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Type | Label | Description |
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Statement | ||
Theorem | dalemrotps 33301 |
Lemma for dath 33346. Rotate triangles ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
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Theorem | dalemcjden 33302 | Lemma for dath 33346. Show that the dummy atoms form a line. (Contributed by NM, 15-Aug-2012.) |
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Theorem | dalem20 33303* |
Lemma for dath 33346. Show that a second dummy atom ![]() ![]() ![]() |
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Theorem | dalem21 33304 |
Lemma for dath 33346. Show that lines ![]() ![]() ![]() ![]() |
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Theorem | dalem22 33305 |
Lemma for dath 33346. Show that lines ![]() ![]() ![]() ![]() |
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Theorem | dalem23 33306 |
Lemma for dath 33346. Show that auxiliary atom ![]() |
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Theorem | dalem24 33307 |
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Theorem | dalem27 33309 |
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Theorem | dalem28 33310 | Lemma for dath 33346. Lemma dalem27 33309 expressed differently. (Contributed by NM, 4-Aug-2012.) |
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Theorem | dath 33346 |
Desargues' Theorem of projective geometry (proved for a Hilbert
lattice). Assume each triple of atoms (points) ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]()
Our proof roughly follows Theorem 2.7.1, p. 78 in Beutelspacher and
Rosenbaum, Projective Geometry: From Foundations to
Applications,
Cambridge University Press (1988). Unlike them, we don't assume For a visual demonstration, see the "Desargue's Theorem" applet at http://www.dynamicgeometry.com/JavaSketchpad/Gallery.html. The points I, J, and K there define the axis of perspectivity. See theorem dalaw 33496 for Desargues Law, which eliminates all of the preconditions on the atoms except for central perspectivity. This is Metamath 100 proof #87. (Contributed by NM, 20-Aug-2012.) |
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Theorem | dath2 33347 | Version of Desargues' Theorem dath 33346 with a different variable ordering. (Contributed by NM, 7-Oct-2012.) |
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Theorem | lineset 33348* | The set of lines in a Hilbert lattice. (Contributed by NM, 19-Sep-2011.) |
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Theorem | isline 33349* | The predicate "is a line". (Contributed by NM, 19-Sep-2011.) |
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Theorem | islinei 33350* | Condition implying "is a line". (Contributed by NM, 3-Feb-2012.) |
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Theorem | pointsetN 33351* | The set of points in a Hilbert lattice. (Contributed by NM, 2-Oct-2011.) (New usage is discouraged.) |
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Theorem | ispointN 33352* | The predicate "is a point". (Contributed by NM, 2-Oct-2011.) (New usage is discouraged.) |
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Theorem | atpointN 33353 | The singleton of an atom is a point. (Contributed by NM, 14-Jan-2012.) (New usage is discouraged.) |
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Theorem | psubspset 33354* | The set of projective subspaces in a Hilbert lattice. (Contributed by NM, 2-Oct-2011.) |
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Theorem | ispsubsp 33355* | The predicate "is a projective subspace". (Contributed by NM, 2-Oct-2011.) |
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Theorem | ispsubsp2 33356* | The predicate "is a projective subspace". (Contributed by NM, 13-Jan-2012.) |
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Theorem | psubspi 33357* | Property of a projective subspace. (Contributed by NM, 13-Jan-2012.) |
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Theorem | psubspi2N 33358 | Property of a projective subspace. (Contributed by NM, 13-Jan-2012.) (New usage is discouraged.) |
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Theorem | 0psubN 33359 | The empty set is a projective subspace. Remark below Definition 15.1 of [MaedaMaeda] p. 61. (Contributed by NM, 13-Oct-2011.) (New usage is discouraged.) |
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Theorem | snatpsubN 33360 | The singleton of an atom is a projective subspace. (Contributed by NM, 9-Sep-2013.) (New usage is discouraged.) |
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Theorem | pointpsubN 33361 | A point (singleton of an atom) is a projective subspace. Remark below Definition 15.1 of [MaedaMaeda] p. 61. (Contributed by NM, 13-Oct-2011.) (New usage is discouraged.) |
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Theorem | linepsubN 33362 | A line is a projective subspace. (Contributed by NM, 16-Oct-2011.) (New usage is discouraged.) |
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Theorem | atpsubN 33363 | The set of all atoms is a projective subspace. Remark below Definition 15.1 of [MaedaMaeda] p. 61. (Contributed by NM, 13-Oct-2011.) (New usage is discouraged.) |
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Theorem | psubssat 33364 | A projective subspace consists of atoms. (Contributed by NM, 4-Nov-2011.) |
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Theorem | psubatN 33365 | A member of a projective subspace is an atom. (Contributed by NM, 4-Nov-2011.) (New usage is discouraged.) |
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Theorem | pmapfval 33366* | The projective map of a Hilbert lattice. (Contributed by NM, 2-Oct-2011.) |
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Theorem | pmapval 33367* | Value of the projective map of a Hilbert lattice. Definition in Theorem 15.5 of [MaedaMaeda] p. 62. (Contributed by NM, 2-Oct-2011.) |
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Theorem | elpmap 33368 | Member of a projective map. (Contributed by NM, 27-Jan-2012.) |
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Theorem | pmapssat 33369 | The projective map of a Hilbert lattice is a set of atoms. (Contributed by NM, 14-Jan-2012.) |
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Theorem | pmapssbaN 33370 | A weakening of pmapssat 33369 to shorten some proofs. (Contributed by NM, 7-Mar-2012.) (New usage is discouraged.) |
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Theorem | pmaple 33371 | The projective map of a Hilbert lattice preserves ordering. Part of Theorem 15.5 of [MaedaMaeda] p. 62. (Contributed by NM, 22-Oct-2011.) |
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Theorem | pmap11 33372 | The projective map of a Hilbert lattice is one-to-one. Part of Theorem 15.5 of [MaedaMaeda] p. 62. (Contributed by NM, 22-Oct-2011.) |
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