mnd  /\  V  e.  X )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V )  /\  B  e.  ( R  ^m  V
) ) )  /\  x  e.  V )  /\  ( ( A `  x )  =  ( 0g `  M )  /\  ( B `  x )  =  ( 0g `  M ) ) )  ->  -.  ( ( A  oF ( +g  `  M
) B ) `  x )  =/=  ( 0g `  M ) )
3130ex 434 . . . . 5  |-  ( ( ( ( M  e. 
Mnd  /\  V  e.  X )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V )  /\  B  e.  ( R  ^m  V
) ) )  /\  x  e.  V )  ->  ( ( ( A `
 x )  =  ( 0g `  M
)  /\  ( B `  x )  =  ( 0g `  M ) )  ->  -.  (
( A  oF ( +g  `  M
) B ) `  x )  =/=  ( 0g `  M ) ) )
325, 31syl5bi 217 . . . 4  |-  ( ( ( ( M  e. 
Mnd  /\  V  e.  X )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V )  /\  B  e.  ( R  ^m  V
) ) )  /\  x  e.  V )  ->  ( -.  ( ( A `  x )  =/=  ( 0g `  M )  \/  ( B `  x )  =/=  ( 0g `  M
) )  ->  -.  ( ( A  oF ( +g  `  M
) B ) `  x )  =/=  ( 0g `  M ) ) )
3332con4d 105 . . 3  |-  ( ( ( ( M  e. 
Mnd  /\  V  e.  X )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V )  /\  B  e.  ( R  ^m  V
) ) )  /\  x  e.  V )  ->  ( ( ( A  oF ( +g  `  M ) B ) `
 x )  =/=  ( 0g `  M
)  ->  ( ( A `  x )  =/=  ( 0g `  M
)  \/  ( B `
 x )  =/=  ( 0g `  M
) ) ) )
3433ss2rabdv 3581 . 2  |-  ( ( ( M  e.  Mnd  /\  V  e.  X )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  { x  e.  V  |  (
( A  oF ( +g  `  M
) B ) `  x )  =/=  ( 0g `  M ) } 
C_  { x  e.  V  |  ( ( A `  x )  =/=  ( 0g `  M )  \/  ( B `  x )  =/=  ( 0g `  M
) ) } )
357, 10, 13, 13, 15offn 6533 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  Mnd  /\  V  e.  X )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  ( A  oF ( +g  `  M ) B )  Fn  V )
36 fnfun 5676 . . . . 5  |-  ( ( A  oF ( +g  `  M ) B )  Fn  V  ->  Fun  ( A  oF ( +g  `  M
) B ) )
3735, 36syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  Mnd  /\  V  e.  X )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  Fun  ( A  oF
( +g  `  M ) B ) )
38 ovex 6307 . . . . 5  |-  ( A  oF ( +g  `  M ) B )  e.  _V
3938a1i 11 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  Mnd  /\  V  e.  X )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  ( A  oF ( +g  `  M ) B )  e.  _V )
40 fvex 5874 . . . . 5  |-  ( 0g
`  M )  e. 
_V
4140a1i 11 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  Mnd  /\  V  e.  X )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  ( 0g `  M )  e. 
_V )
42 suppval1 6904 . . . 4  |-  ( ( Fun  ( A  oF ( +g  `  M
) B )  /\  ( A  oF
( +g  `  M ) B )  e.  _V  /\  ( 0g `  M
)  e.  _V )  ->  ( ( A  oF ( +g  `  M
) B ) supp  ( 0g `  M ) )  =  { x  e. 
dom  ( A  oF ( +g  `  M
) B )  |  ( ( A  oF ( +g  `  M
) B ) `  x )  =/=  ( 0g `  M ) } )
4337, 39, 41, 42syl3anc 1228 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  Mnd  /\  V  e.  X )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  (
( A  oF ( +g  `  M
) B ) supp  ( 0g `  M ) )  =  { x  e. 
dom  ( A  oF ( +g  `  M
) B )  |  ( ( A  oF ( +g  `  M
) B ) `  x )  =/=  ( 0g `  M ) } )
4413, 7, 10offvalfv 31996 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  Mnd  /\  V  e.  X )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  ( A  oF ( +g  `  M ) B )  =  ( v  e.  V  |->  ( ( A `
 v ) ( +g  `  M ) ( B `  v
) ) ) )
4544dmeqd 5203 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  Mnd  /\  V  e.  X )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  dom  ( A  oF
( +g  `  M ) B )  =  dom  ( v  e.  V  |->  ( ( A `  v ) ( +g  `  M ) ( B `
 v ) ) ) )
46 ovex 6307 . . . . . 6  |-  ( ( A `  v ) ( +g  `  M
) ( B `  v ) )  e. 
_V
47 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( v  e.  V  |->  ( ( A `  v ) ( +g  `  M
) ( B `  v ) ) )  =  ( v  e.  V  |->  ( ( A `
 v ) ( +g  `  M ) ( B `  v
) ) )
4846, 47dmmpti 5708 . . . . 5  |-  dom  (
v  e.  V  |->  ( ( A `  v
) ( +g  `  M
) ( B `  v ) ) )  =  V
4945, 48syl6eq 2524 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  Mnd  /\  V  e.  X )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  dom  ( A  oF
( +g  `  M ) B )  =  V )
50 rabeq 3107 . . . 4  |-  ( dom  ( A  oF ( +g  `  M
) B )  =  V  ->  { x  e.  dom  ( A  oF ( +g  `  M
) B )  |  ( ( A  oF ( +g  `  M
) B ) `  x )  =/=  ( 0g `  M ) }  =  { x  e.  V  |  ( ( A  oF ( +g  `  M ) B ) `  x
)  =/=  ( 0g
`  M ) } )
5149, 50syl 16 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  Mnd  /\  V  e.  X )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  { x  e.  dom  ( A  oF ( +g  `  M
) B )  |  ( ( A  oF ( +g  `  M
) B ) `  x )  =/=  ( 0g `  M ) }  =  { x  e.  V  |  ( ( A  oF ( +g  `  M ) B ) `  x
)  =/=  ( 0g
`  M ) } )
5243, 51eqtrd 2508 . 2  |-  ( ( ( M  e.  Mnd  /\  V  e.  X )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  (
( A  oF ( +g  `  M
) B ) supp  ( 0g `  M ) )  =  { x  e.  V  |  ( ( A  oF ( +g  `  M ) B ) `  x
)  =/=  ( 0g
`  M ) } )
53 elmapi 7437 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( R  ^m  V )  ->  A : V --> R )
54 ffun 5731 . . . . . . . 8  |-  ( A : V --> R  ->  Fun  A )
5553, 54syl 16 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( R  ^m  V )  ->  Fun  A )
56 id 22 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( R  ^m  V )  ->  A  e.  ( R  ^m  V
) )
5740a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( R  ^m  V )  ->  ( 0g `  M )  e. 
_V )
58 suppval1 6904 . . . . . . 7  |-  ( ( Fun  A  /\  A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  ( 0g `  M )  e.  _V )  ->  ( A supp  ( 0g `  M ) )  =  { x  e. 
dom  A  |  ( A `  x )  =/=  ( 0g `  M
) } )
5955, 56, 57, 58syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( R  ^m  V )  ->  ( A supp  ( 0g `  M
) )  =  {
x  e.  dom  A  |  ( A `  x )  =/=  ( 0g `  M ) } )
60 fdm 5733 . . . . . . 7  |-  ( A : V --> R  ->  dom  A  =  V )
61 rabeq 3107 . . . . . . 7  |-  ( dom 
A  =  V  ->  { x  e.  dom  A  |  ( A `  x )  =/=  ( 0g `  M ) }  =  { x  e.  V  |  ( A `
 x )  =/=  ( 0g `  M
) } )
6253, 60, 613syl 20 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( R  ^m  V )  ->  { x  e.  dom  A  |  ( A `  x )  =/=  ( 0g `  M ) }  =  { x  e.  V  |  ( A `  x )  =/=  ( 0g `  M ) } )
6359, 62eqtrd 2508 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( R  ^m  V )  ->  ( A supp  ( 0g `  M
) )  =  {
x  e.  V  | 
( A `  x
)  =/=  ( 0g
`  M ) } )
6463ad2antrl 727 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  Mnd  /\  V  e.  X )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  ( A supp  ( 0g `  M
) )  =  {
x  e.  V  | 
( A `  x
)  =/=  ( 0g
`  M ) } )
65 elmapi 7437 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  ( R  ^m  V )  ->  B : V --> R )
66 ffun 5731 . . . . . . . 8  |-  ( B : V --> R  ->  Fun  B )
6765, 66syl 16 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  ( R  ^m  V )  ->  Fun  B )
6867ad2antll 728 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  Mnd  /\  V  e.  X )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  Fun  B )
69 simprr 756 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  Mnd  /\  V  e.  X )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  B  e.  ( R  ^m  V
) )
70 suppval1 6904 . . . . . 6  |-  ( ( Fun  B  /\  B  e.  ( R  ^m  V
)  /\  ( 0g `  M )  e.  _V )  ->  ( B supp  ( 0g `  M ) )  =  { x  e. 
dom  B  |  ( B `  x )  =/=  ( 0g `  M
) } )
7168, 69, 41, 70syl3anc 1228 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  Mnd  /\  V  e.  X )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  ( B supp  ( 0g `  M
) )  =  {
x  e.  dom  B  |  ( B `  x )  =/=  ( 0g `  M ) } )
72 fdm 5733 . . . . . . . 8  |-  ( B : V --> R  ->  dom  B  =  V )
7365, 72syl 16 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  ( R  ^m  V )  ->  dom  B  =  V )
7473ad2antll 728 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  Mnd  /\  V  e.  X )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  dom  B  =  V )
75 rabeq 3107 . . . . . 6  |-  ( dom 
B  =  V  ->  { x  e.  dom  B  |  ( B `  x )  =/=  ( 0g `  M ) }  =  { x  e.  V  |  ( B `
 x )  =/=  ( 0g `  M
) } )
7674, 75syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  Mnd  /\  V  e.  X )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  { x  e.  dom  B  |  ( B `  x )  =/=  ( 0g `  M ) }  =  { x  e.  V  |  ( B `  x )  =/=  ( 0g `  M ) } )
7771, 76eqtrd 2508 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  Mnd  /\  V  e.  X )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  ( B supp  ( 0g `  M
) )  =  {
x  e.  V  | 
( B `  x
)  =/=  ( 0g
`  M ) } )
7864, 77uneq12d 3659 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  Mnd  /\  V  e.  X )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  (
( A supp  ( 0g `  M ) )  u.  ( B supp  ( 0g
`  M ) ) )  =  ( { x  e.  V  | 
( A `  x
)  =/=  ( 0g
`  M ) }  u.  { x  e.  V  |  ( B `
 x )  =/=  ( 0g `  M
) } ) )
79 unrab 3769 . . 3  |-  ( { x  e.  V  | 
( A `  x
)  =/=  ( 0g
`  M ) }  u.  { x  e.  V  |  ( B `
 x )  =/=  ( 0g `  M
) } )  =  { x  e.  V  |  ( ( A `
 x )  =/=  ( 0g `  M
)  \/  ( B `
 x )  =/=  ( 0g `  M
) ) }
8078, 79syl6eq 2524 . 2  |-  ( ( ( M  e.  Mnd  /\  V  e.  X )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  (
( A supp  ( 0g `  M ) )  u.  ( B supp  ( 0g
`  M ) ) )  =  { x  e.  V  |  (
( A `  x
)  =/=  ( 0g
`  M )  \/  ( B `  x
)  =/=  ( 0g
`  M ) ) } )
8134, 52, 803sstr4d 3547 1  |-  ( ( ( M  e.  Mnd  /\  V  e.  X )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  (
( A  oF ( +g  `  M
) B ) supp  ( 0g `  M ) ) 
C_  ( ( A supp  ( 0g `  M
) )  u.  ( B supp  ( 0g `  M
) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   {crab 2818   _Vcvv 3113    u. cun 3474    C_ wss 3476    |-> cmpt 4505   dom cdm 4999   Fun wfun 5580    Fn wfn 5581   -->wf 5582   ` cfv 5586  (class class class)co 6282    oFcof 6520   supp csupp 6898    ^m cmap 7417   Basecbs 14486   +g cplusg 14551   0gc0g 14691   Mndcmnd 15722
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-of 6522  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6899  df-map 7419  df-0g 14693  df-mnd 15728
This theorem is referenced by:  mndpsuppfi  32041
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