MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mndcl Structured version   Unicode version

Theorem mndcl 15416
Description: Closure of the operation of a monoid. (Contributed by NM, 14-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mndlem1.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
mndlem1.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
Assertion
Ref Expression
mndcl  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .+  Y
)  e.  B )

Proof of Theorem mndcl
StepHypRef Expression
1 df-3an 962 . . . 4  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  <->  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  X  e.  B ) )
2 anabs1 801 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  X  e.  B )  <->  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )
31, 2bitri 249 . . 3  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  <->  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)
4 mndlem1.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  G
)
5 mndlem1.p . . . . 5  |-  .+  =  ( +g  `  G )
64, 5mndlem1 15415 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B
) )  ->  (
( X  .+  Y
)  e.  B  /\  ( ( X  .+  Y )  .+  X
)  =  ( X 
.+  ( Y  .+  X ) ) ) )
76simpld 456 . . 3  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B
) )  ->  ( X  .+  Y )  e.  B )
83, 7sylan2br 473 . 2  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( X  .+  Y )  e.  B )
983impb 1178 1  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .+  Y
)  e.  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 960    = wceq 1364    e. wcel 1761   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   Basecbs 14170   +g cplusg 14234   Mndcmnd 15405
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-nul 4418  ax-pow 4467
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-nul 3635  df-if 3789  df-sn 3875  df-pr 3877  df-op 3881  df-uni 4089  df-br 4290  df-iota 5378  df-fv 5423  df-ov 6093  df-mnd 15411
This theorem is referenced by:  mnd4g  15422  mndplusf  15427  mndfo  15441  mndpropd  15442  issubmnd  15445  prdsplusgcl  15448  imasmnd  15455  issubmd  15472  0mhm  15481  mhmco  15485  mhmeql  15487  submacs  15488  mrcmndind  15489  prdspjmhm  15490  pwsdiagmhm  15492  pwsco1mhm  15493  pwsco2mhm  15494  gsumccat  15512  gsumwmhm  15516  grpcl  15544  mulgnncl  15635  mulgnn0cl  15636  mulgnndir  15642  cntzsubm  15846  oppgmnd  15862  lsmssv  16135  frgp0  16250  frgpadd  16253  mulgnn0di  16306  mulgmhm  16308  gsumval3eu  16374  gsumval3OLD  16375  gsumval3  16378  gsumzcl2  16382  gsumzclOLD  16386  gsumzaddlem  16401  gsumzaddlemOLD  16403  gsumzmhm  16422  gsumzmhmOLD  16423  gsummptfzcl  16450  srgcl  16604  srgacl  16615  srglmhm  16624  srgrmhm  16625  srgbinomlem  16632  srgbinom  16633  rngcl  16648  rngpropd  16666  mndvcl  18191  mhmvlin  18197  tsmsadd  19621  omndadd2d  26088  omndadd2rd  26089  slmdacl  26142  slmdvacl  26145  gsumncl  26850  ofaddmndmap  30642  lincsum  30787
  Copyright terms: Public domain W3C validator