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Theorem mndodcong 16888
Description: If two multipliers are congruent relative to the base point's order, the corresponding multiples are the same. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
odcl.1  |-  X  =  ( Base `  G
)
odcl.2  |-  O  =  ( od `  G
)
odid.3  |-  .x.  =  (.g
`  G )
odid.4  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
Assertion
Ref Expression
mndodcong  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `
 A )  e.  NN )  ->  (
( O `  A
)  ||  ( M  -  N )  <->  ( M  .x.  A )  =  ( N  .x.  A ) ) )

Proof of Theorem mndodcong
StepHypRef Expression
1 oveq1 6284 . . 3  |-  ( ( M  mod  ( O `
 A ) )  =  ( N  mod  ( O `  A ) )  ->  ( ( M  mod  ( O `  A ) )  .x.  A )  =  ( ( N  mod  ( O `  A )
)  .x.  A )
)
2 simp2l 1023 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `
 A )  e.  NN )  ->  M  e.  NN0 )
32nn0zd 11005 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `
 A )  e.  NN )  ->  M  e.  ZZ )
4 simp3 999 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `
 A )  e.  NN )  ->  ( O `  A )  e.  NN )
53, 4zmodcld 12053 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `
 A )  e.  NN )  ->  ( M  mod  ( O `  A ) )  e. 
NN0 )
65adantr 463 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  (
( M  mod  ( O `  A )
)  .x.  A )  =  ( ( N  mod  ( O `  A ) )  .x.  A ) )  -> 
( M  mod  ( O `  A )
)  e.  NN0 )
76nn0red 10893 . . . . 5  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  (
( M  mod  ( O `  A )
)  .x.  A )  =  ( ( N  mod  ( O `  A ) )  .x.  A ) )  -> 
( M  mod  ( O `  A )
)  e.  RR )
8 simp2r 1024 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `
 A )  e.  NN )  ->  N  e.  NN0 )
98nn0zd 11005 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `
 A )  e.  NN )  ->  N  e.  ZZ )
109, 4zmodcld 12053 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `
 A )  e.  NN )  ->  ( N  mod  ( O `  A ) )  e. 
NN0 )
1110adantr 463 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  (
( M  mod  ( O `  A )
)  .x.  A )  =  ( ( N  mod  ( O `  A ) )  .x.  A ) )  -> 
( N  mod  ( O `  A )
)  e.  NN0 )
1211nn0red 10893 . . . . 5  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  (
( M  mod  ( O `  A )
)  .x.  A )  =  ( ( N  mod  ( O `  A ) )  .x.  A ) )  -> 
( N  mod  ( O `  A )
)  e.  RR )
13 odcl.1 . . . . . 6  |-  X  =  ( Base `  G
)
14 odcl.2 . . . . . 6  |-  O  =  ( od `  G
)
15 odid.3 . . . . . 6  |-  .x.  =  (.g
`  G )
16 odid.4 . . . . . 6  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
17 simp1l 1021 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `
 A )  e.  NN )  ->  G  e.  Mnd )
1817adantr 463 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  (
( M  mod  ( O `  A )
)  .x.  A )  =  ( ( N  mod  ( O `  A ) )  .x.  A ) )  ->  G  e.  Mnd )
19 simp1r 1022 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `
 A )  e.  NN )  ->  A  e.  X )
2019adantr 463 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  (
( M  mod  ( O `  A )
)  .x.  A )  =  ( ( N  mod  ( O `  A ) )  .x.  A ) )  ->  A  e.  X )
214adantr 463 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  (
( M  mod  ( O `  A )
)  .x.  A )  =  ( ( N  mod  ( O `  A ) )  .x.  A ) )  -> 
( O `  A
)  e.  NN )
222nn0red 10893 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `
 A )  e.  NN )  ->  M  e.  RR )
234nnrpd 11301 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `
 A )  e.  NN )  ->  ( O `  A )  e.  RR+ )
24 modlt 12043 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  RR  /\  ( O `  A )  e.  RR+ )  ->  ( M  mod  ( O `  A ) )  < 
( O `  A
) )
2522, 23, 24syl2anc 659 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `
 A )  e.  NN )  ->  ( M  mod  ( O `  A ) )  < 
( O `  A
) )
2625adantr 463 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  (
( M  mod  ( O `  A )
)  .x.  A )  =  ( ( N  mod  ( O `  A ) )  .x.  A ) )  -> 
( M  mod  ( O `  A )
)  <  ( O `  A ) )
278nn0red 10893 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `
 A )  e.  NN )  ->  N  e.  RR )
28 modlt 12043 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  RR  /\  ( O `  A )  e.  RR+ )  ->  ( N  mod  ( O `  A ) )  < 
( O `  A
) )
2927, 23, 28syl2anc 659 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `
 A )  e.  NN )  ->  ( N  mod  ( O `  A ) )  < 
( O `  A
) )
3029adantr 463 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  (
( M  mod  ( O `  A )
)  .x.  A )  =  ( ( N  mod  ( O `  A ) )  .x.  A ) )  -> 
( N  mod  ( O `  A )
)  <  ( O `  A ) )
31 simpr 459 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  (
( M  mod  ( O `  A )
)  .x.  A )  =  ( ( N  mod  ( O `  A ) )  .x.  A ) )  -> 
( ( M  mod  ( O `  A ) )  .x.  A )  =  ( ( N  mod  ( O `  A ) )  .x.  A ) )
3213, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 6, 11, 26, 30, 31mndodconglem 16887 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  (
( M  mod  ( O `  A )
)  .x.  A )  =  ( ( N  mod  ( O `  A ) )  .x.  A ) )  /\  ( M  mod  ( O `
 A ) )  <_  ( N  mod  ( O `  A ) ) )  ->  ( M  mod  ( O `  A ) )  =  ( N  mod  ( O `  A )
) )
3331eqcomd 2410 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  (
( M  mod  ( O `  A )
)  .x.  A )  =  ( ( N  mod  ( O `  A ) )  .x.  A ) )  -> 
( ( N  mod  ( O `  A ) )  .x.  A )  =  ( ( M  mod  ( O `  A ) )  .x.  A ) )
3413, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 11, 6, 30, 26, 33mndodconglem 16887 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  (
( M  mod  ( O `  A )
)  .x.  A )  =  ( ( N  mod  ( O `  A ) )  .x.  A ) )  /\  ( N  mod  ( O `
 A ) )  <_  ( M  mod  ( O `  A ) ) )  ->  ( N  mod  ( O `  A ) )  =  ( M  mod  ( O `  A )
) )
3534eqcomd 2410 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  (
( M  mod  ( O `  A )
)  .x.  A )  =  ( ( N  mod  ( O `  A ) )  .x.  A ) )  /\  ( N  mod  ( O `
 A ) )  <_  ( M  mod  ( O `  A ) ) )  ->  ( M  mod  ( O `  A ) )  =  ( N  mod  ( O `  A )
) )
367, 12, 32, 35lecasei 9721 . . . 4  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  (
( M  mod  ( O `  A )
)  .x.  A )  =  ( ( N  mod  ( O `  A ) )  .x.  A ) )  -> 
( M  mod  ( O `  A )
)  =  ( N  mod  ( O `  A ) ) )
3736ex 432 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `
 A )  e.  NN )  ->  (
( ( M  mod  ( O `  A ) )  .x.  A )  =  ( ( N  mod  ( O `  A ) )  .x.  A )  ->  ( M  mod  ( O `  A ) )  =  ( N  mod  ( O `  A )
) ) )
381, 37impbid2 204 . 2  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `
 A )  e.  NN )  ->  (
( M  mod  ( O `  A )
)  =  ( N  mod  ( O `  A ) )  <->  ( ( M  mod  ( O `  A ) )  .x.  A )  =  ( ( N  mod  ( O `  A )
)  .x.  A )
) )
39 moddvds 14200 . . 3  |-  ( ( ( O `  A
)  e.  NN  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( M  mod  ( O `  A )
)  =  ( N  mod  ( O `  A ) )  <->  ( O `  A )  ||  ( M  -  N )
) )
404, 3, 9, 39syl3anc 1230 . 2  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `
 A )  e.  NN )  ->  (
( M  mod  ( O `  A )
)  =  ( N  mod  ( O `  A ) )  <->  ( O `  A )  ||  ( M  -  N )
) )
4113, 14, 15, 16odmodnn0 16886 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X  /\  M  e.  NN0 )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  -> 
( ( M  mod  ( O `  A ) )  .x.  A )  =  ( M  .x.  A ) )
4217, 19, 2, 4, 41syl31anc 1233 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `
 A )  e.  NN )  ->  (
( M  mod  ( O `  A )
)  .x.  A )  =  ( M  .x.  A ) )
4313, 14, 15, 16odmodnn0 16886 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  -> 
( ( N  mod  ( O `  A ) )  .x.  A )  =  ( N  .x.  A ) )
4417, 19, 8, 4, 43syl31anc 1233 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `
 A )  e.  NN )  ->  (
( N  mod  ( O `  A )
)  .x.  A )  =  ( N  .x.  A ) )
4542, 44eqeq12d 2424 . 2  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `
 A )  e.  NN )  ->  (
( ( M  mod  ( O `  A ) )  .x.  A )  =  ( ( N  mod  ( O `  A ) )  .x.  A )  <->  ( M  .x.  A )  =  ( N  .x.  A ) ) )
4638, 40, 453bitr3d 283 1  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `
 A )  e.  NN )  ->  (
( O `  A
)  ||  ( M  -  N )  <->  ( M  .x.  A )  =  ( N  .x.  A ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842   class class class wbr 4394   ` cfv 5568  (class class class)co 6277   RRcr 9520    < clt 9657    <_ cle 9658    - cmin 9840   NNcn 10575   NN0cn0 10835   ZZcz 10904   RR+crp 11264    mod cmo 12032    || cdvds 14193   Basecbs 14839   0gc0g 15052   Mndcmnd 16241  .gcmg 16378   odcod 16871
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-inf2 8090  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598  ax-pre-sup 9599
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-er 7347  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-sup 7934  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-div 10247  df-nn 10576  df-n0 10836  df-z 10905  df-uz 11127  df-rp 11265  df-fz 11725  df-fl 11964  df-mod 12033  df-seq 12150  df-dvds 14194  df-0g 15054  df-mgm 16194  df-sgrp 16233  df-mnd 16243  df-mulg 16382  df-od 16875
This theorem is referenced by:  mndodcongi  16889  oddvdsnn0  16890
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