MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mndlid Structured version   Unicode version

Theorem mndlid 15747
Description: The identity element of a monoid is a left identity. (Contributed by NM, 18-Aug-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
mndlrid.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
mndlrid.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
mndlrid.o  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
Assertion
Ref Expression
mndlid  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  X  e.  B )  ->  (  .0.  .+  X
)  =  X )

Proof of Theorem mndlid
StepHypRef Expression
1 mndlrid.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 mndlrid.p . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  G )
3 mndlrid.o . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
41, 2, 3mndlrid 15746 . 2  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  X  e.  B )  ->  ( (  .0.  .+  X )  =  X  /\  ( X  .+  .0.  )  =  X
) )
54simpld 459 1  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  X  e.  B )  ->  (  .0.  .+  X
)  =  X )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   Basecbs 14479   +g cplusg 14544   0gc0g 14684   Mndcmnd 15715
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-nul 3779  df-if 3933  df-sn 4021  df-pr 4023  df-op 4027  df-uni 4239  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-id 4788  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-0g 14686  df-mnd 15721
This theorem is referenced by:  issubmnd  15755  ress0g  15756  submnd0  15757  prdsidlem  15759  imasmnd  15765  0mhm  15792  mrcmndind  15800  gsumccat  15825  grplid  15874  mulgnn0p1  15946  mulgnn0z  15955  mulgnn0dir  15958  cntzsubm  16161  oppgmnd  16177  odmodnn0  16353  lsmub2x  16456  mulgnn0di  16623  gsumval3OLD  16692  gsumval3  16695  gsumzaddlem  16718  gsumzaddlemOLD  16720  gsumzsplit  16728  gsumzsplitOLD  16729  srgbinomlem4  16975  dsmmacl  18532  mndvlid  18655  dmatmul  18759  mndifsplit  18898  tsmssplit  20382  omndmul2  27350  omndmul3  27351  slmd0vlid  27413  mndpsuppss  31912
  Copyright terms: Public domain W3C validator