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Theorem mirval 23074
Description: Value of the point inversion function  S. Definition 7.5 of [Schwabhauser] p. 49. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mirval.p  |-  P  =  ( Base `  G
)
mirval.d  |-  .-  =  ( dist `  G )
mirval.i  |-  I  =  (Itv `  G )
mirval.l  |-  L  =  (LineG `  G )
mirval.s  |-  S  =  (pInvG `  G )
mirval.g  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
mirval.a  |-  ( ph  ->  A  e.  P )
Assertion
Ref Expression
mirval  |-  ( ph  ->  ( S `  A
)  =  ( y  e.  P  |->  ( iota_ z  e.  P  ( ( A  .-  z )  =  ( A  .-  y )  /\  A  e.  ( z I y ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    y, z, A    y, G, z    y, I, z    y, P, z    ph, y, z    y,  .- , z
Allowed substitution hints:    S( y, z)    L( y, z)

Proof of Theorem mirval
Dummy variables  x  g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mirval.s . . 3  |-  S  =  (pInvG `  G )
2 df-mir 23071 . . . . 5  |- pInvG  =  ( g  e.  _V  |->  ( x  e.  ( Base `  g )  |->  ( y  e.  ( Base `  g
)  |->  ( iota_ z  e.  ( Base `  g
) ( ( x ( dist `  g
) z )  =  ( x ( dist `  g ) y )  /\  x  e.  ( z (Itv `  g
) y ) ) ) ) ) )
32a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  -> pInvG  =  ( g  e. 
_V  |->  ( x  e.  ( Base `  g
)  |->  ( y  e.  ( Base `  g
)  |->  ( iota_ z  e.  ( Base `  g
) ( ( x ( dist `  g
) z )  =  ( x ( dist `  g ) y )  /\  x  e.  ( z (Itv `  g
) y ) ) ) ) ) ) )
4 fveq2 5706 . . . . . . 7  |-  ( g  =  G  ->  ( Base `  g )  =  ( Base `  G
) )
5 mirval.p . . . . . . 7  |-  P  =  ( Base `  G
)
64, 5syl6eqr 2493 . . . . . 6  |-  ( g  =  G  ->  ( Base `  g )  =  P )
7 fveq2 5706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g  =  G  ->  ( dist `  g )  =  ( dist `  G
) )
8 mirval.d . . . . . . . . . . . 12  |-  .-  =  ( dist `  G )
97, 8syl6eqr 2493 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g  =  G  ->  ( dist `  g )  = 
.-  )
109oveqd 6123 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  =  G  ->  (
x ( dist `  g
) z )  =  ( x  .-  z
) )
119oveqd 6123 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  =  G  ->  (
x ( dist `  g
) y )  =  ( x  .-  y
) )
1210, 11eqeq12d 2457 . . . . . . . . 9  |-  ( g  =  G  ->  (
( x ( dist `  g ) z )  =  ( x (
dist `  g )
y )  <->  ( x  .-  z )  =  ( x  .-  y ) ) )
13 fveq2 5706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g  =  G  ->  (Itv `  g )  =  (Itv
`  G ) )
14 mirval.i . . . . . . . . . . . 12  |-  I  =  (Itv `  G )
1513, 14syl6eqr 2493 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g  =  G  ->  (Itv `  g )  =  I )
1615oveqd 6123 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  =  G  ->  (
z (Itv `  g
) y )  =  ( z I y ) )
1716eleq2d 2510 . . . . . . . . 9  |-  ( g  =  G  ->  (
x  e.  ( z (Itv `  g )
y )  <->  x  e.  ( z I y ) ) )
1812, 17anbi12d 710 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  G  ->  (
( ( x (
dist `  g )
z )  =  ( x ( dist `  g
) y )  /\  x  e.  ( z
(Itv `  g )
y ) )  <->  ( (
x  .-  z )  =  ( x  .-  y )  /\  x  e.  ( z I y ) ) ) )
196, 18riotaeqbidv 6070 . . . . . . 7  |-  ( g  =  G  ->  ( iota_ z  e.  ( Base `  g ) ( ( x ( dist `  g
) z )  =  ( x ( dist `  g ) y )  /\  x  e.  ( z (Itv `  g
) y ) ) )  =  ( iota_ z  e.  P  ( ( x  .-  z )  =  ( x  .-  y )  /\  x  e.  ( z I y ) ) ) )
206, 19mpteq12dv 4385 . . . . . 6  |-  ( g  =  G  ->  (
y  e.  ( Base `  g )  |->  ( iota_ z  e.  ( Base `  g
) ( ( x ( dist `  g
) z )  =  ( x ( dist `  g ) y )  /\  x  e.  ( z (Itv `  g
) y ) ) ) )  =  ( y  e.  P  |->  (
iota_ z  e.  P  ( ( x  .-  z )  =  ( x  .-  y )  /\  x  e.  ( z I y ) ) ) ) )
216, 20mpteq12dv 4385 . . . . 5  |-  ( g  =  G  ->  (
x  e.  ( Base `  g )  |->  ( y  e.  ( Base `  g
)  |->  ( iota_ z  e.  ( Base `  g
) ( ( x ( dist `  g
) z )  =  ( x ( dist `  g ) y )  /\  x  e.  ( z (Itv `  g
) y ) ) ) ) )  =  ( x  e.  P  |->  ( y  e.  P  |->  ( iota_ z  e.  P  ( ( x  .-  z )  =  ( x  .-  y )  /\  x  e.  ( z I y ) ) ) ) ) )
2221adantl 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  g  =  G )  ->  (
x  e.  ( Base `  g )  |->  ( y  e.  ( Base `  g
)  |->  ( iota_ z  e.  ( Base `  g
) ( ( x ( dist `  g
) z )  =  ( x ( dist `  g ) y )  /\  x  e.  ( z (Itv `  g
) y ) ) ) ) )  =  ( x  e.  P  |->  ( y  e.  P  |->  ( iota_ z  e.  P  ( ( x  .-  z )  =  ( x  .-  y )  /\  x  e.  ( z I y ) ) ) ) ) )
23 mirval.g . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
24 elex 2996 . . . . 5  |-  ( G  e. TarskiG  ->  G  e.  _V )
2523, 24syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  _V )
26 fvex 5716 . . . . . . 7  |-  ( Base `  G )  e.  _V
275, 26eqeltri 2513 . . . . . 6  |-  P  e. 
_V
2827mptex 5963 . . . . 5  |-  ( x  e.  P  |->  ( y  e.  P  |->  ( iota_ z  e.  P  ( ( x  .-  z )  =  ( x  .-  y )  /\  x  e.  ( z I y ) ) ) ) )  e.  _V
2928a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  P  |->  ( y  e.  P  |->  ( iota_ z  e.  P  ( ( x  .-  z )  =  ( x  .-  y )  /\  x  e.  ( z I y ) ) ) ) )  e.  _V )
303, 22, 25, 29fvmptd 5794 . . 3  |-  ( ph  ->  (pInvG `  G )  =  ( x  e.  P  |->  ( y  e.  P  |->  ( iota_ z  e.  P  ( ( x 
.-  z )  =  ( x  .-  y
)  /\  x  e.  ( z I y ) ) ) ) ) )
311, 30syl5eq 2487 . 2  |-  ( ph  ->  S  =  ( x  e.  P  |->  ( y  e.  P  |->  ( iota_ z  e.  P  ( ( x  .-  z )  =  ( x  .-  y )  /\  x  e.  ( z I y ) ) ) ) ) )
32 simpll 753 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  =  A  /\  y  e.  P
)  /\  z  e.  P )  ->  x  =  A )
3332oveq1d 6121 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  =  A  /\  y  e.  P
)  /\  z  e.  P )  ->  (
x  .-  z )  =  ( A  .-  z ) )
3432oveq1d 6121 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  =  A  /\  y  e.  P
)  /\  z  e.  P )  ->  (
x  .-  y )  =  ( A  .-  y ) )
3533, 34eqeq12d 2457 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  =  A  /\  y  e.  P
)  /\  z  e.  P )  ->  (
( x  .-  z
)  =  ( x 
.-  y )  <->  ( A  .-  z )  =  ( A  .-  y ) ) )
3632eleq1d 2509 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  =  A  /\  y  e.  P
)  /\  z  e.  P )  ->  (
x  e.  ( z I y )  <->  A  e.  ( z I y ) ) )
3735, 36anbi12d 710 . . . . 5  |-  ( ( ( x  =  A  /\  y  e.  P
)  /\  z  e.  P )  ->  (
( ( x  .-  z )  =  ( x  .-  y )  /\  x  e.  ( z I y ) )  <->  ( ( A 
.-  z )  =  ( A  .-  y
)  /\  A  e.  ( z I y ) ) ) )
3837riotabidva 6084 . . . 4  |-  ( ( x  =  A  /\  y  e.  P )  ->  ( iota_ z  e.  P  ( ( x  .-  z )  =  ( x  .-  y )  /\  x  e.  ( z I y ) ) )  =  (
iota_ z  e.  P  ( ( A  .-  z )  =  ( A  .-  y )  /\  A  e.  ( z I y ) ) ) )
3938mpteq2dva 4393 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  (
y  e.  P  |->  (
iota_ z  e.  P  ( ( x  .-  z )  =  ( x  .-  y )  /\  x  e.  ( z I y ) ) ) )  =  ( y  e.  P  |->  ( iota_ z  e.  P  ( ( A  .-  z )  =  ( A  .-  y )  /\  A  e.  ( z I y ) ) ) ) )
4039adantl 466 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  =  A )  ->  (
y  e.  P  |->  (
iota_ z  e.  P  ( ( x  .-  z )  =  ( x  .-  y )  /\  x  e.  ( z I y ) ) ) )  =  ( y  e.  P  |->  ( iota_ z  e.  P  ( ( A  .-  z )  =  ( A  .-  y )  /\  A  e.  ( z I y ) ) ) ) )
41 mirval.a . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  P )
4227mptex 5963 . . 3  |-  ( y  e.  P  |->  ( iota_ z  e.  P  ( ( A  .-  z )  =  ( A  .-  y )  /\  A  e.  ( z I y ) ) ) )  e.  _V
4342a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  ( y  e.  P  |->  ( iota_ z  e.  P  ( ( A  .-  z )  =  ( A  .-  y )  /\  A  e.  ( z I y ) ) ) )  e. 
_V )
4431, 40, 41, 43fvmptd 5794 1  |-  ( ph  ->  ( S `  A
)  =  ( y  e.  P  |->  ( iota_ z  e.  P  ( ( A  .-  z )  =  ( A  .-  y )  /\  A  e.  ( z I y ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   _Vcvv 2987    e. cmpt 4365   ` cfv 5433   iota_crio 6066  (class class class)co 6106   Basecbs 14189   distcds 14262  TarskiGcstrkg 22904  Itvcitv 22912  LineGclng 22913  pInvGcmir 23070
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4418  ax-sep 4428  ax-nul 4436  ax-pr 4546
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-ral 2735  df-rex 2736  df-reu 2737  df-rab 2739  df-v 2989  df-sbc 3202  df-csb 3304  df-dif 3346  df-un 3348  df-in 3350  df-ss 3357  df-nul 3653  df-if 3807  df-sn 3893  df-pr 3895  df-op 3899  df-uni 4107  df-iun 4188  df-br 4308  df-opab 4366  df-mpt 4367  df-id 4651  df-xp 4861  df-rel 4862  df-cnv 4863  df-co 4864  df-dm 4865  df-rn 4866  df-res 4867  df-ima 4868  df-iota 5396  df-fun 5435  df-fn 5436  df-f 5437  df-f1 5438  df-fo 5439  df-f1o 5440  df-fv 5441  df-riota 6067  df-ov 6109  df-mir 23071
This theorem is referenced by:  mirfv  23075  mirf  23079
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