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Theorem mndpropd 15548
Description: If two structures have the same group components (properties), one is a monoid iff the other one is. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mndpropd.1  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  K ) )
mndpropd.2  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  L ) )
mndpropd.3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( +g  `  K ) y )  =  ( x ( +g  `  L ) y ) )
Assertion
Ref Expression
mndpropd  |-  ( ph  ->  ( K  e.  Mnd  <->  L  e.  Mnd ) )
Distinct variable groups:    x, y, B    x, K, y    ph, x, y    x, L, y

Proof of Theorem mndpropd
Dummy variables  u  s  v  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr 754 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  Mnd )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  K  e.  Mnd )
2 simprl 755 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  Mnd )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  x  e.  B )
3 mndpropd.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  K ) )
43ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  Mnd )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  B  =  ( Base `  K )
)
52, 4eleqtrd 2541 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  Mnd )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  x  e.  ( Base `  K )
)
6 simprr 756 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  Mnd )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  y  e.  B )
76, 4eleqtrd 2541 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  Mnd )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  y  e.  ( Base `  K )
)
8 eqid 2451 . . . . . . 7  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
9 eqid 2451 . . . . . . 7  |-  ( +g  `  K )  =  ( +g  `  K )
108, 9mndcl 15522 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Mnd  /\  x  e.  ( Base `  K )  /\  y  e.  ( Base `  K
) )  ->  (
x ( +g  `  K
) y )  e.  ( Base `  K
) )
111, 5, 7, 10syl3anc 1219 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  Mnd )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  ( x
( +g  `  K ) y )  e.  (
Base `  K )
)
1211, 4eleqtrrd 2542 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  Mnd )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  ( x
( +g  `  K ) y )  e.  B
)
1312ralrimivva 2904 . . 3  |-  ( (
ph  /\  K  e.  Mnd )  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x
( +g  `  K ) y )  e.  B
)
1413ex 434 . 2  |-  ( ph  ->  ( K  e.  Mnd  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x ( +g  `  K ) y )  e.  B ) )
15 simplr 754 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  L  e.  Mnd )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  L  e.  Mnd )
16 simprl 755 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  L  e.  Mnd )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  x  e.  B )
17 mndpropd.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  L ) )
1817ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  L  e.  Mnd )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  B  =  ( Base `  L )
)
1916, 18eleqtrd 2541 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  L  e.  Mnd )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  x  e.  ( Base `  L )
)
20 simprr 756 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  L  e.  Mnd )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  y  e.  B )
2120, 18eleqtrd 2541 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  L  e.  Mnd )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  y  e.  ( Base `  L )
)
22 eqid 2451 . . . . . . 7  |-  ( Base `  L )  =  (
Base `  L )
23 eqid 2451 . . . . . . 7  |-  ( +g  `  L )  =  ( +g  `  L )
2422, 23mndcl 15522 . . . . . 6  |-  ( ( L  e.  Mnd  /\  x  e.  ( Base `  L )  /\  y  e.  ( Base `  L
) )  ->  (
x ( +g  `  L
) y )  e.  ( Base `  L
) )
2515, 19, 21, 24syl3anc 1219 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  L  e.  Mnd )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  ( x
( +g  `  L ) y )  e.  (
Base `  L )
)
26 mndpropd.3 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( +g  `  K ) y )  =  ( x ( +g  `  L ) y ) )
2726adantlr 714 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  L  e.  Mnd )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  ( x
( +g  `  K ) y )  =  ( x ( +g  `  L
) y ) )
2825, 27, 183eltr4d 2554 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  L  e.  Mnd )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  ( x
( +g  `  K ) y )  e.  B
)
2928ralrimivva 2904 . . 3  |-  ( (
ph  /\  L  e.  Mnd )  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x
( +g  `  K ) y )  e.  B
)
3029ex 434 . 2  |-  ( ph  ->  ( L  e.  Mnd  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x ( +g  `  K ) y )  e.  B ) )
31 simplll 757 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x ( +g  `  K
) y )  e.  B )  /\  (
u  e.  B  /\  v  e.  B )
)  /\  w  e.  B )  ->  ph )
32 simplrl 759 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x ( +g  `  K
) y )  e.  B )  /\  (
u  e.  B  /\  v  e.  B )
)  /\  w  e.  B )  ->  u  e.  B )
33 simplrr 760 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x ( +g  `  K
) y )  e.  B )  /\  (
u  e.  B  /\  v  e.  B )
)  /\  w  e.  B )  ->  v  e.  B )
3426proplem 14730 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  B  /\  v  e.  B ) )  -> 
( u ( +g  `  K ) v )  =  ( u ( +g  `  L ) v ) )
3531, 32, 33, 34syl12anc 1217 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x ( +g  `  K
) y )  e.  B )  /\  (
u  e.  B  /\  v  e.  B )
)  /\  w  e.  B )  ->  (
u ( +g  `  K
) v )  =  ( u ( +g  `  L ) v ) )
3635eleq1d 2520 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x ( +g  `  K
) y )  e.  B )  /\  (
u  e.  B  /\  v  e.  B )
)  /\  w  e.  B )  ->  (
( u ( +g  `  K ) v )  e.  B  <->  ( u
( +g  `  L ) v )  e.  B
) )
37 simpllr 758 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x ( +g  `  K
) y )  e.  B )  /\  (
u  e.  B  /\  v  e.  B )
)  /\  w  e.  B )  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x
( +g  `  K ) y )  e.  B
)
38 proplem2 14729 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( u  e.  B  /\  v  e.  B
)  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x
( +g  `  K ) y )  e.  B
)  ->  ( u
( +g  `  K ) v )  e.  B
)
3932, 33, 37, 38syl21anc 1218 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x ( +g  `  K
) y )  e.  B )  /\  (
u  e.  B  /\  v  e.  B )
)  /\  w  e.  B )  ->  (
u ( +g  `  K
) v )  e.  B )
40 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x ( +g  `  K
) y )  e.  B )  /\  (
u  e.  B  /\  v  e.  B )
)  /\  w  e.  B )  ->  w  e.  B )
4126proplem 14730 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
u ( +g  `  K
) v )  e.  B  /\  w  e.  B ) )  -> 
( ( u ( +g  `  K ) v ) ( +g  `  K ) w )  =  ( ( u ( +g  `  K
) v ) ( +g  `  L ) w ) )
4231, 39, 40, 41syl12anc 1217 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x ( +g  `  K
) y )  e.  B )  /\  (
u  e.  B  /\  v  e.  B )
)  /\  w  e.  B )  ->  (
( u ( +g  `  K ) v ) ( +g  `  K
) w )  =  ( ( u ( +g  `  K ) v ) ( +g  `  L ) w ) )
4335oveq1d 6205 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x ( +g  `  K
) y )  e.  B )  /\  (
u  e.  B  /\  v  e.  B )
)  /\  w  e.  B )  ->  (
( u ( +g  `  K ) v ) ( +g  `  L
) w )  =  ( ( u ( +g  `  L ) v ) ( +g  `  L ) w ) )
4442, 43eqtrd 2492 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x ( +g  `  K
) y )  e.  B )  /\  (
u  e.  B  /\  v  e.  B )
)  /\  w  e.  B )  ->  (
( u ( +g  `  K ) v ) ( +g  `  K
) w )  =  ( ( u ( +g  `  L ) v ) ( +g  `  L ) w ) )
45 proplem2 14729 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( v  e.  B  /\  w  e.  B
)  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x
( +g  `  K ) y )  e.  B
)  ->  ( v
( +g  `  K ) w )  e.  B
)
4633, 40, 37, 45syl21anc 1218 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x ( +g  `  K
) y )  e.  B )  /\  (
u  e.  B  /\  v  e.  B )
)  /\  w  e.  B )  ->  (
v ( +g  `  K
) w )  e.  B )
4726proplem 14730 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  B  /\  (
v ( +g  `  K
) w )  e.  B ) )  -> 
( u ( +g  `  K ) ( v ( +g  `  K
) w ) )  =  ( u ( +g  `  L ) ( v ( +g  `  K ) w ) ) )
4831, 32, 46, 47syl12anc 1217 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x ( +g  `  K
) y )  e.  B )  /\  (
u  e.  B  /\  v  e.  B )
)  /\  w  e.  B )  ->  (
u ( +g  `  K
) ( v ( +g  `  K ) w ) )  =  ( u ( +g  `  L ) ( v ( +g  `  K
) w ) ) )
4926proplem 14730 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  B  /\  w  e.  B ) )  -> 
( v ( +g  `  K ) w )  =  ( v ( +g  `  L ) w ) )
5031, 33, 40, 49syl12anc 1217 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x ( +g  `  K
) y )  e.  B )  /\  (
u  e.  B  /\  v  e.  B )
)  /\  w  e.  B )  ->  (
v ( +g  `  K
) w )  =  ( v ( +g  `  L ) w ) )
5150oveq2d 6206 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x ( +g  `  K
) y )  e.  B )  /\  (
u  e.  B  /\  v  e.  B )
)  /\  w  e.  B )  ->  (
u ( +g  `  L
) ( v ( +g  `  K ) w ) )  =  ( u ( +g  `  L ) ( v ( +g  `  L
) w ) ) )
5248, 51eqtrd 2492 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x ( +g  `  K
) y )  e.  B )  /\  (
u  e.  B  /\  v  e.  B )
)  /\  w  e.  B )  ->  (
u ( +g  `  K
) ( v ( +g  `  K ) w ) )  =  ( u ( +g  `  L ) ( v ( +g  `  L
) w ) ) )
5344, 52eqeq12d 2473 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x ( +g  `  K
) y )  e.  B )  /\  (
u  e.  B  /\  v  e.  B )
)  /\  w  e.  B )  ->  (
( ( u ( +g  `  K ) v ) ( +g  `  K ) w )  =  ( u ( +g  `  K ) ( v ( +g  `  K ) w ) )  <->  ( ( u ( +g  `  L
) v ) ( +g  `  L ) w )  =  ( u ( +g  `  L
) ( v ( +g  `  L ) w ) ) ) )
5436, 53anbi12d 710 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x ( +g  `  K
) y )  e.  B )  /\  (
u  e.  B  /\  v  e.  B )
)  /\  w  e.  B )  ->  (
( ( u ( +g  `  K ) v )  e.  B  /\  ( ( u ( +g  `  K ) v ) ( +g  `  K ) w )  =  ( u ( +g  `  K ) ( v ( +g  `  K ) w ) ) )  <->  ( (
u ( +g  `  L
) v )  e.  B  /\  ( ( u ( +g  `  L
) v ) ( +g  `  L ) w )  =  ( u ( +g  `  L
) ( v ( +g  `  L ) w ) ) ) ) )
5554ralbidva 2837 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x ( +g  `  K
) y )  e.  B )  /\  (
u  e.  B  /\  v  e.  B )
)  ->  ( A. w  e.  B  (
( u ( +g  `  K ) v )  e.  B  /\  (
( u ( +g  `  K ) v ) ( +g  `  K
) w )  =  ( u ( +g  `  K ) ( v ( +g  `  K
) w ) ) )  <->  A. w  e.  B  ( ( u ( +g  `  L ) v )  e.  B  /\  ( ( u ( +g  `  L ) v ) ( +g  `  L ) w )  =  ( u ( +g  `  L ) ( v ( +g  `  L ) w ) ) ) ) )
56552ralbidva 2859 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x
( +g  `  K ) y )  e.  B
)  ->  ( A. u  e.  B  A. v  e.  B  A. w  e.  B  (
( u ( +g  `  K ) v )  e.  B  /\  (
( u ( +g  `  K ) v ) ( +g  `  K
) w )  =  ( u ( +g  `  K ) ( v ( +g  `  K
) w ) ) )  <->  A. u  e.  B  A. v  e.  B  A. w  e.  B  ( ( u ( +g  `  L ) v )  e.  B  /\  ( ( u ( +g  `  L ) v ) ( +g  `  L ) w )  =  ( u ( +g  `  L ) ( v ( +g  `  L ) w ) ) ) ) )
573adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x
( +g  `  K ) y )  e.  B
)  ->  B  =  ( Base `  K )
)
5857eleq2d 2521 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x
( +g  `  K ) y )  e.  B
)  ->  ( (
u ( +g  `  K
) v )  e.  B  <->  ( u ( +g  `  K ) v )  e.  (
Base `  K )
) )
5958anbi1d 704 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x
( +g  `  K ) y )  e.  B
)  ->  ( (
( u ( +g  `  K ) v )  e.  B  /\  (
( u ( +g  `  K ) v ) ( +g  `  K
) w )  =  ( u ( +g  `  K ) ( v ( +g  `  K
) w ) ) )  <->  ( ( u ( +g  `  K
) v )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( (
u ( +g  `  K
) v ) ( +g  `  K ) w )  =  ( u ( +g  `  K
) ( v ( +g  `  K ) w ) ) ) ) )
6057, 59raleqbidv 3027 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x
( +g  `  K ) y )  e.  B
)  ->  ( A. w  e.  B  (
( u ( +g  `  K ) v )  e.  B  /\  (
( u ( +g  `  K ) v ) ( +g  `  K
) w )  =  ( u ( +g  `  K ) ( v ( +g  `  K
) w ) ) )  <->  A. w  e.  (
Base `  K )
( ( u ( +g  `  K ) v )  e.  (
Base `  K )  /\  ( ( u ( +g  `  K ) v ) ( +g  `  K ) w )  =  ( u ( +g  `  K ) ( v ( +g  `  K ) w ) ) ) ) )
6157, 60raleqbidv 3027 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x
( +g  `  K ) y )  e.  B
)  ->  ( A. v  e.  B  A. w  e.  B  (
( u ( +g  `  K ) v )  e.  B  /\  (
( u ( +g  `  K ) v ) ( +g  `  K
) w )  =  ( u ( +g  `  K ) ( v ( +g  `  K
) w ) ) )  <->  A. v  e.  (
Base `  K ) A. w  e.  ( Base `  K ) ( ( u ( +g  `  K ) v )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( (
u ( +g  `  K
) v ) ( +g  `  K ) w )  =  ( u ( +g  `  K
) ( v ( +g  `  K ) w ) ) ) ) )
6257, 61raleqbidv 3027 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x
( +g  `  K ) y )  e.  B
)  ->  ( A. u  e.  B  A. v  e.  B  A. w  e.  B  (
( u ( +g  `  K ) v )  e.  B  /\  (
( u ( +g  `  K ) v ) ( +g  `  K
) w )  =  ( u ( +g  `  K ) ( v ( +g  `  K
) w ) ) )  <->  A. u  e.  (
Base `  K ) A. v  e.  ( Base `  K ) A. w  e.  ( Base `  K ) ( ( u ( +g  `  K
) v )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( (
u ( +g  `  K
) v ) ( +g  `  K ) w )  =  ( u ( +g  `  K
) ( v ( +g  `  K ) w ) ) ) ) )
6317adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x
( +g  `  K ) y )  e.  B
)  ->  B  =  ( Base `  L )
)
6463eleq2d 2521 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x
( +g  `  K ) y )  e.  B
)  ->  ( (
u ( +g  `  L
) v )  e.  B  <->  ( u ( +g  `  L ) v )  e.  (
Base `  L )
) )
6564anbi1d 704 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x
( +g  `  K ) y )  e.  B
)  ->  ( (
( u ( +g  `  L ) v )  e.  B  /\  (
( u ( +g  `  L ) v ) ( +g  `  L
) w )  =  ( u ( +g  `  L ) ( v ( +g  `  L
) w ) ) )  <->  ( ( u ( +g  `  L
) v )  e.  ( Base `  L
)  /\  ( (
u ( +g  `  L
) v ) ( +g  `  L ) w )  =  ( u ( +g  `  L
) ( v ( +g  `  L ) w ) ) ) ) )
6663, 65raleqbidv 3027 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x
( +g  `  K ) y )  e.  B
)  ->  ( A. w  e.  B  (
( u ( +g  `  L ) v )  e.  B  /\  (
( u ( +g  `  L ) v ) ( +g  `  L
) w )  =  ( u ( +g  `  L ) ( v ( +g  `  L
) w ) ) )  <->  A. w  e.  (
Base `  L )
( ( u ( +g  `  L ) v )  e.  (
Base `  L )  /\  ( ( u ( +g  `  L ) v ) ( +g  `  L ) w )  =  ( u ( +g  `  L ) ( v ( +g  `  L ) w ) ) ) ) )
6763, 66raleqbidv 3027 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x
( +g  `  K ) y )  e.  B
)  ->  ( A. v  e.  B  A. w  e.  B  (
( u ( +g  `  L ) v )  e.  B  /\  (
( u ( +g  `  L ) v ) ( +g  `  L
) w )  =  ( u ( +g  `  L ) ( v ( +g  `  L
) w ) ) )  <->  A. v  e.  (
Base `  L ) A. w  e.  ( Base `  L ) ( ( u ( +g  `  L ) v )  e.  ( Base `  L
)  /\  ( (
u ( +g  `  L
) v ) ( +g  `  L ) w )  =  ( u ( +g  `  L
) ( v ( +g  `  L ) w ) ) ) ) )
6863, 67raleqbidv 3027 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x
( +g  `  K ) y )  e.  B
)  ->  ( A. u  e.  B  A. v  e.  B  A. w  e.  B  (
( u ( +g  `  L ) v )  e.  B  /\  (
( u ( +g  `  L ) v ) ( +g  `  L
) w )  =  ( u ( +g  `  L ) ( v ( +g  `  L
) w ) ) )  <->  A. u  e.  (
Base `  L ) A. v  e.  ( Base `  L ) A. w  e.  ( Base `  L ) ( ( u ( +g  `  L
) v )  e.  ( Base `  L
)  /\  ( (
u ( +g  `  L
) v ) ( +g  `  L ) w )  =  ( u ( +g  `  L
) ( v ( +g  `  L ) w ) ) ) ) )
6956, 62, 683bitr3d 283 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x
( +g  `  K ) y )  e.  B
)  ->  ( A. u  e.  ( Base `  K ) A. v  e.  ( Base `  K
) A. w  e.  ( Base `  K
) ( ( u ( +g  `  K
) v )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( (
u ( +g  `  K
) v ) ( +g  `  K ) w )  =  ( u ( +g  `  K
) ( v ( +g  `  K ) w ) ) )  <->  A. u  e.  ( Base `  L ) A. v  e.  ( Base `  L ) A. w  e.  ( Base `  L
) ( ( u ( +g  `  L
) v )  e.  ( Base `  L
)  /\  ( (
u ( +g  `  L
) v ) ( +g  `  L ) w )  =  ( u ( +g  `  L
) ( v ( +g  `  L ) w ) ) ) ) )
70 simplll 757 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x ( +g  `  K
) y )  e.  B )  /\  s  e.  B )  /\  u  e.  B )  ->  ph )
71 simplr 754 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x ( +g  `  K
) y )  e.  B )  /\  s  e.  B )  /\  u  e.  B )  ->  s  e.  B )
72 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x ( +g  `  K
) y )  e.  B )  /\  s  e.  B )  /\  u  e.  B )  ->  u  e.  B )
7326proplem 14730 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  B  /\  u  e.  B ) )  -> 
( s ( +g  `  K ) u )  =  ( s ( +g  `  L ) u ) )
7470, 71, 72, 73syl12anc 1217 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x ( +g  `  K
) y )  e.  B )  /\  s  e.  B )  /\  u  e.  B )  ->  (
s ( +g  `  K
) u )  =  ( s ( +g  `  L ) u ) )
7574eqeq1d 2453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x ( +g  `  K
) y )  e.  B )  /\  s  e.  B )  /\  u  e.  B )  ->  (
( s ( +g  `  K ) u )  =  u  <->  ( s
( +g  `  L ) u )  =  u ) )
7626proplem 14730 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  B  /\  s  e.  B ) )  -> 
( u ( +g  `  K ) s )  =  ( u ( +g  `  L ) s ) )
7770, 72, 71, 76syl12anc 1217 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x ( +g  `  K
) y )  e.  B )  /\  s  e.  B )  /\  u  e.  B )  ->  (
u ( +g  `  K
) s )  =  ( u ( +g  `  L ) s ) )
7877eqeq1d 2453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x ( +g  `  K
) y )  e.  B )  /\  s  e.  B )  /\  u  e.  B )  ->  (
( u ( +g  `  K ) s )  =  u  <->  ( u
( +g  `  L ) s )  =  u ) )
7975, 78anbi12d 710 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x ( +g  `  K
) y )  e.  B )  /\  s  e.  B )  /\  u  e.  B )  ->  (
( ( s ( +g  `  K ) u )  =  u  /\  ( u ( +g  `  K ) s )  =  u )  <->  ( ( s ( +g  `  L
) u )  =  u  /\  ( u ( +g  `  L
) s )  =  u ) ) )
8079ralbidva 2837 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x ( +g  `  K
) y )  e.  B )  /\  s  e.  B )  ->  ( A. u  e.  B  ( ( s ( +g  `  K ) u )  =  u  /\  ( u ( +g  `  K ) s )  =  u )  <->  A. u  e.  B  ( ( s ( +g  `  L ) u )  =  u  /\  ( u ( +g  `  L ) s )  =  u ) ) )
8180rexbidva 2842 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x
( +g  `  K ) y )  e.  B
)  ->  ( E. s  e.  B  A. u  e.  B  (
( s ( +g  `  K ) u )  =  u  /\  (
u ( +g  `  K
) s )  =  u )  <->  E. s  e.  B  A. u  e.  B  ( (
s ( +g  `  L
) u )  =  u  /\  ( u ( +g  `  L
) s )  =  u ) ) )
8257raleqdv 3019 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x
( +g  `  K ) y )  e.  B
)  ->  ( A. u  e.  B  (
( s ( +g  `  K ) u )  =  u  /\  (
u ( +g  `  K
) s )  =  u )  <->  A. u  e.  ( Base `  K
) ( ( s ( +g  `  K
) u )  =  u  /\  ( u ( +g  `  K
) s )  =  u ) ) )
8357, 82rexeqbidv 3028 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x
( +g  `  K ) y )  e.  B
)  ->  ( E. s  e.  B  A. u  e.  B  (
( s ( +g  `  K ) u )  =  u  /\  (
u ( +g  `  K
) s )  =  u )  <->  E. s  e.  ( Base `  K
) A. u  e.  ( Base `  K
) ( ( s ( +g  `  K
) u )  =  u  /\  ( u ( +g  `  K
) s )  =  u ) ) )
8463raleqdv 3019 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x
( +g  `  K ) y )  e.  B
)  ->  ( A. u  e.  B  (
( s ( +g  `  L ) u )  =  u  /\  (
u ( +g  `  L
) s )  =  u )  <->  A. u  e.  ( Base `  L
) ( ( s ( +g  `  L
) u )  =  u  /\  ( u ( +g  `  L
) s )  =  u ) ) )
8563, 84rexeqbidv 3028 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x
( +g  `  K ) y )  e.  B
)  ->  ( E. s  e.  B  A. u  e.  B  (
( s ( +g  `  L ) u )  =  u  /\  (
u ( +g  `  L
) s )  =  u )  <->  E. s  e.  ( Base `  L
) A. u  e.  ( Base `  L
) ( ( s ( +g  `  L
) u )  =  u  /\  ( u ( +g  `  L
) s )  =  u ) ) )
8681, 83, 853bitr3d 283 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x
( +g  `  K ) y )  e.  B
)  ->  ( E. s  e.  ( Base `  K ) A. u  e.  ( Base `  K
) ( ( s ( +g  `  K
) u )  =  u  /\  ( u ( +g  `  K
) s )  =  u )  <->  E. s  e.  ( Base `  L
) A. u  e.  ( Base `  L
) ( ( s ( +g  `  L
) u )  =  u  /\  ( u ( +g  `  L
) s )  =  u ) ) )
8769, 86anbi12d 710 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x
( +g  `  K ) y )  e.  B
)  ->  ( ( A. u  e.  ( Base `  K ) A. v  e.  ( Base `  K ) A. w  e.  ( Base `  K
) ( ( u ( +g  `  K
) v )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( (
u ( +g  `  K
) v ) ( +g  `  K ) w )  =  ( u ( +g  `  K
) ( v ( +g  `  K ) w ) ) )  /\  E. s  e.  ( Base `  K
) A. u  e.  ( Base `  K
) ( ( s ( +g  `  K
) u )  =  u  /\  ( u ( +g  `  K
) s )  =  u ) )  <->  ( A. u  e.  ( Base `  L ) A. v  e.  ( Base `  L
) A. w  e.  ( Base `  L
) ( ( u ( +g  `  L
) v )  e.  ( Base `  L
)  /\  ( (
u ( +g  `  L
) v ) ( +g  `  L ) w )  =  ( u ( +g  `  L
) ( v ( +g  `  L ) w ) ) )  /\  E. s  e.  ( Base `  L
) A. u  e.  ( Base `  L
) ( ( s ( +g  `  L
) u )  =  u  /\  ( u ( +g  `  L
) s )  =  u ) ) ) )
888, 9ismnd 15519 . . . 4  |-  ( K  e.  Mnd  <->  ( A. u  e.  ( Base `  K ) A. v  e.  ( Base `  K
) A. w  e.  ( Base `  K
) ( ( u ( +g  `  K
) v )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( (
u ( +g  `  K
) v ) ( +g  `  K ) w )  =  ( u ( +g  `  K
) ( v ( +g  `  K ) w ) ) )  /\  E. s  e.  ( Base `  K
) A. u  e.  ( Base `  K
) ( ( s ( +g  `  K
) u )  =  u  /\  ( u ( +g  `  K
) s )  =  u ) ) )
8922, 23ismnd 15519 . . . 4  |-  ( L  e.  Mnd  <->  ( A. u  e.  ( Base `  L ) A. v  e.  ( Base `  L
) A. w  e.  ( Base `  L
) ( ( u ( +g  `  L
) v )  e.  ( Base `  L
)  /\  ( (
u ( +g  `  L
) v ) ( +g  `  L ) w )  =  ( u ( +g  `  L
) ( v ( +g  `  L ) w ) ) )  /\  E. s  e.  ( Base `  L
) A. u  e.  ( Base `  L
) ( ( s ( +g  `  L
) u )  =  u  /\  ( u ( +g  `  L
) s )  =  u ) ) )
9087, 88, 893bitr4g 288 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x
( +g  `  K ) y )  e.  B
)  ->  ( K  e.  Mnd  <->  L  e.  Mnd ) )
9190ex 434 . 2  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x ( +g  `  K ) y )  e.  B  ->  ( K  e.  Mnd  <->  L  e.  Mnd ) ) )
9214, 30, 91pm5.21ndd 354 1  |-  ( ph  ->  ( K  e.  Mnd  <->  L  e.  Mnd ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2795   E.wrex 2796   ` cfv 5516  (class class class)co 6190   Basecbs 14276   +g cplusg 14340   Mndcmnd 15511
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-nul 4519  ax-pow 4568
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-nul 3736  df-if 3890  df-sn 3976  df-pr 3978  df-op 3982  df-uni 4190  df-br 4391  df-iota 5479  df-fv 5524  df-ov 6193  df-mnd 15517
This theorem is referenced by:  mndprop  15550  mhmpropd  15572  grppropd  15658  oppgmndb  15972  cmnpropd  16390  rngpropd  16782  prdsrngd  16810
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