MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mnd1id Structured version   Unicode version

Theorem mnd1id 16530
Description: The singleton element of a trivial monoid is its identity element. (Contributed by AV, 23-Jan-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
mnd1.m  |-  M  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  { I } >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  { <. <. I ,  I >. ,  I >. } >. }
Assertion
Ref Expression
mnd1id  |-  ( I  e.  V  ->  ( 0g `  M )  =  I )

Proof of Theorem mnd1id
Dummy variable  a is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 snex 4663 . . . 4  |-  { I }  e.  _V
2 mnd1.m . . . . 5  |-  M  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  { I } >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  { <. <. I ,  I >. ,  I >. } >. }
32grpbase 15196 . . . 4  |-  ( { I }  e.  _V  ->  { I }  =  ( Base `  M )
)
41, 3ax-mp 5 . . 3  |-  { I }  =  ( Base `  M )
5 eqid 2429 . . 3  |-  ( 0g
`  M )  =  ( 0g `  M
)
6 snex 4663 . . . 4  |-  { <. <.
I ,  I >. ,  I >. }  e.  _V
72grpplusg 15197 . . . 4  |-  ( {
<. <. I ,  I >. ,  I >. }  e.  _V  ->  { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  =  ( +g  `  M
) )
86, 7ax-mp 5 . . 3  |-  { <. <.
I ,  I >. ,  I >. }  =  ( +g  `  M )
9 snidg 4028 . . 3  |-  ( I  e.  V  ->  I  e.  { I } )
10 elsn 4016 . . . . 5  |-  ( a  e.  { I }  <->  a  =  I )
11 df-ov 6308 . . . . . . 7  |-  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I
)  =  ( {
<. <. I ,  I >. ,  I >. } `  <. I ,  I >. )
12 opex 4686 . . . . . . . 8  |-  <. I ,  I >.  e.  _V
13 fvsng 6113 . . . . . . . 8  |-  ( (
<. I ,  I >.  e. 
_V  /\  I  e.  V )  ->  ( { <. <. I ,  I >. ,  I >. } `  <. I ,  I >. )  =  I )
1412, 13mpan 674 . . . . . . 7  |-  ( I  e.  V  ->  ( { <. <. I ,  I >. ,  I >. } `  <. I ,  I >. )  =  I )
1511, 14syl5eq 2482 . . . . . 6  |-  ( I  e.  V  ->  (
I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I )  =  I )
16 oveq2 6313 . . . . . . 7  |-  ( a  =  I  ->  (
I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } a )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I ) )
17 id 23 . . . . . . 7  |-  ( a  =  I  ->  a  =  I )
1816, 17eqeq12d 2451 . . . . . 6  |-  ( a  =  I  ->  (
( I { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } a )  =  a  <->  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I
)  =  I ) )
1915, 18syl5ibrcom 225 . . . . 5  |-  ( I  e.  V  ->  (
a  =  I  -> 
( I { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } a )  =  a ) )
2010, 19syl5bi 220 . . . 4  |-  ( I  e.  V  ->  (
a  e.  { I }  ->  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } a )  =  a ) )
2120imp 430 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  a  e.  { I } )  ->  (
I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } a )  =  a )
22 oveq1 6312 . . . . . . 7  |-  ( a  =  I  ->  (
a { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I ) )
2322, 17eqeq12d 2451 . . . . . 6  |-  ( a  =  I  ->  (
( a { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } I )  =  a  <->  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I
)  =  I ) )
2415, 23syl5ibrcom 225 . . . . 5  |-  ( I  e.  V  ->  (
a  =  I  -> 
( a { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } I )  =  a ) )
2510, 24syl5bi 220 . . . 4  |-  ( I  e.  V  ->  (
a  e.  { I }  ->  ( a {
<. <. I ,  I >. ,  I >. } I
)  =  a ) )
2625imp 430 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  a  e.  { I } )  ->  (
a { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I )  =  a )
274, 5, 8, 9, 21, 26ismgmid2 16461 . 2  |-  ( I  e.  V  ->  I  =  ( 0g `  M ) )
2827eqcomd 2437 1  |-  ( I  e.  V  ->  ( 0g `  M )  =  I )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1437    e. wcel 1870   _Vcvv 3087   {csn 4002   {cpr 4004   <.cop 4008   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   ndxcnx 15081   Basecbs 15084   +g cplusg 15152   0gc0g 15297
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-oadd 7194  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-2 10668  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11783  df-struct 15086  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-plusg 15165  df-0g 15299
This theorem is referenced by:  grp1  16709
  Copyright terms: Public domain W3C validator