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Theorem miriso 24170
Description: The point inversion function is an isometry, i.e. it is conserves congruence. Because it is also a bijection, it is also a motion. Theorem 7.13 of [Schwabhauser] p. 50. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mirval.p  |-  P  =  ( Base `  G
)
mirval.d  |-  .-  =  ( dist `  G )
mirval.i  |-  I  =  (Itv `  G )
mirval.l  |-  L  =  (LineG `  G )
mirval.s  |-  S  =  (pInvG `  G )
mirval.g  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
mirval.a  |-  ( ph  ->  A  e.  P )
mirfv.m  |-  M  =  ( S `  A
)
miriso.1  |-  ( ph  ->  X  e.  P )
miriso.2  |-  ( ph  ->  Y  e.  P )
Assertion
Ref Expression
miriso  |-  ( ph  ->  ( ( M `  X )  .-  ( M `  Y )
)  =  ( X 
.-  Y ) )

Proof of Theorem miriso
Dummy variables  x  y  z  t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 459 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  =  A )  ->  X  =  A )
21oveq1d 6211 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  =  A )  ->  ( X  .-  Y )  =  ( A  .-  Y
) )
3 mirval.p . . . 4  |-  P  =  ( Base `  G
)
4 mirval.d . . . 4  |-  .-  =  ( dist `  G )
5 mirval.i . . . 4  |-  I  =  (Itv `  G )
6 mirval.l . . . 4  |-  L  =  (LineG `  G )
7 mirval.s . . . 4  |-  S  =  (pInvG `  G )
8 mirval.g . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
98adantr 463 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  =  A )  ->  G  e. TarskiG )
10 mirval.a . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  P )
1110adantr 463 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  =  A )  ->  A  e.  P )
12 mirfv.m . . . 4  |-  M  =  ( S `  A
)
13 miriso.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  P )
1413adantr 463 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  =  A )  ->  Y  e.  P )
153, 4, 5, 6, 7, 9, 11, 12, 14mircgr 24158 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  =  A )  ->  ( A  .-  ( M `  Y ) )  =  ( A  .-  Y
) )
16 miriso.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  P )
1716adantr 463 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  =  A )  ->  X  e.  P )
181eqcomd 2390 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  =  A )  ->  A  =  X )
1918oveq2d 6212 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  =  A )  ->  ( A  .-  A )  =  ( A  .-  X
) )
203, 4, 5, 9, 11, 17tgbtwntriv1 24002 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  =  A )  ->  A  e.  ( A I X ) )
213, 4, 5, 6, 7, 9, 11, 12, 17, 11, 19, 20ismir 24160 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  =  A )  ->  A  =  ( M `  X ) )
2221oveq1d 6211 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  =  A )  ->  ( A  .-  ( M `  Y ) )  =  ( ( M `  X )  .-  ( M `  Y )
) )
232, 15, 223eqtr2rd 2430 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  =  A )  ->  (
( M `  X
)  .-  ( M `  Y ) )  =  ( X  .-  Y
) )
248adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  =/=  A )  ->  G  e. TarskiG )
2524ad2antrr 723 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X
) I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  ->  G  e. TarskiG )
2625ad6antr 733 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  G  e. TarskiG )
27 simplr 753 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X
) I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  ->  x  e.  P )
2827ad6antr 733 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  x  e.  P )
2916adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  =/=  A )  ->  X  e.  P )
3029ad8antr 737 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  X  e.  P )
3110adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  =/=  A )  ->  A  e.  P )
3231ad2antrr 723 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X
) I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  ->  A  e.  P )
3332ad6antr 733 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  A  e.  P )
3413adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  =/=  A )  ->  Y  e.  P )
3534ad2antrr 723 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X
) I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  ->  Y  e.  P )
3635ad6antr 733 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  Y  e.  P )
37 simp-4r 766 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  z  e.  P )
383, 4, 5, 6, 7, 24, 31, 12, 29mircl 24162 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  =/=  A )  ->  ( M `  X )  e.  P
)
3938ad2antrr 723 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X
) I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  ->  ( M `  X )  e.  P )
4039ad6antr 733 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  ( M `  X )  e.  P
)
413, 4, 5, 6, 7, 24, 31, 12, 34mircl 24162 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  =/=  A )  ->  ( M `  Y )  e.  P
)
4241ad8antr 737 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  ( M `  Y )  e.  P
)
433, 4, 5, 6, 7, 26, 33, 12, 30mirbtwn 24159 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  A  e.  ( ( M `  X ) I X ) )
44 simp-7r 772 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  ( X  e.  ( ( M `  X ) I x )  /\  ( X 
.-  x )  =  ( Y  .-  A
) ) )
4544simpld 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  X  e.  ( ( M `  X ) I x ) )
463, 4, 5, 26, 40, 33, 30, 28, 43, 45tgbtwnexch3 24005 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  X  e.  ( A I x ) )
473, 4, 5, 26, 33, 30, 28, 46tgbtwncom 23999 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  X  e.  ( x I A ) )
483, 4, 5, 26, 40, 30, 28, 45tgbtwncom 23999 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  X  e.  ( x I ( M `  X ) ) )
493, 4, 5, 26, 40, 33, 30, 43tgbtwncom 23999 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  A  e.  ( X I ( M `
 X ) ) )
503, 4, 5, 26, 28, 30, 33, 40, 48, 49tgbtwnexch2 24007 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  A  e.  ( x I ( M `  X ) ) )
51 simpllr 758 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `  X ) 
.-  z )  =  ( Y  .-  A
) ) )
5251simpld 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  ( M `  X )  e.  ( x I z ) )
533, 4, 5, 26, 28, 33, 40, 37, 50, 52tgbtwnexch3 24005 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
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 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  ( M `  X )  e.  ( A I z ) )
543, 4, 5, 26, 33, 40, 37, 53tgbtwncom 23999 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
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 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  ( M `  X )  e.  ( z I A ) )
55 simp-4r 766 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X
) I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P )  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y )
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) ) )  -> 
y  e.  P )
5655ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
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 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
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)  =  ( X 
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573, 4, 5, 6, 7, 26, 33, 12, 36mirbtwn 24159 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
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( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
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58 simp-5r 768 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
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( M `  Y
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5958simpld 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
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( M `  Y
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603, 4, 5, 26, 42, 33, 36, 56, 57, 59tgbtwnexch3 24005 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
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613, 4, 5, 26, 33, 36, 56, 60tgbtwncom 23999 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
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( M `  Y
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623, 4, 5, 6, 7, 26, 33, 12, 30mircgr 24158 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
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( M `  Y
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.-  A ) ) )  ->  ( A  .-  ( M `  X
) )  =  ( A  .-  X ) )
6358simprd 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
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( M `  Y
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643, 4, 5, 26, 36, 56, 30, 33, 63tgcgrcomlr 23991 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
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( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  ( y  .-  Y )  =  ( A  .-  X ) )
6562, 64eqtr4d 2426 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
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( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
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.-  A ) ) )  ->  ( A  .-  ( M `  X
) )  =  ( y  .-  Y ) )
6651simprd 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
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( M `  Y
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673, 4, 5, 26, 33, 40, 37, 56, 36, 33, 53, 61, 65, 66tgcgrextend 23996 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
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( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
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6844simprd 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
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( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
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6968eqcomd 2390 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
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( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
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703, 4, 5, 26, 56, 36, 33, 33, 30, 28, 61, 46, 64, 69tgcgrextend 23996 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
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7167, 70eqtr2d 2424 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
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723, 4, 5, 26, 33, 28, 33, 37, 71tgcgrcomlr 23991 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
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7362eqcomd 2390 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
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 X ) ) )
743, 4, 5, 26, 33, 30, 33, 40, 73tgcgrcomlr 23991 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
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)
75 simplr 753 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
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( M `  Y
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763, 4, 5, 26, 42, 36, 56, 59tgbtwncom 23999 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
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773, 4, 5, 26, 42, 33, 36, 57tgbtwncom 23999 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
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( M `  Y
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)  =  ( X 
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 Y ) ) )
783, 4, 5, 26, 56, 36, 33, 42, 76, 77tgbtwnexch2 24007 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
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) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  A  e.  ( y I ( M `  Y ) ) )
79 simpr 459 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  ( ( M `  Y )  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y ) 
.-  t )  =  ( X  .-  A
) ) )
8079simpld 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  ( M `  Y )  e.  ( y I t ) )
813, 4, 5, 26, 56, 33, 42, 75, 78, 80tgbtwnexch3 24005 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  ( M `  Y )  e.  ( A I t ) )
823, 4, 5, 26, 33, 42, 75, 81tgbtwncom 23999 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  ( M `  Y )  e.  ( t I A ) )
833, 4, 5, 26, 30, 28, 36, 33, 68tgcgrcomlr 23991 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  ( x  .-  X )  =  ( A  .-  Y ) )
843, 4, 5, 6, 7, 26, 33, 12, 36mircgr 24158 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  ( A  .-  ( M `  Y
) )  =  ( A  .-  Y ) )
8583, 84eqtr4d 2426 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  ( x  .-  X )  =  ( A  .-  ( M `
 Y ) ) )
8679simprd 461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
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) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  ( ( M `  Y )  .-  t )  =  ( X  .-  A ) )
8786eqcomd 2390 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
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) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  ( X  .-  A )  =  ( ( M `  Y
)  .-  t )
)
883, 4, 5, 26, 28, 30, 33, 33, 42, 75, 47, 81, 85, 87tgcgrextend 23996 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
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) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  ( x  .-  A )  =  ( A  .-  t ) )
893, 4, 5, 26, 33, 75axtgcgrrflx 23976 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  ( A  .-  t )  =  ( t  .-  A ) )
9088, 89eqtrd 2423 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
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) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  ( x  .-  A )  =  ( t  .-  A ) )
913, 4, 5, 26, 28, 33, 75, 33, 90tgcgrcomlr 23991 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  ( A  .-  x )  =  ( A  .-  t ) )
9270, 91, 893eqtrd 2427 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
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) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  ( y  .-  A )  =  ( t  .-  A ) )
933, 4, 5, 26, 33, 42, 33, 36, 84tgcgrcomlr 23991 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  ( ( M `  Y )  .-  A )  =  ( Y  .-  A ) )
9493eqcomd 2390 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  ( Y  .-  A )  =  ( ( M `  Y
)  .-  A )
)
953, 4, 5, 26, 75, 37axtgcgrrflx 23976 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  ( t  .-  z )  =  ( z  .-  t ) )
96 simp-9r 776 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  X  =/=  A )
9796neneqd 2584 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
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) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  -.  X  =  A )
9826adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  /\  x  =  A )  ->  G  e. TarskiG )
9933adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  /\  x  =  A )  ->  A  e.  P )
10030adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  /\  x  =  A )  ->  X  e.  P )
10146adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  /\  x  =  A )  ->  X  e.  ( A I x ) )
102 simpr 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  /\  x  =  A )  ->  x  =  A )
103102oveq2d 6212 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  /\  x  =  A )  ->  ( A I x )  =  ( A I A ) )
104101, 103eleqtrd 2472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  /\  x  =  A )  ->  X  e.  ( A I A ) )
1053, 4, 5, 98, 99, 100, 104axtgbtwnid 23980 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  /\  x  =  A )  ->  A  =  X )
106105eqcomd 2390 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  /\  x  =  A )  ->  X  =  A )
10797, 106mtand 657 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  -.  x  =  A )
108107neqned 2585 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  x  =/=  A )
1093, 4, 5, 26, 28, 33, 40, 37, 50, 52tgbtwnexch 24009 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  A  e.  ( x I z ) )
1103, 4, 5, 26, 56, 33, 42, 75, 78, 80tgbtwnexch 24009 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  A  e.  ( y I t ) )
1113, 4, 5, 26, 56, 33, 75, 110tgbtwncom 23999 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  A  e.  ( t I y ) )
1123, 4, 5, 26, 56, 33axtgcgrrflx 23976 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  ( y  .-  A )  =  ( A  .-  y ) )
11367, 112eqtrd 2423 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  ( A  .-  z )  =  ( A  .-  y ) )
1143, 4, 5, 26, 28, 75axtgcgrrflx 23976 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  ( x  .-  t )  =  ( t  .-  x ) )
11591eqcomd 2390 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  ( A  .-  t )  =  ( A  .-  x ) )
1163, 4, 5, 26, 28, 33, 37, 75, 33, 56, 75, 28, 108, 109, 111, 90, 113, 114, 115axtg5seg 23979 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  ( z  .-  t )  =  ( y  .-  x ) )
11795, 116eqtr2d 2424 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  ( y  .-  x )  =  ( t  .-  z ) )
1183, 4, 5, 26, 56, 36, 33, 28, 75, 42, 33, 37, 61, 82, 92, 94, 117, 71tgifscgr 24020 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  ( Y  .-  x )  =  ( ( M `  Y
)  .-  z )
)
1193, 4, 5, 26, 36, 28, 42, 37, 118tgcgrcomlr 23991 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  ( x  .-  Y )  =  ( z  .-  ( M `
 Y ) ) )
12084eqcomd 2390 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  ( A  .-  Y )  =  ( A  .-  ( M `
 Y ) ) )
1213, 4, 5, 26, 28, 30, 33, 36, 37, 40, 33, 42, 47, 54, 72, 74, 119, 120tgifscgr 24020 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  ( X  .-  Y )  =  ( ( M `  X
)  .-  ( M `  Y ) ) )
122121eqcomd 2390 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  /\  z  e.  P )  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  t  e.  P )  /\  (
( M `  Y
)  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y )  .-  t
)  =  ( X 
.-  A ) ) )  ->  ( ( M `  X )  .-  ( M `  Y
) )  =  ( X  .-  Y ) )
123 simp-6l 769 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X
) I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P )  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y )
I y )  /\  ( Y  .-  y )  =  ( X  .-  A ) ) )  /\  z  e.  P
)  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `  X ) 
.-  z )  =  ( Y  .-  A
) ) )  -> 
( ph  /\  X  =/= 
A ) )
124 simpllr 758 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X
) I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P )  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y )
I y )  /\  ( Y  .-  y )  =  ( X  .-  A ) ) )  /\  z  e.  P
)  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `  X ) 
.-  z )  =  ( Y  .-  A
) ) )  -> 
( Y  e.  ( ( M `  Y
) I y )  /\  ( Y  .-  y )  =  ( X  .-  A ) ) )
12524ad2antrr 723 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  A )  /\  y  e.  P )  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y
) I y )  /\  ( Y  .-  y )  =  ( X  .-  A ) ) )  ->  G  e. TarskiG )
126 simplr 753 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  A )  /\  y  e.  P )  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y
) I y )  /\  ( Y  .-  y )  =  ( X  .-  A ) ) )  ->  y  e.  P )
12741ad2antrr 723 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  A )  /\  y  e.  P )  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y
) I y )  /\  ( Y  .-  y )  =  ( X  .-  A ) ) )  ->  ( M `  Y )  e.  P )
12829ad2antrr 723 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  A )  /\  y  e.  P )  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y
) I y )  /\  ( Y  .-  y )  =  ( X  .-  A ) ) )  ->  X  e.  P )
12931ad2antrr 723 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  A )  /\  y  e.  P )  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y
) I y )  /\  ( Y  .-  y )  =  ( X  .-  A ) ) )  ->  A  e.  P )
1303, 4, 5, 125, 126, 127, 128, 129axtgsegcon 23978 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  A )  /\  y  e.  P )  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y
) I y )  /\  ( Y  .-  y )  =  ( X  .-  A ) ) )  ->  E. t  e.  P  ( ( M `  Y )  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `  Y ) 
.-  t )  =  ( X  .-  A
) ) )
131123, 55, 124, 130syl21anc 1225 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X
) I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P )  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y )
I y )  /\  ( Y  .-  y )  =  ( X  .-  A ) ) )  /\  z  e.  P
)  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `  X ) 
.-  z )  =  ( Y  .-  A
) ) )  ->  E. t  e.  P  ( ( M `  Y )  e.  ( y I t )  /\  ( ( M `
 Y )  .-  t )  =  ( X  .-  A ) ) )
132122, 131r19.29a 2924 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X
) I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P )  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y )
I y )  /\  ( Y  .-  y )  =  ( X  .-  A ) ) )  /\  z  e.  P
)  /\  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `  X ) 
.-  z )  =  ( Y  .-  A
) ) )  -> 
( ( M `  X )  .-  ( M `  Y )
)  =  ( X 
.-  Y ) )
1333, 4, 5, 25, 27, 39, 35, 32axtgsegcon 23978 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X
) I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  ->  E. z  e.  P  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `  X ) 
.-  z )  =  ( Y  .-  A
) ) )
134133ad2antrr 723 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  ->  E. z  e.  P  ( ( M `  X )  e.  ( x I z )  /\  ( ( M `
 X )  .-  z )  =  ( Y  .-  A ) ) )
135132, 134r19.29a 2924 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X )
I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  /\  y  e.  P
)  /\  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )  -> 
( ( M `  X )  .-  ( M `  Y )
)  =  ( X 
.-  Y ) )
1363, 4, 5, 24, 41, 34, 29, 31axtgsegcon 23978 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  =/=  A )  ->  E. y  e.  P  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )
137136ad2antrr 723 . . . 4  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X
) I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  ->  E. y  e.  P  ( Y  e.  ( ( M `  Y ) I y )  /\  ( Y 
.-  y )  =  ( X  .-  A
) ) )
138135, 137r19.29a 2924 . . 3  |-  ( ( ( ( ph  /\  X  =/=  A )  /\  x  e.  P )  /\  ( X  e.  ( ( M `  X
) I x )  /\  ( X  .-  x )  =  ( Y  .-  A ) ) )  ->  (
( M `  X
)  .-  ( M `  Y ) )  =  ( X  .-  Y
) )
1393, 4, 5, 24, 38, 29, 34, 31axtgsegcon 23978 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  =/=  A )  ->  E. x  e.  P  ( X  e.  ( ( M `  X ) I x )  /\  ( X 
.-  x )  =  ( Y  .-  A
) ) )
140138, 139r19.29a 2924 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  =/=  A )  ->  ( ( M `  X )  .-  ( M `  Y
) )  =  ( X  .-  Y ) )
14123, 140pm2.61dane 2700 1  |-  ( ph  ->  ( ( M `  X )  .-  ( M `  Y )
)  =  ( X 
.-  Y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1399    e. wcel 1826    =/= wne 2577   E.wrex 2733   ` cfv 5496  (class class class)co 6196   Basecbs 14634   distcds 14711  TarskiGcstrkg 23942  Itvcitv 23949  LineGclng 23950  pInvGcmir 24153
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-1o 7048  df-oadd 7052  df-er 7229  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-fin 7439  df-card 8233  df-cda 8461  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-nn 10453  df-2 10511  df-n0 10713  df-z 10782  df-uz 11002  df-fz 11594  df-hash 12308  df-trkgc 23961  df-trkgb 23962  df-trkgcb 23963  df-trkg 23967  df-mir 24154
This theorem is referenced by:  mirbtwni  24171  mircgrs  24173  mirmot  24175  miduniq  24182  ragcom  24195  colperpexlem1  24224  lmiisolem  24281  hypcgrlem2  24285  hypcgr  24286
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