MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mirbtwni Structured version   Unicode version

Theorem mirbtwni 24331
Description: Point inversion preserves betweenness, first half of Theorem 7.15 of [Schwabhauser] p. 51. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mirval.p  |-  P  =  ( Base `  G
)
mirval.d  |-  .-  =  ( dist `  G )
mirval.i  |-  I  =  (Itv `  G )
mirval.l  |-  L  =  (LineG `  G )
mirval.s  |-  S  =  (pInvG `  G )
mirval.g  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
mirval.a  |-  ( ph  ->  A  e.  P )
mirfv.m  |-  M  =  ( S `  A
)
miriso.1  |-  ( ph  ->  X  e.  P )
miriso.2  |-  ( ph  ->  Y  e.  P )
mirbtwni.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  P )
mirbtwni.b  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( X I Z ) )
Assertion
Ref Expression
mirbtwni  |-  ( ph  ->  ( M `  Y
)  e.  ( ( M `  X ) I ( M `  Z ) ) )

Proof of Theorem mirbtwni
StepHypRef Expression
1 mirval.p . 2  |-  P  =  ( Base `  G
)
2 mirval.d . 2  |-  .-  =  ( dist `  G )
3 mirval.i . 2  |-  I  =  (Itv `  G )
4 eqid 2400 . 2  |-  (cgrG `  G )  =  (cgrG `  G )
5 mirval.g . 2  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
6 miriso.1 . 2  |-  ( ph  ->  X  e.  P )
7 miriso.2 . 2  |-  ( ph  ->  Y  e.  P )
8 mirbtwni.z . 2  |-  ( ph  ->  Z  e.  P )
9 mirval.l . . . 4  |-  L  =  (LineG `  G )
10 mirval.s . . . 4  |-  S  =  (pInvG `  G )
11 mirval.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  P )
12 mirfv.m . . . 4  |-  M  =  ( S `  A
)
131, 2, 3, 9, 10, 5, 11, 12mirf 24321 . . 3  |-  ( ph  ->  M : P --> P )
1413, 6ffvelrnd 5964 . 2  |-  ( ph  ->  ( M `  X
)  e.  P )
1513, 7ffvelrnd 5964 . 2  |-  ( ph  ->  ( M `  Y
)  e.  P )
1613, 8ffvelrnd 5964 . 2  |-  ( ph  ->  ( M `  Z
)  e.  P )
171, 2, 3, 9, 10, 5, 11, 12, 6, 7miriso 24330 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( M `  X )  .-  ( M `  Y )
)  =  ( X 
.-  Y ) )
1817eqcomd 2408 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X  .-  Y
)  =  ( ( M `  X ) 
.-  ( M `  Y ) ) )
191, 2, 3, 9, 10, 5, 11, 12, 7, 8miriso 24330 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( M `  Y )  .-  ( M `  Z )
)  =  ( Y 
.-  Z ) )
2019eqcomd 2408 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Y  .-  Z
)  =  ( ( M `  Y ) 
.-  ( M `  Z ) ) )
211, 2, 3, 9, 10, 5, 11, 12, 8, 6miriso 24330 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( M `  Z )  .-  ( M `  X )
)  =  ( Z 
.-  X ) )
2221eqcomd 2408 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Z  .-  X
)  =  ( ( M `  Z ) 
.-  ( M `  X ) ) )
231, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 14, 15, 16, 18, 20, 22trgcgr 24183 . 2  |-  ( ph  ->  <" X Y Z "> (cgrG `  G ) <" ( M `  X )
( M `  Y
) ( M `  Z ) "> )
24 mirbtwni.b . 2  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( X I Z ) )
251, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 14, 15, 16, 23, 24tgbtwnxfr 24196 1  |-  ( ph  ->  ( M `  Y
)  e.  ( ( M `  X ) I ( M `  Z ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1403    e. wcel 1840   ` cfv 5523  (class class class)co 6232   Basecbs 14731   distcds 14808  TarskiGcstrkg 24096  Itvcitv 24103  LineGclng 24104  cgrGccgrg 24178  pInvGcmir 24313
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1637  ax-4 1650  ax-5 1723  ax-6 1769  ax-7 1812  ax-8 1842  ax-9 1844  ax-10 1859  ax-11 1864  ax-12 1876  ax-13 2024  ax-ext 2378  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4569  ax-pr 4627  ax-un 6528  ax-cnex 9496  ax-resscn 9497  ax-1cn 9498  ax-icn 9499  ax-addcl 9500  ax-addrcl 9501  ax-mulcl 9502  ax-mulrcl 9503  ax-mulcom 9504  ax-addass 9505  ax-mulass 9506  ax-distr 9507  ax-i2m1 9508  ax-1ne0 9509  ax-1rid 9510  ax-rnegex 9511  ax-rrecex 9512  ax-cnre 9513  ax-pre-lttri 9514  ax-pre-lttrn 9515  ax-pre-ltadd 9516  ax-pre-mulgt0 9517
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1406  df-ex 1632  df-nf 1636  df-sb 1762  df-eu 2240  df-mo 2241  df-clab 2386  df-cleq 2392  df-clel 2395  df-nfc 2550  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2756  df-rex 2757  df-reu 2758  df-rmo 2759  df-rab 2760  df-v 3058  df-sbc 3275  df-csb 3371  df-dif 3414  df-un 3416  df-in 3418  df-ss 3425  df-pss 3427  df-nul 3736  df-if 3883  df-pw 3954  df-sn 3970  df-pr 3972  df-tp 3974  df-op 3976  df-uni 4189  df-int 4225  df-iun 4270  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4487  df-eprel 4731  df-id 4735  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5487  df-fun 5525  df-fn 5526  df-f 5527  df-f1 5528  df-fo 5529  df-f1o 5530  df-fv 5531  df-riota 6194  df-ov 6235  df-oprab 6236  df-mpt2 6237  df-om 6637  df-1st 6736  df-2nd 6737  df-recs 6997  df-rdg 7031  df-1o 7085  df-oadd 7089  df-er 7266  df-pm 7378  df-en 7473  df-dom 7474  df-sdom 7475  df-fin 7476  df-card 8270  df-cda 8498  df-pnf 9578  df-mnf 9579  df-xr 9580  df-ltxr 9581  df-le 9582  df-sub 9761  df-neg 9762  df-nn 10495  df-2 10553  df-3 10554  df-n0 10755  df-z 10824  df-uz 11044  df-fz 11642  df-fzo 11766  df-hash 12358  df-word 12496  df-concat 12498  df-s1 12499  df-s2 12774  df-s3 12775  df-trkgc 24115  df-trkgb 24116  df-trkgcb 24117  df-trkg 24121  df-cgrg 24179  df-mir 24314
This theorem is referenced by:  mirbtwnb  24332  mirmir2  24334  mirhl  24339  mirauto  24341  krippenlem  24347  colperpexlem1  24384  opphllem2  24400
  Copyright terms: Public domain W3C validator