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Theorem miriso 23922
Description: The point inversion function is an isometry, i.e. it is conserves congruence. Because it is also a bijection, it is also a motion. Theorem 7.13 of [Schwabhauser] p. 50. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mirval.p  |-  P  =  ( Base `  G
)
mirval.d  |-  .-  =  ( dist `  G )
mirval.i  |-  I  =  (Itv `  G )
mirval.l  |-  L  =  (LineG `  G )
mirval.s  |-  S  =  (pInvG `  G )
mirval.g  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
mirval.a  |-  ( ph  ->  A  e.  P )
mirfv.m  |-  M  =  ( S `  A
)
miriso.1  |-  ( ph  ->  X  e.  P )
miriso.2  |-  ( ph  ->  Y  e.  P )
Assertion
Ref Expression
miriso  |-  ( ph  ->  ( ( M `  X )  .-  ( M `  Y )
)  =  ( X 
.-  Y ) )

Proof of Theorem miriso
Dummy variables  x  y  z  t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 461 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  =  A )  ->  X  =  A )
21oveq1d 6296 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  =  A )  ->  ( X  .-  Y )  =  ( A  .-  Y
) )
3 mirval.p . . . 4  |-  P  =  ( Base `  G
)
4 mirval.d . . . 4  |-  .-  =  ( dist `  G )
5 mirval.i . . . 4  |-  I  =  (Itv `  G )
6 mirval.l . . . 4  |-  L  =  (LineG `  G )
7 mirval.s . . . 4  |-  S  =  (pInvG `  G )
8 mirval.g . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
98adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  =  A )  ->  G  e. TarskiG )
10 mirval.a . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  P )
1110adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  =  A )  ->  A  e.  P )
12 mirfv.m . . . 4  |-  M  =  ( S `  A
)
13 miriso.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  P )
1413adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  =  A )  ->  Y  e.  P )
153, 4, 5, 6, 7, 9, 11, 12, 14mircgr 23910 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  =  A )  ->  ( A  .-  ( M `  Y ) )  =  ( A  .-  Y
) )
16 miriso.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  P )
1716adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  =  A )  ->  X  e.  P )
181eqcomd 2451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  =  A )  ->  A  =  X )
1918oveq2d 6297 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  =  A )  ->  ( A  .-  A )  =  ( A  .-  X
) )
203, 4, 5, 9, 11, 17tgbtwntriv1 23754 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  =  A )  ->  A  e.  ( A I X ) )
213, 4, 5, 6, 7, 9, 11, 12, 17, 11, 19, 20ismir 23912 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  =  A )  ->  A  =  ( M `  X ) )
2221oveq1d 6296 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  =  A )  ->  ( A  .-  ( M `  Y ) )  =  ( ( M `  X )  .-  ( M `  Y )
) )
232, 15, 223eqtr2rd 2491 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  =  A )  ->  (
( M `  X
)  .-  ( M `  Y ) )  =  ( X  .-  Y
) )
248adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  =/=  A )  ->  G  e. TarskiG )
2524ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X
) I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  ->  G  e. TarskiG )
2625ad6antr 735 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  G  e. TarskiG )
27 simplr 755 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X
) I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  ->  x  e.  P )
2827ad6antr 735 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  x  e.  P )
2916adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  =/=  A )  ->  X  e.  P )
3029ad8antr 739 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  X  e.  P )
3110adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  =/=  A )  ->  A  e.  P )
3231ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X
) I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  ->  A  e.  P )
3332ad6antr 735 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  A  e.  P )
3413adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  =/=  A )  ->  Y  e.  P )
3534ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X
) I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  ->  Y  e.  P )
3635ad6antr 735 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  Y  e.  P )
37 simp-4r 768 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  z  e.  P )
383, 4, 5, 6, 7, 24, 31, 12, 29mircl 23914 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  =/=  A )  ->  ( M `  X )  e.  P
)
3938ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X
) I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  ->  ( M `  X )  e.  P )
4039ad6antr 735 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  ( M `  X )  e.  P
)
413, 4, 5, 6, 7, 24, 31, 12, 34mircl 23914 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  =/=  A )  ->  ( M `  Y )  e.  P
)
4241ad8antr 739 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  ( M `  Y )  e.  P
)
433, 4, 5, 6, 7, 26, 33, 12, 30mirbtwn 23911 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  A  e.  ( ( M `  X ) I X ) )
44 simp-7r 774 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  ( X  e.  ( ( M `  X ) I x )  /\  ( X 
.-  x )  =  ( Y  .-  A
) ) )
4544simpld 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  X  e.  ( ( M `  X ) I x ) )
463, 4, 5, 26, 40, 33, 30, 28, 43, 45tgbtwnexch3 23757 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  X  e.  ( A I x ) )
473, 4, 5, 26, 33, 30, 28, 46tgbtwncom 23751 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  X  e.  ( x I A ) )
483, 4, 5, 26, 40, 30, 28, 45tgbtwncom 23751 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  X  e.  ( x I ( M `  X ) ) )
493, 4, 5, 26, 40, 33, 30, 43tgbtwncom 23751 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  A  e.  ( X I ( M `
 X ) ) )
503, 4, 5, 26, 28, 30, 33, 40, 48, 49tgbtwnexch2 23759 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  A  e.  ( x I ( M `  X ) ) )
51 simpllr 760 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `  X ) 
.-  z )  =  ( Y  .-  A
) ) )
5251simpld 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  ( M `  X )  e.  ( x I z ) )
533, 4, 5, 26, 28, 33, 40, 37, 50, 52tgbtwnexch3 23757 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
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 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  ( M `  X )  e.  ( A I z ) )
543, 4, 5, 26, 33, 40, 37, 53tgbtwncom 23751 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
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 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
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55 simp-4r 768 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X
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y  e.  P )
5655ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
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( M `  Y
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)  =  ( X 
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573, 4, 5, 6, 7, 26, 33, 12, 36mirbtwn 23911 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
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( M `  Y
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)  =  ( X 
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58 simp-5r 770 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
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5958simpld 459 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
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603, 4, 5, 26, 42, 33, 36, 56, 57, 59tgbtwnexch3 23757 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
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613, 4, 5, 26, 33, 36, 56, 60tgbtwncom 23751 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
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( M `  Y
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623, 4, 5, 6, 7, 26, 33, 12, 30mircgr 23910 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
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( M `  Y
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6358simprd 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
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( M `  Y
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643, 4, 5, 26, 36, 56, 30, 33, 63tgcgrcomlr 23743 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
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( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  ( y  .-  Y )  =  ( A  .-  X ) )
6562, 64eqtr4d 2487 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
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( M `  Y
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6651simprd 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
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( M `  Y
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673, 4, 5, 26, 33, 40, 37, 56, 36, 33, 53, 61, 65, 66tgcgrextend 23748 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
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( M `  Y
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)  =  ( X 
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6844simprd 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
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( M `  Y
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6968eqcomd 2451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
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( M `  Y
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703, 4, 5, 26, 56, 36, 33, 33, 30, 28, 61, 46, 64, 69tgcgrextend 23748 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
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7167, 70eqtr2d 2485 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
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723, 4, 5, 26, 33, 28, 33, 37, 71tgcgrcomlr 23743 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
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7362eqcomd 2451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
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743, 4, 5, 26, 33, 30, 33, 40, 73tgcgrcomlr 23743 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
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)
75 simplr 755 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
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763, 4, 5, 26, 42, 36, 56, 59tgbtwncom 23751 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
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773, 4, 5, 26, 42, 33, 36, 57tgbtwncom 23751 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
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 Y ) ) )
783, 4, 5, 26, 56, 36, 33, 42, 76, 77tgbtwnexch2 23759 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
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 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  A  e.  ( y I ( M `  Y ) ) )
79 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  ( ( M `  Y )  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y ) 
.-  t )  =  ( X  .-  A
) ) )
8079simpld 459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
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) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  ( M `  Y )  e.  ( y I t ) )
813, 4, 5, 26, 56, 33, 42, 75, 78, 80tgbtwnexch3 23757 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
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) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  ( M `  Y )  e.  ( A I t ) )
823, 4, 5, 26, 33, 42, 75, 81tgbtwncom 23751 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
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) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  ( M `  Y )  e.  ( t I A ) )
833, 4, 5, 26, 30, 28, 36, 33, 68tgcgrcomlr 23743 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
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) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  ( x  .-  X )  =  ( A  .-  Y ) )
843, 4, 5, 6, 7, 26, 33, 12, 36mircgr 23910 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  ( A  .-  ( M `  Y
) )  =  ( A  .-  Y ) )
8583, 84eqtr4d 2487 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
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) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  ( x  .-  X )  =  ( A  .-  ( M `
 Y ) ) )
8679simprd 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
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) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  ( ( M `  Y )  .-  t )  =  ( X  .-  A ) )
8786eqcomd 2451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
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) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  ( X  .-  A )  =  ( ( M `  Y
)  .-  t )
)
883, 4, 5, 26, 28, 30, 33, 33, 42, 75, 47, 81, 85, 87tgcgrextend 23748 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
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) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  ( x  .-  A )  =  ( A  .-  t ) )
893, 4, 5, 26, 33, 75axtgcgrrflx 23731 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
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) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  ( A  .-  t )  =  ( t  .-  A ) )
9088, 89eqtrd 2484 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
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) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  ( x  .-  A )  =  ( t  .-  A ) )
913, 4, 5, 26, 28, 33, 75, 33, 90tgcgrcomlr 23743 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
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) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  ( A  .-  x )  =  ( A  .-  t ) )
9270, 91, 893eqtrd 2488 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
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) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  ( y  .-  A )  =  ( t  .-  A ) )
933, 4, 5, 26, 33, 42, 33, 36, 84tgcgrcomlr 23743 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  ( ( M `  Y )  .-  A )  =  ( Y  .-  A ) )
9493eqcomd 2451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
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) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  ( Y  .-  A )  =  ( ( M `  Y
)  .-  A )
)
953, 4, 5, 26, 75, 37axtgcgrrflx 23731 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
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) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  ( t  .-  z )  =  ( z  .-  t ) )
96 simp-9r 778 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
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) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  X  =/=  A )
9796neneqd 2645 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
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) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  -.  X  =  A )
9826adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
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 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  /\  x  =  A )  ->  G  e. TarskiG )
9933adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  /\  x  =  A )  ->  A  e.  P )
10030adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  /\  x  =  A )  ->  X  e.  P )
10146adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
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 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
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)  =  ( X 
.-  A ) ) )  /\  x  =  A )  ->  X  e.  ( A I x ) )
102 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
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) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  /\  x  =  A )  ->  x  =  A )
103102oveq2d 6297 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  /\  x  =  A )  ->  ( A I x )  =  ( A I A ) )
104101, 103eleqtrd 2533 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  /\  x  =  A )  ->  X  e.  ( A I A ) )
1053, 4, 5, 98, 99, 100, 104axtgbtwnid 23735 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  /\  x  =  A )  ->  A  =  X )
106105eqcomd 2451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  /\  x  =  A )  ->  X  =  A )
10797, 106mtand 659 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  -.  x  =  A )
108107neqned 2646 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  x  =/=  A )
1093, 4, 5, 26, 28, 33, 40, 37, 50, 52tgbtwnexch 23761 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  A  e.  ( x I z ) )
1103, 4, 5, 26, 56, 33, 42, 75, 78, 80tgbtwnexch 23761 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  A  e.  ( y I t ) )
1113, 4, 5, 26, 56, 33, 75, 110tgbtwncom 23751 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  A  e.  ( t I y ) )
1123, 4, 5, 26, 56, 33axtgcgrrflx 23731 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  ( y  .-  A )  =  ( A  .-  y ) )
11367, 112eqtrd 2484 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  ( A  .-  z )  =  ( A  .-  y ) )
1143, 4, 5, 26, 28, 75axtgcgrrflx 23731 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  ( x  .-  t )  =  ( t  .-  x ) )
11591eqcomd 2451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  ( A  .-  t )  =  ( A  .-  x ) )
1163, 4, 5, 26, 28, 33, 37, 75, 33, 56, 75, 28, 108, 109, 111, 90, 113, 114, 115axtg5seg 23734 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  ( z  .-  t )  =  ( y  .-  x ) )
11795, 116eqtr2d 2485 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  ( y  .-  x )  =  ( t  .-  z ) )
1183, 4, 5, 26, 56, 36, 33, 28, 75, 42, 33, 37, 61, 82, 92, 94, 117, 71tgifscgr 23772 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  ( Y  .-  x )  =  ( ( M `  Y
)  .-  z )
)
1193, 4, 5, 26, 36, 28, 42, 37, 118tgcgrcomlr 23743 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  ( x  .-  Y )  =  ( z  .-  ( M `
 Y ) ) )
12084eqcomd 2451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  ( A  .-  Y )  =  ( A  .-  ( M `
 Y ) ) )
1213, 4, 5, 26, 28, 30, 33, 36, 37, 40, 33, 42, 47, 54, 72, 74, 119, 120tgifscgr 23772 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  ( X  .-  Y )  =  ( ( M `  X
)  .-  ( M `  Y ) ) )
122121eqcomd 2451 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  ( ( M `  X )  .-  ( M `  Y
) )  =  ( X  .-  Y ) )
123 simp-6l 771 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X
) I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P )  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y )
I y )  /\  ( Y  .-  y )  =  ( X  .-  A ) ) )  /\  z  e.  P
)  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `  X ) 
.-  z )  =  ( Y  .-  A
) ) )  -> 
( ph  /\  X  =/= 
A ) )
124 simpllr 760 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X
) I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P )  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y )
I y )  /\  ( Y  .-  y )  =  ( X  .-  A ) ) )  /\  z  e.  P
)  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `  X ) 
.-  z )  =  ( Y  .-  A
) ) )  -> 
( Y  e.  ( ( M `  Y
) I y )  /\  ( Y  .-  y )  =  ( X  .-  A ) ) )
12524ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  A )  /\  y  e.  P )  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y
) I y )  /\  ( Y  .-  y )  =  ( X  .-  A ) ) )  ->  G  e. TarskiG )
126 simplr 755 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  A )  /\  y  e.  P )  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y
) I y )  /\  ( Y  .-  y )  =  ( X  .-  A ) ) )  ->  y  e.  P )
12741ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  A )  /\  y  e.  P )  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y
) I y )  /\  ( Y  .-  y )  =  ( X  .-  A ) ) )  ->  ( M `  Y )  e.  P )
12829ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  A )  /\  y  e.  P )  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y
) I y )  /\  ( Y  .-  y )  =  ( X  .-  A ) ) )  ->  X  e.  P )
12931ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  A )  /\  y  e.  P )  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y
) I y )  /\  ( Y  .-  y )  =  ( X  .-  A ) ) )  ->  A  e.  P )
1303, 4, 5, 125, 126, 127, 128, 129axtgsegcon 23733 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  A )  /\  y  e.  P )  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y
) I y )  /\  ( Y  .-  y )  =  ( X  .-  A ) ) )  ->  E. t  e.  P  ( ( M `  Y )  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y ) 
.-  t )  =  ( X  .-  A
) ) )
131123, 55, 124, 130syl21anc 1228 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X
) I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P )  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y )
I y )  /\  ( Y  .-  y )  =  ( X  .-  A ) ) )  /\  z  e.  P
)  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `  X ) 
.-  z )  =  ( Y  .-  A
) ) )  ->  E. t  e.  P  ( ( M `  Y )  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `
 Y )  .-  t )  =  ( X  .-  A ) ) )
132122, 131r19.29a 2985 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X
) I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P )  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y )
I y )  /\  ( Y  .-  y )  =  ( X  .-  A ) ) )  /\  z  e.  P
)  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `  X ) 
.-  z )  =  ( Y  .-  A
) ) )  -> 
( ( M `  X )  .-  ( M `  Y )
)  =  ( X 
.-  Y ) )
1333, 4, 5, 25, 27, 39, 35, 32axtgsegcon 23733 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X
) I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  ->  E. z  e.  P  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `  X ) 
.-  z )  =  ( Y  .-  A
) ) )
134133ad2antrr 725 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  ->  E. z  e.  P  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )
135132, 134r19.29a 2985 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  -> 
( ( M `  X )  .-  ( M `  Y )
)  =  ( X 
.-  Y ) )
1363, 4, 5, 24, 41, 34, 29, 31axtgsegcon 23733 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  =/=  A )  ->  E. y  e.  P  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )
137136ad2antrr 725 . . . 4  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X
) I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  ->  E. y  e.  P  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )
138135, 137r19.29a 2985 . . 3  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X
) I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  ->  (
( M `  X
)  .-  ( M `  Y ) )  =  ( X  .-  Y
) )
1393, 4, 5, 24, 38, 29, 34, 31axtgsegcon 23733 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  =/=  A )  ->  E. x  e.  P  ( X  e.  ( ( M `  X ) I x )  /\  ( X 
.-  x )  =  ( Y  .-  A
) ) )
140138, 139r19.29a 2985 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  =/=  A )  ->  ( ( M `  X )  .-  ( M `  Y
) )  =  ( X  .-  Y ) )
14123, 140pm2.61dane 2761 1  |-  ( ph  ->  ( ( M `  X )  .-  ( M `  Y )
)  =  ( X 
.-  Y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804    =/= wne 2638   E.wrex 2794   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   Basecbs 14509   distcds 14583  TarskiGcstrkg 23697  Itvcitv 23704  LineGclng 23705  pInvGcmir 23905
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-card 8323  df-cda 8551  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10543  df-2 10600  df-n0 10802  df-z 10871  df-uz 11091  df-fz 11682  df-hash 12385  df-trkgc 23716  df-trkgb 23717  df-trkgcb 23718  df-trkg 23722  df-mir 23906
This theorem is referenced by:  mirbtwni  23923  mircgrs  23925  mirmot  23927  miduniq  23934  ragcom  23947  colperpexlem1  23976  lmiisolem  24033  hypcgrlem2  24037  hypcgr  24038
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