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Type | Label | Description |
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Statement | ||
Theorem | mapdh8j 35401* | Part of Part (8) in [Baer] p. 48. (Contributed by NM, 13-May-2015.) |
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Theorem | mapdh8 35402* |
Part (8) in [Baer] p. 48. Given a reference
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Theorem | mapdh9a 35403* | Lemma for part (9) in [Baer] p. 48. TODO: why is this 50% larger than mapdh9aOLDN 35404? (Contributed by NM, 14-May-2015.) |
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Theorem | mapdh9aOLDN 35404* | Lemma for part (9) in [Baer] p. 48. (Contributed by NM, 14-May-2015.) (New usage is discouraged.) |
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Syntax | chdma1 35405 | Extend class notation with preliminary map from vectors to functionals in the closed kernel dual space. |
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Syntax | chdma 35406 | Extend class notation with map from vectors to functionals in the closed kernel dual space. |
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Definition | df-hdmap1 35407* | Define preliminary map from vectors to functionals in the closed kernel dual space. See hdmap1fval 35410 description for more details. (Contributed by NM, 14-May-2015.) |
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Definition | df-hdmap 35408* | Define map from vectors to functionals in the closed kernel dual space. See hdmapfval 35443 description for more details. (Contributed by NM, 15-May-2015.) |
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Theorem | hdmap1ffval 35409* | Preliminary map from vectors to functionals in the closed kernel dual space. (Contributed by NM, 14-May-2015.) |
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Theorem | hdmap1fval 35410* |
Preliminary map from vectors to functionals in the closed kernel dual
space. TODO: change span ![]() ![]() |
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Theorem | hdmap1vallem 35411* | Value of preliminary map from vectors to functionals in the closed kernel dual space. (Contributed by NM, 15-May-2015.) |
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Theorem | hdmap1val 35412* |
Value of preliminary map from vectors to functionals in the closed
kernel dual space. (Restatement of mapdhval 35337.) TODO: change
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Theorem | hdmap1val0 35413 | Value of preliminary map from vectors to functionals at zero. (Restated mapdhval0 35338.) (Contributed by NM, 17-May-2015.) |
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Theorem | hdmap1val2 35414* |
Value of preliminary map from vectors to functionals in the closed
kernel dual space, for nonzero ![]() |
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Theorem | hdmap1eq 35415 | The defining equation for h(x,x',y)=y' in part (2) in [Baer] p. 45 line 24. (Contributed by NM, 16-May-2015.) |
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Theorem | hdmap1cbv 35416* |
Frequently used lemma to change bound variables in ![]() |
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Theorem | hdmap1valc 35417* |
Connect the value of the preliminary map from vectors to functionals
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Theorem | hdmap1cl 35418 | Convert closure theorem mapdhcl 35340 to use HDMap1 function. (Contributed by NM, 15-May-2015.) |
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Theorem | hdmap1eq2 35419 | Convert mapdheq2 35342 to use HDMap1 function. (Contributed by NM, 16-May-2015.) |
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Theorem | hdmap1eq4N 35420 | Convert mapdheq4 35345 to use HDMap1 function. (Contributed by NM, 17-May-2015.) (New usage is discouraged.) |
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Theorem | hdmap1l6lem1 35421 | Lemma for hdmap1l6 35435. Part (6) in [Baer] p. 47, lines 16-18. (Contributed by NM, 13-Apr-2015.) |
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Theorem | hdmap1l6lem2 35422 | Lemma for hdmap1l6 35435. Part (6) in [Baer] p. 47, lines 20-22. (Contributed by NM, 13-Apr-2015.) |
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Theorem | hdmap1l6a 35423 | Lemma for hdmap1l6 35435. Part (6) in [Baer] p. 47, case 1. (Contributed by NM, 23-Apr-2015.) |
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Theorem | hdmap1l6b0N 35424 | Lemmma for hdmap1l6 35435. (Contributed by NM, 23-Apr-2015.) (New usage is discouraged.) |
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Theorem | hdmap1l6b 35425 | Lemmma for hdmap1l6 35435. (Contributed by NM, 24-Apr-2015.) |
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Theorem | hdmap1l6c 35426 | Lemmma for hdmap1l6 35435. (Contributed by NM, 24-Apr-2015.) |
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Theorem | hdmap1l6d 35427 | Lemmma for hdmap1l6 35435. (Contributed by NM, 1-May-2015.) |
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Theorem | hdmap1l6e 35428 | Lemmma for hdmap1l6 35435. Part (6) in [Baer] p. 47 line 38. (Contributed by NM, 1-May-2015.) |
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Theorem | hdmap1l6f 35429 | Lemmma for hdmap1l6 35435. Part (6) in [Baer] p. 47 line 38. (Contributed by NM, 1-May-2015.) |
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Theorem | hdmap1l6g 35430 | Lemmma for hdmap1l6 35435. Part (6) of [Baer] p. 47 line 39. (Contributed by NM, 1-May-2015.) |
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Theorem | hdmap1l6h 35431 | Lemmma for hdmap1l6 35435. Part (6) of [Baer] p. 48 line 2. (Contributed by NM, 1-May-2015.) |
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Theorem | hdmap1l6i 35432 |
Lemmma for hdmap1l6 35435. Eliminate auxiliary vector ![]() |
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Theorem | hdmap1l6j 35433 |
Lemmma for hdmap1l6 35435. Eliminate ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
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Theorem | hdmap1l6k 35434 | Lemmma for hdmap1l6 35435. Eliminate nonzero vector requirement. (Contributed by NM, 1-May-2015.) |
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Theorem | hdmap1l6 35435 |
Part (6) of [Baer] p. 47 line 6. Note that we
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Theorem | hdmap1p6N 35436 |
(Convert mapdh6N 35360 to use HDMap1 function.) Part (6) of [Baer]
p. 47 line 6. Note that we use ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
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Theorem | hdmap1eulem 35437* | Lemma for hdmap1eu 35439. TODO: combine with hdmap1eu 35439 or at least share some hypotheses. (Contributed by NM, 15-May-2015.) |
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Theorem | hdmap1eulemOLDN 35438* | Lemma for hdmap1euOLDN 35440. TODO: combine with hdmap1euOLDN 35440 or at least share some hypotheses. (Contributed by NM, 15-May-2015.) (New usage is discouraged.) |
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Theorem | hdmap1eu 35439* | Convert mapdh9a 35403 to use the HDMap1 notation. (Contributed by NM, 15-May-2015.) |
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Theorem | hdmap1euOLDN 35440* | Convert mapdh9aOLDN 35404 to use the HDMap1 notation. (Contributed by NM, 15-May-2015.) (New usage is discouraged.) |
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Theorem | hdmap1neglem1N 35441 | Lemma for hdmapneg 35462. TODO: Not used; delete. (Contributed by NM, 23-May-2015.) (New usage is discouraged.) |
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Theorem | hdmapffval 35442* | Map from vectors to functionals in the closed kernel dual space. (Contributed by NM, 15-May-2015.) |
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Theorem | hdmapfval 35443* | Map from vectors to functionals in the closed kernel dual space. (Contributed by NM, 15-May-2015.) |
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Theorem | hdmapval 35444* |
Value of map from vectors to functionals in the closed kernel dual
space. This is the function sigma on line 27 above part 9 in [Baer]
p. 48. We select a convenient fixed reference vector ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
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Theorem | hdmapfnN 35445 | Functionality of map from vectors to functionals with closed kernels. (Contributed by NM, 30-May-2015.) (New usage is discouraged.) |
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Theorem | hdmapcl 35446 | Closure of map from vectors to functionals with closed kernels. (Contributed by NM, 15-May-2015.) |
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Theorem | hdmapval2lem 35447* | Lemma for hdmapval2 35448. (Contributed by NM, 15-May-2015.) |
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Theorem | hdmapval2 35448 |
Value of map from vectors to functionals with a specific auxiliary
vector. TODO: Would shorter proofs result if the .ne hypothesis were
changed to two ![]() |
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Theorem | hdmapval0 35449 | Value of map from vectors to functionals at zero. Note: we use dvh3dim 35059 for convenience, even though 3 dimensions aren't necessary at this point. TODO: I think either this or hdmapeq0 35460 could be derived from the other to shorten proof. (Contributed by NM, 17-May-2015.) |
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Theorem | hdmapeveclem 35450 | Lemma for hdmapevec 35451. TODO: combine with hdmapevec 35451 if it shortens overall. (Contributed by NM, 16-May-2015.) |
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Theorem | hdmapevec 35451 |
Value of map from vectors to functionals at the reference vector
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Theorem | hdmapevec2 35452 |
The inner product of the reference vector ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
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Theorem | hdmapval3lemN 35453 |
Value of map from vectors to functionals at arguments not colinear
with the reference vector ![]() |
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Theorem | hdmapval3N 35454 |
Value of map from vectors to functionals at arguments not colinear with
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Theorem | hdmap10lem 35455 | Lemma for hdmap10 35456. (Contributed by NM, 17-May-2015.) |
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Theorem | hdmap10 35456 | Part 10 in [Baer] p. 48 line 33, (Ft)* = G(tS) in their notation (S = sigma). (Contributed by NM, 17-May-2015.) |
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Theorem | hdmap11lem1 35457 | Lemma for hdmapadd 35459. (Contributed by NM, 26-May-2015.) |
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Theorem | hdmap11lem2 35458 | Lemma for hdmapadd 35459. (Contributed by NM, 26-May-2015.) |
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Theorem | hdmapadd 35459 | Part 11 in [Baer] p. 48 line 35, (a+b)S = aS+bS in their notation (S = sigma). (Contributed by NM, 22-May-2015.) |
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Theorem | hdmapeq0 35460 | Part of proof of part 12 in [Baer] p. 49 line 3. (Contributed by NM, 22-May-2015.) |
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Theorem | hdmapnzcl 35461 | Nonzero vector closure of map from vectors to functionals with closed kernels. (Contributed by NM, 27-May-2015.) |
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Theorem | hdmapneg 35462 | Part of proof of part 12 in [Baer] p. 49 line 4. The sigma map of a negative is the negative of the sigma map. (Contributed by NM, 24-May-2015.) |
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Theorem | hdmapsub 35463 | Part of proof of part 12 in [Baer] p. 49 line 5, (a-b)S = aS-bS in their notation (S = sigma). (Contributed by NM, 26-May-2015.) |
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Theorem | hdmap11 35464 | Part of proof of part 12 in [Baer] p. 49 line 4, aS=bS iff a=b in their notation (S = sigma). The sigma map is one-to-one. (Contributed by NM, 26-May-2015.) |
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Theorem | hdmaprnlem1N 35465 |
Part of proof of part 12 in [Baer] p. 49 line 10,
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Theorem | hdmaprnlem3N 35466 |
Part of proof of part 12 in [Baer] p. 49 line 15,
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Theorem | hdmaprnlem3uN 35467 | Part of proof of part 12 in [Baer] p. 49. (Contributed by NM, 29-May-2015.) (New usage is discouraged.) |
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