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Theorem mirreu3 24747
Description: Existential uniqueness of the mirror point. Theorem 7.8 of [Schwabhauser] p. 49. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mirreu.p  |-  P  =  ( Base `  G
)
mirreu.d  |-  .-  =  ( dist `  G )
mirreu.i  |-  I  =  (Itv `  G )
mirreu.g  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
mirreu.a  |-  ( ph  ->  A  e.  P )
mirreu.m  |-  ( ph  ->  M  e.  P )
Assertion
Ref Expression
mirreu3  |-  ( ph  ->  E! b  e.  P  ( ( M  .-  b )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( b I A ) ) )
Distinct variable groups:    .- , b    A, b    I, b    M, b    P, b    ph, b
Allowed substitution hint:    G( b)

Proof of Theorem mirreu3
Dummy variable  c is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mirreu.a . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  P )
21adantr 471 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  =  M )  ->  A  e.  P )
3 eqidd 2462 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  =  M )  ->  ( M  .-  A )  =  ( M  .-  A
) )
4 simpr 467 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  =  M )  ->  A  =  M )
5 mirreu.p . . . . . . 7  |-  P  =  ( Base `  G
)
6 mirreu.d . . . . . . 7  |-  .-  =  ( dist `  G )
7 mirreu.i . . . . . . 7  |-  I  =  (Itv `  G )
8 mirreu.g . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
98adantr 471 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  =  M )  ->  G  e. TarskiG )
105, 6, 7, 9, 2, 2tgbtwntriv2 24579 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  =  M )  ->  A  e.  ( A I A ) )
114, 10eqeltrrd 2540 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  =  M )  ->  M  e.  ( A I A ) )
12 oveq2 6322 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  A  ->  ( M  .-  b )  =  ( M  .-  A
) )
1312eqeq1d 2463 . . . . . . 7  |-  ( b  =  A  ->  (
( M  .-  b
)  =  ( M 
.-  A )  <->  ( M  .-  A )  =  ( M  .-  A ) ) )
14 oveq1 6321 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  A  ->  (
b I A )  =  ( A I A ) )
1514eleq2d 2524 . . . . . . 7  |-  ( b  =  A  ->  ( M  e.  ( b
I A )  <->  M  e.  ( A I A ) ) )
1613, 15anbi12d 722 . . . . . 6  |-  ( b  =  A  ->  (
( ( M  .-  b )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( b I A ) )  <->  ( ( M 
.-  A )  =  ( M  .-  A
)  /\  M  e.  ( A I A ) ) ) )
1716rspcev 3161 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  P  /\  ( ( M  .-  A )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( A I A ) ) )  ->  E. b  e.  P  ( ( M  .-  b )  =  ( M  .-  A
)  /\  M  e.  ( b I A ) ) )
182, 3, 11, 17syl12anc 1274 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  =  M )  ->  E. b  e.  P  ( ( M  .-  b )  =  ( M  .-  A
)  /\  M  e.  ( b I A ) ) )
198ad3antrrr 741 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  =  M )  /\  ( b  e.  P  /\  c  e.  P
) )  /\  (
( ( M  .-  b )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( b I A ) )  /\  ( ( M  .-  c )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( c I A ) ) ) )  ->  G  e. TarskiG )
20 mirreu.m . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  P )
2120ad3antrrr 741 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  =  M )  /\  ( b  e.  P  /\  c  e.  P
) )  /\  (
( ( M  .-  b )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( b I A ) )  /\  ( ( M  .-  c )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( c I A ) ) ) )  ->  M  e.  P
)
22 simplrl 775 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  =  M )  /\  ( b  e.  P  /\  c  e.  P
) )  /\  (
( ( M  .-  b )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( b I A ) )  /\  ( ( M  .-  c )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( c I A ) ) ) )  ->  b  e.  P
)
23 simprll 777 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  =  M )  /\  ( b  e.  P  /\  c  e.  P
) )  /\  (
( ( M  .-  b )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( b I A ) )  /\  ( ( M  .-  c )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( c I A ) ) ) )  ->  ( M  .-  b )  =  ( M  .-  A ) )
24 simpllr 774 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  =  M )  /\  ( b  e.  P  /\  c  e.  P
) )  /\  (
( ( M  .-  b )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( b I A ) )  /\  ( ( M  .-  c )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( c I A ) ) ) )  ->  A  =  M )
2524oveq2d 6330 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  =  M )  /\  ( b  e.  P  /\  c  e.  P
) )  /\  (
( ( M  .-  b )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( b I A ) )  /\  ( ( M  .-  c )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( c I A ) ) ) )  ->  ( M  .-  A )  =  ( M  .-  M ) )
2623, 25eqtrd 2495 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  =  M )  /\  ( b  e.  P  /\  c  e.  P
) )  /\  (
( ( M  .-  b )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( b I A ) )  /\  ( ( M  .-  c )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( c I A ) ) ) )  ->  ( M  .-  b )  =  ( M  .-  M ) )
275, 6, 7, 19, 21, 22, 21, 26axtgcgrid 24559 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  =  M )  /\  ( b  e.  P  /\  c  e.  P
) )  /\  (
( ( M  .-  b )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( b I A ) )  /\  ( ( M  .-  c )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( c I A ) ) ) )  ->  M  =  b )
28 simplrr 776 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  =  M )  /\  ( b  e.  P  /\  c  e.  P
) )  /\  (
( ( M  .-  b )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( b I A ) )  /\  ( ( M  .-  c )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( c I A ) ) ) )  ->  c  e.  P
)
29 simprrl 779 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  =  M )  /\  ( b  e.  P  /\  c  e.  P
) )  /\  (
( ( M  .-  b )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( b I A ) )  /\  ( ( M  .-  c )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( c I A ) ) ) )  ->  ( M  .-  c )  =  ( M  .-  A ) )
3029, 25eqtrd 2495 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  =  M )  /\  ( b  e.  P  /\  c  e.  P
) )  /\  (
( ( M  .-  b )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( b I A ) )  /\  ( ( M  .-  c )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( c I A ) ) ) )  ->  ( M  .-  c )  =  ( M  .-  M ) )
315, 6, 7, 19, 21, 28, 21, 30axtgcgrid 24559 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  =  M )  /\  ( b  e.  P  /\  c  e.  P
) )  /\  (
( ( M  .-  b )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( b I A ) )  /\  ( ( M  .-  c )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( c I A ) ) ) )  ->  M  =  c )
3227, 31eqtr3d 2497 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  =  M )  /\  ( b  e.  P  /\  c  e.  P
) )  /\  (
( ( M  .-  b )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( b I A ) )  /\  ( ( M  .-  c )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( c I A ) ) ) )  ->  b  =  c )
3332ex 440 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  M )  /\  (
b  e.  P  /\  c  e.  P )
)  ->  ( (
( ( M  .-  b )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( b I A ) )  /\  ( ( M  .-  c )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( c I A ) ) )  -> 
b  =  c ) )
3433ralrimivva 2820 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  =  M )  ->  A. b  e.  P  A. c  e.  P  ( (
( ( M  .-  b )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( b I A ) )  /\  ( ( M  .-  c )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( c I A ) ) )  -> 
b  =  c ) )
3518, 34jca 539 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  =  M )  ->  ( E. b  e.  P  ( ( M  .-  b )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( b I A ) )  /\  A. b  e.  P  A. c  e.  P  ( (
( ( M  .-  b )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( b I A ) )  /\  ( ( M  .-  c )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( c I A ) ) )  -> 
b  =  c ) ) )
368adantr 471 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  M )  ->  G  e. TarskiG )
371adantr 471 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  M )  ->  A  e.  P )
3820adantr 471 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  M )  ->  M  e.  P )
395, 6, 7, 36, 37, 38, 38, 37axtgsegcon 24560 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  M )  ->  E. b  e.  P  ( M  e.  ( A I b )  /\  ( M 
.-  b )  =  ( M  .-  A
) ) )
40 ancom 456 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ( A I b )  /\  ( M  .-  b )  =  ( M  .-  A ) )  <->  ( ( M  .-  b )  =  ( M  .-  A
)  /\  M  e.  ( A I b ) ) )
418adantr 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  b  e.  P )  ->  G  e. TarskiG )
421adantr 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  b  e.  P )  ->  A  e.  P )
4320adantr 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  b  e.  P )  ->  M  e.  P )
44 simpr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  b  e.  P )  ->  b  e.  P )
455, 6, 7, 41, 42, 43, 44tgbtwncomb 24581 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  b  e.  P )  ->  ( M  e.  ( A I b )  <->  M  e.  ( b I A ) ) )
4645anbi2d 715 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  b  e.  P )  ->  (
( ( M  .-  b )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( A I b ) )  <->  ( ( M 
.-  b )  =  ( M  .-  A
)  /\  M  e.  ( b I A ) ) ) )
4740, 46syl5bb 265 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  b  e.  P )  ->  (
( M  e.  ( A I b )  /\  ( M  .-  b )  =  ( M  .-  A ) )  <->  ( ( M 
.-  b )  =  ( M  .-  A
)  /\  M  e.  ( b I A ) ) ) )
4847rexbidva 2909 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E. b  e.  P  ( M  e.  ( A I b )  /\  ( M 
.-  b )  =  ( M  .-  A
) )  <->  E. b  e.  P  ( ( M  .-  b )  =  ( M  .-  A
)  /\  M  e.  ( b I A ) ) ) )
4948adantr 471 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  M )  ->  ( E. b  e.  P  ( M  e.  ( A I b )  /\  ( M  .-  b )  =  ( M  .-  A ) )  <->  E. b  e.  P  ( ( M  .-  b )  =  ( M  .-  A
)  /\  M  e.  ( b I A ) ) ) )
5039, 49mpbid 215 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  M )  ->  E. b  e.  P  ( ( M  .-  b )  =  ( M  .-  A
)  /\  M  e.  ( b I A ) ) )
518ad3antrrr 741 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  =/=  M )  /\  ( b  e.  P  /\  c  e.  P
) )  /\  (
( ( M  .-  b )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( b I A ) )  /\  ( ( M  .-  c )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( c I A ) ) ) )  ->  G  e. TarskiG )
5220ad3antrrr 741 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  =/=  M )  /\  ( b  e.  P  /\  c  e.  P
) )  /\  (
( ( M  .-  b )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( b I A ) )  /\  ( ( M  .-  c )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( c I A ) ) ) )  ->  M  e.  P
)
531ad3antrrr 741 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  =/=  M )  /\  ( b  e.  P  /\  c  e.  P
) )  /\  (
( ( M  .-  b )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( b I A ) )  /\  ( ( M  .-  c )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( c I A ) ) ) )  ->  A  e.  P
)
54 simplrl 775 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  =/=  M )  /\  ( b  e.  P  /\  c  e.  P
) )  /\  (
( ( M  .-  b )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( b I A ) )  /\  ( ( M  .-  c )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( c I A ) ) ) )  ->  b  e.  P
)
55 simplrr 776 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  =/=  M )  /\  ( b  e.  P  /\  c  e.  P
) )  /\  (
( ( M  .-  b )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( b I A ) )  /\  ( ( M  .-  c )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( c I A ) ) ) )  ->  c  e.  P
)
56 simpllr 774 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  =/=  M )  /\  ( b  e.  P  /\  c  e.  P
) )  /\  (
( ( M  .-  b )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( b I A ) )  /\  ( ( M  .-  c )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( c I A ) ) ) )  ->  A  =/=  M
)
57 simprlr 778 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  =/=  M )  /\  ( b  e.  P  /\  c  e.  P
) )  /\  (
( ( M  .-  b )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( b I A ) )  /\  ( ( M  .-  c )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( c I A ) ) ) )  ->  M  e.  ( b I A ) )
585, 6, 7, 51, 54, 52, 53, 57tgbtwncom 24580 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  =/=  M )  /\  ( b  e.  P  /\  c  e.  P
) )  /\  (
( ( M  .-  b )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( b I A ) )  /\  ( ( M  .-  c )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( c I A ) ) ) )  ->  M  e.  ( A I b ) )
59 simprrr 780 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  =/=  M )  /\  ( b  e.  P  /\  c  e.  P
) )  /\  (
( ( M  .-  b )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( b I A ) )  /\  ( ( M  .-  c )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( c I A ) ) ) )  ->  M  e.  ( c I A ) )
605, 6, 7, 51, 55, 52, 53, 59tgbtwncom 24580 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  =/=  M )  /\  ( b  e.  P  /\  c  e.  P
) )  /\  (
( ( M  .-  b )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( b I A ) )  /\  ( ( M  .-  c )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( c I A ) ) ) )  ->  M  e.  ( A I c ) )
61 simprll 777 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  =/=  M )  /\  ( b  e.  P  /\  c  e.  P
) )  /\  (
( ( M  .-  b )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( b I A ) )  /\  ( ( M  .-  c )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( c I A ) ) ) )  ->  ( M  .-  b )  =  ( M  .-  A ) )
62 simprrl 779 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  =/=  M )  /\  ( b  e.  P  /\  c  e.  P
) )  /\  (
( ( M  .-  b )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( b I A ) )  /\  ( ( M  .-  c )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( c I A ) ) ) )  ->  ( M  .-  c )  =  ( M  .-  A ) )
635, 6, 7, 51, 52, 52, 53, 53, 54, 55, 56, 58, 60, 61, 62tgsegconeq 24578 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  =/=  M )  /\  ( b  e.  P  /\  c  e.  P
) )  /\  (
( ( M  .-  b )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( b I A ) )  /\  ( ( M  .-  c )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( c I A ) ) ) )  ->  b  =  c )
6463ex 440 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A  =/=  M )  /\  (
b  e.  P  /\  c  e.  P )
)  ->  ( (
( ( M  .-  b )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( b I A ) )  /\  ( ( M  .-  c )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( c I A ) ) )  -> 
b  =  c ) )
6564ralrimivva 2820 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  M )  ->  A. b  e.  P  A. c  e.  P  ( (
( ( M  .-  b )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( b I A ) )  /\  ( ( M  .-  c )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( c I A ) ) )  -> 
b  =  c ) )
6650, 65jca 539 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  M )  ->  ( E. b  e.  P  (
( M  .-  b
)  =  ( M 
.-  A )  /\  M  e.  ( b
I A ) )  /\  A. b  e.  P  A. c  e.  P  ( ( ( ( M  .-  b
)  =  ( M 
.-  A )  /\  M  e.  ( b
I A ) )  /\  ( ( M 
.-  c )  =  ( M  .-  A
)  /\  M  e.  ( c I A ) ) )  -> 
b  =  c ) ) )
6735, 66pm2.61dane 2722 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. b  e.  P  ( ( M 
.-  b )  =  ( M  .-  A
)  /\  M  e.  ( b I A ) )  /\  A. b  e.  P  A. c  e.  P  (
( ( ( M 
.-  b )  =  ( M  .-  A
)  /\  M  e.  ( b I A ) )  /\  (
( M  .-  c
)  =  ( M 
.-  A )  /\  M  e.  ( c
I A ) ) )  ->  b  =  c ) ) )
68 oveq2 6322 . . . . 5  |-  ( b  =  c  ->  ( M  .-  b )  =  ( M  .-  c
) )
6968eqeq1d 2463 . . . 4  |-  ( b  =  c  ->  (
( M  .-  b
)  =  ( M 
.-  A )  <->  ( M  .-  c )  =  ( M  .-  A ) ) )
70 oveq1 6321 . . . . 5  |-  ( b  =  c  ->  (
b I A )  =  ( c I A ) )
7170eleq2d 2524 . . . 4  |-  ( b  =  c  ->  ( M  e.  ( b
I A )  <->  M  e.  ( c I A ) ) )
7269, 71anbi12d 722 . . 3  |-  ( b  =  c  ->  (
( ( M  .-  b )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( b I A ) )  <->  ( ( M 
.-  c )  =  ( M  .-  A
)  /\  M  e.  ( c I A ) ) ) )
7372reu4 3243 . 2  |-  ( E! b  e.  P  ( ( M  .-  b
)  =  ( M 
.-  A )  /\  M  e.  ( b
I A ) )  <-> 
( E. b  e.  P  ( ( M 
.-  b )  =  ( M  .-  A
)  /\  M  e.  ( b I A ) )  /\  A. b  e.  P  A. c  e.  P  (
( ( ( M 
.-  b )  =  ( M  .-  A
)  /\  M  e.  ( b I A ) )  /\  (
( M  .-  c
)  =  ( M 
.-  A )  /\  M  e.  ( c
I A ) ) )  ->  b  =  c ) ) )
7467, 73sylibr 217 1  |-  ( ph  ->  E! b  e.  P  ( ( M  .-  b )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( b I A ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 375    = wceq 1454    e. wcel 1897    =/= wne 2632   A.wral 2748   E.wrex 2749   E!wreu 2750   ` cfv 5600  (class class class)co 6314   Basecbs 15169   distcds 15247  TarskiGcstrkg 24526  Itvcitv 24532
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-nul 4547
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3an 993  df-tru 1457  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-ral 2753  df-rex 2754  df-reu 2755  df-rmo 2756  df-rab 2757  df-v 3058  df-sbc 3279  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-nul 3743  df-if 3893  df-pw 3964  df-sn 3980  df-pr 3982  df-op 3986  df-uni 4212  df-br 4416  df-iota 5564  df-fv 5608  df-ov 6317  df-trkgc 24544  df-trkgb 24545  df-trkgcb 24546  df-trkg 24549
This theorem is referenced by:  mircgr  24750  mirbtwn  24751  ismir  24752  mirf  24753  mireq  24758
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