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Theorem mirreu3 23202
Description: Existential uniqueness of the mirror point. Theorem 7.8 of [Schwabhauser] p. 49. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mirreu.p |- P = ( Base ` G )
mirreu.d |- .- = ( dist ` G )
mirreu.i |- I = (Itv ` G )
mirreu.g |- ( ph -> G e. TarskiG )
mirreu.a |- ( ph -> A e. P )
mirreu.m |- ( ph -> M e. P )
Assertion
Ref Expression
mirreu3 |- ( ph -> E! b e. P ( ( M .- b ) = ( M .- A ) /\ M e. ( b I A ) ) )
Distinct variable groups:   .- , b   A, b   I, b   M, b   P, b   ph, b
Allowed substitution hint:   G( b)
Proof of Theorem mirreu3
Dummy variable c is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mirreu.a . . . . . 6 |- ( ph -> A e. P )
21adantr 465 . . . . 5 |- ( ( ph /\ A = M ) -> A e. P )
3 eqidd 2455 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ A = M ) -> ( M .- A ) = ( M .- A ) )
4 simpr 461 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ A = M ) -> A = M )
5 mirreu.p . . . . . . . 8 |- P = ( Base ` G )
6 mirreu.d . . . . . . . 8 |- .- = ( dist ` G )
7 mirreu.i . . . . . . . 8 |- I = (Itv ` G )
8 mirreu.g . . . . . . . . 9 |- ( ph -> G e. TarskiG )
98adantr 465 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ A = M ) -> G e. TarskiG )
105, 6, 7, 9, 2, 2tgbtwntriv2 23078 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ A = M ) -> A e. ( A I A ) )
114, 10eqeltrrd 2543 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ A = M ) -> M e. ( A I A ) )
123, 11jca 532 . . . . 5 |- ( ( ph /\ A = M ) -> ( ( M .- A ) = ( M .- A ) /\ M e. ( A I A ) ) )
13 oveq2 6211 . . . . . . . 8 |- ( b = A -> ( M .- b ) = ( M .- A ) )
1413eqeq1d 2456 . . . . . . 7 |- ( b = A -> ( ( M .- b ) = ( M .- A ) <-> ( M .- A ) = ( M .- A ) ) )
15 oveq1 6210 . . . . . . . 8 |- ( b = A -> ( b I A ) = ( A I A ) )
1615eleq2d 2524 . . . . . . 7 |- ( b = A -> ( M e. ( b I A ) <-> M e. ( A I A ) ) )
1714, 16anbi12d 710 . . . . . 6 |- ( b = A -> ( ( ( M .- b ) = ( M .- A ) /\ M e. ( b I A ) ) <-> ( ( M .- A ) = ( M .- A ) /\ M e. ( A I A ) ) ) )
1817rspcev 3179 . . . . 5 |- ( ( A e. P /\ ( ( M .- A ) = ( M .- A ) /\ M e. ( A I A ) ) ) -> E. b e. P ( ( M .- b ) = ( M .- A ) /\ M e. ( b I A ) ) )
192, 12, 18syl2anc 661 . . . 4 |- ( ( ph /\ A = M ) -> E. b e. P ( ( M .- b ) = ( M .- A ) /\ M e. ( b I A ) ) )
209ad2antrr 725 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ A = M ) /\ ( b e. P /\ c e. P ) ) /\ ( ( ( M .- b ) = ( M .- A ) /\ M e. ( b I A ) ) /\ ( ( M .- c ) = ( M .- A ) /\ M e. ( c I A ) ) ) ) -> G e. TarskiG )
21 mirreu.m . . . . . . . . 9 |- ( ph -> M e. P )
2221ad3antrrr 729 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ A = M ) /\ ( b e. P /\ c e. P ) ) /\ ( ( ( M .- b ) = ( M .- A ) /\ M e. ( b I A ) ) /\ ( ( M .- c ) = ( M .- A ) /\ M e. ( c I A ) ) ) ) -> M e. P )
23 simplrl 759 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ A = M ) /\ ( b e. P /\ c e. P ) ) /\ ( ( ( M .- b ) = ( M .- A ) /\ M e. ( b I A ) ) /\ ( ( M .- c ) = ( M .- A ) /\ M e. ( c I A ) ) ) ) -> b e. P )
24 simprll 761 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ A = M ) /\ ( b e. P /\ c e. P ) ) /\ ( ( ( M .- b ) = ( M .- A ) /\ M e. ( b I A ) ) /\ ( ( M .- c ) = ( M .- A ) /\ M e. ( c I A ) ) ) ) -> ( M .- b ) = ( M .- A ) )
25 simpllr 758 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ A = M ) /\ ( b e. P /\ c e. P ) ) /\ ( ( ( M .- b ) = ( M .- A ) /\ M e. ( b I A ) ) /\ ( ( M .- c ) = ( M .- A ) /\ M e. ( c I A ) ) ) ) -> A = M )
2625oveq2d 6219 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ A = M ) /\ ( b e. P /\ c e. P ) ) /\ ( ( ( M .- b ) = ( M .- A ) /\ M e. ( b I A ) ) /\ ( ( M .- c ) = ( M .- A ) /\ M e. ( c I A ) ) ) ) -> ( M .- A ) = ( M .- M ) )
2724, 26eqtrd 2495 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ A = M ) /\ ( b e. P /\ c e. P ) ) /\ ( ( ( M .- b ) = ( M .- A ) /\ M e. ( b I A ) ) /\ ( ( M .- c ) = ( M .- A ) /\ M e. ( c I A ) ) ) ) -> ( M .- b ) = ( M .- M ) )
285, 6, 7, 20, 22, 23, 22, 27axtgcgrid 23060 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ A = M ) /\ ( b e. P /\ c e. P ) ) /\ ( ( ( M .- b ) = ( M .- A ) /\ M e. ( b I A ) ) /\ ( ( M .- c ) = ( M .- A ) /\ M e. ( c I A ) ) ) ) -> M = b )
29 simplrr 760 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ A = M ) /\ ( b e. P /\ c e. P ) ) /\ ( ( ( M .- b ) = ( M .- A ) /\ M e. ( b I A ) ) /\ ( ( M .- c ) = ( M .- A ) /\ M e. ( c I A ) ) ) ) -> c e. P )
30 simprrl 763 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ A = M ) /\ ( b e. P /\ c e. P ) ) /\ ( ( ( M .- b ) = ( M .- A ) /\ M e. ( b I A ) ) /\ ( ( M .- c ) = ( M .- A ) /\ M e. ( c I A ) ) ) ) -> ( M .- c ) = ( M .- A ) )
3130, 26eqtrd 2495 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ A = M ) /\ ( b e. P /\ c e. P ) ) /\ ( ( ( M .- b ) = ( M .- A ) /\ M e. ( b I A ) ) /\ ( ( M .- c ) = ( M .- A ) /\ M e. ( c I A ) ) ) ) -> ( M .- c ) = ( M .- M ) )
325, 6, 7, 20, 22, 29, 22, 31axtgcgrid 23060 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ A = M ) /\ ( b e. P /\ c e. P ) ) /\ ( ( ( M .- b ) = ( M .- A ) /\ M e. ( b I A ) ) /\ ( ( M .- c ) = ( M .- A ) /\ M e. ( c I A ) ) ) ) -> M = c )
3328, 32eqtr3d 2497 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ A = M ) /\ ( b e. P /\ c e. P ) ) /\ ( ( ( M .- b ) = ( M .- A ) /\ M e. ( b I A ) ) /\ ( ( M .- c ) = ( M .- A ) /\ M e. ( c I A ) ) ) ) -> b = c )
3433ex 434 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ A = M ) /\ ( b e. P /\ c e. P ) ) -> ( ( ( ( M .- b ) = ( M .- A ) /\ M e. ( b I A ) ) /\ ( ( M .- c ) = ( M .- A ) /\ M e. ( c I A ) ) ) -> b = c ) )
3534ralrimivva 2914 . . . 4 |- ( ( ph /\ A = M ) -> A. b e. P A. c e. P ( ( ( ( M .- b ) = ( M .- A ) /\ M e. ( b I A ) ) /\ ( ( M .- c ) = ( M .- A ) /\ M e. ( c I A ) ) ) -> b = c ) )
3619, 35jca 532 . . 3 |- ( ( ph /\ A = M ) -> ( E. b e. P ( ( M .- b ) = ( M .- A ) /\ M e. ( b I A ) ) /\ A. b e. P A. c e. P ( ( ( ( M .- b ) = ( M .- A ) /\ M e. ( b I A ) ) /\ ( ( M .- c ) = ( M .- A ) /\ M e. ( c I A ) ) ) -> b = c ) ) )
378adantr 465 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ A =/= M ) -> G e. TarskiG )
381adantr 465 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ A =/= M ) -> A e. P )
3921adantr 465 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ A =/= M ) -> M e. P )
405, 6, 7, 37, 38, 39, 39, 38axtgsegcon 23061 . . . . 5 |- ( ( ph /\ A =/= M ) -> E. b e. P ( M e. ( A I b ) /\ ( M .- b ) = ( M .- A ) ) )
41 ancom 450 . . . . . . . 8 |- ( ( M e. ( A I b ) /\ ( M .- b ) = ( M .- A ) ) <-> ( ( M .- b ) = ( M .- A ) /\ M e. ( A I b ) ) )
428adantr 465 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ b e. P ) -> G e. TarskiG )
431adantr 465 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ b e. P ) -> A e. P )
4421adantr 465 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ b e. P ) -> M e. P )
45 simpr 461 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ b e. P ) -> b e. P )
465, 6, 7, 42, 43, 44, 45tgbtwncomb 23080 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ b e. P ) -> ( M e. ( A I b ) <-> M e. ( b I A ) ) )
4746anbi2d 703 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ b e. P ) -> ( ( ( M .- b ) = ( M .- A ) /\ M e. ( A I b ) ) <-> ( ( M .- b ) = ( M .- A ) /\ M e. ( b I A ) ) ) )
4841, 47syl5bb 257 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ b e. P ) -> ( ( M e. ( A I b ) /\ ( M .- b ) = ( M .- A ) ) <-> ( ( M .- b ) = ( M .- A ) /\ M e. ( b I A ) ) ) )
4948rexbidva 2865 . . . . . 6 |- ( ph -> ( E. b e. P ( M e. ( A I b ) /\ ( M .- b ) = ( M .- A ) ) <-> E. b e. P ( ( M .- b ) = ( M .- A ) /\ M e. ( b I A ) ) ) )
5049adantr 465 . . . . 5 |- ( ( ph /\ A =/= M ) -> ( E. b e. P ( M e. ( A I b ) /\ ( M .- b ) = ( M .- A ) ) <-> E. b e. P ( ( M .- b ) = ( M .- A ) /\ M e. ( b I A ) ) ) )
5140, 50mpbid 210 . . . 4 |- ( ( ph /\ A =/= M ) -> E. b e. P ( ( M .- b ) = ( M .- A ) /\ M e. ( b I A ) ) )
5237ad2antrr 725 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ A =/= M ) /\ ( b e. P /\ c e. P ) ) /\ ( ( ( M .- b ) = ( M .- A ) /\ M e. ( b I A ) ) /\ ( ( M .- c ) = ( M .- A ) /\ M e. ( c I A ) ) ) ) -> G e. TarskiG )
5339ad2antrr 725 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ A =/= M ) /\ ( b e. P /\ c e. P ) ) /\ ( ( ( M .- b ) = ( M .- A ) /\ M e. ( b I A ) ) /\ ( ( M .- c ) = ( M .- A ) /\ M e. ( c I A ) ) ) ) -> M e. P )
5438ad2antrr 725 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ A =/= M ) /\ ( b e. P /\ c e. P ) ) /\ ( ( ( M .- b ) = ( M .- A ) /\ M e. ( b I A ) ) /\ ( ( M .- c ) = ( M .- A ) /\ M e. ( c I A ) ) ) ) -> A e. P )
55 simplrl 759 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ A =/= M ) /\ ( b e. P /\ c e. P ) ) /\ ( ( ( M .- b ) = ( M .- A ) /\ M e. ( b I A ) ) /\ ( ( M .- c ) = ( M .- A ) /\ M e. ( c I A ) ) ) ) -> b e. P )
56 simplrr 760 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ A =/= M ) /\ ( b e. P /\ c e. P ) ) /\ ( ( ( M .- b ) = ( M .- A ) /\ M e. ( b I A ) ) /\ ( ( M .- c ) = ( M .- A ) /\ M e. ( c I A ) ) ) ) -> c e. P )
57 simpllr 758 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ A =/= M ) /\ ( b e. P /\ c e. P ) ) /\ ( ( ( M .- b ) = ( M .- A ) /\ M e. ( b I A ) ) /\ ( ( M .- c ) = ( M .- A ) /\ M e. ( c I A ) ) ) ) -> A =/= M )
58 simprlr 762 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ A =/= M ) /\ ( b e. P /\ c e. P ) ) /\ ( ( ( M .- b ) = ( M .- A ) /\ M e. ( b I A ) ) /\ ( ( M .- c ) = ( M .- A ) /\ M e. ( c I A ) ) ) ) -> M e. ( b I A ) )
595, 6, 7, 52, 55, 53, 54, 58tgbtwncom 23079 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ A =/= M ) /\ ( b e. P /\ c e. P ) ) /\ ( ( ( M .- b ) = ( M .- A ) /\ M e. ( b I A ) ) /\ ( ( M .- c ) = ( M .- A ) /\ M e. ( c I A ) ) ) ) -> M e. ( A I b ) )
60 simprrr 764 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ A =/= M ) /\ ( b e. P /\ c e. P ) ) /\ ( ( ( M .- b ) = ( M .- A ) /\ M e. ( b I A ) ) /\ ( ( M .- c ) = ( M .- A ) /\ M e. ( c I A ) ) ) ) -> M e. ( c I A ) )
615, 6, 7, 52, 56, 53, 54, 60tgbtwncom 23079 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ A =/= M ) /\ ( b e. P /\ c e. P ) ) /\ ( ( ( M .- b ) = ( M .- A ) /\ M e. ( b I A ) ) /\ ( ( M .- c ) = ( M .- A ) /\ M e. ( c I A ) ) ) ) -> M e. ( A I c ) )
62 simprll 761 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ A =/= M ) /\ ( b e. P /\ c e. P ) ) /\ ( ( ( M .- b ) = ( M .- A ) /\ M e. ( b I A ) ) /\ ( ( M .- c ) = ( M .- A ) /\ M e. ( c I A ) ) ) ) -> ( M .- b ) = ( M .- A ) )
63 simprrl 763 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ A =/= M ) /\ ( b e. P /\ c e. P ) ) /\ ( ( ( M .- b ) = ( M .- A ) /\ M e. ( b I A ) ) /\ ( ( M .- c ) = ( M .- A ) /\ M e. ( c I A ) ) ) ) -> ( M .- c ) = ( M .- A ) )
645, 6, 7, 52, 53, 53, 54, 54, 55, 56, 57, 59, 61, 62, 63tgsegconeq 23077 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ A =/= M ) /\ ( b e. P /\ c e. P ) ) /\ ( ( ( M .- b ) = ( M .- A ) /\ M e. ( b I A ) ) /\ ( ( M .- c ) = ( M .- A ) /\ M e. ( c I A ) ) ) ) -> b = c )
6564ex 434 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ A =/= M ) /\ ( b e. P /\ c e. P ) ) -> ( ( ( ( M .- b ) = ( M .- A ) /\ M e. ( b I A ) ) /\ ( ( M .- c ) = ( M .- A ) /\ M e. ( c I A ) ) ) -> b = c ) )
6665ralrimivva 2914 . . . 4 |- ( ( ph /\ A =/= M ) -> A. b e. P A. c e. P ( ( ( ( M .- b ) = ( M .- A ) /\ M e. ( b I A ) ) /\ ( ( M .- c ) = ( M .- A ) /\ M e. ( c I A ) ) ) -> b = c ) )
6751, 66jca 532 . . 3 |- ( ( ph /\ A =/= M ) -> ( E. b e. P ( ( M .- b ) = ( M .- A ) /\ M e. ( b I A ) ) /\ A. b e. P A. c e. P ( ( ( ( M .- b ) = ( M .- A ) /\ M e. ( b I A ) ) /\ ( ( M .- c ) = ( M .- A ) /\ M e. ( c I A ) ) ) -> b = c ) ) )
6836, 67pm2.61dane 2770 . 2 |- ( ph -> ( E. b e. P ( ( M .- b ) = ( M .- A ) /\ M e. ( b I A ) ) /\ A. b e. P A. c e. P ( ( ( ( M .- b ) = ( M .- A ) /\ M e. ( b I A ) ) /\ ( ( M .- c ) = ( M .- A ) /\ M e. ( c I A ) ) ) -> b = c ) ) )
69 oveq2 6211 . . . . 5 |- ( b = c -> ( M .- b ) = ( M .- c ) )
7069eqeq1d 2456 . . . 4 |- ( b = c -> ( ( M .- b ) = ( M .- A ) <-> ( M .- c ) = ( M .- A ) ) )
71 oveq1 6210 . . . . 5 |- ( b = c -> ( b I A ) = ( c I A ) )
7271eleq2d 2524 . . . 4 |- ( b = c -> ( M e. ( b I A ) <-> M e. ( c I A ) ) )
7370, 72anbi12d 710 . . 3 |- ( b = c -> ( ( ( M .- b ) = ( M .- A ) /\ M e. ( b I A ) ) <-> ( ( M .- c ) = ( M .- A ) /\ M e. ( c I A ) ) ) )
7473reu4 3260 . 2 |- ( E! b e. P ( ( M .- b ) = ( M .- A ) /\ M e. ( b I A ) ) <-> ( E. b e. P ( ( M .- b ) = ( M .- A ) /\ M e. ( b I A ) ) /\ A. b e. P A. c e. P ( ( ( ( M .- b ) = ( M .- A ) /\ M e. ( b I A ) ) /\ ( ( M .- c ) = ( M .- A ) /\ M e. ( c I A ) ) ) -> b = c ) ) )
7568, 74sylibr 212 1 |- ( ph -> E! b e. P ( ( M .- b ) = ( M .- A ) /\ M e. ( b I A ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1370   e. wcel 1758   =/= wne 2648   A.wral 2799   E.wrex 2800   E!wreu 2801   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   Basecbs 14295   distcds 14369  TarskiGcstrkg 23025  Itvcitv 23032
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-nul 4532
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-op 3995  df-uni 4203  df-br 4404  df-iota 5492  df-fv 5537  df-ov 6206  df-trkgc 23044  df-trkgb 23045  df-trkgcb 23046  df-trkg 23050
This theorem is referenced by:  mircgr  23205  mirbtwn  23206  ismir  23207  mirf  23208  mireq  23213
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