MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mirbtwni Structured version   Unicode version

Theorem mirbtwni 23225
Description: Point inversion preserves betweenness, first half of Theorem 7.15 of [Schwabhauser] p. 51. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mirval.p  |-  P  =  ( Base `  G
)
mirval.d  |-  .-  =  ( dist `  G )
mirval.i  |-  I  =  (Itv `  G )
mirval.l  |-  L  =  (LineG `  G )
mirval.s  |-  S  =  (pInvG `  G )
mirval.g  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
mirval.a  |-  ( ph  ->  A  e.  P )
mirfv.m  |-  M  =  ( S `  A
)
miriso.1  |-  ( ph  ->  X  e.  P )
miriso.2  |-  ( ph  ->  Y  e.  P )
mirbtwni.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  P )
mirbtwni.b  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( X I Z ) )
Assertion
Ref Expression
mirbtwni  |-  ( ph  ->  ( M `  Y
)  e.  ( ( M `  X ) I ( M `  Z ) ) )

Proof of Theorem mirbtwni
StepHypRef Expression
1 mirval.p . 2  |-  P  =  ( Base `  G
)
2 mirval.d . 2  |-  .-  =  ( dist `  G )
3 mirval.i . 2  |-  I  =  (Itv `  G )
4 eqid 2454 . 2  |-  (cgrG `  G )  =  (cgrG `  G )
5 mirval.g . 2  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
6 miriso.1 . 2  |-  ( ph  ->  X  e.  P )
7 miriso.2 . 2  |-  ( ph  ->  Y  e.  P )
8 mirbtwni.z . 2  |-  ( ph  ->  Z  e.  P )
9 mirval.l . . . 4  |-  L  =  (LineG `  G )
10 mirval.s . . . 4  |-  S  =  (pInvG `  G )
11 mirval.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  P )
12 mirfv.m . . . 4  |-  M  =  ( S `  A
)
131, 2, 3, 9, 10, 5, 11, 12mirf 23215 . . 3  |-  ( ph  ->  M : P --> P )
1413, 6ffvelrnd 5956 . 2  |-  ( ph  ->  ( M `  X
)  e.  P )
1513, 7ffvelrnd 5956 . 2  |-  ( ph  ->  ( M `  Y
)  e.  P )
1613, 8ffvelrnd 5956 . 2  |-  ( ph  ->  ( M `  Z
)  e.  P )
171, 2, 3, 9, 10, 5, 11, 12, 6, 7miriso 23224 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( M `  X )  .-  ( M `  Y )
)  =  ( X 
.-  Y ) )
1817eqcomd 2462 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X  .-  Y
)  =  ( ( M `  X ) 
.-  ( M `  Y ) ) )
191, 2, 3, 9, 10, 5, 11, 12, 7, 8miriso 23224 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( M `  Y )  .-  ( M `  Z )
)  =  ( Y 
.-  Z ) )
2019eqcomd 2462 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Y  .-  Z
)  =  ( ( M `  Y ) 
.-  ( M `  Z ) ) )
211, 2, 3, 9, 10, 5, 11, 12, 8, 6miriso 23224 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( M `  Z )  .-  ( M `  X )
)  =  ( Z 
.-  X ) )
2221eqcomd 2462 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Z  .-  X
)  =  ( ( M `  Z ) 
.-  ( M `  X ) ) )
231, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 14, 15, 16, 18, 20, 22trgcgr 23114 . 2  |-  ( ph  ->  <" X Y Z "> (cgrG `  G ) <" ( M `  X )
( M `  Y
) ( M `  Z ) "> )
24 mirbtwni.b . 2  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( X I Z ) )
251, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 14, 15, 16, 23, 24tgbtwnxfr 23125 1  |-  ( ph  ->  ( M `  Y
)  e.  ( ( M `  X ) I ( M `  Z ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1370    e. wcel 1758   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   Basecbs 14296   distcds 14370  TarskiGcstrkg 23032  Itvcitv 23039  LineGclng 23040  cgrGccgrg 23109  pInvGcmir 23207
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9453  ax-resscn 9454  ax-1cn 9455  ax-icn 9456  ax-addcl 9457  ax-addrcl 9458  ax-mulcl 9459  ax-mulrcl 9460  ax-mulcom 9461  ax-addass 9462  ax-mulass 9463  ax-distr 9464  ax-i2m1 9465  ax-1ne0 9466  ax-1rid 9467  ax-rnegex 9468  ax-rrecex 9469  ax-cnre 9470  ax-pre-lttri 9471  ax-pre-lttrn 9472  ax-pre-ltadd 9473  ax-pre-mulgt0 9474
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-oadd 7037  df-er 7214  df-pm 7330  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-card 8224  df-cda 8452  df-pnf 9535  df-mnf 9536  df-xr 9537  df-ltxr 9538  df-le 9539  df-sub 9712  df-neg 9713  df-nn 10438  df-2 10495  df-3 10496  df-n0 10695  df-z 10762  df-uz 10977  df-fz 11559  df-fzo 11670  df-hash 12225  df-word 12351  df-concat 12353  df-s1 12354  df-s2 12597  df-s3 12598  df-trkgc 23051  df-trkgb 23052  df-trkgcb 23053  df-trkg 23057  df-cgrg 23110  df-mir 23208
This theorem is referenced by:  mirbtwnb  23226  mirmir2  23228  mirauto  23229  krippenlem  23235  colperpexlem1  23266
  Copyright terms: Public domain W3C validator