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Theorem mirreu3 23202
Description: Existential uniqueness of the mirror point. Theorem 7.8 of [Schwabhauser] p. 49. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mirreu.p  |-  P  =  ( Base `  G
)
mirreu.d  |-  .-  =  ( dist `  G )
mirreu.i  |-  I  =  (Itv `  G )
mirreu.g  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
mirreu.a  |-  ( ph  ->  A  e.  P )
mirreu.m  |-  ( ph  ->  M  e.  P )
Assertion
Ref Expression
mirreu3  |-  ( ph  ->  E! b  e.  P  ( ( M  .-  b )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( b I A ) ) )
Distinct variable groups:    .- , b    A, b    I, b    M, b    P, b    ph, b
Allowed substitution hint:    G( b)

Proof of Theorem mirreu3
Dummy variable  c is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mirreu.a . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  P )
21adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  =  M )  ->  A  e.  P )
3 eqidd 2455 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  =  M )  ->  ( M  .-  A )  =  ( M  .-  A
) )
4 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  =  M )  ->  A  =  M )
5 mirreu.p . . . . . . . 8  |-  P  =  ( Base `  G
)
6 mirreu.d . . . . . . . 8  |-  .-  =  ( dist `  G )
7 mirreu.i . . . . . . . 8  |-  I  =  (Itv `  G )
8 mirreu.g . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
98adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  =  M )  ->  G  e. TarskiG )
105, 6, 7, 9, 2, 2tgbtwntriv2 23078 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  =  M )  ->  A  e.  ( A I A ) )
114, 10eqeltrrd 2543 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  =  M )  ->  M  e.  ( A I A ) )
123, 11jca 532 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  =  M )  ->  (
( M  .-  A
)  =  ( M 
.-  A )  /\  M  e.  ( A I A ) ) )
13 oveq2 6211 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  A  ->  ( M  .-  b )  =  ( M  .-  A
) )
1413eqeq1d 2456 . . . . . . 7  |-  ( b  =  A  ->  (
( M  .-  b
)  =  ( M 
.-  A )  <->  ( M  .-  A )  =  ( M  .-  A ) ) )
15 oveq1 6210 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  A  ->  (
b I A )  =  ( A I A ) )
1615eleq2d 2524 . . . . . . 7  |-  ( b  =  A  ->  ( M  e.  ( b
I A )  <->  M  e.  ( A I A ) ) )
1714, 16anbi12d 710 . . . . . 6  |-  ( b  =  A  ->  (
( ( M  .-  b )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( b I A ) )  <->  ( ( M 
.-  A )  =  ( M  .-  A
)  /\  M  e.  ( A I A ) ) ) )
1817rspcev 3179 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  P  /\  ( ( M  .-  A )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( A I A ) ) )  ->  E. b  e.  P  ( ( M  .-  b )  =  ( M  .-  A
)  /\  M  e.  ( b I A ) ) )
192, 12, 18syl2anc 661 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  =  M )  ->  E. b  e.  P  ( ( M  .-  b )  =  ( M  .-  A
)  /\  M  e.  ( b I A ) ) )
209ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  =  M )  /\  ( b  e.  P  /\  c  e.  P
) )  /\  (
( ( M  .-  b )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( b I A ) )  /\  ( ( M  .-  c )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( c I A ) ) ) )  ->  G  e. TarskiG )
21 mirreu.m . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  P )
2221ad3antrrr 729 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  =  M )  /\  ( b  e.  P  /\  c  e.  P
) )  /\  (
( ( M  .-  b )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( b I A ) )  /\  ( ( M  .-  c )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( c I A ) ) ) )  ->  M  e.  P
)
23 simplrl 759 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  =  M )  /\  ( b  e.  P  /\  c  e.  P
) )  /\  (
( ( M  .-  b )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( b I A ) )  /\  ( ( M  .-  c )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( c I A ) ) ) )  ->  b  e.  P
)
24 simprll 761 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  =  M )  /\  ( b  e.  P  /\  c  e.  P
) )  /\  (
( ( M  .-  b )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( b I A ) )  /\  ( ( M  .-  c )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( c I A ) ) ) )  ->  ( M  .-  b )  =  ( M  .-  A ) )
25 simpllr 758 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  =  M )  /\  ( b  e.  P  /\  c  e.  P
) )  /\  (
( ( M  .-  b )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( b I A ) )  /\  ( ( M  .-  c )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( c I A ) ) ) )  ->  A  =  M )
2625oveq2d 6219 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  =  M )  /\  ( b  e.  P  /\  c  e.  P
) )  /\  (
( ( M  .-  b )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( b I A ) )  /\  ( ( M  .-  c )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( c I A ) ) ) )  ->  ( M  .-  A )  =  ( M  .-  M ) )
2724, 26eqtrd 2495 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  =  M )  /\  ( b  e.  P  /\  c  e.  P
) )  /\  (
( ( M  .-  b )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( b I A ) )  /\  ( ( M  .-  c )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( c I A ) ) ) )  ->  ( M  .-  b )  =  ( M  .-  M ) )
285, 6, 7, 20, 22, 23, 22, 27axtgcgrid 23060 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  =  M )  /\  ( b  e.  P  /\  c  e.  P
) )  /\  (
( ( M  .-  b )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( b I A ) )  /\  ( ( M  .-  c )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( c I A ) ) ) )  ->  M  =  b )
29 simplrr 760 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  =  M )  /\  ( b  e.  P  /\  c  e.  P
) )  /\  (
( ( M  .-  b )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( b I A ) )  /\  ( ( M  .-  c )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( c I A ) ) ) )  ->  c  e.  P
)
30 simprrl 763 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  =  M )  /\  ( b  e.  P  /\  c  e.  P
) )  /\  (
( ( M  .-  b )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( b I A ) )  /\  ( ( M  .-  c )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( c I A ) ) ) )  ->  ( M  .-  c )  =  ( M  .-  A ) )
3130, 26eqtrd 2495 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  =  M )  /\  ( b  e.  P  /\  c  e.  P
) )  /\  (
( ( M  .-  b )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( b I A ) )  /\  ( ( M  .-  c )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( c I A ) ) ) )  ->  ( M  .-  c )  =  ( M  .-  M ) )
325, 6, 7, 20, 22, 29, 22, 31axtgcgrid 23060 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  =  M )  /\  ( b  e.  P  /\  c  e.  P
) )  /\  (
( ( M  .-  b )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( b I A ) )  /\  ( ( M  .-  c )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( c I A ) ) ) )  ->  M  =  c )
3328, 32eqtr3d 2497 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  =  M )  /\  ( b  e.  P  /\  c  e.  P
) )  /\  (
( ( M  .-  b )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( b I A ) )  /\  ( ( M  .-  c )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( c I A ) ) ) )  ->  b  =  c )
3433ex 434 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  M )  /\  (
b  e.  P  /\  c  e.  P )
)  ->  ( (
( ( M  .-  b )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( b I A ) )  /\  ( ( M  .-  c )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( c I A ) ) )  -> 
b  =  c ) )
3534ralrimivva 2914 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  =  M )  ->  A. b  e.  P  A. c  e.  P  ( (
( ( M  .-  b )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( b I A ) )  /\  ( ( M  .-  c )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( c I A ) ) )  -> 
b  =  c ) )
3619, 35jca 532 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  =  M )  ->  ( E. b  e.  P  ( ( M  .-  b )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( b I A ) )  /\  A. b  e.  P  A. c  e.  P  ( (
( ( M  .-  b )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( b I A ) )  /\  ( ( M  .-  c )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( c I A ) ) )  -> 
b  =  c ) ) )
378adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  M )  ->  G  e. TarskiG )
381adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  M )  ->  A  e.  P )
3921adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  M )  ->  M  e.  P )
405, 6, 7, 37, 38, 39, 39, 38axtgsegcon 23061 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  M )  ->  E. b  e.  P  ( M  e.  ( A I b )  /\  ( M 
.-  b )  =  ( M  .-  A
) ) )
41 ancom 450 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ( A I b )  /\  ( M  .-  b )  =  ( M  .-  A ) )  <->  ( ( M  .-  b )  =  ( M  .-  A
)  /\  M  e.  ( A I b ) ) )
428adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  b  e.  P )  ->  G  e. TarskiG )
431adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  b  e.  P )  ->  A  e.  P )
4421adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  b  e.  P )  ->  M  e.  P )
45 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  b  e.  P )  ->  b  e.  P )
465, 6, 7, 42, 43, 44, 45tgbtwncomb 23080 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  b  e.  P )  ->  ( M  e.  ( A I b )  <->  M  e.  ( b I A ) ) )
4746anbi2d 703 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  b  e.  P )  ->  (
( ( M  .-  b )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( A I b ) )  <->  ( ( M 
.-  b )  =  ( M  .-  A
)  /\  M  e.  ( b I A ) ) ) )
4841, 47syl5bb 257 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  b  e.  P )  ->  (
( M  e.  ( A I b )  /\  ( M  .-  b )  =  ( M  .-  A ) )  <->  ( ( M 
.-  b )  =  ( M  .-  A
)  /\  M  e.  ( b I A ) ) ) )
4948rexbidva 2865 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E. b  e.  P  ( M  e.  ( A I b )  /\  ( M 
.-  b )  =  ( M  .-  A
) )  <->  E. b  e.  P  ( ( M  .-  b )  =  ( M  .-  A
)  /\  M  e.  ( b I A ) ) ) )
5049adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  M )  ->  ( E. b  e.  P  ( M  e.  ( A I b )  /\  ( M  .-  b )  =  ( M  .-  A ) )  <->  E. b  e.  P  ( ( M  .-  b )  =  ( M  .-  A
)  /\  M  e.  ( b I A ) ) ) )
5140, 50mpbid 210 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  M )  ->  E. b  e.  P  ( ( M  .-  b )  =  ( M  .-  A
)  /\  M  e.  ( b I A ) ) )
5237ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  =/=  M )  /\  ( b  e.  P  /\  c  e.  P
) )  /\  (
( ( M  .-  b )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( b I A ) )  /\  ( ( M  .-  c )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( c I A ) ) ) )  ->  G  e. TarskiG )
5339ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  =/=  M )  /\  ( b  e.  P  /\  c  e.  P
) )  /\  (
( ( M  .-  b )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( b I A ) )  /\  ( ( M  .-  c )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( c I A ) ) ) )  ->  M  e.  P
)
5438ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  =/=  M )  /\  ( b  e.  P  /\  c  e.  P
) )  /\  (
( ( M  .-  b )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( b I A ) )  /\  ( ( M  .-  c )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( c I A ) ) ) )  ->  A  e.  P
)
55 simplrl 759 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  =/=  M )  /\  ( b  e.  P  /\  c  e.  P
) )  /\  (
( ( M  .-  b )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( b I A ) )  /\  ( ( M  .-  c )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( c I A ) ) ) )  ->  b  e.  P
)
56 simplrr 760 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  =/=  M )  /\  ( b  e.  P  /\  c  e.  P
) )  /\  (
( ( M  .-  b )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( b I A ) )  /\  ( ( M  .-  c )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( c I A ) ) ) )  ->  c  e.  P
)
57 simpllr 758 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  =/=  M )  /\  ( b  e.  P  /\  c  e.  P
) )  /\  (
( ( M  .-  b )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( b I A ) )  /\  ( ( M  .-  c )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( c I A ) ) ) )  ->  A  =/=  M
)
58 simprlr 762 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  =/=  M )  /\  ( b  e.  P  /\  c  e.  P
) )  /\  (
( ( M  .-  b )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( b I A ) )  /\  ( ( M  .-  c )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( c I A ) ) ) )  ->  M  e.  ( b I A ) )
595, 6, 7, 52, 55, 53, 54, 58tgbtwncom 23079 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  =/=  M )  /\  ( b  e.  P  /\  c  e.  P
) )  /\  (
( ( M  .-  b )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( b I A ) )  /\  ( ( M  .-  c )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( c I A ) ) ) )  ->  M  e.  ( A I b ) )
60 simprrr 764 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  =/=  M )  /\  ( b  e.  P  /\  c  e.  P
) )  /\  (
( ( M  .-  b )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( b I A ) )  /\  ( ( M  .-  c )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( c I A ) ) ) )  ->  M  e.  ( c I A ) )
615, 6, 7, 52, 56, 53, 54, 60tgbtwncom 23079 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  =/=  M )  /\  ( b  e.  P  /\  c  e.  P
) )  /\  (
( ( M  .-  b )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( b I A ) )  /\  ( ( M  .-  c )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( c I A ) ) ) )  ->  M  e.  ( A I c ) )
62 simprll 761 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  =/=  M )  /\  ( b  e.  P  /\  c  e.  P
) )  /\  (
( ( M  .-  b )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( b I A ) )  /\  ( ( M  .-  c )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( c I A ) ) ) )  ->  ( M  .-  b )  =  ( M  .-  A ) )
63 simprrl 763 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  =/=  M )  /\  ( b  e.  P  /\  c  e.  P
) )  /\  (
( ( M  .-  b )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( b I A ) )  /\  ( ( M  .-  c )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( c I A ) ) ) )  ->  ( M  .-  c )  =  ( M  .-  A ) )
645, 6, 7, 52, 53, 53, 54, 54, 55, 56, 57, 59, 61, 62, 63tgsegconeq 23077 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  =/=  M )  /\  ( b  e.  P  /\  c  e.  P
) )  /\  (
( ( M  .-  b )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( b I A ) )  /\  ( ( M  .-  c )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( c I A ) ) ) )  ->  b  =  c )
6564ex 434 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A  =/=  M )  /\  (
b  e.  P  /\  c  e.  P )
)  ->  ( (
( ( M  .-  b )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( b I A ) )  /\  ( ( M  .-  c )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( c I A ) ) )  -> 
b  =  c ) )
6665ralrimivva 2914 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  M )  ->  A. b  e.  P  A. c  e.  P  ( (
( ( M  .-  b )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( b I A ) )  /\  ( ( M  .-  c )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( c I A ) ) )  -> 
b  =  c ) )
6751, 66jca 532 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  M )  ->  ( E. b  e.  P  (
( M  .-  b
)  =  ( M 
.-  A )  /\  M  e.  ( b
I A ) )  /\  A. b  e.  P  A. c  e.  P  ( ( ( ( M  .-  b
)  =  ( M 
.-  A )  /\  M  e.  ( b
I A ) )  /\  ( ( M 
.-  c )  =  ( M  .-  A
)  /\  M  e.  ( c I A ) ) )  -> 
b  =  c ) ) )
6836, 67pm2.61dane 2770 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. b  e.  P  ( ( M 
.-  b )  =  ( M  .-  A
)  /\  M  e.  ( b I A ) )  /\  A. b  e.  P  A. c  e.  P  (
( ( ( M 
.-  b )  =  ( M  .-  A
)  /\  M  e.  ( b I A ) )  /\  (
( M  .-  c
)  =  ( M 
.-  A )  /\  M  e.  ( c
I A ) ) )  ->  b  =  c ) ) )
69 oveq2 6211 . . . . 5  |-  ( b  =  c  ->  ( M  .-  b )  =  ( M  .-  c
) )
7069eqeq1d 2456 . . . 4  |-  ( b  =  c  ->  (
( M  .-  b
)  =  ( M 
.-  A )  <->  ( M  .-  c )  =  ( M  .-  A ) ) )
71 oveq1 6210 . . . . 5  |-  ( b  =  c  ->  (
b I A )  =  ( c I A ) )
7271eleq2d 2524 . . . 4  |-  ( b  =  c  ->  ( M  e.  ( b
I A )  <->  M  e.  ( c I A ) ) )
7370, 72anbi12d 710 . . 3  |-  ( b  =  c  ->  (
( ( M  .-  b )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( b I A ) )  <->  ( ( M 
.-  c )  =  ( M  .-  A
)  /\  M  e.  ( c I A ) ) ) )
7473reu4 3260 . 2  |-  ( E! b  e.  P  ( ( M  .-  b
)  =  ( M 
.-  A )  /\  M  e.  ( b
I A ) )  <-> 
( E. b  e.  P  ( ( M 
.-  b )  =  ( M  .-  A
)  /\  M  e.  ( b I A ) )  /\  A. b  e.  P  A. c  e.  P  (
( ( ( M 
.-  b )  =  ( M  .-  A
)  /\  M  e.  ( b I A ) )  /\  (
( M  .-  c
)  =  ( M 
.-  A )  /\  M  e.  ( c
I A ) ) )  ->  b  =  c ) ) )
7568, 74sylibr 212 1  |-  ( ph  ->  E! b  e.  P  ( ( M  .-  b )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( b I A ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2648   A.wral 2799   E.wrex 2800   E!wreu 2801   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   Basecbs 14295   distcds 14369  TarskiGcstrkg 23025  Itvcitv 23032
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-nul 4532
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-op 3995  df-uni 4203  df-br 4404  df-iota 5492  df-fv 5537  df-ov 6206  df-trkgc 23044  df-trkgb 23045  df-trkgcb 23046  df-trkg 23050
This theorem is referenced by:  mircgr  23205  mirbtwn  23206  ismir  23207  mirf  23208  mireq  23213
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