MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mndplusf Structured version   Unicode version

Theorem mndplusf 16153
Description: The group addition operation is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.) (Proof shortened by AV, 3-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
mndplusf.1  |-  B  =  ( Base `  G
)
mndplusf.2  |-  .+^  =  ( +f `  G
)
Assertion
Ref Expression
mndplusf  |-  ( G  e.  Mnd  ->  .+^  : ( B  X.  B ) --> B )

Proof of Theorem mndplusf
StepHypRef Expression
1 mndmgm 16142 . 2  |-  ( G  e.  Mnd  ->  G  e. Mgm )
2 mndplusf.1 . . 3  |-  B  =  ( Base `  G
)
3 mndplusf.2 . . 3  |-  .+^  =  ( +f `  G
)
42, 3mgmplusf 16095 . 2  |-  ( G  e. Mgm  ->  .+^  : ( B  X.  B ) --> B )
51, 4syl 17 1  |-  ( G  e.  Mnd  ->  .+^  : ( B  X.  B ) --> B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1403    e. wcel 1840    X. cxp 4938   -->wf 5519   ` cfv 5523   Basecbs 14731   +fcplusf 16083  Mgmcmgm 16084   Mndcmnd 16133
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1637  ax-4 1650  ax-5 1723  ax-6 1769  ax-7 1812  ax-8 1842  ax-9 1844  ax-10 1859  ax-11 1864  ax-12 1876  ax-13 2024  ax-ext 2378  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4569  ax-pr 4627  ax-un 6528
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 974  df-tru 1406  df-ex 1632  df-nf 1636  df-sb 1762  df-eu 2240  df-mo 2241  df-clab 2386  df-cleq 2392  df-clel 2395  df-nfc 2550  df-ne 2598  df-ral 2756  df-rex 2757  df-rab 2760  df-v 3058  df-sbc 3275  df-csb 3371  df-dif 3414  df-un 3416  df-in 3418  df-ss 3425  df-nul 3736  df-if 3883  df-pw 3954  df-sn 3970  df-pr 3972  df-op 3976  df-uni 4189  df-iun 4270  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-id 4735  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5487  df-fun 5525  df-fn 5526  df-f 5527  df-fv 5531  df-ov 6235  df-oprab 6236  df-mpt2 6237  df-1st 6736  df-2nd 6737  df-plusf 16085  df-mgm 16086  df-sgrp 16125  df-mnd 16135
This theorem is referenced by:  mndpfo  16158  grpplusf  16281  submtmd  20785  mhmhmeotmd  28243
  Copyright terms: Public domain W3C validator