MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mircl Structured version   Unicode version

Theorem mircl 23852
Description: Closure of the point inversion function. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mirval.p  |-  P  =  ( Base `  G
)
mirval.d  |-  .-  =  ( dist `  G )
mirval.i  |-  I  =  (Itv `  G )
mirval.l  |-  L  =  (LineG `  G )
mirval.s  |-  S  =  (pInvG `  G )
mirval.g  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
mirval.a  |-  ( ph  ->  A  e.  P )
mirfv.m  |-  M  =  ( S `  A
)
mircl.x  |-  ( ph  ->  X  e.  P )
Assertion
Ref Expression
mircl  |-  ( ph  ->  ( M `  X
)  e.  P )

Proof of Theorem mircl
StepHypRef Expression
1 mirval.p . . 3  |-  P  =  ( Base `  G
)
2 mirval.d . . 3  |-  .-  =  ( dist `  G )
3 mirval.i . . 3  |-  I  =  (Itv `  G )
4 mirval.l . . 3  |-  L  =  (LineG `  G )
5 mirval.s . . 3  |-  S  =  (pInvG `  G )
6 mirval.g . . 3  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
7 mirval.a . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  P )
8 mirfv.m . . 3  |-  M  =  ( S `  A
)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8mirf 23851 . 2  |-  ( ph  ->  M : P --> P )
10 mircl.x . 2  |-  ( ph  ->  X  e.  P )
119, 10ffvelrnd 6023 1  |-  ( ph  ->  ( M `  X
)  e.  P )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1379    e. wcel 1767   ` cfv 5588   Basecbs 14493   distcds 14567  TarskiGcstrkg 23650  Itvcitv 23657  LineGclng 23658  pInvGcmir 23843
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pr 4686
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6246  df-ov 6288  df-trkgc 23669  df-trkgb 23670  df-trkgcb 23671  df-trkg 23675  df-mir 23844
This theorem is referenced by:  mirmir  23853  mirreu  23855  mireq  23856  miriso  23860  mirmir2  23864  miduniq  23867  miduniq1  23868  miduniq2  23869  ragcom  23880  ragcol  23881  ragmir  23882  mirrag  23883  ragflat2  23885  ragflat  23886  ragcgr  23889  footex  23900  colperpexlem1  23906  colperpexlem3  23908  mideulem  23910  mirmid  23923  lmieu  23924  lmimid  23933  lmiisolem  23935  hypcgrlem1  23938  hypcgrlem2  23939  hypcgr  23940
  Copyright terms: Public domain W3C validator