MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mircl Structured version   Unicode version

Theorem mircl 24246
Description: Closure of the point inversion function. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mirval.p  |-  P  =  ( Base `  G
)
mirval.d  |-  .-  =  ( dist `  G )
mirval.i  |-  I  =  (Itv `  G )
mirval.l  |-  L  =  (LineG `  G )
mirval.s  |-  S  =  (pInvG `  G )
mirval.g  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
mirval.a  |-  ( ph  ->  A  e.  P )
mirfv.m  |-  M  =  ( S `  A
)
mircl.x  |-  ( ph  ->  X  e.  P )
Assertion
Ref Expression
mircl  |-  ( ph  ->  ( M `  X
)  e.  P )

Proof of Theorem mircl
StepHypRef Expression
1 mirval.p . . 3  |-  P  =  ( Base `  G
)
2 mirval.d . . 3  |-  .-  =  ( dist `  G )
3 mirval.i . . 3  |-  I  =  (Itv `  G )
4 mirval.l . . 3  |-  L  =  (LineG `  G )
5 mirval.s . . 3  |-  S  =  (pInvG `  G )
6 mirval.g . . 3  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
7 mirval.a . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  P )
8 mirfv.m . . 3  |-  M  =  ( S `  A
)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8mirf 24245 . 2  |-  ( ph  ->  M : P --> P )
10 mircl.x . 2  |-  ( ph  ->  X  e.  P )
119, 10ffvelrnd 6008 1  |-  ( ph  ->  ( M `  X
)  e.  P )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1398    e. wcel 1823   ` cfv 5570   Basecbs 14719   distcds 14796  TarskiGcstrkg 24026  Itvcitv 24033  LineGclng 24034  pInvGcmir 24237
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pr 4676
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-id 4784  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-trkgc 24045  df-trkgb 24046  df-trkgcb 24047  df-trkg 24051  df-mir 24238
This theorem is referenced by:  mirmir  24247  mirreu  24249  mireq  24250  miriso  24254  mirmir2  24258  mirln  24260  mirconn  24262  mirhl  24263  mirbtwnhl  24264  miduniq  24266  miduniq1  24267  miduniq2  24268  ragcom  24279  ragcol  24280  ragmir  24281  mirrag  24282  ragflat2  24284  ragflat  24285  ragcgr  24288  footex  24299  colperpexlem1  24308  colperpexlem3  24310  mideulem2  24312  opphllem  24313  opphllem2  24324  opphllem3  24325  opphllem4  24326  opphllem6  24328  opphl  24329  mirmid  24353  lmieu  24354  lmimid  24363  lmiisolem  24365  hypcgrlem1  24368  hypcgrlem2  24369  hypcgr  24370
  Copyright terms: Public domain W3C validator