MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mircgrs Structured version   Unicode version

Theorem mircgrs 23199
Description: Point inversion preserves congruence. Theorem 7.16 of [Schwabhauser] p. 51. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mirval.p  |-  P  =  ( Base `  G
)
mirval.d  |-  .-  =  ( dist `  G )
mirval.i  |-  I  =  (Itv `  G )
mirval.l  |-  L  =  (LineG `  G )
mirval.s  |-  S  =  (pInvG `  G )
mirval.g  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
mirval.a  |-  ( ph  ->  A  e.  P )
mirfv.m  |-  M  =  ( S `  A
)
miriso.1  |-  ( ph  ->  X  e.  P )
miriso.2  |-  ( ph  ->  Y  e.  P )
mircgrs.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  P )
mircgrs.t  |-  ( ph  ->  T  e.  P )
mircgrs.e  |-  ( ph  ->  ( X  .-  Y
)  =  ( Z 
.-  T ) )
Assertion
Ref Expression
mircgrs  |-  ( ph  ->  ( ( M `  X )  .-  ( M `  Y )
)  =  ( ( M `  Z ) 
.-  ( M `  T ) ) )

Proof of Theorem mircgrs
StepHypRef Expression
1 mircgrs.e . 2  |-  ( ph  ->  ( X  .-  Y
)  =  ( Z 
.-  T ) )
2 mirval.p . . 3  |-  P  =  ( Base `  G
)
3 mirval.d . . 3  |-  .-  =  ( dist `  G )
4 mirval.i . . 3  |-  I  =  (Itv `  G )
5 mirval.l . . 3  |-  L  =  (LineG `  G )
6 mirval.s . . 3  |-  S  =  (pInvG `  G )
7 mirval.g . . 3  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
8 mirval.a . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  P )
9 mirfv.m . . 3  |-  M  =  ( S `  A
)
10 miriso.1 . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  P )
11 miriso.2 . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  P )
122, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11miriso 23196 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( M `  X )  .-  ( M `  Y )
)  =  ( X 
.-  Y ) )
13 mircgrs.z . . 3  |-  ( ph  ->  Z  e.  P )
14 mircgrs.t . . 3  |-  ( ph  ->  T  e.  P )
152, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 13, 14miriso 23196 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( M `  Z )  .-  ( M `  T )
)  =  ( Z 
.-  T ) )
161, 12, 153eqtr4d 2501 1  |-  ( ph  ->  ( ( M `  X )  .-  ( M `  Y )
)  =  ( ( M `  Z ) 
.-  ( M `  T ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1370    e. wcel 1758   ` cfv 5513  (class class class)co 6187   Basecbs 14273   distcds 14346  TarskiGcstrkg 23002  Itvcitv 23009  LineGclng 23010  pInvGcmir 23178
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4498  ax-sep 4508  ax-nul 4516  ax-pow 4565  ax-pr 4626  ax-un 6469  ax-cnex 9436  ax-resscn 9437  ax-1cn 9438  ax-icn 9439  ax-addcl 9440  ax-addrcl 9441  ax-mulcl 9442  ax-mulrcl 9443  ax-mulcom 9444  ax-addass 9445  ax-mulass 9446  ax-distr 9447  ax-i2m1 9448  ax-1ne0 9449  ax-1rid 9450  ax-rnegex 9451  ax-rrecex 9452  ax-cnre 9453  ax-pre-lttri 9454  ax-pre-lttrn 9455  ax-pre-ltadd 9456  ax-pre-mulgt0 9457
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2599  df-ne 2644  df-nel 2645  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3067  df-sbc 3282  df-csb 3384  df-dif 3426  df-un 3428  df-in 3430  df-ss 3437  df-pss 3439  df-nul 3733  df-if 3887  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4187  df-int 4224  df-iun 4268  df-br 4388  df-opab 4446  df-mpt 4447  df-tr 4481  df-eprel 4727  df-id 4731  df-po 4736  df-so 4737  df-fr 4774  df-we 4776  df-ord 4817  df-on 4818  df-lim 4819  df-suc 4820  df-xp 4941  df-rel 4942  df-cnv 4943  df-co 4944  df-dm 4945  df-rn 4946  df-res 4947  df-ima 4948  df-iota 5476  df-fun 5515  df-fn 5516  df-f 5517  df-f1 5518  df-fo 5519  df-f1o 5520  df-fv 5521  df-riota 6148  df-ov 6190  df-oprab 6191  df-mpt2 6192  df-om 6574  df-1st 6674  df-2nd 6675  df-recs 6929  df-rdg 6963  df-1o 7017  df-oadd 7021  df-er 7198  df-en 7408  df-dom 7409  df-sdom 7410  df-fin 7411  df-card 8207  df-cda 8435  df-pnf 9518  df-mnf 9519  df-xr 9520  df-ltxr 9521  df-le 9522  df-sub 9695  df-neg 9696  df-nn 10421  df-2 10478  df-n0 10678  df-z 10745  df-uz 10960  df-fz 11536  df-hash 12202  df-trkgc 23021  df-trkgb 23022  df-trkgcb 23023  df-trkg 23027  df-mir 23179
This theorem is referenced by:  mirmir2  23200  mirauto  23201  mirrag  23218
  Copyright terms: Public domain W3C validator