Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mncn0 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem mncn0 35998
Description: A monic polynomial is not zero. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Dec-2014.)
Assertion
Ref Expression
mncn0  |-  ( P  e.  (  Monic  `  S
)  ->  P  =/=  0p )

Proof of Theorem mncn0
StepHypRef Expression
1 mnccoe 35997 . 2  |-  ( P  e.  (  Monic  `  S
)  ->  ( (coeff `  P ) `  (deg `  P ) )  =  1 )
2 coe0 23210 . . . . . . 7  |-  (coeff ` 
0p )  =  ( NN0  X.  {
0 } )
32fveq1i 5866 . . . . . 6  |-  ( (coeff `  0p ) `
 (deg `  0p ) )  =  ( ( NN0  X.  { 0 } ) `
 (deg `  0p ) )
4 dgr0 23216 . . . . . . . 8  |-  (deg ` 
0p )  =  0
5 0nn0 10884 . . . . . . . 8  |-  0  e.  NN0
64, 5eqeltri 2525 . . . . . . 7  |-  (deg ` 
0p )  e. 
NN0
7 c0ex 9637 . . . . . . . 8  |-  0  e.  _V
87fvconst2 6120 . . . . . . 7  |-  ( (deg
`  0p )  e.  NN0  ->  ( ( NN0  X.  { 0 } ) `  (deg `  0p ) )  =  0 )
96, 8ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( ( NN0  X.  { 0 } ) `  (deg `  0p ) )  =  0
103, 9eqtri 2473 . . . . 5  |-  ( (coeff `  0p ) `
 (deg `  0p ) )  =  0
11 0ne1 10677 . . . . 5  |-  0  =/=  1
1210, 11eqnetri 2694 . . . 4  |-  ( (coeff `  0p ) `
 (deg `  0p ) )  =/=  1
13 fveq2 5865 . . . . . 6  |-  ( P  =  0p  -> 
(coeff `  P )  =  (coeff `  0p
) )
14 fveq2 5865 . . . . . 6  |-  ( P  =  0p  -> 
(deg `  P )  =  (deg `  0p
) )
1513, 14fveq12d 5871 . . . . 5  |-  ( P  =  0p  -> 
( (coeff `  P
) `  (deg `  P
) )  =  ( (coeff `  0p
) `  (deg `  0p ) ) )
1615neeq1d 2683 . . . 4  |-  ( P  =  0p  -> 
( ( (coeff `  P ) `  (deg `  P ) )  =/=  1  <->  ( (coeff ` 
0p ) `  (deg `  0p ) )  =/=  1 ) )
1712, 16mpbiri 237 . . 3  |-  ( P  =  0p  -> 
( (coeff `  P
) `  (deg `  P
) )  =/=  1
)
1817necon2i 2658 . 2  |-  ( ( (coeff `  P ) `  (deg `  P )
)  =  1  ->  P  =/=  0p )
191, 18syl 17 1  |-  ( P  e.  (  Monic  `  S
)  ->  P  =/=  0p )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1444    e. wcel 1887    =/= wne 2622   {csn 3968    X. cxp 4832   ` cfv 5582   0cc0 9539   1c1 9540   NN0cn0 10869   0pc0p 22627  coeffccoe 23140  degcdgr 23141    Monic cmnc 35990
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-addf 9618
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-pm 7475  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-sup 7956  df-inf 7957  df-oi 8025  df-card 8373  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-fl 12028  df-seq 12214  df-exp 12273  df-hash 12516  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-clim 13552  df-rlim 13553  df-sum 13753  df-0p 22628  df-ply 23142  df-coe 23144  df-dgr 23145  df-mnc 35992
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator