Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mnd1 Structured version   Unicode version

Theorem mnd1 32161
Description: The (smallest) structure representing a trivial monoid. (Contributed by AV, 28-Apr-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
mnd1.m  |-  M  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  { I } >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  { <. <. I ,  I >. ,  I >. } >. }
Assertion
Ref Expression
mnd1  |-  ( I  e.  V  ->  M  e.  Mnd )

Proof of Theorem mnd1
Dummy variables  a 
b  c  e are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ov 6285 . . . . 5  |-  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I
)  =  ( {
<. <. I ,  I >. ,  I >. } `  <. I ,  I >. )
2 opex 4711 . . . . . 6  |-  <. I ,  I >.  e.  _V
3 fvsng 6093 . . . . . 6  |-  ( (
<. I ,  I >.  e. 
_V  /\  I  e.  V )  ->  ( { <. <. I ,  I >. ,  I >. } `  <. I ,  I >. )  =  I )
42, 3mpan 670 . . . . 5  |-  ( I  e.  V  ->  ( { <. <. I ,  I >. ,  I >. } `  <. I ,  I >. )  =  I )
51, 4syl5eq 2520 . . . 4  |-  ( I  e.  V  ->  (
I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I )  =  I )
6 snidg 4053 . . . 4  |-  ( I  e.  V  ->  I  e.  { I } )
75, 6eqeltrd 2555 . . 3  |-  ( I  e.  V  ->  (
I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I )  e.  {
I } )
85oveq1d 6297 . . . 4  |-  ( I  e.  V  ->  (
( I { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } I ) { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I
)  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I
) )
95oveq2d 6298 . . . 4  |-  ( I  e.  V  ->  (
I { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  ( I { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } I ) )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I
) )
108, 9eqtr4d 2511 . . 3  |-  ( I  e.  V  ->  (
( I { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } I ) { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I
)  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  (
I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I ) ) )
11 oveq1 6289 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  I  ->  (
a { <. <. I ,  I >. ,  I >. } b )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } b ) )
1211eleq1d 2536 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  I  ->  (
( a { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } b )  e.  { I }  <->  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } b )  e.  {
I } ) )
1311oveq1d 6297 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  I  ->  (
( a { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } b ) { <. <. I ,  I >. ,  I >. } c )  =  ( ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } b ) { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } c ) )
14 oveq1 6289 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  I  ->  (
a { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  ( b { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } c ) )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  (
b { <. <. I ,  I >. ,  I >. } c ) ) )
1513, 14eqeq12d 2489 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  I  ->  (
( ( a {
<. <. I ,  I >. ,  I >. } b ) { <. <. I ,  I >. ,  I >. } c )  =  ( a { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  ( b { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } c ) )  <->  ( ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } b ) { <. <. I ,  I >. ,  I >. } c )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  ( b { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } c ) ) ) )
1612, 15anbi12d 710 . . . . . . 7  |-  ( a  =  I  ->  (
( ( a {
<. <. I ,  I >. ,  I >. } b )  e.  { I }  /\  ( ( a { <. <. I ,  I >. ,  I >. } b ) { <. <. I ,  I >. ,  I >. } c )  =  ( a { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  ( b { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } c ) ) )  <->  ( (
I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } b )  e.  {
I }  /\  (
( I { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } b ) { <. <. I ,  I >. ,  I >. } c )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  (
b { <. <. I ,  I >. ,  I >. } c ) ) ) ) )
1716ralbidv 2903 . . . . . 6  |-  ( a  =  I  ->  ( A. c  e.  { I }  ( ( a { <. <. I ,  I >. ,  I >. } b )  e.  { I }  /\  ( ( a { <. <. I ,  I >. ,  I >. } b ) { <. <. I ,  I >. ,  I >. } c )  =  ( a { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  ( b { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } c ) ) )  <->  A. c  e.  { I }  (
( I { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } b )  e.  { I }  /\  ( ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } b ) { <. <. I ,  I >. ,  I >. } c )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  ( b { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } c ) ) ) ) )
1817ralbidv 2903 . . . . 5  |-  ( a  =  I  ->  ( A. b  e.  { I } A. c  e.  {
I }  ( ( a { <. <. I ,  I >. ,  I >. } b )  e.  {
I }  /\  (
( a { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } b ) { <. <. I ,  I >. ,  I >. } c )  =  ( a { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  (
b { <. <. I ,  I >. ,  I >. } c ) ) )  <->  A. b  e.  { I } A. c  e.  {
I }  ( ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } b )  e.  {
I }  /\  (
( I { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } b ) { <. <. I ,  I >. ,  I >. } c )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  (
b { <. <. I ,  I >. ,  I >. } c ) ) ) ) )
1918ralsng 4062 . . . 4  |-  ( I  e.  V  ->  ( A. a  e.  { I } A. b  e.  {
I } A. c  e.  { I }  (
( a { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } b )  e.  { I }  /\  ( ( a {
<. <. I ,  I >. ,  I >. } b ) { <. <. I ,  I >. ,  I >. } c )  =  ( a { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  ( b { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } c ) ) )  <->  A. b  e.  { I } A. c  e.  { I }  ( ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } b )  e.  { I }  /\  ( ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } b ) { <. <. I ,  I >. ,  I >. } c )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  ( b { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } c ) ) ) ) )
20 oveq2 6290 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  I  ->  (
I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } b )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I ) )
2120eleq1d 2536 . . . . . . 7  |-  ( b  =  I  ->  (
( I { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } b )  e.  { I }  <->  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I )  e.  {
I } ) )
2220oveq1d 6297 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  I  ->  (
( I { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } b ) { <. <. I ,  I >. ,  I >. } c )  =  ( ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I ) { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } c ) )
23 oveq1 6289 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  I  ->  (
b { <. <. I ,  I >. ,  I >. } c )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } c ) )
2423oveq2d 6298 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  I  ->  (
I { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  ( b { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } c ) )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  (
I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } c ) ) )
2522, 24eqeq12d 2489 . . . . . . 7  |-  ( b  =  I  ->  (
( ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } b ) { <. <. I ,  I >. ,  I >. } c )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  ( b { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } c ) )  <->  ( ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I
) { <. <. I ,  I >. ,  I >. } c )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  ( I { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } c ) ) ) )
2621, 25anbi12d 710 . . . . . 6  |-  ( b  =  I  ->  (
( ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } b )  e.  { I }  /\  ( ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } b ) { <. <. I ,  I >. ,  I >. } c )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  ( b { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } c ) ) )  <->  ( (
I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I )  e.  {
I }  /\  (
( I { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } I ) { <. <. I ,  I >. ,  I >. } c )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  (
I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } c ) ) ) ) )
2726ralbidv 2903 . . . . 5  |-  ( b  =  I  ->  ( A. c  e.  { I }  ( ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } b )  e.  { I }  /\  ( ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } b ) { <. <. I ,  I >. ,  I >. } c )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  ( b { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } c ) ) )  <->  A. c  e.  { I }  (
( I { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } I )  e.  { I }  /\  ( ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I
) { <. <. I ,  I >. ,  I >. } c )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  ( I { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } c ) ) ) ) )
2827ralsng 4062 . . . 4  |-  ( I  e.  V  ->  ( A. b  e.  { I } A. c  e.  {
I }  ( ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } b )  e.  {
I }  /\  (
( I { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } b ) { <. <. I ,  I >. ,  I >. } c )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  (
b { <. <. I ,  I >. ,  I >. } c ) ) )  <->  A. c  e.  { I }  ( ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I
)  e.  { I }  /\  ( ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I
) { <. <. I ,  I >. ,  I >. } c )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  ( I { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } c ) ) ) ) )
29 oveq2 6290 . . . . . . 7  |-  ( c  =  I  ->  (
( I { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } I ) { <. <. I ,  I >. ,  I >. } c )  =  ( ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I ) { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } I ) )
30 oveq2 6290 . . . . . . . 8  |-  ( c  =  I  ->  (
I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } c )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I ) )
3130oveq2d 6298 . . . . . . 7  |-  ( c  =  I  ->  (
I { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  ( I { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } c ) )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  (
I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I ) ) )
3229, 31eqeq12d 2489 . . . . . 6  |-  ( c  =  I  ->  (
( ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I
) { <. <. I ,  I >. ,  I >. } c )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  ( I { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } c ) )  <->  ( ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I
) { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  ( I { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } I ) ) ) )
3332anbi2d 703 . . . . 5  |-  ( c  =  I  ->  (
( ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I
)  e.  { I }  /\  ( ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I
) { <. <. I ,  I >. ,  I >. } c )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  ( I { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } c ) ) )  <->  ( (
I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I )  e.  {
I }  /\  (
( I { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } I ) { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I
)  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  (
I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I ) ) ) ) )
3433ralsng 4062 . . . 4  |-  ( I  e.  V  ->  ( A. c  e.  { I }  ( ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I
)  e.  { I }  /\  ( ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I
) { <. <. I ,  I >. ,  I >. } c )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  ( I { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } c ) ) )  <->  ( (
I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I )  e.  {
I }  /\  (
( I { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } I ) { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I
)  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  (
I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I ) ) ) ) )
3519, 28, 343bitrd 279 . . 3  |-  ( I  e.  V  ->  ( A. a  e.  { I } A. b  e.  {
I } A. c  e.  { I }  (
( a { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } b )  e.  { I }  /\  ( ( a {
<. <. I ,  I >. ,  I >. } b ) { <. <. I ,  I >. ,  I >. } c )  =  ( a { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  ( b { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } c ) ) )  <->  ( (
I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I )  e.  {
I }  /\  (
( I { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } I ) { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I
)  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  (
I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I ) ) ) ) )
367, 10, 35mpbir2and 920 . 2  |-  ( I  e.  V  ->  A. a  e.  { I } A. b  e.  { I } A. c  e.  {
I }  ( ( a { <. <. I ,  I >. ,  I >. } b )  e.  {
I }  /\  (
( a { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } b ) { <. <. I ,  I >. ,  I >. } c )  =  ( a { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  (
b { <. <. I ,  I >. ,  I >. } c ) ) ) )
37 oveq2 6290 . . . . . . 7  |-  ( a  =  I  ->  (
I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } a )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I ) )
38 id 22 . . . . . . 7  |-  ( a  =  I  ->  a  =  I )
3937, 38eqeq12d 2489 . . . . . 6  |-  ( a  =  I  ->  (
( I { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } a )  =  a  <->  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I
)  =  I ) )
40 oveq1 6289 . . . . . . 7  |-  ( a  =  I  ->  (
a { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I ) )
4140, 38eqeq12d 2489 . . . . . 6  |-  ( a  =  I  ->  (
( a { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } I )  =  a  <->  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I
)  =  I ) )
4239, 41anbi12d 710 . . . . 5  |-  ( a  =  I  ->  (
( ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } a )  =  a  /\  ( a { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } I )  =  a )  <->  ( (
I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I )  =  I  /\  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I
)  =  I ) ) )
4342ralsng 4062 . . . 4  |-  ( I  e.  V  ->  ( A. a  e.  { I }  ( ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } a )  =  a  /\  ( a { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } I )  =  a )  <->  ( (
I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I )  =  I  /\  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I
)  =  I ) ) )
445, 5, 43mpbir2and 920 . . 3  |-  ( I  e.  V  ->  A. a  e.  { I }  (
( I { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } a )  =  a  /\  (
a { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I )  =  a ) )
45 oveq1 6289 . . . . . . 7  |-  ( e  =  I  ->  (
e { <. <. I ,  I >. ,  I >. } a )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } a ) )
4645eqeq1d 2469 . . . . . 6  |-  ( e  =  I  ->  (
( e { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } a )  =  a  <->  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } a )  =  a ) )
47 oveq2 6290 . . . . . . 7  |-  ( e  =  I  ->  (
a { <. <. I ,  I >. ,  I >. } e )  =  ( a { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I ) )
4847eqeq1d 2469 . . . . . 6  |-  ( e  =  I  ->  (
( a { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } e )  =  a  <->  ( a { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I
)  =  a ) )
4946, 48anbi12d 710 . . . . 5  |-  ( e  =  I  ->  (
( ( e {
<. <. I ,  I >. ,  I >. } a )  =  a  /\  ( a { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } e )  =  a )  <->  ( (
I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } a )  =  a  /\  ( a {
<. <. I ,  I >. ,  I >. } I
)  =  a ) ) )
5049ralbidv 2903 . . . 4  |-  ( e  =  I  ->  ( A. a  e.  { I }  ( ( e { <. <. I ,  I >. ,  I >. } a )  =  a  /\  ( a { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } e )  =  a )  <->  A. a  e.  { I }  (
( I { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } a )  =  a  /\  (
a { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I )  =  a ) ) )
5150rexsng 4063 . . 3  |-  ( I  e.  V  ->  ( E. e  e.  { I } A. a  e.  {
I }  ( ( e { <. <. I ,  I >. ,  I >. } a )  =  a  /\  ( a {
<. <. I ,  I >. ,  I >. } e )  =  a )  <->  A. a  e.  { I }  ( ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } a )  =  a  /\  ( a { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } I )  =  a ) ) )
5244, 51mpbird 232 . 2  |-  ( I  e.  V  ->  E. e  e.  { I } A. a  e.  { I }  ( ( e { <. <. I ,  I >. ,  I >. } a )  =  a  /\  ( a { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } e )  =  a ) )
53 snex 4688 . . . 4  |-  { I }  e.  _V
54 mnd1.m . . . . 5  |-  M  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  { I } >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  { <. <. I ,  I >. ,  I >. } >. }
5554grpbase 14591 . . . 4  |-  ( { I }  e.  _V  ->  { I }  =  ( Base `  M )
)
5653, 55ax-mp 5 . . 3  |-  { I }  =  ( Base `  M )
57 snex 4688 . . . 4  |-  { <. <.
I ,  I >. ,  I >. }  e.  _V
5854grpplusg 14592 . . . 4  |-  ( {
<. <. I ,  I >. ,  I >. }  e.  _V  ->  { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  =  ( +g  `  M
) )
5957, 58ax-mp 5 . . 3  |-  { <. <.
I ,  I >. ,  I >. }  =  ( +g  `  M )
6056, 59ismnd 15730 . 2  |-  ( M  e.  Mnd  <->  ( A. a  e.  { I } A. b  e.  {
I } A. c  e.  { I }  (
( a { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } b )  e.  { I }  /\  ( ( a {
<. <. I ,  I >. ,  I >. } b ) { <. <. I ,  I >. ,  I >. } c )  =  ( a { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  ( b { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } c ) ) )  /\  E. e  e.  { I } A. a  e.  {
I }  ( ( e { <. <. I ,  I >. ,  I >. } a )  =  a  /\  ( a {
<. <. I ,  I >. ,  I >. } e )  =  a ) ) )
6136, 52, 60sylanbrc 664 1  |-  ( I  e.  V  ->  M  e.  Mnd )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   E.wrex 2815   _Vcvv 3113   {csn 4027   {cpr 4029   <.cop 4033   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   ndxcnx 14483   Basecbs 14486   +g cplusg 14551   Mndcmnd 15722
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-2 10590  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-fz 11669  df-struct 14488  df-ndx 14489  df-slot 14490  df-base 14491  df-plusg 14564  df-mnd 15728
This theorem is referenced by:  grp1  32162  rng1  32165
  Copyright terms: Public domain W3C validator