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Type | Label | Description | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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Statement | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

Theorem | hashnbgravd 21601 | The size of the set of the neighbors of a vertex is the vertex degree of this vertex. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Dec-2017.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

USGrph Neighbors VDeg | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

Theorem | hashnbgravdg 21602 | The size of the set of the neighbors of a vertex is the vertex degree of this vertex, analogous to hashnbgravd 21601. (Contributed by Alexander van der Vekens, 20-Dec-2017.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

USGrph Neighbors VDeg | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

Theorem | usgravd0nedg 21603* | If a vertex in a simple graph has degree 0, the vertex is not adjacent to another vertex via an edge, analogous to vdusgra0nedg 21599. (Contributed by Alexander van der Vekens, 20-Dec-2017.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

USGrph VDeg | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

14.2 Eulerian paths and the Konigsberg Bridge
problem | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

14.2.1 Eulerian paths | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

Syntax | ceup 21604 | Extend class notation with Eulerian paths. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

EulPaths | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

Definition | df-eupa 21605* | Define the set of all Eulerian paths on an undirected multigraph. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

EulPaths UMGrph | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

Theorem | releupa 21606 | The set EulPaths of all Eulerian paths on is a set of pairs by our definition of an Eulerian path, and so is a relation. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

EulPaths | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

Theorem | iseupa 21607* | The property " is an Eulerian path on the graph ". An Eulerian path is defined as bijection from the edges to a set a function into the vertices such that for each , is an edge from to . (Since the edges are undirected and there are possibly many edges between any two given vertices, we need to list both the edges and the vertices of the path separately.) (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 3-May-2015.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

EulPaths UMGrph | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

Theorem | eupagra 21608 | If an eulerian path exists, then is a graph. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

EulPaths UMGrph | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

Theorem | eupai 21609* | Properties of an Eulerian path. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

EulPaths | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

Theorem | eupatrl 21610* |
An Eulerian path is a trail.
Unfortunately, the edge function of an Eulerian path has the domain , whereas the edge functions of all kinds of walks defined here have the domain ..^ (i.e. the edge functions are "words of edge indices", see discussion and proposal of Mario Carneiro at https://groups.google.com/d/msg/metamath/KdVXdL3IH3k/2-BYcS_ACQAJ). Therefore, the arguments of the edge function of an Eulerian path must be shifted by 1 to obtain an edge function of a trail in this theorem, using the auxiliary theorems above (fargshiftlem 21541, fargshiftfv 21542, etc.). TODO: The definition of an Eulerian path and all related theorems should be modified to fit to the general definition of a trail. (Contributed by Alexander van der Vekens, 24-Nov-2017.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

..^ EulPaths Trails | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

Theorem | eupacl 21611 | An Eulerian path has length , which is an integer. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

EulPaths | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

Theorem | eupaf1o 21612 | The function in an Eulerian path is a bijection from a one-based sequence to the set of edges. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

EulPaths | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

Theorem | eupafi 21613 | Any graph with an Eulerian path is finite. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

EulPaths | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

Theorem | eupapf 21614 | The function in an Eulerian path is a function from a zero-based finite sequence to the vertices. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

EulPaths | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

Theorem | eupaseg 21615 | The -th edge in an eulerian path is the edge from to . (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

EulPaths | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

Theorem | eupa0 21616 | There is an Eulerian path on the empty graph. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

EulPaths | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

Theorem | eupares 21617 | The restriction of an Eulerian path to an initial segment of the path forms an Eulerian path on the subgraph consisting of the edges in the initial segment. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 3-May-2015.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

EulPaths EulPaths | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

Theorem | eupap1 21618 | Append one path segment to an Eulerian path (enlarging the graph to add the new edge). (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

EulPaths EulPaths | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

Theorem | eupath2lem1 21619 | Lemma for eupath2 21622. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Apr-2015.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

Theorem | eupath2lem2 21620 | Lemma for eupath2 21622. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Apr-2015.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

Theorem | eupath2lem3 21621* | Lemma for eupath2 21622. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Apr-2015.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

EulPaths VDeg VDeg | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

Theorem | eupath2 21622* | The only vertices of odd degree in a graph with an Eulerian path are the endpoints, and then only if the endpoints are distinct. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Apr-2015.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

EulPaths VDeg | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

Theorem | eupath 21623* | A graph with an Eulerian path has either zero or two vertices of odd degree. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

EulPaths VDeg | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

14.2.2 The Konigsberg Bridge
problem | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

Theorem | vdeg0i 21624 | The base case for the induction for calculating the degree of a vertex. The degree of in the empty graph is . (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

VDeg | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

Theorem | umgrabi 21625* | Show that an unordered pair is a valid edge in a graph. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Feb-2016.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

Theorem | vdegp1ai 21626* | The induction step for a vertex degree calculation. If the degree of in the edge set is , then adding to the edge set, where , yields degree as well. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Feb-2016.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

Word VDeg concat VDeg | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

Theorem | vdegp1bi 21627* | The induction step for a vertex degree calculation. If the degree of in the edge set is , then adding to the edge set, where , yields degree . (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Feb-2016.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

Word VDeg concat VDeg | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

Theorem | vdegp1ci 21628* | The induction step for a vertex degree calculation. If the degree of in the edge set is , then adding to the edge set, where , yields degree . (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Feb-2016.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

Word VDeg concat VDeg | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

Theorem | konigsberg 21629 | The Konigsberg Bridge problem. If is the graph on four vertices , with edges , then vertices each have degree three, and has degree five, so there are four vertices of odd degree and thus by eupath 21623 the graph cannot have an Eulerian path. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Feb-2016.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

EulPaths | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

PART 15 GUIDES AND
MISCELLANEA | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

15.1 Guides (conventions, explanations, and
examples) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

15.1.1 ConventionsThis section describes the conventions we use. However, these conventions often refer to existing mathematical practices, which are discussed in more detail in other references. Logic and set theory provide a foundation for all of mathematics. To learn about them, you should study one or more of the references listed below. We indicate references using square brackets. The textbooks provide a motivation for what we are doing, whereas Metamath lets you see in detail all hidden and implicit steps. Most standard theorems are accompanied by citations. Some closely followed texts include the following: - Axioms of propositional calculus - [Margaris].
- Axioms of predicate calculus - [Megill] (System S3' in the article referenced).
- Theorems of propositional calculus - [WhiteheadRussell].
- Theorems of pure predicate calculus - [Margaris].
- Theorems of equality and substitution - [Monk2], [Tarski], [Megill].
- Axioms of set theory - [BellMachover].
- Development of set theory - [TakeutiZaring]. (The first part of [Quine] has a good explanation of the powerful device of "virtual" or class abstractions, which is essential to our development.)
- Construction of real and complex numbers - [Gleason]
- Theorems about real numbers - [Apostol]
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Theorem | conventions 21630 |
Here are some of the conventions we use in the
Metamath Proof Explorer (aka "set.mm"), and how they correspond to
typical textbook language (skipping the many cases
where they're identical):
**Notation.**Where possible, the notation attempts to conform to modern conventions, with variations due to our choice of the axiom system or to make proofs shorter. However, our notation is strictly sequential (left-to-right). For example, summation is written in the form (df-sum 12421) which denotes that index variable ranges over when evaluating . Thus, means 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... = 1 (geoihalfsum 12600). Also, the method of definition, the axioms for predicate calculus, and the development of substitution are somewhat different from those found in standard texts. For example, the expressions for the axioms were designed for direct derivation of standard results without excessive use of metatheorems. (See Theorem 9.7 of [Megill] p. 448 for a rigorous justification.) The notation is usually explained in more detail when first introduced.**Axiomatic assertions ($a).**All axiomatic assertions ($a statements) starting with " " have labels starting with "ax-" (axioms) or "df-" (definitions). A statement with a label starting with "ax-" corresponds to what is traditionally called an axiom. A statement with a label starting with "df-" introduces new symbols or a new relationship among symbols that can be eliminated; they always extend the definition of a wff or class. Metamath blindly treats $a statements as new given facts but does not try to justify them. The mmj2 program will justify the definitions as sound, except for 4 (df-bi, df-cleq, df-clel, df-clab) that require a more complex metalogical justification by hand.**Proven axioms.**In some cases we wish to treat an expression as an axiom in later theorems, even though it can be proved. For example, we derive the postulates or axioms of complex arithmetic as theorems of ZFC set theory. For convenience, after deriving the postulates we re-introduce them as new axioms on top of set theory. This lets us easily identify which axioms are needed for a particular complex number proof, without the obfuscation of the set theory used to derive them. For more, see http://us.metamath.org/mpeuni/mmcomplex.html. When we wish to use a previously-proven assertion as an axiom, our convention is that we use the regular "ax-NAME" label naming convention to define the axiom, but we precede it with a proof of the same statement with the label "axNAME" . An example is complex arithmetic axiom ax-1cn 8995, proven by the preceding theorem ax1cn 8971. The metamath.exe program will warn if an axiom does not match the preceding theorem that justifies it if the names match in this way.**Definitions (df-...).**We encourage definitions to include hypertext links to proven examples.**Statements with hypotheses.**Many theorems and some axioms, such as ax-mp 8, have hypotheses that must be satisfied in order for the conclusion to hold, in this case min and maj. When presented in summarized form such as in the Theorem List (click on "Nearby theorems" on the ax-mp 8 page), the hypotheses are connected with an ampersand and separated from the conclusion with a big arrow, such as in " & => ". These symbols are*not*part of the Metamath language but are just informal notation meaning "and" and "implies".**Discouraged use and modification.**If something should only be used in limited ways, it is marked with "(New usage is discouraged.)". This is used, for example, when something can be constructed in more than one way, and we do not want later theorems to depend on that specific construction. This marking is also used if we want later proofs to use proven axioms. For example, we want later proofs to use ax-1cn 8995 (not ax1cn 8971) and ax-1ne0 9006 (not ax1ne0 8982), as these are proven axioms for complex arithmetic. Thus, both ax1cn 8971 and ax1ne0 8982 are marked as "(New usage is discouraged.)". In some cases a proof should not normally be changed, e.g., when it demonstrates some specific technique. These are marked with "(Proof modification is discouraged.)".**New definitions infrequent.**Typically, we are minimalist when introducing new definitions; they are introduced only when a clear advantage becomes apparent for reducing the number of symbols, shortening proofs, etc. We generally avoid the introduction of gratuitous definitions because each one requires associated theorems and additional elimination steps in proofs. For example, we use and for inequality expressions, and use instead of sinh for the hyperbolic sine.**Axiom of choice.**The axiom of choice (df-ac 7944) is widely accepted, and ZFC is the most commonly-accepted fundamental set of axioms for mathematics. However, there have been and still are some lingering controversies about the Axiom of Choice. Therefore, where a proof does not require the axiom of choice, we prefer that proof instead. E.g., our proof of the Schroeder-Bernstein Theorem (sbth 7177) does not use the axiom of choice. In some cases, the weaker axiom of countable choice (ax-cc 8262) or axiom of dependent choice (ax-dc 8273) can be used instead.**Variables.**Typically, Greek letters ( = phi, = psi, = chi, etc.),... are used for propositional (wff) variables; , , ,... for individual (set) variables; and , , ,... for class variables.**Turnstile.**"", meaning "It is provable that," is the first token of all assertions and hypotheses that aren't syntax constructions. This is a standard convention in logic. For us, it also prevents any ambiguity with statements that are syntax constructions, such as "wff ".**Biconditional ().**There are basically two ways to maximize the effectiveness of biconditionals (): you can either have one-directional simplifications of all theorems that*produce*biconditionals, or you can have one-directional simplifications of theorems that*consume*biconditionals. Some tools (like Lean) follow the first approach, but set.mm follows the second approach. Practically, this means that in set.mm, for every theorem that uses an implication in the hypothesis, like ax-mp 8, there is a corresponding version with a biconditional or a reversed biconditional, like mpbi 200 or mpbir 201. We prefer this second approach because the number of duplications in the second approach is bounded by the size of the propositional calculus section, which is much smaller than the number of possible theorems in all later sections that produce biconditionals. So although theorems like biimpi 187 are available, in most cases there is already a theorem that combines it with your theorem of choice, like mpbir2an 887, sylbir 205, or 3imtr4i 258.**Substitution.**" " should be read "the wff that results from the proper substitution of for in wff ." See df-sb 1656 and the related df-sbc 3119 and df-csb 3209.**Is-a set.**" " should be read "Class is a set (i.e. exists)." This is a convenient convention based on Definition 2.9 of [Quine] p. 19. See df-v 2915 and isset 2917.**Converse.**"" should be read "converse of (relation) " and is the same as the more standard notation R^{-1} (the standard notation is ambiguous). See df-cnv 4840. This can be used to define a subset, e.g., df-tan 12615 notates "the set of values whose cosine is a nonzero complex number" as .**Function application.**"()" should be read "the value of function at " and has the same meaning as the more familiar but ambiguous notation F(x). For example, (see cos0 12692). The left apostrophe notation originated with Peano and was adopted in Definition *30.01 of [WhiteheadRussell] p. 235, Definition 10.11 of [Quine] p. 68, and Definition 6.11 of [TakeutiZaring] p. 26. See df-fv 5416. In the ASCII (input) representation there are spaces around the grave accent; there is a single accent when it is used directly, and it is doubled within comments.**Infix and parentheses.**When a function that takes two classes and produces a class is applied as part of an infix expression, the expression is always surrounded by parentheses (see df-ov 6037). For example, the in ; see 2p2e4 10044. Function application is itself an example of this. Similarly, predicate expressions in infix form that take two or three wffs and produce a wff are also always surrounded by parentheses, such as , , , and (see wi 4, df-or 360, df-an 361, and df-bi 178 respectively). In contrast, a binary relation (which compares two*classes*and produces a*wff*) applied in an infix expression is*not*surrounded by parentheses. This includes set membership (see wel 1722), equality (see df-cleq 2394), subset (see df-ss 3291), and less-than (see df-lt 8950). For the general definition of a binary relation in the form , see df-br 4168. For example, ( see 0lt1 9496) does not use parentheses.**Unary minus.**The symbol is used to indicate a unary minus, e.g., . It is specially defined because it is so commonly used. See cneg 9238.**Function definition.**Functions are typically defined by first defining the constant symbol (using $c) and declaring that its symbol is a class with the label cNAME (e.g., ccos 12608). The function is then defined labelled df-NAME; definitions are typically given using the maps-to notation (e.g., df-cos 12614). Typically, there are other proofs such as its closure labelled NAMEcl (e.g., coscl 12669), its function application form labelled NAMEval (e.g., cosval 12665), and at least one simple value (e.g., cos0 12692).**Factorial.**The factorial function is traditionally a postfix operation, but we treat it as a normal function applied in prefix form, e.g., ; (df-fac 11508 and fac4 11515).**Unambiguous symbols.**A given symbol has a single unambiguous meaning in general. Thus, where the literature might use the same symbol with different meanings, here we use different (variant) symbols for different meanings. These variant symbols often have suffixes, subscripts, or underlines to distinguish them. For example, here "" always means the value zero (df-0 8944), while "" is the group identity element (df-0g 13668), "" is the poset zero (df-p0 14409), "" is the zero polynomial (df-0p 19501), "" is the zero vector in a normed complex vector space (df-0v 21997), and "" is a class variable for use as a connective symbol (this is used, for example, in p0val 14411). There are other class variables used as connective symbols where traditional notation would use ambiguous symbols, including "", "", "", and "". These symbols are very similar to traditional notation, but because they are different symbols they eliminate ambiguity.**Natural numbers.**There are different definitions of "natural" numbers in the literature. We use (df-nn 9947) for the integer numbers starting from 1, and (df-n0 10168) for the set of nonnegative integers starting at zero.**Decimal numbers.**Numbers larger than ten are often expressed in base 10 using the decimal constructor df-dec 10329, e.g., ;;; (see 4001prm 13405 for a proof that 4001 is prime).**Theorem forms.**We often call a theorem a "deduction" whenever the conclusion and all hypotheses are each prefixed with the same antecedent . Deductions are often the preferred form for theorems because they allow us to easily use the theorem in places where (in traditional textbook formalizations) the standard Deduction Theorem would be used. See, for example, a1d 23. A deduction hypothesis can have an indirect antecedent via definitions, e.g., see lhop 19839. Deductions have a label suffix of "d" if there are other forms of the same theorem. By contrast, we tend to call the simpler version with no common antecedent an "inference" and suffix its label with "i"; compare theorem a1i 11. Finally, a "tautology" would be the form with no hypotheses, and its label would have no suffix. For example, see pm2.43 49, pm2.43i 45, and pm2.43d 46.**Deduction theorem.**The Deduction Theorem is a metalogical theorem that provides an algorithm for constructing a proof of a theorem from the proof of its corresponding deduction. In ordinary mathematics, no one actually carries out the algorithm, because (in its most basic form) it involves an exponential explosion of the number of proof steps as more hypotheses are eliminated. Instead, in ordinary mathematics the Deduction Theorem is invoked simply to claim that something can be done in principle, without actually doing it. For more details, see http://us.metamath.org/mpeuni/mmdeduction.html. The Deduction Theorem is a metalogical theorem that cannot be applied directly in metamath, and the explosion of steps would be a problem anyway, so alternatives are used. One alternative we use sometimes is the "weak deduction theorem" dedth 3737, which works in certain cases in set theory. We also sometimes use dedhb 3061. However, the primary mechanism we use today for emulating the deduction theorem is to write proofs in the deduction theorem form (aka "deduction style") described earlier; the prefixed mimics the context in a deduction proof system. In practice this mechanism works very well. This approach is described in the deduction form and natural deduction page; a list of translations for common natural deduction rules is given in natded 21631.**Recursion.**We define recursive functions using various "recursion constructors". These allow us to define, with compact direct definitions, functions that are usually defined in textbooks with indirect self-referencing recursive definitions. This produces compact definition and much simpler proofs, and greatly reduces the risk of creating unsound definitions. Examples of recursion constructors include recs in df-recs 6583, in df-rdg 6618, seq_{𝜔}in df-seqom 6655, and in df-seq 11265. These have characteristic function and initial value . (_{g}in df-gsum 13669 isn't really designed for arbitrary recursion, but you could do it with the right magma.) The logically primary one is df-recs 6583, but for the "average user" the most useful one is probably df-seq 11265- provided that a countable sequence is sufficient for the recursion.**Extensible structures.**Mathematics includes many structures such as ring, group, poset, etc. We define an "extensible structure" which is then used to define group, ring, poset, etc. This allows theorems from more general structures (groups) to be reused for more specialized structures (rings) without having to reprove them. See df-struct 13412.**Organizing proofs.**Humans have trouble understanding long proofs. It is often preferable to break longer proofs into smaller parts (just as with traditional proofs). In Metamath this is done by creating separate proofs of the separate parts. A proof with the sole purpose of supporting a final proof is a lemma; the naming convention for a lemma is the final proof's name followed by "lem", and a number if there is more than one. E.g., sbthlem1 7167 is the first lemma for sbth 7177. Also, consider proving reusable results separately, so that others will be able to easily reuse that part of your work.**Hypertext links.**We strongly encourage comments to have many links to related material, with accompanying text that explains the relationship. These can help readers understand the context. Links to other statements, or to HTTP/HTTPS URLs, can be inserted in ASCII source text by prepending a space-separated tilde. When metamath.exe is used to generate HTML it automatically inserts hypertext links for syntax used (e.g., every symbol used), every axiom and definition depended on, the justification for each step in a proof, and to both the next and previous assertion.**Bibliography references.**Please include a bibliographic reference to any external material used. A name in square brackets in a comment indicates a bibliographic reference. The full reference must be of the form KEYWORD IDENTIFIER? NOISEWORD(S)* [AUTHOR(S)] p. NUMBER - note that this is a very specific form that requires a page number. There should be no comma between the author reference and the "p." (a constant indicator). Whitespace, comma, period, or semicolon should follow NUMBER. An example is Theorem 3.1 of [Monk1] p. 22, The KEYWORD, which is not case-sensitive, must be one of the following: Axiom, Chapter, Compare, Condition, Corollary, Definition, Equation, Example, Exercise, Figure, Item, Lemma, Lemmas, Line, Lines, Notation, Part, Postulate, Problem, Property, Proposition, Remark, Rule, Scheme, Section, or Theorem. The IDENTIFIER is optional, as in for example "Remark in [Monk1] p. 22". The NOISEWORDS(S) are zero or more from the list: from, in, of, on. The AUTHOR(S) must be present in the file identified with the htmlbibliography assignment (e.g. mmset.html) as a named anchor (NAME=). If there is more than one document by the same author(s), add a numeric suffix (as shown here). The NUMBER is a page number, and may be any alphanumeric string such as an integer or Roman numeral. Note that we*require*page numbers in comments for individual $a or $p statements. We allow names in square brackets without page numbers (a reference to an entire document) in heading comments. If this is a new reference, please also add it to the "Bibliography" section of mmset.html. (The file mmbiblio.html is automatically rebuilt, e.g., using the metamath.exe "write bibliography" command.)**Input format.**The input is in ASCII with two-space indents. Tab characters are not allowed. Use embedded math comments or HTML entities for non-ASCII characters (e.g., "é" for "é").**Information on syntax, axioms, and definitions.**For a hyperlinked list of syntax, axioms, and definitions, see http://us.metamath.org/mpeuni/mmdefinitions.html. If you have questions about a specific symbol or axiom, it is best to go directly to its definition to learn more about it. The generated HTML for each theorem and axiom includes hypertext links to each symbol's definition.
Every statement has a unique identifying label. We use various label naming conventions to provide easy-to-remember hints about their contents. Labels are not a 1-to-1 mapping, because that would create long names that would be difficult to remember and tedious to type. Instead, label names are relatively short while suggesting their purpose. Names are occasionally changed to make them more consistent or as we find better ways to name them. Here are a few of the label naming conventions:
**Axioms, definitions, and wff syntax.**As noted earlier, axioms are named "ax-NAME", proofs of proven axioms are named "axNAME", and definitions are named "df-NAME". Wff syntax declarations have labels beginning with "w" followed by short fragment suggesting its purpose.**Hypotheses.**Hypotheses have the name of the final axiom or theorem, followed by ".", followed by a unique id.**Common names.**If a theorem has a well-known name, that name (or a short version of it) is sometimes used directly. Examples include barbara 2349 and stirling 27667.**Syntax label fragments.**Most theorems are named using syntax label fragments. Almost every syntactic construct has a definition labelled "df-NAME", and NAME normally is the syntax label fragment. For example, the difference construct is defined in df-dif 3280, and thus its syntax label fragment is "dif". Similarly, the singleton construct has syntax label fragment "sn" (because it is defined in df-sn 3777), the subclass (subset) relation has "ss" (because it is defined in df-ss 3291), and the pair construct has "pr" (df-pr 3778). Theorem names are often a concatenation of the syntax label fragments (omitting variables). For example, a theorem about involves a difference ("dif") of a subset ("ss"), and thus is named difss 3431. Digits are used to represent themselves. Suffixes (e.g., with numbers) are sometimes used to distinguish multiple theorems that would otherwise produce the same label.**Phantom definitions.**In some cases there are common label fragments for something that could be in a definition, but for technical reasons is not. The is-element-of (is member of) construct does not have a df-NAME definition; in this case its syntax label fragment is "el". Thus, because the theorem beginning with uses is-element-of ("el") of a difference ("dif") of a singleton ("sn"), it is named eldifsn 3884. An "n" is often used for negation (), e.g., nan 564.**Exceptions.**Sometimes there is a definition df-NAME but the label fragment is not the NAME part. The table below attempts to list all such cases and marks them in bold. For example, label fragment "cn" represents complex numbers (even though its definition is in df-c 8943) and "re" represents real numbers . The empty set often uses fragment 0, even though it is defined in df-nul 3586. Syntax construct usually uses the fragment "add" (which is consistent with df-add 8948), but "p" is used as the fragment for constant theorems. Equality often uses "e" as the fragment. As a result, "two plus two equals four" is named 2p2e4 10044.**Other markings.**In labels we sometimes use "com" for "commutative", "ass" for "associative", "rot" for "rotation", and "di" for "distributive".**Principia Mathematica.**Proofs of theorems from Principia Mathematica often use a different naming convention. They are instead often named "pm" followed by its identifier. For example, Theorem *2.27 of [WhiteheadRussell] p. 104 is named pm2.27 37.**Closures and values.**As noted above, if a function df-NAME is defined, there is typically a proof of its value named "NAMEval" and its closure named "NAMEcl". E.g., for cosine (df-cos 12614) we have value cosval 12665 and closure coscl 12669.**Special cases.**Sometimes syntax and related markings are insufficient to distinguish different theorems. For example, there are over 100 different implication-exclusive theorems. These are then grouped in a more ad-hoc way that attempts to make their distinctions clearer. These often use abbreviations such as "mp" for "modus ponens", "syl" for syllogism, and "id" for "identity". It's especially hard to give good names in the propositional calculus section because there are so few primitives. However, in most cases this is not a serious problem. There are a few very common theorems like ax-mp 8 and syl 16 that you will have no trouble remembering, a few theorem series like syl*anc and simp* that you can use parametrically, and a few other useful glue things for destructuring 'and's and 'or's (see natded 21631 for a list), and that's about all you need for most things. As for the rest, you can just assume that if it involves three or less connectives we probably already have a proof, and searching for it will give you the name.**Suffixes.**We sometimes suffix with "v" the label of a theorem eliminating a hypothesis such as in 19.21 1810 via the use of distinct variable conditions combined with nfv 1626. Conversely, we sometimes suffix with "f" the label of a theorem introducing such a hypothesis to eliminate the need for the distinct variable condition; e.g. euf 2258 derived from df-eu 2256. The "f" stands for "not free in" which is less restrictive than "does not occur in." We sometimes suffix with "s" the label of an inference that manipulates an antecedent, leaving the consequent unchanged. The "s" means that the inference eliminates the need for a syllogism (syl 16) -type inference in a proof. When an inference is converted to a theorem by eliminating an "is a set" hypothesis, we sometimes suffix the theorem form with "g" (for "more general") as in uniex 4659 vs. uniexg 4660. A theorem name is suffixed with "ALT" if it's an alternative less-preferred proof of a theorem.**Reuse.**When creating a new theorem or axiom, try to reuse abbreviations used elsewhere. A comment should explain the first use of an abbreviation.
The following table shows some commonly-used abbreviations in labels,
in alphabetical order.
For each abbreviation we provide a mnenomic to help you remember it,
the source theorem/assumption defining it, an expression showing
what it looks like, whether or not it is a "syntax fragment"
(an abbreviation that indicates a particular kind of syntax), and
hyperlinks to label examples that use the abbreviation.
The abbreviation is bolded if there is a df-NAME definition but
the label fragment is not NAME.
This is
Here are some conventions that address distinctness or freeness of a variable:
- is read " is not free in (wff) "; see df-nf 1551 (whose description has some important technical details). Similarly, is read is not free in (class) , see df-nfc 2526.
- "$d x y $." should be read "Assume x and y are distinct variables."
- "$d x $." should be read "Assume x does not occur in phi $." Sometimes a theorem is proved using (df-nf 1551) in place of "$d $." when a more general result is desired; ax-17 1623 can be used to derive the $d version. For an example of how to get from the $d version back to the $e version, see the proof of euf 2258 from df-eu 2256.
- "$d x A $." should be read "Assume x is not a variable occurring in class A."
- "$d x A $. $d x ps $. $e |- $." is an idiom often used instead of explicit substitution, meaning "Assume psi results from the proper substitution of A for x in phi."
- " " occurs early in some cases, and should be read "If x and y are distinct variables, then..." This antecedent provides us with a technical device (called a "distinctor" in Section 7 of [Megill] p. 444) to avoid the need for the $d statement early in our development of predicate calculus, permitting unrestricted substitutions as conceptually simple as those in propositional calculus. However, the $d eventually becomes a requirement, and after that this device is rarely used.
Here is more information about our processes for checking and contributing to this work:
**Multiple verifiers.**This entire file is verified by multiple independently-implemented verifiers when it is checked in, giving us extremely high confidence that all proofs follow from the assumptions. The checkers also check for various other problems such as overly long lines.**Rewrapped line length.**The input file routinely has its text wrapped using`metamath 'read set.mm' 'save proof */c/f' 'write source set.mm/rewrap'`(so please do the same).**Discouraged information.**A separate file named "discouraged" lists all discouraged statements and uses of them, and this file is checked. If you change the use of discouraged things, you will need to change this file. This makes it obvious when there is a change to anything discouraged (triggering further review).**Proposing specific changes.**Please propose specific changes as pull requests (PRs) against the "develop" branch of set.mm, at: https://github.com/metamath/set.mm/tree/develop**Community.**We encourage anyone interested in Metamath to join our mailing list: https://groups.google.com/forum/#!forum/metamath.
(Contributed by DAW, 27-Dec-2016.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

15.1.2 Natural deduction | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

Theorem | natded 21631 |
Here are typical natural deduction (ND) rules in the style of Gentzen
and Jaśkowski, along with MPE translations of them.
This also shows the recommended theorems when you find yourself
needing these rules (the recommendations encourage a slightly
different proof style that works more naturally with metamath).
A decent list of the standard rules of natural deduction can be
found beginning with definition /\I in [Pfenning] p. 18.
For information about ND and Metamath, see the
page on Deduction Form and Natural Deduction
in Metamath Proof Explorer.
Many more citations could be added.
Note that MPE uses classical logic, not intuitionist logic. As is conventional, the "I" rules are introduction rules, "E" rules are elimination rules, the "C" rules are conversion rules, and represents the set of (current) hypotheses. We use wff variable names beginning with to provide a closer representation of the Metamath equivalents (which typically use the antedent to represent the context ). Most of this information was developed by Mario Carneiro and posted on 3-Feb-2017. For more information, see the page on Deduction Form and Natural Deduction in Metamath Proof Explorer. For annotated examples where some traditional ND rules are directly applied in MPE, see ex-natded5.2 21632, ex-natded5.3 21635, ex-natded5.5 21638, ex-natded5.7 21639, ex-natded5.8 21641, ex-natded5.13 21643, ex-natded9.20 21645, and ex-natded9.26 21647. (Contributed by DAW, 4-Feb-2017.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

15.1.3 Natural deduction examplesThese are examples of how natural deduction rules can be applied in metamath (both as line-for-line translations of ND rules, and as a way to apply deduction forms without being limited to applying ND rules). For more information, see natded 21631 and http://us.metamath.org/mpeuni/mmnatded.html. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

Theorem | ex-natded5.2 21632 |
Theorem 5.2 of [Clemente] p. 15, translated line by line using the
interpretation of natural deduction in Metamath.
For information about ND and Metamath, see the
page on Deduction Form and Natural Deduction
in Metamath Proof Explorer.
The original proof, which uses Fitch style, was written as follows:
The original used Latin letters for predicates; we have replaced them with Greek letters to follow Metamath naming conventions and so that it is easier to follow the Metamath translation. The Metamath line-for-line translation of this natural deduction approach precedes every line with an antecedent including and uses the Metamath equivalents of the natural deduction rules. Below is the final metamath proof (which reorders some steps). A much more efficient proof, using more of Metamath and MPE's capabilities, is shown in ex-natded5.2-2 21633. A proof without context is shown in ex-natded5.2i 21634. (Proof modification is discouraged.) (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2017.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

Theorem | ex-natded5.2-2 21633 | A more efficient proof of Theorem 5.2 of [Clemente] p. 15. Compare with ex-natded5.2 21632 and ex-natded5.2i 21634. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2017.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

Theorem | ex-natded5.2i 21634 | The same as ex-natded5.2 21632 and ex-natded5.2-2 21633 but with no context. (Proof modification is discouraged.) (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2017.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

Theorem | ex-natded5.3 21635 |
Theorem 5.3 of [Clemente] p. 16, translated line by line using an
interpretation of natural deduction in Metamath.
A much more efficient proof, using more of Metamath and MPE's
capabilities, is shown in ex-natded5.3-2 21636.
A proof without context is shown in ex-natded5.3i 21637.
For information about ND and Metamath, see the
page on Deduction Form and Natural Deduction
in Metamath Proof Explorer
.
The original proof, which uses Fitch style, was written as follows:
The original used Latin letters for predicates; we have replaced them with Greek letters to follow Metamath naming conventions and so that it is easier to follow the Metamath translation. The Metamath line-for-line translation of this natural deduction approach precedes every line with an antecedent including and uses the Metamath equivalents of the natural deduction rules. (Proof modification is discouraged.) (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2017.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

Theorem | ex-natded5.3-2 21636 | A more efficient proof of Theorem 5.3 of [Clemente] p. 16. Compare with ex-natded5.3 21635 and ex-natded5.3i 21637. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2017.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

Theorem | ex-natded5.3i 21637 | The same as ex-natded5.3 21635 and ex-natded5.3-2 21636 but with no context. (Proof modification is discouraged.) (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2017.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

Theorem | ex-natded5.5 21638 |
Theorem 5.5 of [Clemente] p. 18, translated line by line using the
usual translation of natural deduction (ND) in the
Metamath Proof Explorer (MPE) notation.
For information about ND and Metamath, see the
page on Deduction Form and Natural Deduction
in Metamath Proof Explorer.
The original proof, which uses Fitch style, was written as follows
(the leading "..." shows an embedded ND hypothesis, beginning with
the initial assumption of the ND hypothesis):
The original used Latin letters; we have replaced them with Greek letters to follow Metamath naming conventions and so that it is easier to follow the Metamath translation. The Metamath line-for-line translation of this natural deduction approach precedes every line with an antecedent including and uses the Metamath equivalents of the natural deduction rules. To add an assumption, the antecedent is modified to include it (typically by using adantr 452; simpr 448 is useful when you want to depend directly on the new assumption). Below is the final metamath proof (which reorders some steps). A much more efficient proof is mtod 170; a proof without context is shown in mto 169. (Proof modification is discouraged.) (Contributed by David A. Wheeler, 19-Feb-2017.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

Theorem | ex-natded5.7 21639 |
Theorem 5.7 of [Clemente] p. 19, translated line by line using the
interpretation of natural deduction in Metamath.
A much more efficient proof, using more of Metamath and MPE's
capabilities, is shown in ex-natded5.7-2 21640.
For information about ND and Metamath, see the
page on Deduction Form and Natural Deduction
in Metamath Proof Explorer
.
The original proof, which uses Fitch style, was written as follows:
The original used Latin letters for predicates; we have replaced them with Greek letters to follow Metamath naming conventions and so that it is easier to follow the Metamath translation. The Metamath line-for-line translation of this natural deduction approach precedes every line with an antecedent including and uses the Metamath equivalents of the natural deduction rules. (Proof modification is discouraged.) (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2017.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

Theorem | ex-natded5.7-2 21640 | A more efficient proof of Theorem 5.7 of [Clemente] p. 19. Compare with ex-natded5.7 21639. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2017.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

Theorem | ex-natded5.8 21641 |
Theorem 5.8 of [Clemente] p. 20, translated line by line using the
usual translation of natural deduction (ND) in the
Metamath Proof Explorer (MPE) notation.
For information about ND and Metamath, see the
page on Deduction Form and Natural Deduction
in Metamath Proof Explorer.
The original proof, which uses Fitch style, was written as follows
(the leading "..." shows an embedded ND hypothesis, beginning with
the initial assumption of the ND hypothesis):
The original used Latin letters; we have replaced them with Greek letters to follow Metamath naming conventions and so that it is easier to follow the Metamath translation. The Metamath line-for-line translation of this natural deduction approach precedes every line with an antecedent including and uses the Metamath equivalents of the natural deduction rules. To add an assumption, the antecedent is modified to include it (typically by using adantr 452; simpr 448 is useful when you want to depend directly on the new assumption). Below is the final metamath proof (which reorders some steps). A much more efficient proof, using more of Metamath and MPE's capabilities, is shown in ex-natded5.8-2 21642. (Proof modification is discouraged.) (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2017.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

Theorem | ex-natded5.8-2 21642 | A more efficient proof of Theorem 5.8 of [Clemente] p. 20. For a longer line-by-line translation, see ex-natded5.8 21641. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2017.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

Theorem | ex-natded5.13 21643 |
Theorem 5.13 of [Clemente] p. 20, translated line by line using the
interpretation of natural deduction in Metamath.
For information about ND and Metamath, see the
page on Deduction Form and Natural Deduction
in Metamath Proof Explorer.
A much more efficient proof, using more of Metamath and MPE's
capabilities, is shown in ex-natded5.13-2 21644.
The original proof, which uses Fitch style, was written as follows
(the leading "..." shows an embedded ND hypothesis, beginning with
the initial assumption of the ND hypothesis):
The original used Latin letters; we have replaced them with Greek letters to follow Metamath naming conventions and so that it is easier to follow the Metamath translation. The Metamath line-for-line translation of this natural deduction approach precedes every line with an antecedent including and uses the Metamath equivalents of the natural deduction rules. To add an assumption, the antecedent is modified to include it (typically by using adantr 452; simpr 448 is useful when you want to depend directly on the new assumption). (Proof modification is discouraged.) (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2017.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

Theorem | ex-natded5.13-2 21644 | A more efficient proof of Theorem 5.13 of [Clemente] p. 20. Compare with ex-natded5.13 21643. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2017.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

Theorem | ex-natded9.20 21645 |
Theorem 9.20 of [Clemente] p. 43, translated line by line using the
usual translation of natural deduction (ND) in the
Metamath Proof Explorer (MPE) notation.
For information about ND and Metamath, see the
page on Deduction Form and Natural Deduction
in Metamath Proof Explorer.
The original proof, which uses Fitch style, was written as follows
(the leading "..." shows an embedded ND hypothesis, beginning with
the initial assumption of the ND hypothesis):
The original used Latin letters; we have replaced them with Greek letters to follow Metamath naming conventions and so that it is easier to follow the Metamath translation. The Metamath line-for-line translation of this natural deduction approach precedes every line with an antecedent including and uses the Metamath equivalents of the natural deduction rules. To add an assumption, the antecedent is modified to include it (typically by using adantr 452; simpr 448 is useful when you want to depend directly on the new assumption). Below is the final metamath proof (which reorders some steps). A much more efficient proof is ex-natded9.20-2 21646. (Proof modification is discouraged.) (Contributed by David A. Wheeler, 19-Feb-2017.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

Theorem | ex-natded9.20-2 21646 | A more efficient proof of Theorem 9.20 of [Clemente] p. 45. Compare with ex-natded9.20 21645. (Proof modification is discouraged.) (Contributed by David A. Wheeler, 19-Feb-2017.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

Theorem | ex-natded9.26 21647* |
Theorem 9.26 of [Clemente] p. 45, translated line by line using an
interpretation of natural deduction in Metamath. This proof has some
additional complications due to the fact that Metamath's existential
elimination rule does not change bound variables, so we need to verify
that is bound in the conclusion.
For information about ND and Metamath, see the
page on Deduction Form and Natural Deduction
in Metamath Proof Explorer.
The original proof, which uses Fitch style, was written as follows
(the leading "..." shows an embedded ND hypothesis, beginning with
the initial assumption of the ND hypothesis):
The original used Latin letters for predicates; we have replaced them with Greek letters to follow Metamath naming conventions and so that it is easier to follow the Metamath translation. The Metamath line-for-line translation of this natural deduction approach precedes every line with an antecedent including and uses the Metamath equivalents of the natural deduction rules. Below is the final metamath proof (which reorders some steps). Note that in the original proof, has explicit parameters. In Metamath, these parameters are always implicit, and the parameters upon which a wff variable can depend are recorded in the "allowed substitution hints" below. A much more efficient proof, using more of Metamath and MPE's capabilities, is shown in ex-natded9.26-2 21648. (Proof modification is discouraged.) (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2017.) (Revised by David A. Wheeler, 18-Feb-2017.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

Theorem | ex-natded9.26-2 21648* | A more efficient proof of Theorem 9.26 of [Clemente] p. 45. Compare with ex-natded9.26 21647. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2017.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

15.1.4 Definitional examples | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

Theorem | ex-or 21649 | Example for df-or 360. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 9-May-2015.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

Theorem | ex-an 21650 | Example for df-an 361. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 9-May-2015.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

Theorem | ex-dif 21651 | Example for df-dif 3280. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

Theorem | ex-un 21652 | Example for df-un 3282. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

Theorem | ex-in 21653 | Example for df-in 3284. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

Theorem | ex-uni 21654 | Example for df-uni 3972. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2016.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

Theorem | ex-ss 21655 | Example for df-ss 3291. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

Theorem | ex-pss 21656 | Example for df-pss 3293. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

Theorem | ex-pw 21657 | Example for df-pw 3758. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2016.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

Theorem | ex-pr 21658 | Example for df-pr 3778. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2015.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

Theorem | ex-br 21659 | Example for df-br 4168. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

Theorem | ex-opab 21660* | Example for df-opab 4222. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

Theorem | ex-eprel 21661 | Example for df-eprel 4449. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

Theorem | ex-id 21662 | Example for df-id 4453. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

Theorem | ex-po 21663 | Example for df-po 4458. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

Theorem | ex-xp 21664 | Example for df-xp 4838. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2015.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

Theorem | ex-cnv 21665 | Example for df-cnv 4840. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

Theorem | ex-co 21666 | Example for df-co 4841. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2015.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

Theorem | ex-dm 21667 | Example for df-dm 4842. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2015.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

Theorem | ex-rn 21668 | Example for df-rn 4843. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2015.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

Theorem | ex-res 21669 | Example for df-res 4844. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2015.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

Theorem | ex-ima 21670 | Example for df-ima 4845. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2015.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

Theorem | ex-fv 21671 | Example for df-fv 5416. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2015.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

Theorem | ex-1st 21672 | Example for df-1st 6302. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

Theorem | ex-2nd 21673 | Example for df-2nd 6303. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

Theorem | 1kp2ke3k 21674 |
Example for df-dec 10329, 1000 + 2000 = 3000.
This proof disproves (by counter-example) the assertion of Hao Wang, who
stated, "There is a theorem in the primitive notation of set theory
that
corresponds to the arithmetic theorem 1000 + 2000 = 3000. The formula
would be forbiddingly long... even if (one) knows the definitions and is
asked to simplify the long formula according to them, chances are he will
make errors and arrive at some incorrect result." (Hao Wang,
"Theory and
practice in mathematics" , In Thomas Tymoczko, editor,
This is noted in The proof here starts with , commutes it, and repeatedly multiplies both sides by ten. This is certainly longer than traditional mathematical proofs, e.g., there are a number of steps explicitly shown here to show that we're allowed to do operations such as multiplication. However, while longer, the proof is clearly a manageable size - even though every step is rigorously derived all the way back to the primitive notions of set theory and logic. And while there's a risk of making errors, the many independent verifiers make it much less likely that an incorrect result will be accepted. This proof heavily relies on the decimal constructor df-dec 10329 developed by Mario Carneiro in 2015. The underlying Metamath language has an intentionally very small set of primitives; it doesn't even have a built-in construct for numbers. Instead, the digits are defined using these primitives, and the decimal constructor is used to make it easy to express larger numbers as combinations of digits. (Contributed by David A. Wheeler, 29-Jun-2016.) (Shortened by Mario Carneiro using the arithmetic algorithm in mmj2, 30-Jun-2016.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

;;; ;;; ;;; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

Theorem | ex-fl 21675 | Example for df-fl 11143. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

Theorem | ex-dvds 21676 | 3 divides into 6. A demonstration of df-dvds 12794. (Contributed by David A. Wheeler, 19-May-2015.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

15.2 Humor | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

15.2.1 April Fool's theorem | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

Theorem | avril1 21677 |
Poisson d'Avril's Theorem. This theorem is noted for its
Selbstdokumentieren property, which means, literally,
"self-documenting" and recalls the principle of quidquid
german dictum
sit, altum viditur, often used in set theory. Starting with the
seemingly simple yet profound fact that any object equals itself
(proved by Tarski in 1965; see Lemma 6 of [Tarski] p. 68), we
demonstrate that the power set of the real numbers, as a relation on the
value of the imaginary unit, does not conjoin with an empty relation on
the product of the additive and multiplicative identity elements,
leading to this startling conclusion that has left even seasoned
professional mathematicians scratching their heads. (Contributed by
Prof. Loof Lirpa, 1-Apr-2005.) (Proof modification is discouraged.)
(New usage is discouraged.)
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Theorem | 2bornot2b 21678 |
The law of excluded middle. Act III, Theorem 1 of Shakespeare, Hamlet,
Prince of Denmark (1602). Its author leaves its proof as an exercise
for
the reader - "To be, or not to be: that is the question" -
starting a
trend that has become standard in modern-day textbooks, serving to make
the frustrated reader feel inferior, or in some cases to mask the fact
that the author does not know its solution. (Contributed by Prof. Loof
Lirpa, 1-Apr-2006.) (Proof modification is discouraged.)
(New usage is discouraged.)
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Theorem | helloworld 21679 | The classic "Hello world" benchmark has been translated into 314 computer programming languages - see http://www.roesler-ac.de/wolfram/hello.htm. However, for many years it eluded a proof that it is more than just a conjecture, even though a wily mathematician once claimed, "I have discovered a truly marvelous proof of this, which this margin is too narrow to contain." Using an IBM 709 mainframe, a team of mathematicians led by Prof. Loof Lirpa, at the New College of Tahiti, were finally able put it rest with a remarkably short proof only 4 lines long. (Contributed by Prof. Loof Lirpa, 1-Apr-2007.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

Theorem | 1p1e2apr1 21680 |
One plus one equals two. Using proof-shortening techniques pioneered by
Mr. Mel O'Cat, along with the latest supercomputer technology, Prof.
Loof Lirpa and colleagues were able to shorten Whitehead and Russell's
360-page proof that 1+1=2 in Principia Mathematica to this
remarkable
proof only two steps long, thus establishing a new world's record for this
famous theorem. (Contributed by Prof. Loof Lirpa, 1-Apr-2008.)
(Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
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Theorem | eqid1 21681 |
Law of identity (reflexivity of class equality). Theorem 6.4 of [Quine]
p. 41.
This law is thought to have originated with Aristotle
( | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

Theorem | 1div0apr 21682 | Division by zero is forbidden! If we try, we encounter the DO NOT ENTER sign, which in mathematics means it is foolhardy to venture any further, possibly putting the underlying fabric of reality at risk. Based on a dare by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Apr-2014.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

15.3 (Future - to be reviewed and
classified) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

15.3.1 Planar incidence geometry | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

Syntax | cplig 21683 | Extend class notation with the class of all planar incidence geometries. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

Definition | df-plig 21684* | Planar incidence geometry. I use Hilbert's "axioms" adapted to planar geometry. is the incidence relation. I could take a generic incidence relation but I'm lazy and I'm not sure the gain is worth the extra work. Much of what follows is directly borrowed from Aitken. http://public.csusm.edu/aitken_html/m410/betweenness.08.pdf (Contributed by FL, 2-Aug-2009.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

Theorem | isplig 21685* | The predicate "is a planar incidence geometry". (Contributed by FL, 2-Aug-2009.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

Theorem | tncp 21686* | There exist three non colinear points. (Contributed by FL, 3-Aug-2009.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

Theorem | lpni 21687* | For any line, there exists a point not on the line. (Contributed by Jeff Hankins, 15-Aug-2009.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

15.3.2 Algebra preliminaries | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

Syntax | crpm 21688 | Ring primes. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

RPrime | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

Definition | df-rprm 21689* | Define the set of prime elements in a ring. A prime element is a nonzero non-unit that satisfies an equivalent of Euclid's lemma euclemma 13049. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Feb-2015.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

RPrime Unit
_{r} | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

15.3.3 Transitive closure | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

Syntax | ctcl 21690 | Extend class notation to include the transitive closure symbol. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

Syntax | crtcl 21691 | Extend class notation with transitive closure. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

Definition | df-trcl 21692* | Transitive closure of a relation. Experimental. (Contributed by FL, 27-Jun-2011.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

Definition | df-rtrcl 21693* | Reflexive-transitive closure of a relation. Experimental. (Contributed by FL, 27-Jun-2011.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

PART 16 ADDITIONAL MATERIAL ON GROUPS, RINGS,
AND FIELDS (DEPRECATED)This part contains an earlier development of groups, rings, and fields that was defined before extensible structures were introduced. Theorem grpo2grp 21742 shows the relationship between the older group definition and the extensible structure definition. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

16.1 Additional material on group
theory | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

16.1.1 Definitions and basic properties for
groups | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

Syntax | cgr 21694 | Extend class notation with the class of all group operations. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

Syntax | cgi 21695 | Extend class notation with a function mapping a group operation to the group's identity element. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

GId | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

Syntax | cgn 21696 | Extend class notation with a function mapping a group operation to the inverse function for the group. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

Syntax | cgs 21697 | Extend class notation with a function mapping a group operation to the division (or subtraction) operation for the group. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

Syntax | cgx 21698 | Extend class notation with a function mapping a group operation to the power operation for the group. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

Definition | df-grpo 21699* | Define the class of all group operations. The base set for a group can be determined from its group operation. Based on the definition in Exercise 28 of [Herstein] p. 54. (Contributed by NM, 10-Oct-2006.) (New usage is discouraged.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

Definition | df-gid 21700* | Define a function that maps a group operation to the group's identity element. (Contributed by FL, 5-Feb-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Dec-2013.) (New usage is discouraged.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

GId |

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