MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mndodcong Structured version   Unicode version

Theorem mndodcong 16355
Description: If two multipliers are congruent relative to the base point's order, the corresponding multiples are the same. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
odcl.1  |-  X  =  ( Base `  G
)
odcl.2  |-  O  =  ( od `  G
)
odid.3  |-  .x.  =  (.g
`  G )
odid.4  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
Assertion
Ref Expression
mndodcong  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `
 A )  e.  NN )  ->  (
( O `  A
)  ||  ( M  -  N )  <->  ( M  .x.  A )  =  ( N  .x.  A ) ) )

Proof of Theorem mndodcong
StepHypRef Expression
1 oveq1 6282 . . 3  |-  ( ( M  mod  ( O `
 A ) )  =  ( N  mod  ( O `  A ) )  ->  ( ( M  mod  ( O `  A ) )  .x.  A )  =  ( ( N  mod  ( O `  A )
)  .x.  A )
)
2 simp2l 1017 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `
 A )  e.  NN )  ->  M  e.  NN0 )
32nn0zd 10953 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `
 A )  e.  NN )  ->  M  e.  ZZ )
4 simp3 993 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `
 A )  e.  NN )  ->  ( O `  A )  e.  NN )
53, 4zmodcld 11972 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `
 A )  e.  NN )  ->  ( M  mod  ( O `  A ) )  e. 
NN0 )
65adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  (
( M  mod  ( O `  A )
)  .x.  A )  =  ( ( N  mod  ( O `  A ) )  .x.  A ) )  -> 
( M  mod  ( O `  A )
)  e.  NN0 )
76nn0red 10842 . . . . 5  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  (
( M  mod  ( O `  A )
)  .x.  A )  =  ( ( N  mod  ( O `  A ) )  .x.  A ) )  -> 
( M  mod  ( O `  A )
)  e.  RR )
8 simp2r 1018 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `
 A )  e.  NN )  ->  N  e.  NN0 )
98nn0zd 10953 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `
 A )  e.  NN )  ->  N  e.  ZZ )
109, 4zmodcld 11972 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `
 A )  e.  NN )  ->  ( N  mod  ( O `  A ) )  e. 
NN0 )
1110adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  (
( M  mod  ( O `  A )
)  .x.  A )  =  ( ( N  mod  ( O `  A ) )  .x.  A ) )  -> 
( N  mod  ( O `  A )
)  e.  NN0 )
1211nn0red 10842 . . . . 5  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  (
( M  mod  ( O `  A )
)  .x.  A )  =  ( ( N  mod  ( O `  A ) )  .x.  A ) )  -> 
( N  mod  ( O `  A )
)  e.  RR )
13 odcl.1 . . . . . 6  |-  X  =  ( Base `  G
)
14 odcl.2 . . . . . 6  |-  O  =  ( od `  G
)
15 odid.3 . . . . . 6  |-  .x.  =  (.g
`  G )
16 odid.4 . . . . . 6  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
17 simp1l 1015 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `
 A )  e.  NN )  ->  G  e.  Mnd )
1817adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  (
( M  mod  ( O `  A )
)  .x.  A )  =  ( ( N  mod  ( O `  A ) )  .x.  A ) )  ->  G  e.  Mnd )
19 simp1r 1016 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `
 A )  e.  NN )  ->  A  e.  X )
2019adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  (
( M  mod  ( O `  A )
)  .x.  A )  =  ( ( N  mod  ( O `  A ) )  .x.  A ) )  ->  A  e.  X )
214adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  (
( M  mod  ( O `  A )
)  .x.  A )  =  ( ( N  mod  ( O `  A ) )  .x.  A ) )  -> 
( O `  A
)  e.  NN )
222nn0red 10842 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `
 A )  e.  NN )  ->  M  e.  RR )
234nnrpd 11244 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `
 A )  e.  NN )  ->  ( O `  A )  e.  RR+ )
24 modlt 11962 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  RR  /\  ( O `  A )  e.  RR+ )  ->  ( M  mod  ( O `  A ) )  < 
( O `  A
) )
2522, 23, 24syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `
 A )  e.  NN )  ->  ( M  mod  ( O `  A ) )  < 
( O `  A
) )
2625adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  (
( M  mod  ( O `  A )
)  .x.  A )  =  ( ( N  mod  ( O `  A ) )  .x.  A ) )  -> 
( M  mod  ( O `  A )
)  <  ( O `  A ) )
278nn0red 10842 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `
 A )  e.  NN )  ->  N  e.  RR )
28 modlt 11962 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  RR  /\  ( O `  A )  e.  RR+ )  ->  ( N  mod  ( O `  A ) )  < 
( O `  A
) )
2927, 23, 28syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `
 A )  e.  NN )  ->  ( N  mod  ( O `  A ) )  < 
( O `  A
) )
3029adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  (
( M  mod  ( O `  A )
)  .x.  A )  =  ( ( N  mod  ( O `  A ) )  .x.  A ) )  -> 
( N  mod  ( O `  A )
)  <  ( O `  A ) )
31 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  (
( M  mod  ( O `  A )
)  .x.  A )  =  ( ( N  mod  ( O `  A ) )  .x.  A ) )  -> 
( ( M  mod  ( O `  A ) )  .x.  A )  =  ( ( N  mod  ( O `  A ) )  .x.  A ) )
3213, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 6, 11, 26, 30, 31mndodconglem 16354 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  (
( M  mod  ( O `  A )
)  .x.  A )  =  ( ( N  mod  ( O `  A ) )  .x.  A ) )  /\  ( M  mod  ( O `
 A ) )  <_  ( N  mod  ( O `  A ) ) )  ->  ( M  mod  ( O `  A ) )  =  ( N  mod  ( O `  A )
) )
3331eqcomd 2468 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  (
( M  mod  ( O `  A )
)  .x.  A )  =  ( ( N  mod  ( O `  A ) )  .x.  A ) )  -> 
( ( N  mod  ( O `  A ) )  .x.  A )  =  ( ( M  mod  ( O `  A ) )  .x.  A ) )
3413, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 11, 6, 30, 26, 33mndodconglem 16354 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  (
( M  mod  ( O `  A )
)  .x.  A )  =  ( ( N  mod  ( O `  A ) )  .x.  A ) )  /\  ( N  mod  ( O `
 A ) )  <_  ( M  mod  ( O `  A ) ) )  ->  ( N  mod  ( O `  A ) )  =  ( M  mod  ( O `  A )
) )
3534eqcomd 2468 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  (
( M  mod  ( O `  A )
)  .x.  A )  =  ( ( N  mod  ( O `  A ) )  .x.  A ) )  /\  ( N  mod  ( O `
 A ) )  <_  ( M  mod  ( O `  A ) ) )  ->  ( M  mod  ( O `  A ) )  =  ( N  mod  ( O `  A )
) )
367, 12, 32, 35lecasei 9679 . . . 4  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  (
( M  mod  ( O `  A )
)  .x.  A )  =  ( ( N  mod  ( O `  A ) )  .x.  A ) )  -> 
( M  mod  ( O `  A )
)  =  ( N  mod  ( O `  A ) ) )
3736ex 434 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `
 A )  e.  NN )  ->  (
( ( M  mod  ( O `  A ) )  .x.  A )  =  ( ( N  mod  ( O `  A ) )  .x.  A )  ->  ( M  mod  ( O `  A ) )  =  ( N  mod  ( O `  A )
) ) )
381, 37impbid2 204 . 2  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `
 A )  e.  NN )  ->  (
( M  mod  ( O `  A )
)  =  ( N  mod  ( O `  A ) )  <->  ( ( M  mod  ( O `  A ) )  .x.  A )  =  ( ( N  mod  ( O `  A )
)  .x.  A )
) )
39 moddvds 13843 . . 3  |-  ( ( ( O `  A
)  e.  NN  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( M  mod  ( O `  A )
)  =  ( N  mod  ( O `  A ) )  <->  ( O `  A )  ||  ( M  -  N )
) )
404, 3, 9, 39syl3anc 1223 . 2  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `
 A )  e.  NN )  ->  (
( M  mod  ( O `  A )
)  =  ( N  mod  ( O `  A ) )  <->  ( O `  A )  ||  ( M  -  N )
) )
4113, 14, 15, 16odmodnn0 16353 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X  /\  M  e.  NN0 )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  -> 
( ( M  mod  ( O `  A ) )  .x.  A )  =  ( M  .x.  A ) )
4217, 19, 2, 4, 41syl31anc 1226 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `
 A )  e.  NN )  ->  (
( M  mod  ( O `  A )
)  .x.  A )  =  ( M  .x.  A ) )
4313, 14, 15, 16odmodnn0 16353 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  -> 
( ( N  mod  ( O `  A ) )  .x.  A )  =  ( N  .x.  A ) )
4417, 19, 8, 4, 43syl31anc 1226 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `
 A )  e.  NN )  ->  (
( N  mod  ( O `  A )
)  .x.  A )  =  ( N  .x.  A ) )
4542, 44eqeq12d 2482 . 2  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `
 A )  e.  NN )  ->  (
( ( M  mod  ( O `  A ) )  .x.  A )  =  ( ( N  mod  ( O `  A ) )  .x.  A )  <->  ( M  .x.  A )  =  ( N  .x.  A ) ) )
4638, 40, 453bitr3d 283 1  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `
 A )  e.  NN )  ->  (
( O `  A
)  ||  ( M  -  N )  <->  ( M  .x.  A )  =  ( N  .x.  A ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 968    = wceq 1374    e. wcel 1762   class class class wbr 4440   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   RRcr 9480    < clt 9617    <_ cle 9618    - cmin 9794   NNcn 10525   NN0cn0 10784   ZZcz 10853   RR+crp 11209    mod cmo 11952    || cdivides 13836   Basecbs 14479   0gc0g 14684   Mndcmnd 15715  .gcmg 15720   odcod 16338
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-inf2 8047  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-sup 7890  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-div 10196  df-nn 10526  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-rp 11210  df-fz 11662  df-fl 11886  df-mod 11953  df-seq 12064  df-dvds 13837  df-0g 14686  df-mnd 15721  df-mulg 15854  df-od 16342
This theorem is referenced by:  mndodcongi  16356  oddvdsnn0  16357
  Copyright terms: Public domain W3C validator