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Theorem miriso 23209
Description: The point inversion function is an isometry, i.e. it is conserves congruence. Because it is also a bijection, it is also a motion. Theorem 7.13 of [Schwabhauser] p. 50. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mirval.p  |-  P  =  ( Base `  G
)
mirval.d  |-  .-  =  ( dist `  G )
mirval.i  |-  I  =  (Itv `  G )
mirval.l  |-  L  =  (LineG `  G )
mirval.s  |-  S  =  (pInvG `  G )
mirval.g  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
mirval.a  |-  ( ph  ->  A  e.  P )
mirfv.m  |-  M  =  ( S `  A
)
miriso.1  |-  ( ph  ->  X  e.  P )
miriso.2  |-  ( ph  ->  Y  e.  P )
Assertion
Ref Expression
miriso  |-  ( ph  ->  ( ( M `  X )  .-  ( M `  Y )
)  =  ( X 
.-  Y ) )

Proof of Theorem miriso
Dummy variables  x  y  z  t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 461 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  =  A )  ->  X  =  A )
21oveq1d 6208 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  =  A )  ->  ( X  .-  Y )  =  ( A  .-  Y
) )
3 mirval.p . . . 4  |-  P  =  ( Base `  G
)
4 mirval.d . . . 4  |-  .-  =  ( dist `  G )
5 mirval.i . . . 4  |-  I  =  (Itv `  G )
6 mirval.l . . . 4  |-  L  =  (LineG `  G )
7 mirval.s . . . 4  |-  S  =  (pInvG `  G )
8 mirval.g . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
98adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  =  A )  ->  G  e. TarskiG )
10 mirval.a . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  P )
1110adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  =  A )  ->  A  e.  P )
12 mirfv.m . . . 4  |-  M  =  ( S `  A
)
13 miriso.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  P )
1413adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  =  A )  ->  Y  e.  P )
153, 4, 5, 6, 7, 9, 11, 12, 14mircgr 23197 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  =  A )  ->  ( A  .-  ( M `  Y ) )  =  ( A  .-  Y
) )
16 miriso.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  P )
1716adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  =  A )  ->  X  e.  P )
181eqcomd 2459 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  =  A )  ->  A  =  X )
1918oveq2d 6209 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  =  A )  ->  ( A  .-  A )  =  ( A  .-  X
) )
203, 4, 5, 9, 11, 17tgbtwntriv1 23072 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  =  A )  ->  A  e.  ( A I X ) )
213, 4, 5, 6, 7, 9, 11, 12, 17, 11, 19, 20ismir 23199 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  =  A )  ->  A  =  ( M `  X ) )
2221oveq1d 6208 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  =  A )  ->  ( A  .-  ( M `  Y ) )  =  ( ( M `  X )  .-  ( M `  Y )
) )
232, 15, 223eqtr2rd 2499 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  =  A )  ->  (
( M `  X
)  .-  ( M `  Y ) )  =  ( X  .-  Y
) )
248adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  =/=  A )  ->  G  e. TarskiG )
2524ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X
) I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  ->  G  e. TarskiG )
2625ad6antr 735 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  G  e. TarskiG )
27 simplr 754 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X
) I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  ->  x  e.  P )
2827ad6antr 735 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  x  e.  P )
2916adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  =/=  A )  ->  X  e.  P )
3029ad8antr 739 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  X  e.  P )
3110adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  =/=  A )  ->  A  e.  P )
3231ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X
) I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  ->  A  e.  P )
3332ad6antr 735 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  A  e.  P )
3413adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  =/=  A )  ->  Y  e.  P )
3534ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X
) I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  ->  Y  e.  P )
3635ad6antr 735 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  Y  e.  P )
37 simp-4r 766 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  z  e.  P )
383, 4, 5, 6, 7, 24, 31, 12, 29mircl 23201 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  =/=  A )  ->  ( M `  X )  e.  P
)
3938ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X
) I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  ->  ( M `  X )  e.  P )
4039ad6antr 735 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  ( M `  X )  e.  P
)
413, 4, 5, 6, 7, 24, 31, 12, 34mircl 23201 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  =/=  A )  ->  ( M `  Y )  e.  P
)
4241ad8antr 739 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  ( M `  Y )  e.  P
)
433, 4, 5, 6, 7, 26, 33, 12, 30mirbtwn 23198 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  A  e.  ( ( M `  X ) I X ) )
44 simp-7r 772 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  ( X  e.  ( ( M `  X ) I x )  /\  ( X 
.-  x )  =  ( Y  .-  A
) ) )
4544simpld 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  X  e.  ( ( M `  X ) I x ) )
463, 4, 5, 26, 40, 33, 30, 28, 43, 45tgbtwnexch3 23075 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  X  e.  ( A I x ) )
473, 4, 5, 26, 33, 30, 28, 46tgbtwncom 23069 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  X  e.  ( x I A ) )
483, 4, 5, 26, 40, 30, 28, 45tgbtwncom 23069 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  X  e.  ( x I ( M `  X ) ) )
493, 4, 5, 26, 40, 33, 30, 43tgbtwncom 23069 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  A  e.  ( X I ( M `
 X ) ) )
503, 4, 5, 26, 28, 30, 33, 40, 48, 49tgbtwnexch2 23077 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  A  e.  ( x I ( M `  X ) ) )
51 simpllr 758 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `  X ) 
.-  z )  =  ( Y  .-  A
) ) )
5251simpld 459 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  ( M `  X )  e.  ( x I z ) )
533, 4, 5, 26, 28, 33, 40, 37, 50, 52tgbtwnexch3 23075 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  ( M `  X )  e.  ( A I z ) )
543, 4, 5, 26, 33, 40, 37, 53tgbtwncom 23069 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  ( M `  X )  e.  ( z I A ) )
553, 4, 5, 26, 28, 33, 40, 37, 50, 52tgbtwnexch 23079 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  A  e.  ( x I z ) )
563, 4, 5, 26, 28, 30, 33, 37, 47, 55tgbtwnexch3 23075 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  A  e.  ( X I z ) )
573, 4, 5, 26, 30, 33, 37, 56tgbtwncom 23069 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  A  e.  ( z I X ) )
583, 4, 5, 26, 37, 40, 33, 30, 54, 57tgbtwnexch 23079 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  ( M `  X )  e.  ( z I X ) )
593, 4, 5, 26, 33, 40, 37, 30, 43, 58tgbtwnintr 23074 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  ( M `  X )  e.  ( A I z ) )
603, 4, 5, 26, 33, 40, 37, 59tgbtwncom 23069 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  ( M `  X )  e.  ( z I A ) )
61 simp-4r 766 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X
) I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P )  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y )
I y )  /\  ( Y  .-  y )  =  ( X  .-  A ) ) )  /\  z  e.  P
)  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `  X ) 
.-  z )  =  ( Y  .-  A
) ) )  -> 
y  e.  P )
6261ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  y  e.  P )
633, 4, 5, 6, 7, 26, 33, 12, 36mirbtwn 23198 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  A  e.  ( ( M `  Y ) I Y ) )
64 simp-5r 768 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )
6564simpld 459 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  Y  e.  ( ( M `  Y ) I y ) )
663, 4, 5, 26, 42, 33, 36, 62, 63, 65tgbtwnexch3 23075 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  Y  e.  ( A I y ) )
673, 4, 5, 26, 33, 36, 62, 66tgbtwncom 23069 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
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 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  Y  e.  ( y I A ) )
683, 4, 5, 6, 7, 26, 33, 12, 30mircgr 23197 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  ( A  .-  ( M `  X
) )  =  ( A  .-  X ) )
6964simprd 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  ( Y  .-  y )  =  ( X  .-  A ) )
703, 4, 5, 26, 36, 62, 30, 33, 69tgcgrcomlr 23061 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  ( y  .-  Y )  =  ( A  .-  X ) )
7168, 70eqtr4d 2495 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
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 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  ( A  .-  ( M `  X
) )  =  ( y  .-  Y ) )
7251simprd 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
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.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  ( ( M `  X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) )
733, 4, 5, 26, 33, 40, 37, 62, 36, 33, 59, 67, 71, 72tgcgrextend 23066 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
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 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  ( A  .-  z )  =  ( y  .-  A ) )
743, 4, 5, 26, 28, 30, 33, 47tgbtwncom 23069 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  X  e.  ( A I x ) )
7544simprd 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) )
7675eqcomd 2459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  ( Y  .-  A )  =  ( X  .-  x ) )
773, 4, 5, 26, 62, 36, 33, 33, 30, 28, 67, 74, 70, 76tgcgrextend 23066 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  ( y  .-  A )  =  ( A  .-  x ) )
7873, 77eqtr2d 2493 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
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 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
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)  =  ( X 
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793, 4, 5, 26, 33, 28, 33, 37, 78tgcgrcomlr 23061 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
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( M `  Y
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8068eqcomd 2459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
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( M `  Y
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 X ) ) )
813, 4, 5, 26, 33, 30, 33, 40, 80tgcgrcomlr 23061 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
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)
82 simplr 754 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
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ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
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ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
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 Y ) ) )
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ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
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86 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
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8786simpld 459 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
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ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
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ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
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ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
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ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
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ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
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ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
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10086simprd 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
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101100eqcomd 2459 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
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( M `  Y
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)  =  ( X 
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)
1023, 4, 5, 26, 28, 30, 33, 33, 42, 82, 47, 95, 99, 101tgcgrextend 23066 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
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.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  ( x  .-  A )  =  ( A  .-  t ) )
1033, 4, 5, 26, 33, 82axtgcgrrflx 23049 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  ( A  .-  t )  =  ( t  .-  A ) )
104102, 103eqtrd 2492 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  ( x  .-  A )  =  ( t  .-  A ) )
1053, 4, 5, 26, 28, 33, 82, 33, 104tgcgrcomlr 23061 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  ( A  .-  x )  =  ( A  .-  t ) )
10677, 105, 1033eqtrd 2496 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  ( y  .-  A )  =  ( t  .-  A ) )
1073, 4, 5, 26, 33, 42, 33, 36, 98tgcgrcomlr 23061 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  ( ( M `  Y )  .-  A )  =  ( Y  .-  A ) )
108107eqcomd 2459 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  ( Y  .-  A )  =  ( ( M `  Y
)  .-  A )
)
1093, 4, 5, 26, 37, 82axtgcgrrflx 23049 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  ( z  .-  t )  =  ( t  .-  z ) )
1103, 4, 5, 26, 37, 82, 82, 37, 109tgcgrcomlr 23061 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  ( t  .-  z )  =  ( z  .-  t ) )
111 simp-9r 776 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  X  =/=  A )
112111neneqd 2651 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  -.  X  =  A )
11326adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  /\  x  =  A )  ->  G  e. TarskiG )
11433adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  /\  x  =  A )  ->  A  e.  P )
11530adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  /\  x  =  A )  ->  X  e.  P )
11674adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  /\  x  =  A )  ->  X  e.  ( A I x ) )
117 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  /\  x  =  A )  ->  x  =  A )
118117oveq2d 6209 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  /\  x  =  A )  ->  ( A I x )  =  ( A I A ) )
119116, 118eleqtrd 2541 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  /\  x  =  A )  ->  X  e.  ( A I A ) )
1203, 4, 5, 113, 114, 115, 119axtgbtwnid 23053 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  /\  x  =  A )  ->  A  =  X )
121120eqcomd 2459 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  /\  x  =  A )  ->  X  =  A )
122112, 121mtand 659 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  -.  x  =  A )
123122neneqad 2652 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  x  =/=  A )
1243, 4, 5, 26, 62, 33axtgcgrrflx 23049 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  ( y  .-  A )  =  ( A  .-  y ) )
12573, 124eqtrd 2492 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  ( A  .-  z )  =  ( A  .-  y ) )
1263, 4, 5, 26, 28, 82axtgcgrrflx 23049 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  ( x  .-  t )  =  ( t  .-  x ) )
127105eqcomd 2459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  ( A  .-  t )  =  ( A  .-  x ) )
1283, 4, 5, 26, 28, 33, 37, 82, 33, 62, 82, 28, 123, 55, 91, 104, 125, 126, 127axtg5seg 23052 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  ( z  .-  t )  =  ( y  .-  x ) )
129110, 128eqtr2d 2493 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  ( y  .-  x )  =  ( t  .-  z ) )
1303, 4, 5, 26, 62, 36, 33, 28, 82, 42, 33, 37, 67, 96, 106, 108, 129, 78tgifscgr 23090 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  ( Y  .-  x )  =  ( ( M `  Y
)  .-  z )
)
1313, 4, 5, 26, 36, 28, 42, 37, 130tgcgrcomlr 23061 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  ( x  .-  Y )  =  ( z  .-  ( M `
 Y ) ) )
1323, 4, 5, 26, 36, 33, 42, 33, 108tgcgrcomlr 23061 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  ( A  .-  Y )  =  ( A  .-  ( M `
 Y ) ) )
1333, 4, 5, 26, 28, 30, 33, 36, 37, 40, 33, 42, 47, 60, 79, 81, 131, 132tgifscgr 23090 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  ( X  .-  Y )  =  ( ( M `  X
)  .-  ( M `  Y ) ) )
134133eqcomd 2459 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t