MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mnd1OLD Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem mnd1OLD 16626
Description: The (smallest) structure representing a trivial monoid consists of one element. (Contributed by AV, 28-Apr-2019.) Obsolete version of mnd1 16625 as of 11-Feb-2020. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
mnd1.m  |-  M  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  { I } >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  { <. <. I ,  I >. ,  I >. } >. }
Assertion
Ref Expression
mnd1OLD  |-  ( I  e.  V  ->  M  e.  Mnd )

Proof of Theorem mnd1OLD
Dummy variables  a 
b  c  e are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ov 6317 . . . . 5  |-  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I
)  =  ( {
<. <. I ,  I >. ,  I >. } `  <. I ,  I >. )
2 opex 4677 . . . . . 6  |-  <. I ,  I >.  e.  _V
3 fvsng 6121 . . . . . 6  |-  ( (
<. I ,  I >.  e. 
_V  /\  I  e.  V )  ->  ( { <. <. I ,  I >. ,  I >. } `  <. I ,  I >. )  =  I )
42, 3mpan 681 . . . . 5  |-  ( I  e.  V  ->  ( { <. <. I ,  I >. ,  I >. } `  <. I ,  I >. )  =  I )
51, 4syl5eq 2507 . . . 4  |-  ( I  e.  V  ->  (
I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I )  =  I )
6 snidg 4005 . . . 4  |-  ( I  e.  V  ->  I  e.  { I } )
75, 6eqeltrd 2539 . . 3  |-  ( I  e.  V  ->  (
I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I )  e.  {
I } )
85oveq1d 6329 . . . 4  |-  ( I  e.  V  ->  (
( I { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } I ) { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I
)  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I
) )
95oveq2d 6330 . . . 4  |-  ( I  e.  V  ->  (
I { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  ( I { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } I ) )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I
) )
108, 9eqtr4d 2498 . . 3  |-  ( I  e.  V  ->  (
( I { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } I ) { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I
)  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  (
I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I ) ) )
11 oveq1 6321 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  I  ->  (
a { <. <. I ,  I >. ,  I >. } b )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } b ) )
1211eleq1d 2523 . . . . . . 7  |-  ( a  =  I  ->  (
( a { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } b )  e.  { I }  <->  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } b )  e.  {
I } ) )
1311oveq1d 6329 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  I  ->  (
( a { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } b ) { <. <. I ,  I >. ,  I >. } c )  =  ( ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } b ) { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } c ) )
14 oveq1 6321 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  I  ->  (
a { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  ( b { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } c ) )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  (
b { <. <. I ,  I >. ,  I >. } c ) ) )
1513, 14eqeq12d 2476 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  I  ->  (
( ( a {
<. <. I ,  I >. ,  I >. } b ) { <. <. I ,  I >. ,  I >. } c )  =  ( a { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  ( b { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } c ) )  <->  ( ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } b ) { <. <. I ,  I >. ,  I >. } c )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  ( b { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } c ) ) ) )
1615ralbidv 2838 . . . . . . 7  |-  ( a  =  I  ->  ( A. c  e.  { I }  ( ( a { <. <. I ,  I >. ,  I >. } b ) { <. <. I ,  I >. ,  I >. } c )  =  ( a { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  ( b { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } c ) )  <->  A. c  e.  {
I }  ( ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } b ) { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } c )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  (
b { <. <. I ,  I >. ,  I >. } c ) ) ) )
1712, 16anbi12d 722 . . . . . 6  |-  ( a  =  I  ->  (
( ( a {
<. <. I ,  I >. ,  I >. } b )  e.  { I }  /\  A. c  e. 
{ I }  (
( a { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } b ) { <. <. I ,  I >. ,  I >. } c )  =  ( a { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  (
b { <. <. I ,  I >. ,  I >. } c ) ) )  <-> 
( ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } b )  e.  { I }  /\  A. c  e. 
{ I }  (
( I { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } b ) { <. <. I ,  I >. ,  I >. } c )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  (
b { <. <. I ,  I >. ,  I >. } c ) ) ) ) )
1817ralbidv 2838 . . . . 5  |-  ( a  =  I  ->  ( A. b  e.  { I }  ( ( a { <. <. I ,  I >. ,  I >. } b )  e.  { I }  /\  A. c  e. 
{ I }  (
( a { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } b ) { <. <. I ,  I >. ,  I >. } c )  =  ( a { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  (
b { <. <. I ,  I >. ,  I >. } c ) ) )  <->  A. b  e.  { I }  ( ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } b )  e.  { I }  /\  A. c  e. 
{ I }  (
( I { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } b ) { <. <. I ,  I >. ,  I >. } c )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  (
b { <. <. I ,  I >. ,  I >. } c ) ) ) ) )
1918ralsng 4017 . . . 4  |-  ( I  e.  V  ->  ( A. a  e.  { I } A. b  e.  {
I }  ( ( a { <. <. I ,  I >. ,  I >. } b )  e.  {
I }  /\  A. c  e.  { I }  ( ( a { <. <. I ,  I >. ,  I >. } b ) { <. <. I ,  I >. ,  I >. } c )  =  ( a { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  ( b { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } c ) ) )  <->  A. b  e.  { I }  (
( I { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } b )  e.  { I }  /\  A. c  e.  {
I }  ( ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } b ) { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } c )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  (
b { <. <. I ,  I >. ,  I >. } c ) ) ) ) )
20 oveq2 6322 . . . . . . 7  |-  ( b  =  I  ->  (
I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } b )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I ) )
2120eleq1d 2523 . . . . . 6  |-  ( b  =  I  ->  (
( I { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } b )  e.  { I }  <->  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I )  e.  {
I } ) )
2220oveq1d 6329 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  I  ->  (
( I { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } b ) { <. <. I ,  I >. ,  I >. } c )  =  ( ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I ) { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } c ) )
23 oveq1 6321 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  I  ->  (
b { <. <. I ,  I >. ,  I >. } c )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } c ) )
2423oveq2d 6330 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  I  ->  (
I { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  ( b { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } c ) )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  (
I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } c ) ) )
2522, 24eqeq12d 2476 . . . . . . 7  |-  ( b  =  I  ->  (
( ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } b ) { <. <. I ,  I >. ,  I >. } c )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  ( b { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } c ) )  <->  ( ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I
) { <. <. I ,  I >. ,  I >. } c )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  ( I { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } c ) ) ) )
2625ralbidv 2838 . . . . . 6  |-  ( b  =  I  ->  ( A. c  e.  { I }  ( ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } b ) { <. <. I ,  I >. ,  I >. } c )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  ( b { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } c ) )  <->  A. c  e.  {
I }  ( ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I ) { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } c )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  (
I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } c ) ) ) )
2721, 26anbi12d 722 . . . . 5  |-  ( b  =  I  ->  (
( ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } b )  e.  { I }  /\  A. c  e. 
{ I }  (
( I { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } b ) { <. <. I ,  I >. ,  I >. } c )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  (
b { <. <. I ,  I >. ,  I >. } c ) ) )  <-> 
( ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I
)  e.  { I }  /\  A. c  e. 
{ I }  (
( I { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } I ) { <. <. I ,  I >. ,  I >. } c )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  (
I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } c ) ) ) ) )
2827ralsng 4017 . . . 4  |-  ( I  e.  V  ->  ( A. b  e.  { I }  ( ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } b )  e.  { I }  /\  A. c  e. 
{ I }  (
( I { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } b ) { <. <. I ,  I >. ,  I >. } c )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  (
b { <. <. I ,  I >. ,  I >. } c ) ) )  <-> 
( ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I
)  e.  { I }  /\  A. c  e. 
{ I }  (
( I { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } I ) { <. <. I ,  I >. ,  I >. } c )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  (
I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } c ) ) ) ) )
29 oveq2 6322 . . . . . . 7  |-  ( c  =  I  ->  (
( I { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } I ) { <. <. I ,  I >. ,  I >. } c )  =  ( ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I ) { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } I ) )
30 oveq2 6322 . . . . . . . 8  |-  ( c  =  I  ->  (
I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } c )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I ) )
3130oveq2d 6330 . . . . . . 7  |-  ( c  =  I  ->  (
I { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  ( I { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } c ) )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  (
I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I ) ) )
3229, 31eqeq12d 2476 . . . . . 6  |-  ( c  =  I  ->  (
( ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I
) { <. <. I ,  I >. ,  I >. } c )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  ( I { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } c ) )  <->  ( ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I
) { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  ( I { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } I ) ) ) )
3332ralsng 4017 . . . . 5  |-  ( I  e.  V  ->  ( A. c  e.  { I }  ( ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I
) { <. <. I ,  I >. ,  I >. } c )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  ( I { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } c ) )  <->  ( ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I
) { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  ( I { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } I ) ) ) )
3433anbi2d 715 . . . 4  |-  ( I  e.  V  ->  (
( ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I
)  e.  { I }  /\  A. c  e. 
{ I }  (
( I { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } I ) { <. <. I ,  I >. ,  I >. } c )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  (
I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } c ) ) )  <-> 
( ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I
)  e.  { I }  /\  ( ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I
) { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  ( I { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } I ) ) ) ) )
3519, 28, 343bitrd 287 . . 3  |-  ( I  e.  V  ->  ( A. a  e.  { I } A. b  e.  {
I }  ( ( a { <. <. I ,  I >. ,  I >. } b )  e.  {
I }  /\  A. c  e.  { I }  ( ( a { <. <. I ,  I >. ,  I >. } b ) { <. <. I ,  I >. ,  I >. } c )  =  ( a { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  ( b { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } c ) ) )  <->  ( (
I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I )  e.  {
I }  /\  (
( I { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } I ) { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I
)  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  (
I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I ) ) ) ) )
367, 10, 35mpbir2and 938 . 2  |-  ( I  e.  V  ->  A. a  e.  { I } A. b  e.  { I }  ( ( a { <. <. I ,  I >. ,  I >. } b )  e.  { I }  /\  A. c  e. 
{ I }  (
( a { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } b ) { <. <. I ,  I >. ,  I >. } c )  =  ( a { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  (
b { <. <. I ,  I >. ,  I >. } c ) ) ) )
37 oveq2 6322 . . . . . . 7  |-  ( a  =  I  ->  (
I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } a )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I ) )
38 id 22 . . . . . . 7  |-  ( a  =  I  ->  a  =  I )
3937, 38eqeq12d 2476 . . . . . 6  |-  ( a  =  I  ->  (
( I { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } a )  =  a  <->  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I
)  =  I ) )
40 oveq1 6321 . . . . . . 7  |-  ( a  =  I  ->  (
a { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I ) )
4140, 38eqeq12d 2476 . . . . . 6  |-  ( a  =  I  ->  (
( a { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } I )  =  a  <->  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I
)  =  I ) )
4239, 41anbi12d 722 . . . . 5  |-  ( a  =  I  ->  (
( ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } a )  =  a  /\  ( a { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } I )  =  a )  <->  ( (
I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I )  =  I  /\  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I
)  =  I ) ) )
4342ralsng 4017 . . . 4  |-  ( I  e.  V  ->  ( A. a  e.  { I }  ( ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } a )  =  a  /\  ( a { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } I )  =  a )  <->  ( (
I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I )  =  I  /\  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I
)  =  I ) ) )
445, 5, 43mpbir2and 938 . . 3  |-  ( I  e.  V  ->  A. a  e.  { I }  (
( I { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } a )  =  a  /\  (
a { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I )  =  a ) )
45 oveq1 6321 . . . . . . 7  |-  ( e  =  I  ->  (
e { <. <. I ,  I >. ,  I >. } a )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } a ) )
4645eqeq1d 2463 . . . . . 6  |-  ( e  =  I  ->  (
( e { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } a )  =  a  <->  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } a )  =  a ) )
47 oveq2 6322 . . . . . . 7  |-  ( e  =  I  ->  (
a { <. <. I ,  I >. ,  I >. } e )  =  ( a { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I ) )
4847eqeq1d 2463 . . . . . 6  |-  ( e  =  I  ->  (
( a { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } e )  =  a  <->  ( a { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I
)  =  a ) )
4946, 48anbi12d 722 . . . . 5  |-  ( e  =  I  ->  (
( ( e {
<. <. I ,  I >. ,  I >. } a )  =  a  /\  ( a { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } e )  =  a )  <->  ( (
I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } a )  =  a  /\  ( a {
<. <. I ,  I >. ,  I >. } I
)  =  a ) ) )
5049ralbidv 2838 . . . 4  |-  ( e  =  I  ->  ( A. a  e.  { I }  ( ( e { <. <. I ,  I >. ,  I >. } a )  =  a  /\  ( a { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } e )  =  a )  <->  A. a  e.  { I }  (
( I { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } a )  =  a  /\  (
a { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I )  =  a ) ) )
5150rexsng 4018 . . 3  |-  ( I  e.  V  ->  ( E. e  e.  { I } A. a  e.  {
I }  ( ( e { <. <. I ,  I >. ,  I >. } a )  =  a  /\  ( a {
<. <. I ,  I >. ,  I >. } e )  =  a )  <->  A. a  e.  { I }  ( ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } a )  =  a  /\  ( a { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } I )  =  a ) ) )
5244, 51mpbird 240 . 2  |-  ( I  e.  V  ->  E. e  e.  { I } A. a  e.  { I }  ( ( e { <. <. I ,  I >. ,  I >. } a )  =  a  /\  ( a { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } e )  =  a ) )
53 snex 4654 . . . 4  |-  { I }  e.  _V
54 mnd1.m . . . . 5  |-  M  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  { I } >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  { <. <. I ,  I >. ,  I >. } >. }
5554grpbase 15285 . . . 4  |-  ( { I }  e.  _V  ->  { I }  =  ( Base `  M )
)
5653, 55ax-mp 5 . . 3  |-  { I }  =  ( Base `  M )
57 snex 4654 . . . 4  |-  { <. <.
I ,  I >. ,  I >. }  e.  _V
5854grpplusg 15286 . . . 4  |-  ( {
<. <. I ,  I >. ,  I >. }  e.  _V  ->  { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  =  ( +g  `  M
) )
5957, 58ax-mp 5 . . 3  |-  { <. <.
I ,  I >. ,  I >. }  =  ( +g  `  M )
6056, 59ismnd 16587 . 2  |-  ( M  e.  Mnd  <->  ( A. a  e.  { I } A. b  e.  {
I }  ( ( a { <. <. I ,  I >. ,  I >. } b )  e.  {
I }  /\  A. c  e.  { I }  ( ( a { <. <. I ,  I >. ,  I >. } b ) { <. <. I ,  I >. ,  I >. } c )  =  ( a { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  ( b { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } c ) ) )  /\  E. e  e.  { I } A. a  e.  {
I }  ( ( e { <. <. I ,  I >. ,  I >. } a )  =  a  /\  ( a {
<. <. I ,  I >. ,  I >. } e )  =  a ) ) )
6136, 52, 60sylanbrc 675 1  |-  ( I  e.  V  ->  M  e.  Mnd )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 375    = wceq 1454    e. wcel 1897   A.wral 2748   E.wrex 2749   _Vcvv 3056   {csn 3979   {cpr 3981   <.cop 3985   ` cfv 5600  (class class class)co 6314   ndxcnx 15166   Basecbs 15169   +g cplusg 15238   Mndcmnd 16583
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6609  ax-cnex 9620  ax-resscn 9621  ax-1cn 9622  ax-icn 9623  ax-addcl 9624  ax-addrcl 9625  ax-mulcl 9626  ax-mulrcl 9627  ax-mulcom 9628  ax-addass 9629  ax-mulass 9630  ax-distr 9631  ax-i2m1 9632  ax-1ne0 9633  ax-1rid 9634  ax-rnegex 9635  ax-rrecex 9636  ax-cnre 9637  ax-pre-lttri 9638  ax-pre-lttrn 9639  ax-pre-ltadd 9640  ax-pre-mulgt0 9641
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1457  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-nel 2635  df-ral 2753  df-rex 2754  df-reu 2755  df-rab 2757  df-v 3058  df-sbc 3279  df-csb 3375  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-pss 3431  df-nul 3743  df-if 3893  df-pw 3964  df-sn 3980  df-pr 3982  df-tp 3984  df-op 3986  df-uni 4212  df-int 4248  df-iun 4293  df-br 4416  df-opab 4475  df-mpt 4476  df-tr 4511  df-eprel 4763  df-id 4767  df-po 4773  df-so 4774  df-fr 4811  df-we 4813  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-pred 5398  df-ord 5444  df-on 5445  df-lim 5446  df-suc 5447  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-fv 5608  df-riota 6276  df-ov 6317  df-oprab 6318  df-mpt2 6319  df-om 6719  df-1st 6819  df-2nd 6820  df-wrecs 7053  df-recs 7115  df-rdg 7153  df-1o 7207  df-oadd 7211  df-er 7388  df-en 7595  df-dom 7596  df-sdom 7597  df-fin 7598  df-pnf 9702  df-mnf 9703  df-xr 9704  df-ltxr 9705  df-le 9706  df-sub 9887  df-neg 9888  df-nn 10637  df-2 10695  df-n0 10898  df-z 10966  df-uz 11188  df-fz 11813  df-struct 15171  df-ndx 15172  df-slot 15173  df-base 15174  df-plusg 15251  df-mgm 16536  df-sgrp 16575  df-mnd 16585
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator