Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mndodcong Structured version   Unicode version

Theorem mndodcong 16888
 Description: If two multipliers are congruent relative to the base point's order, the corresponding multiples are the same. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
odcl.1
odcl.2
odid.3 .g
odid.4
Assertion
Ref Expression
mndodcong

Proof of Theorem mndodcong
StepHypRef Expression
1 oveq1 6284 . . 3
2 simp2l 1023 . . . . . . . . 9
32nn0zd 11005 . . . . . . . 8
4 simp3 999 . . . . . . . 8
53, 4zmodcld 12053 . . . . . . 7
65adantr 463 . . . . . 6
76nn0red 10893 . . . . 5
8 simp2r 1024 . . . . . . . . 9
98nn0zd 11005 . . . . . . . 8
109, 4zmodcld 12053 . . . . . . 7
1110adantr 463 . . . . . 6
1211nn0red 10893 . . . . 5
13 odcl.1 . . . . . 6
14 odcl.2 . . . . . 6
15 odid.3 . . . . . 6 .g
16 odid.4 . . . . . 6
17 simp1l 1021 . . . . . . 7
1817adantr 463 . . . . . 6
19 simp1r 1022 . . . . . . 7
2019adantr 463 . . . . . 6
214adantr 463 . . . . . 6
222nn0red 10893 . . . . . . . 8
234nnrpd 11301 . . . . . . . 8
24 modlt 12043 . . . . . . . 8
2522, 23, 24syl2anc 659 . . . . . . 7
2625adantr 463 . . . . . 6
278nn0red 10893 . . . . . . . 8
28 modlt 12043 . . . . . . . 8
2927, 23, 28syl2anc 659 . . . . . . 7
3029adantr 463 . . . . . 6
31 simpr 459 . . . . . 6
3213, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 6, 11, 26, 30, 31mndodconglem 16887 . . . . 5
3331eqcomd 2410 . . . . . . 7
3413, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 11, 6, 30, 26, 33mndodconglem 16887 . . . . . 6
3534eqcomd 2410 . . . . 5
367, 12, 32, 35lecasei 9721 . . . 4
3736ex 432 . . 3
381, 37impbid2 204 . 2
39 moddvds 14200 . . 3
404, 3, 9, 39syl3anc 1230 . 2
4113, 14, 15, 16odmodnn0 16886 . . . 4
4217, 19, 2, 4, 41syl31anc 1233 . . 3
4313, 14, 15, 16odmodnn0 16886 . . . 4
4417, 19, 8, 4, 43syl31anc 1233 . . 3
4542, 44eqeq12d 2424 . 2
4638, 40, 453bitr3d 283 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 367   w3a 974   wceq 1405   wcel 1842   class class class wbr 4394  cfv 5568  (class class class)co 6277  cr 9520   clt 9657   cle 9658   cmin 9840  cn 10575  cn0 10835  cz 10904  crp 11264   cmo 12032   cdvds 14193  cbs 14839  c0g 15052  cmnd 16241  .gcmg 16378  cod 16871 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-inf2 8090  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598  ax-pre-sup 9599 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-er 7347  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-sup 7934  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-div 10247  df-nn 10576  df-n0 10836  df-z 10905  df-uz 11127  df-rp 11265  df-fz 11725  df-fl 11964  df-mod 12033  df-seq 12150  df-dvds 14194  df-0g 15054  df-mgm 16194  df-sgrp 16233  df-mnd 16243  df-mulg 16382  df-od 16875 This theorem is referenced by:  mndodcongi  16889  oddvdsnn0  16890
 Copyright terms: Public domain W3C validator