MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mndcl Structured version   Unicode version

Theorem mndcl 16496
Description: Closure of the operation of a monoid. (Contributed by NM, 14-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.) (Proof shortened by AV, 8-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
mndcl.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
mndcl.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
Assertion
Ref Expression
mndcl  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .+  Y
)  e.  B )

Proof of Theorem mndcl
StepHypRef Expression
1 mndmgm 16495 . 2  |-  ( G  e.  Mnd  ->  G  e. Mgm )
2 mndcl.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  G
)
3 mndcl.p . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  G )
42, 3mgmcl 16442 . 2  |-  ( ( G  e. Mgm  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .+  Y )  e.  B )
51, 4syl3an1 1297 1  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .+  Y
)  e.  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1870   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   Basecbs 15084   +g cplusg 15152  Mgmcmgm 16437   Mndcmnd 16486
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-nul 4556
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-ral 2787  df-rex 2788  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-nul 3768  df-if 3916  df-sn 4003  df-pr 4005  df-op 4009  df-uni 4223  df-br 4427  df-iota 5565  df-fv 5609  df-ov 6308  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488
This theorem is referenced by:  mnd4g  16504  mndpropd  16513  issubmnd  16515  prdsplusgcl  16518  imasmnd  16525  idmhm  16542  mhmf1o  16543  issubmd  16547  0mhm  16556  mhmco  16560  mhmeql  16562  submacs  16563  mrcmndind  16564  prdspjmhm  16565  pwsdiagmhm  16567  pwsco1mhm  16568  pwsco2mhm  16569  gsumccat  16576  gsumwmhm  16580  grpcl  16630  mulgnncl  16724  mulgnn0cl  16725  mulgnndir  16731  mhmmnd  16759  cntzsubm  16940  oppgmnd  16956  lsmssv  17230  frgp0  17345  frgpadd  17348  mulgnn0di  17401  mulgmhm  17403  gsumval3eu  17473  gsumval3  17476  gsumzcl2  17479  gsumzaddlem  17489  gsumzmhm  17505  gsummptfzcl  17536  srgcl  17681  srgacl  17692  srgbinomlem  17712  srgbinom  17713  ringcl  17729  ringpropd  17747  mndvcl  19347  mhmvlin  19353  mat2pmatghm  19685  pm2mpghm  19771  cpmadugsumlemF  19831  tsmsadd  21092  omndadd2d  28309  omndadd2rd  28310  slmdacl  28363  slmdvacl  28366  gsumncl  29212  c0mhm  38668  ofaddmndmap  38885  lincsum  38982
  Copyright terms: Public domain W3C validator