Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mireq Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem mireq 24710
 Description: Equality deduction for point inversion. Theorem 7.9 of [Schwabhauser] p. 50. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mirval.p
mirval.d
mirval.i Itv
mirval.l LineG
mirval.s pInvG
mirval.g TarskiG
mirval.a
mirfv.m
mirmir.b
mireq.c
mireq.d
Assertion
Ref Expression
mireq

Proof of Theorem mireq
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mirval.p . . 3
2 mirval.d . . 3
3 mirval.i . . 3 Itv
4 mirval.l . . 3 LineG
5 mirval.s . . 3 pInvG
6 mirval.g . . 3 TarskiG
7 mirval.a . . 3
8 mirfv.m . . 3
9 mireq.c . . . 4
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9mircl 24706 . . 3
11 mirmir.b . . 3
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11mirfv 24701 . . . . . . 7
13 mireq.d . . . . . . 7
1412, 13eqtr3d 2487 . . . . . 6
151, 2, 3, 6, 11, 7mirreu3 24699 . . . . . . 7
16 oveq2 6298 . . . . . . . . . 10
1716eqeq1d 2453 . . . . . . . . 9
18 oveq1 6297 . . . . . . . . . 10
1918eleq2d 2514 . . . . . . . . 9
2017, 19anbi12d 717 . . . . . . . 8
2120riota2 6274 . . . . . . 7
2210, 15, 21syl2anc 667 . . . . . 6
2314, 22mpbird 236 . . . . 5
2423simpld 461 . . . 4
2524eqcomd 2457 . . 3
2623simprd 465 . . . 4
271, 2, 3, 6, 10, 7, 11, 26tgbtwncom 24532 . . 3
281, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 25, 27ismir 24704 . 2
291, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9mirmir 24707 . 2
3028, 29eqtrd 2485 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 188   wa 371   wceq 1444   wcel 1887  wreu 2739  cfv 5582  crio 6251  (class class class)co 6290  cbs 15121  cds 15199  TarskiGcstrkg 24478  Itvcitv 24484  LineGclng 24485  pInvGcmir 24697 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pr 4639 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4749  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-trkgc 24496  df-trkgb 24497  df-trkgcb 24498  df-trkg 24501  df-mir 24698 This theorem is referenced by:  mirhl  24724  mirbtwnhl  24725  mirhl2  24726  colperpexlem3  24774
 Copyright terms: Public domain W3C validator