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Theorem mndlem1 15533
Description: Lemma for monoid properties. (Contributed by NM, 14-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mndlem1.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
mndlem1.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
Assertion
Ref Expression
mndlem1  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( X  .+  Y
)  e.  B  /\  ( ( X  .+  Y )  .+  Z
)  =  ( X 
.+  ( Y  .+  Z ) ) ) )

Proof of Theorem mndlem1
Dummy variables  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mndlem1.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 mndlem1.p . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  G )
31, 2ismnd 15531 . . 3  |-  ( G  e.  Mnd  <->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  (
( x  .+  y
)  e.  B  /\  ( ( x  .+  y )  .+  z
)  =  ( x 
.+  ( y  .+  z ) ) )  /\  E. w  e.  B  A. x  e.  B  ( ( w 
.+  x )  =  x  /\  ( x 
.+  w )  =  x ) ) )
43simplbi 460 . 2  |-  ( G  e.  Mnd  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( (
x  .+  y )  e.  B  /\  (
( x  .+  y
)  .+  z )  =  ( x  .+  ( y  .+  z
) ) ) )
5 oveq1 6202 . . . . 5  |-  ( x  =  X  ->  (
x  .+  y )  =  ( X  .+  y ) )
65eleq1d 2521 . . . 4  |-  ( x  =  X  ->  (
( x  .+  y
)  e.  B  <->  ( X  .+  y )  e.  B
) )
75oveq1d 6210 . . . . 5  |-  ( x  =  X  ->  (
( x  .+  y
)  .+  z )  =  ( ( X 
.+  y )  .+  z ) )
8 oveq1 6202 . . . . 5  |-  ( x  =  X  ->  (
x  .+  ( y  .+  z ) )  =  ( X  .+  (
y  .+  z )
) )
97, 8eqeq12d 2474 . . . 4  |-  ( x  =  X  ->  (
( ( x  .+  y )  .+  z
)  =  ( x 
.+  ( y  .+  z ) )  <->  ( ( X  .+  y )  .+  z )  =  ( X  .+  ( y 
.+  z ) ) ) )
106, 9anbi12d 710 . . 3  |-  ( x  =  X  ->  (
( ( x  .+  y )  e.  B  /\  ( ( x  .+  y )  .+  z
)  =  ( x 
.+  ( y  .+  z ) ) )  <-> 
( ( X  .+  y )  e.  B  /\  ( ( X  .+  y )  .+  z
)  =  ( X 
.+  ( y  .+  z ) ) ) ) )
11 oveq2 6203 . . . . 5  |-  ( y  =  Y  ->  ( X  .+  y )  =  ( X  .+  Y
) )
1211eleq1d 2521 . . . 4  |-  ( y  =  Y  ->  (
( X  .+  y
)  e.  B  <->  ( X  .+  Y )  e.  B
) )
1311oveq1d 6210 . . . . 5  |-  ( y  =  Y  ->  (
( X  .+  y
)  .+  z )  =  ( ( X 
.+  Y )  .+  z ) )
14 oveq1 6202 . . . . . 6  |-  ( y  =  Y  ->  (
y  .+  z )  =  ( Y  .+  z ) )
1514oveq2d 6211 . . . . 5  |-  ( y  =  Y  ->  ( X  .+  ( y  .+  z ) )  =  ( X  .+  ( Y  .+  z ) ) )
1613, 15eqeq12d 2474 . . . 4  |-  ( y  =  Y  ->  (
( ( X  .+  y )  .+  z
)  =  ( X 
.+  ( y  .+  z ) )  <->  ( ( X  .+  Y )  .+  z )  =  ( X  .+  ( Y 
.+  z ) ) ) )
1712, 16anbi12d 710 . . 3  |-  ( y  =  Y  ->  (
( ( X  .+  y )  e.  B  /\  ( ( X  .+  y )  .+  z
)  =  ( X 
.+  ( y  .+  z ) ) )  <-> 
( ( X  .+  Y )  e.  B  /\  ( ( X  .+  Y )  .+  z
)  =  ( X 
.+  ( Y  .+  z ) ) ) ) )
18 oveq2 6203 . . . . 5  |-  ( z  =  Z  ->  (
( X  .+  Y
)  .+  z )  =  ( ( X 
.+  Y )  .+  Z ) )
19 oveq2 6203 . . . . . 6  |-  ( z  =  Z  ->  ( Y  .+  z )  =  ( Y  .+  Z
) )
2019oveq2d 6211 . . . . 5  |-  ( z  =  Z  ->  ( X  .+  ( Y  .+  z ) )  =  ( X  .+  ( Y  .+  Z ) ) )
2118, 20eqeq12d 2474 . . . 4  |-  ( z  =  Z  ->  (
( ( X  .+  Y )  .+  z
)  =  ( X 
.+  ( Y  .+  z ) )  <->  ( ( X  .+  Y )  .+  Z )  =  ( X  .+  ( Y 
.+  Z ) ) ) )
2221anbi2d 703 . . 3  |-  ( z  =  Z  ->  (
( ( X  .+  Y )  e.  B  /\  ( ( X  .+  Y )  .+  z
)  =  ( X 
.+  ( Y  .+  z ) ) )  <-> 
( ( X  .+  Y )  e.  B  /\  ( ( X  .+  Y )  .+  Z
)  =  ( X 
.+  ( Y  .+  Z ) ) ) ) )
2310, 17, 22rspc3v 3183 . 2  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( ( x 
.+  y )  e.  B  /\  ( ( x  .+  y ) 
.+  z )  =  ( x  .+  (
y  .+  z )
) )  ->  (
( X  .+  Y
)  e.  B  /\  ( ( X  .+  Y )  .+  Z
)  =  ( X 
.+  ( Y  .+  Z ) ) ) ) )
244, 23mpan9 469 1  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( X  .+  Y
)  e.  B  /\  ( ( X  .+  Y )  .+  Z
)  =  ( X 
.+  ( Y  .+  Z ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2796   E.wrex 2797   ` cfv 5521  (class class class)co 6195   Basecbs 14287   +g cplusg 14352   Mndcmnd 15523
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-nul 4524  ax-pow 4573
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-ral 2801  df-rex 2802  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-nul 3741  df-if 3895  df-sn 3981  df-pr 3983  df-op 3987  df-uni 4195  df-br 4396  df-iota 5484  df-fv 5529  df-ov 6198  df-mnd 15529
This theorem is referenced by:  mndcl  15534  mndass  15535
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