Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mndodcongi Structured version   Unicode version

Theorem mndodcongi 16893
 Description: If two multipliers are congruent relative to the base point's order, the corresponding multiples are the same. For monoids, the reverse implication is false for elements with infinite order. For example, the powers of mod are 1,2,4,8,6,2,4,8,6,... so that the identity 1 never repeats, which is infinite order by our definition, yet other numbers like 6 appear many times in the sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
odcl.1
odcl.2
odid.3 .g
odid.4
Assertion
Ref Expression
mndodcongi

Proof of Theorem mndodcongi
StepHypRef Expression
1 odcl.1 . . . . . 6
2 odcl.2 . . . . . 6
3 odid.3 . . . . . 6 .g
4 odid.4 . . . . . 6
51, 2, 3, 4mndodcong 16892 . . . . 5
65biimpd 209 . . . 4
763expia 1201 . . 3
873impa 1194 . 2
9 nn0z 10930 . . . . . . 7
10 nn0z 10930 . . . . . . 7
11 zsubcl 10949 . . . . . . 7
129, 10, 11syl2an 477 . . . . . 6
13123ad2ant3 1022 . . . . 5
14 0dvds 14215 . . . . 5
1513, 14syl 17 . . . 4
16 nn0cn 10848 . . . . . . 7
17 nn0cn 10848 . . . . . . 7
18 subeq0 9883 . . . . . . 7
1916, 17, 18syl2an 477 . . . . . 6
20193ad2ant3 1022 . . . . 5
21 oveq1 6287 . . . . 5
2220, 21syl6bi 230 . . . 4
2315, 22sylbid 217 . . 3
24 breq1 4400 . . . 4
2524imbi1d 317 . . 3
2623, 25syl5ibrcom 224 . 2
271, 2odcl 16886 . . . 4
29 elnn0 10840 . . 3
3028, 29sylib 198 . 2
318, 26, 30mpjaod 381 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 186   wo 368   wa 369   w3a 976   wceq 1407   wcel 1844   class class class wbr 4397  cfv 5571  (class class class)co 6280  cc 9522  cc0 9524   cmin 9843  cn 10578  cn0 10838  cz 10907   cdvds 14197  cbs 14843  c0g 15056  cmnd 16245  .gcmg 16382  cod 16875 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-rep 4509  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576  ax-inf2 8093  ax-cnex 9580  ax-resscn 9581  ax-1cn 9582  ax-icn 9583  ax-addcl 9584  ax-addrcl 9585  ax-mulcl 9586  ax-mulrcl 9587  ax-mulcom 9588  ax-addass 9589  ax-mulass 9590  ax-distr 9591  ax-i2m1 9592  ax-1ne0 9593  ax-1rid 9594  ax-rnegex 9595  ax-rrecex 9596  ax-cnre 9597  ax-pre-lttri 9598  ax-pre-lttrn 9599  ax-pre-ltadd 9600  ax-pre-mulgt0 9601  ax-pre-sup 9602 This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-tp 3979  df-op 3981  df-uni 4194  df-iun 4275  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-tr 4492  df-eprel 4736  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-fr 4784  df-we 4786  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-pred 5369  df-ord 5415  df-on 5416  df-lim 5417  df-suc 5418  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-riota 6242  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-om 6686  df-1st 6786  df-2nd 6787  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-er 7350  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-sup 7937  df-pnf 9662  df-mnf 9663  df-xr 9664  df-ltxr 9665  df-le 9666  df-sub 9845  df-neg 9846  df-div 10250  df-nn 10579  df-n0 10839  df-z 10908  df-uz 11130  df-rp 11268  df-fz 11729  df-fl 11968  df-mod 12037  df-seq 12154  df-dvds 14198  df-0g 15058  df-mgm 16198  df-sgrp 16237  df-mnd 16247  df-mulg 16386  df-od 16879 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator