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Theorem mirreu3 23907
Description: Existential uniqueness of the mirror point. Theorem 7.8 of [Schwabhauser] p. 49. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mirreu.p  |-  P  =  ( Base `  G
)
mirreu.d  |-  .-  =  ( dist `  G )
mirreu.i  |-  I  =  (Itv `  G )
mirreu.g  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
mirreu.a  |-  ( ph  ->  A  e.  P )
mirreu.m  |-  ( ph  ->  M  e.  P )
Assertion
Ref Expression
mirreu3  |-  ( ph  ->  E! b  e.  P  ( ( M  .-  b )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( b I A ) ) )
Distinct variable groups:    .- , b    A, b    I, b    M, b    P, b    ph, b
Allowed substitution hint:    G( b)

Proof of Theorem mirreu3
Dummy variable  c is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mirreu.a . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  P )
21adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  =  M )  ->  A  e.  P )
3 eqidd 2444 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  =  M )  ->  ( M  .-  A )  =  ( M  .-  A
) )
4 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  =  M )  ->  A  =  M )
5 mirreu.p . . . . . . 7  |-  P  =  ( Base `  G
)
6 mirreu.d . . . . . . 7  |-  .-  =  ( dist `  G )
7 mirreu.i . . . . . . 7  |-  I  =  (Itv `  G )
8 mirreu.g . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
98adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  =  M )  ->  G  e. TarskiG )
105, 6, 7, 9, 2, 2tgbtwntriv2 23750 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  =  M )  ->  A  e.  ( A I A ) )
114, 10eqeltrrd 2532 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  =  M )  ->  M  e.  ( A I A ) )
12 oveq2 6289 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  A  ->  ( M  .-  b )  =  ( M  .-  A
) )
1312eqeq1d 2445 . . . . . . 7  |-  ( b  =  A  ->  (
( M  .-  b
)  =  ( M 
.-  A )  <->  ( M  .-  A )  =  ( M  .-  A ) ) )
14 oveq1 6288 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  A  ->  (
b I A )  =  ( A I A ) )
1514eleq2d 2513 . . . . . . 7  |-  ( b  =  A  ->  ( M  e.  ( b
I A )  <->  M  e.  ( A I A ) ) )
1613, 15anbi12d 710 . . . . . 6  |-  ( b  =  A  ->  (
( ( M  .-  b )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( b I A ) )  <->  ( ( M 
.-  A )  =  ( M  .-  A
)  /\  M  e.  ( A I A ) ) ) )
1716rspcev 3196 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  P  /\  ( ( M  .-  A )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( A I A ) ) )  ->  E. b  e.  P  ( ( M  .-  b )  =  ( M  .-  A
)  /\  M  e.  ( b I A ) ) )
182, 3, 11, 17syl12anc 1227 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  =  M )  ->  E. b  e.  P  ( ( M  .-  b )  =  ( M  .-  A
)  /\  M  e.  ( b I A ) ) )
198ad3antrrr 729 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  =  M )  /\  ( b  e.  P  /\  c  e.  P
) )  /\  (
( ( M  .-  b )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( b I A ) )  /\  ( ( M  .-  c )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( c I A ) ) ) )  ->  G  e. TarskiG )
20 mirreu.m . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  P )
2120ad3antrrr 729 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  =  M )  /\  ( b  e.  P  /\  c  e.  P
) )  /\  (
( ( M  .-  b )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( b I A ) )  /\  ( ( M  .-  c )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( c I A ) ) ) )  ->  M  e.  P
)
22 simplrl 761 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  =  M )  /\  ( b  e.  P  /\  c  e.  P
) )  /\  (
( ( M  .-  b )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( b I A ) )  /\  ( ( M  .-  c )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( c I A ) ) ) )  ->  b  e.  P
)
23 simprll 763 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  =  M )  /\  ( b  e.  P  /\  c  e.  P
) )  /\  (
( ( M  .-  b )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( b I A ) )  /\  ( ( M  .-  c )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( c I A ) ) ) )  ->  ( M  .-  b )  =  ( M  .-  A ) )
24 simpllr 760 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  =  M )  /\  ( b  e.  P  /\  c  e.  P
) )  /\  (
( ( M  .-  b )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( b I A ) )  /\  ( ( M  .-  c )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( c I A ) ) ) )  ->  A  =  M )
2524oveq2d 6297 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  =  M )  /\  ( b  e.  P  /\  c  e.  P
) )  /\  (
( ( M  .-  b )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( b I A ) )  /\  ( ( M  .-  c )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( c I A ) ) ) )  ->  ( M  .-  A )  =  ( M  .-  M ) )
2623, 25eqtrd 2484 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  =  M )  /\  ( b  e.  P  /\  c  e.  P
) )  /\  (
( ( M  .-  b )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( b I A ) )  /\  ( ( M  .-  c )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( c I A ) ) ) )  ->  ( M  .-  b )  =  ( M  .-  M ) )
275, 6, 7, 19, 21, 22, 21, 26axtgcgrid 23732 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  =  M )  /\  ( b  e.  P  /\  c  e.  P
) )  /\  (
( ( M  .-  b )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( b I A ) )  /\  ( ( M  .-  c )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( c I A ) ) ) )  ->  M  =  b )
28 simplrr 762 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  =  M )  /\  ( b  e.  P  /\  c  e.  P
) )  /\  (
( ( M  .-  b )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( b I A ) )  /\  ( ( M  .-  c )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( c I A ) ) ) )  ->  c  e.  P
)
29 simprrl 765 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  =  M )  /\  ( b  e.  P  /\  c  e.  P
) )  /\  (
( ( M  .-  b )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( b I A ) )  /\  ( ( M  .-  c )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( c I A ) ) ) )  ->  ( M  .-  c )  =  ( M  .-  A ) )
3029, 25eqtrd 2484 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  =  M )  /\  ( b  e.  P  /\  c  e.  P
) )  /\  (
( ( M  .-  b )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( b I A ) )  /\  ( ( M  .-  c )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( c I A ) ) ) )  ->  ( M  .-  c )  =  ( M  .-  M ) )
315, 6, 7, 19, 21, 28, 21, 30axtgcgrid 23732 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  =  M )  /\  ( b  e.  P  /\  c  e.  P
) )  /\  (
( ( M  .-  b )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( b I A ) )  /\  ( ( M  .-  c )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( c I A ) ) ) )  ->  M  =  c )
3227, 31eqtr3d 2486 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  =  M )  /\  ( b  e.  P  /\  c  e.  P
) )  /\  (
( ( M  .-  b )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( b I A ) )  /\  ( ( M  .-  c )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( c I A ) ) ) )  ->  b  =  c )
3332ex 434 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  M )  /\  (
b  e.  P  /\  c  e.  P )
)  ->  ( (
( ( M  .-  b )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( b I A ) )  /\  ( ( M  .-  c )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( c I A ) ) )  -> 
b  =  c ) )
3433ralrimivva 2864 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  =  M )  ->  A. b  e.  P  A. c  e.  P  ( (
( ( M  .-  b )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( b I A ) )  /\  ( ( M  .-  c )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( c I A ) ) )  -> 
b  =  c ) )
3518, 34jca 532 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  =  M )  ->  ( E. b  e.  P  ( ( M  .-  b )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( b I A ) )  /\  A. b  e.  P  A. c  e.  P  ( (
( ( M  .-  b )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( b I A ) )  /\  ( ( M  .-  c )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( c I A ) ) )  -> 
b  =  c ) ) )
368adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  M )  ->  G  e. TarskiG )
371adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  M )  ->  A  e.  P )
3820adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  M )  ->  M  e.  P )
395, 6, 7, 36, 37, 38, 38, 37axtgsegcon 23733 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  M )  ->  E. b  e.  P  ( M  e.  ( A I b )  /\  ( M 
.-  b )  =  ( M  .-  A
) ) )
40 ancom 450 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ( A I b )  /\  ( M  .-  b )  =  ( M  .-  A ) )  <->  ( ( M  .-  b )  =  ( M  .-  A
)  /\  M  e.  ( A I b ) ) )
418adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  b  e.  P )  ->  G  e. TarskiG )
421adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  b  e.  P )  ->  A  e.  P )
4320adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  b  e.  P )  ->  M  e.  P )
44 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  b  e.  P )  ->  b  e.  P )
455, 6, 7, 41, 42, 43, 44tgbtwncomb 23752 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  b  e.  P )  ->  ( M  e.  ( A I b )  <->  M  e.  ( b I A ) ) )
4645anbi2d 703 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  b  e.  P )  ->  (
( ( M  .-  b )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( A I b ) )  <->  ( ( M 
.-  b )  =  ( M  .-  A
)  /\  M  e.  ( b I A ) ) ) )
4740, 46syl5bb 257 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  b  e.  P )  ->  (
( M  e.  ( A I b )  /\  ( M  .-  b )  =  ( M  .-  A ) )  <->  ( ( M 
.-  b )  =  ( M  .-  A
)  /\  M  e.  ( b I A ) ) ) )
4847rexbidva 2951 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E. b  e.  P  ( M  e.  ( A I b )  /\  ( M 
.-  b )  =  ( M  .-  A
) )  <->  E. b  e.  P  ( ( M  .-  b )  =  ( M  .-  A
)  /\  M  e.  ( b I A ) ) ) )
4948adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  M )  ->  ( E. b  e.  P  ( M  e.  ( A I b )  /\  ( M  .-  b )  =  ( M  .-  A ) )  <->  E. b  e.  P  ( ( M  .-  b )  =  ( M  .-  A
)  /\  M  e.  ( b I A ) ) ) )
5039, 49mpbid 210 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  M )  ->  E. b  e.  P  ( ( M  .-  b )  =  ( M  .-  A
)  /\  M  e.  ( b I A ) ) )
518ad3antrrr 729 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  =/=  M )  /\  ( b  e.  P  /\  c  e.  P
) )  /\  (
( ( M  .-  b )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( b I A ) )  /\  ( ( M  .-  c )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( c I A ) ) ) )  ->  G  e. TarskiG )
5220ad3antrrr 729 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  =/=  M )  /\  ( b  e.  P  /\  c  e.  P
) )  /\  (
( ( M  .-  b )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( b I A ) )  /\  ( ( M  .-  c )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( c I A ) ) ) )  ->  M  e.  P
)
531ad3antrrr 729 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  =/=  M )  /\  ( b  e.  P  /\  c  e.  P
) )  /\  (
( ( M  .-  b )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( b I A ) )  /\  ( ( M  .-  c )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( c I A ) ) ) )  ->  A  e.  P
)
54 simplrl 761 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  =/=  M )  /\  ( b  e.  P  /\  c  e.  P
) )  /\  (
( ( M  .-  b )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( b I A ) )  /\  ( ( M  .-  c )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( c I A ) ) ) )  ->  b  e.  P
)
55 simplrr 762 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  =/=  M )  /\  ( b  e.  P  /\  c  e.  P
) )  /\  (
( ( M  .-  b )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( b I A ) )  /\  ( ( M  .-  c )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( c I A ) ) ) )  ->  c  e.  P
)
56 simpllr 760 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  =/=  M )  /\  ( b  e.  P  /\  c  e.  P
) )  /\  (
( ( M  .-  b )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( b I A ) )  /\  ( ( M  .-  c )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( c I A ) ) ) )  ->  A  =/=  M
)
57 simprlr 764 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  =/=  M )  /\  ( b  e.  P  /\  c  e.  P
) )  /\  (
( ( M  .-  b )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( b I A ) )  /\  ( ( M  .-  c )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( c I A ) ) ) )  ->  M  e.  ( b I A ) )
585, 6, 7, 51, 54, 52, 53, 57tgbtwncom 23751 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  =/=  M )  /\  ( b  e.  P  /\  c  e.  P
) )  /\  (
( ( M  .-  b )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( b I A ) )  /\  ( ( M  .-  c )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( c I A ) ) ) )  ->  M  e.  ( A I b ) )
59 simprrr 766 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  =/=  M )  /\  ( b  e.  P  /\  c  e.  P
) )  /\  (
( ( M  .-  b )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( b I A ) )  /\  ( ( M  .-  c )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( c I A ) ) ) )  ->  M  e.  ( c I A ) )
605, 6, 7, 51, 55, 52, 53, 59tgbtwncom 23751 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  =/=  M )  /\  ( b  e.  P  /\  c  e.  P
) )  /\  (
( ( M  .-  b )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( b I A ) )  /\  ( ( M  .-  c )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( c I A ) ) ) )  ->  M  e.  ( A I c ) )
61 simprll 763 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  =/=  M )  /\  ( b  e.  P  /\  c  e.  P
) )  /\  (
( ( M  .-  b )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( b I A ) )  /\  ( ( M  .-  c )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( c I A ) ) ) )  ->  ( M  .-  b )  =  ( M  .-  A ) )
62 simprrl 765 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  =/=  M )  /\  ( b  e.  P  /\  c  e.  P
) )  /\  (
( ( M  .-  b )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( b I A ) )  /\  ( ( M  .-  c )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( c I A ) ) ) )  ->  ( M  .-  c )  =  ( M  .-  A ) )
635, 6, 7, 51, 52, 52, 53, 53, 54, 55, 56, 58, 60, 61, 62tgsegconeq 23749 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  =/=  M )  /\  ( b  e.  P  /\  c  e.  P
) )  /\  (
( ( M  .-  b )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( b I A ) )  /\  ( ( M  .-  c )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( c I A ) ) ) )  ->  b  =  c )
6463ex 434 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A  =/=  M )  /\  (
b  e.  P  /\  c  e.  P )
)  ->  ( (
( ( M  .-  b )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( b I A ) )  /\  ( ( M  .-  c )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( c I A ) ) )  -> 
b  =  c ) )
6564ralrimivva 2864 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  M )  ->  A. b  e.  P  A. c  e.  P  ( (
( ( M  .-  b )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( b I A ) )  /\  ( ( M  .-  c )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( c I A ) ) )  -> 
b  =  c ) )
6650, 65jca 532 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  M )  ->  ( E. b  e.  P  (
( M  .-  b
)  =  ( M 
.-  A )  /\  M  e.  ( b
I A ) )  /\  A. b  e.  P  A. c  e.  P  ( ( ( ( M  .-  b
)  =  ( M 
.-  A )  /\  M  e.  ( b
I A ) )  /\  ( ( M 
.-  c )  =  ( M  .-  A
)  /\  M  e.  ( c I A ) ) )  -> 
b  =  c ) ) )
6735, 66pm2.61dane 2761 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. b  e.  P  ( ( M 
.-  b )  =  ( M  .-  A
)  /\  M  e.  ( b I A ) )  /\  A. b  e.  P  A. c  e.  P  (
( ( ( M 
.-  b )  =  ( M  .-  A
)  /\  M  e.  ( b I A ) )  /\  (
( M  .-  c
)  =  ( M 
.-  A )  /\  M  e.  ( c
I A ) ) )  ->  b  =  c ) ) )
68 oveq2 6289 . . . . 5  |-  ( b  =  c  ->  ( M  .-  b )  =  ( M  .-  c
) )
6968eqeq1d 2445 . . . 4  |-  ( b  =  c  ->  (
( M  .-  b
)  =  ( M 
.-  A )  <->  ( M  .-  c )  =  ( M  .-  A ) ) )
70 oveq1 6288 . . . . 5  |-  ( b  =  c  ->  (
b I A )  =  ( c I A ) )
7170eleq2d 2513 . . . 4  |-  ( b  =  c  ->  ( M  e.  ( b
I A )  <->  M  e.  ( c I A ) ) )
7269, 71anbi12d 710 . . 3  |-  ( b  =  c  ->  (
( ( M  .-  b )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( b I A ) )  <->  ( ( M 
.-  c )  =  ( M  .-  A
)  /\  M  e.  ( c I A ) ) ) )
7372reu4 3279 . 2  |-  ( E! b  e.  P  ( ( M  .-  b
)  =  ( M 
.-  A )  /\  M  e.  ( b
I A ) )  <-> 
( E. b  e.  P  ( ( M 
.-  b )  =  ( M  .-  A
)  /\  M  e.  ( b I A ) )  /\  A. b  e.  P  A. c  e.  P  (
( ( ( M 
.-  b )  =  ( M  .-  A
)  /\  M  e.  ( b I A ) )  /\  (
( M  .-  c
)  =  ( M 
.-  A )  /\  M  e.  ( c
I A ) ) )  ->  b  =  c ) ) )
7467, 73sylibr 212 1  |-  ( ph  ->  E! b  e.  P  ( ( M  .-  b )  =  ( M  .-  A )  /\  M  e.  ( b I A ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804    =/= wne 2638   A.wral 2793   E.wrex 2794   E!wreu 2795   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   Basecbs 14509   distcds 14583  TarskiGcstrkg 23697  Itvcitv 23704
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-nul 4566
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-op 4021  df-uni 4235  df-br 4438  df-iota 5541  df-fv 5586  df-ov 6284  df-trkgc 23716  df-trkgb 23717  df-trkgcb 23718  df-trkg 23722
This theorem is referenced by:  mircgr  23910  mirbtwn  23911  ismir  23912  mirf  23913  mireq  23918
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