MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mnd1id Structured version   Unicode version

Theorem mnd1id 16089
Description: The singleton element of a trivial monoid is its identity element. (Contributed by AV, 23-Jan-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
mnd1.m  |-  M  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  { I } >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  { <. <. I ,  I >. ,  I >. } >. }
Assertion
Ref Expression
mnd1id  |-  ( I  e.  V  ->  ( 0g `  M )  =  I )

Proof of Theorem mnd1id
Dummy variable  a is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 snex 4697 . . . 4  |-  { I }  e.  _V
2 mnd1.m . . . . 5  |-  M  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  { I } >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  { <. <. I ,  I >. ,  I >. } >. }
32grpbase 14755 . . . 4  |-  ( { I }  e.  _V  ->  { I }  =  ( Base `  M )
)
41, 3ax-mp 5 . . 3  |-  { I }  =  ( Base `  M )
5 eqid 2457 . . 3  |-  ( 0g
`  M )  =  ( 0g `  M
)
6 snex 4697 . . . 4  |-  { <. <.
I ,  I >. ,  I >. }  e.  _V
72grpplusg 14756 . . . 4  |-  ( {
<. <. I ,  I >. ,  I >. }  e.  _V  ->  { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  =  ( +g  `  M
) )
86, 7ax-mp 5 . . 3  |-  { <. <.
I ,  I >. ,  I >. }  =  ( +g  `  M )
9 snidg 4058 . . 3  |-  ( I  e.  V  ->  I  e.  { I } )
10 elsn 4046 . . . . 5  |-  ( a  e.  { I }  <->  a  =  I )
11 df-ov 6299 . . . . . . 7  |-  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I
)  =  ( {
<. <. I ,  I >. ,  I >. } `  <. I ,  I >. )
12 opex 4720 . . . . . . . 8  |-  <. I ,  I >.  e.  _V
13 fvsng 6106 . . . . . . . 8  |-  ( (
<. I ,  I >.  e. 
_V  /\  I  e.  V )  ->  ( { <. <. I ,  I >. ,  I >. } `  <. I ,  I >. )  =  I )
1412, 13mpan 670 . . . . . . 7  |-  ( I  e.  V  ->  ( { <. <. I ,  I >. ,  I >. } `  <. I ,  I >. )  =  I )
1511, 14syl5eq 2510 . . . . . 6  |-  ( I  e.  V  ->  (
I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I )  =  I )
16 oveq2 6304 . . . . . . 7  |-  ( a  =  I  ->  (
I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } a )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I ) )
17 id 22 . . . . . . 7  |-  ( a  =  I  ->  a  =  I )
1816, 17eqeq12d 2479 . . . . . 6  |-  ( a  =  I  ->  (
( I { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } a )  =  a  <->  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I
)  =  I ) )
1915, 18syl5ibrcom 222 . . . . 5  |-  ( I  e.  V  ->  (
a  =  I  -> 
( I { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } a )  =  a ) )
2010, 19syl5bi 217 . . . 4  |-  ( I  e.  V  ->  (
a  e.  { I }  ->  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } a )  =  a ) )
2120imp 429 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  a  e.  { I } )  ->  (
I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } a )  =  a )
22 oveq1 6303 . . . . . . 7  |-  ( a  =  I  ->  (
a { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I ) )
2322, 17eqeq12d 2479 . . . . . 6  |-  ( a  =  I  ->  (
( a { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } I )  =  a  <->  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I
)  =  I ) )
2415, 23syl5ibrcom 222 . . . . 5  |-  ( I  e.  V  ->  (
a  =  I  -> 
( a { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } I )  =  a ) )
2510, 24syl5bi 217 . . . 4  |-  ( I  e.  V  ->  (
a  e.  { I }  ->  ( a {
<. <. I ,  I >. ,  I >. } I
)  =  a ) )
2625imp 429 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  a  e.  { I } )  ->  (
a { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I )  =  a )
274, 5, 8, 9, 21, 26ismgmid2 16020 . 2  |-  ( I  e.  V  ->  I  =  ( 0g `  M ) )
2827eqcomd 2465 1  |-  ( I  e.  V  ->  ( 0g `  M )  =  I )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1395    e. wcel 1819   _Vcvv 3109   {csn 4032   {cpr 4034   <.cop 4038   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   ndxcnx 14640   Basecbs 14643   +g cplusg 14711   0gc0g 14856
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-fz 11698  df-struct 14645  df-ndx 14646  df-slot 14647  df-base 14648  df-plusg 14724  df-0g 14858
This theorem is referenced by:  grp1  16268
  Copyright terms: Public domain W3C validator