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Theorem mndodcong 16167
Description: If two multipliers are congruent relative to the base point's order, the corresponding multiples are the same. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
odcl.1  |-  X  =  ( Base `  G
)
odcl.2  |-  O  =  ( od `  G
)
odid.3  |-  .x.  =  (.g
`  G )
odid.4  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
Assertion
Ref Expression
mndodcong  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `
 A )  e.  NN )  ->  (
( O `  A
)  ||  ( M  -  N )  <->  ( M  .x.  A )  =  ( N  .x.  A ) ) )

Proof of Theorem mndodcong
StepHypRef Expression
1 oveq1 6208 . . 3  |-  ( ( M  mod  ( O `
 A ) )  =  ( N  mod  ( O `  A ) )  ->  ( ( M  mod  ( O `  A ) )  .x.  A )  =  ( ( N  mod  ( O `  A )
)  .x.  A )
)
2 simp2l 1014 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `
 A )  e.  NN )  ->  M  e.  NN0 )
32nn0zd 10857 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `
 A )  e.  NN )  ->  M  e.  ZZ )
4 simp3 990 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `
 A )  e.  NN )  ->  ( O `  A )  e.  NN )
53, 4zmodcld 11846 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `
 A )  e.  NN )  ->  ( M  mod  ( O `  A ) )  e. 
NN0 )
65adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  (
( M  mod  ( O `  A )
)  .x.  A )  =  ( ( N  mod  ( O `  A ) )  .x.  A ) )  -> 
( M  mod  ( O `  A )
)  e.  NN0 )
76nn0red 10749 . . . . 5  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  (
( M  mod  ( O `  A )
)  .x.  A )  =  ( ( N  mod  ( O `  A ) )  .x.  A ) )  -> 
( M  mod  ( O `  A )
)  e.  RR )
8 simp2r 1015 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `
 A )  e.  NN )  ->  N  e.  NN0 )
98nn0zd 10857 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `
 A )  e.  NN )  ->  N  e.  ZZ )
109, 4zmodcld 11846 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `
 A )  e.  NN )  ->  ( N  mod  ( O `  A ) )  e. 
NN0 )
1110adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  (
( M  mod  ( O `  A )
)  .x.  A )  =  ( ( N  mod  ( O `  A ) )  .x.  A ) )  -> 
( N  mod  ( O `  A )
)  e.  NN0 )
1211nn0red 10749 . . . . 5  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  (
( M  mod  ( O `  A )
)  .x.  A )  =  ( ( N  mod  ( O `  A ) )  .x.  A ) )  -> 
( N  mod  ( O `  A )
)  e.  RR )
13 odcl.1 . . . . . 6  |-  X  =  ( Base `  G
)
14 odcl.2 . . . . . 6  |-  O  =  ( od `  G
)
15 odid.3 . . . . . 6  |-  .x.  =  (.g
`  G )
16 odid.4 . . . . . 6  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
17 simp1l 1012 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `
 A )  e.  NN )  ->  G  e.  Mnd )
1817adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  (
( M  mod  ( O `  A )
)  .x.  A )  =  ( ( N  mod  ( O `  A ) )  .x.  A ) )  ->  G  e.  Mnd )
19 simp1r 1013 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `
 A )  e.  NN )  ->  A  e.  X )
2019adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  (
( M  mod  ( O `  A )
)  .x.  A )  =  ( ( N  mod  ( O `  A ) )  .x.  A ) )  ->  A  e.  X )
214adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  (
( M  mod  ( O `  A )
)  .x.  A )  =  ( ( N  mod  ( O `  A ) )  .x.  A ) )  -> 
( O `  A
)  e.  NN )
222nn0red 10749 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `
 A )  e.  NN )  ->  M  e.  RR )
234nnrpd 11138 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `
 A )  e.  NN )  ->  ( O `  A )  e.  RR+ )
24 modlt 11836 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  RR  /\  ( O `  A )  e.  RR+ )  ->  ( M  mod  ( O `  A ) )  < 
( O `  A
) )
2522, 23, 24syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `
 A )  e.  NN )  ->  ( M  mod  ( O `  A ) )  < 
( O `  A
) )
2625adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  (
( M  mod  ( O `  A )
)  .x.  A )  =  ( ( N  mod  ( O `  A ) )  .x.  A ) )  -> 
( M  mod  ( O `  A )
)  <  ( O `  A ) )
278nn0red 10749 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `
 A )  e.  NN )  ->  N  e.  RR )
28 modlt 11836 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  RR  /\  ( O `  A )  e.  RR+ )  ->  ( N  mod  ( O `  A ) )  < 
( O `  A
) )
2927, 23, 28syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `
 A )  e.  NN )  ->  ( N  mod  ( O `  A ) )  < 
( O `  A
) )
3029adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  (
( M  mod  ( O `  A )
)  .x.  A )  =  ( ( N  mod  ( O `  A ) )  .x.  A ) )  -> 
( N  mod  ( O `  A )
)  <  ( O `  A ) )
31 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  (
( M  mod  ( O `  A )
)  .x.  A )  =  ( ( N  mod  ( O `  A ) )  .x.  A ) )  -> 
( ( M  mod  ( O `  A ) )  .x.  A )  =  ( ( N  mod  ( O `  A ) )  .x.  A ) )
3213, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 6, 11, 26, 30, 31mndodconglem 16166 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  (
( M  mod  ( O `  A )
)  .x.  A )  =  ( ( N  mod  ( O `  A ) )  .x.  A ) )  /\  ( M  mod  ( O `
 A ) )  <_  ( N  mod  ( O `  A ) ) )  ->  ( M  mod  ( O `  A ) )  =  ( N  mod  ( O `  A )
) )
3331eqcomd 2462 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  (
( M  mod  ( O `  A )
)  .x.  A )  =  ( ( N  mod  ( O `  A ) )  .x.  A ) )  -> 
( ( N  mod  ( O `  A ) )  .x.  A )  =  ( ( M  mod  ( O `  A ) )  .x.  A ) )
3413, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 11, 6, 30, 26, 33mndodconglem 16166 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  (
( M  mod  ( O `  A )
)  .x.  A )  =  ( ( N  mod  ( O `  A ) )  .x.  A ) )  /\  ( N  mod  ( O `
 A ) )  <_  ( M  mod  ( O `  A ) ) )  ->  ( N  mod  ( O `  A ) )  =  ( M  mod  ( O `  A )
) )
3534eqcomd 2462 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  (
( M  mod  ( O `  A )
)  .x.  A )  =  ( ( N  mod  ( O `  A ) )  .x.  A ) )  /\  ( N  mod  ( O `
 A ) )  <_  ( M  mod  ( O `  A ) ) )  ->  ( M  mod  ( O `  A ) )  =  ( N  mod  ( O `  A )
) )
367, 12, 32, 35lecasei 9592 . . . 4  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  (
( M  mod  ( O `  A )
)  .x.  A )  =  ( ( N  mod  ( O `  A ) )  .x.  A ) )  -> 
( M  mod  ( O `  A )
)  =  ( N  mod  ( O `  A ) ) )
3736ex 434 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `
 A )  e.  NN )  ->  (
( ( M  mod  ( O `  A ) )  .x.  A )  =  ( ( N  mod  ( O `  A ) )  .x.  A )  ->  ( M  mod  ( O `  A ) )  =  ( N  mod  ( O `  A )
) ) )
381, 37impbid2 204 . 2  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `
 A )  e.  NN )  ->  (
( M  mod  ( O `  A )
)  =  ( N  mod  ( O `  A ) )  <->  ( ( M  mod  ( O `  A ) )  .x.  A )  =  ( ( N  mod  ( O `  A )
)  .x.  A )
) )
39 moddvds 13661 . . 3  |-  ( ( ( O `  A
)  e.  NN  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( M  mod  ( O `  A )
)  =  ( N  mod  ( O `  A ) )  <->  ( O `  A )  ||  ( M  -  N )
) )
404, 3, 9, 39syl3anc 1219 . 2  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `
 A )  e.  NN )  ->  (
( M  mod  ( O `  A )
)  =  ( N  mod  ( O `  A ) )  <->  ( O `  A )  ||  ( M  -  N )
) )
4113, 14, 15, 16odmodnn0 16165 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X  /\  M  e.  NN0 )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  -> 
( ( M  mod  ( O `  A ) )  .x.  A )  =  ( M  .x.  A ) )
4217, 19, 2, 4, 41syl31anc 1222 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `
 A )  e.  NN )  ->  (
( M  mod  ( O `  A )
)  .x.  A )  =  ( M  .x.  A ) )
4313, 14, 15, 16odmodnn0 16165 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  -> 
( ( N  mod  ( O `  A ) )  .x.  A )  =  ( N  .x.  A ) )
4417, 19, 8, 4, 43syl31anc 1222 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `
 A )  e.  NN )  ->  (
( N  mod  ( O `  A )
)  .x.  A )  =  ( N  .x.  A ) )
4542, 44eqeq12d 2476 . 2  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `
 A )  e.  NN )  ->  (
( ( M  mod  ( O `  A ) )  .x.  A )  =  ( ( N  mod  ( O `  A ) )  .x.  A )  <->  ( M  .x.  A )  =  ( N  .x.  A ) ) )
4638, 40, 453bitr3d 283 1  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `
 A )  e.  NN )  ->  (
( O `  A
)  ||  ( M  -  N )  <->  ( M  .x.  A )  =  ( N  .x.  A ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   class class class wbr 4401   ` cfv 5527  (class class class)co 6201   RRcr 9393    < clt 9530    <_ cle 9531    - cmin 9707   NNcn 10434   NN0cn0 10691   ZZcz 10758   RR+crp 11103    mod cmo 11826    || cdivides 13654   Basecbs 14293   0gc0g 14498   Mndcmnd 15529  .gcmg 15534   odcod 16150
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4512  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-inf2 7959  ax-cnex 9450  ax-resscn 9451  ax-1cn 9452  ax-icn 9453  ax-addcl 9454  ax-addrcl 9455  ax-mulcl 9456  ax-mulrcl 9457  ax-mulcom 9458  ax-addass 9459  ax-mulass 9460  ax-distr 9461  ax-i2m1 9462  ax-1ne0 9463  ax-1rid 9464  ax-rnegex 9465  ax-rrecex 9466  ax-cnre 9467  ax-pre-lttri 9468  ax-pre-lttrn 9469  ax-pre-ltadd 9470  ax-pre-mulgt0 9471  ax-pre-sup 9472
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-uni 4201  df-iun 4282  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-om 6588  df-1st 6688  df-2nd 6689  df-recs 6943  df-rdg 6977  df-er 7212  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-sup 7803  df-pnf 9532  df-mnf 9533  df-xr 9534  df-ltxr 9535  df-le 9536  df-sub 9709  df-neg 9710  df-div 10106  df-nn 10435  df-n0 10692  df-z 10759  df-uz 10974  df-rp 11104  df-fz 11556  df-fl 11760  df-mod 11827  df-seq 11925  df-dvds 13655  df-0g 14500  df-mnd 15535  df-mulg 15668  df-od 16154
This theorem is referenced by:  mndodcongi  16168  oddvdsnn0  16169
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