Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mirbtwnhl Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem mirbtwnhl 24725
 Description: If the center of the point inversion is between two points and , then the half lines are mirrored. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
mirval.p
mirval.d
mirval.i Itv
mirval.l LineG
mirval.s pInvG
mirval.g TarskiG
mirhl.m
mirhl.k hlG
mirhl.a
mirhl.x
mirhl.y
mirhl.z
mirbtwnhl.1
mirbtwnhl.2
mirbtwnhl.3
Assertion
Ref Expression
mirbtwnhl

Proof of Theorem mirbtwnhl
StepHypRef Expression
1 mirval.p . . . . . 6
2 mirval.i . . . . . 6 Itv
3 mirhl.k . . . . . 6 hlG
4 mirhl.a . . . . . 6
5 mirhl.x . . . . . 6
6 mirval.g . . . . . 6 TarskiG
71, 2, 3, 4, 5, 4, 6hleqnid 24653 . . . . 5
87adantr 467 . . . 4
9 simpr 463 . . . . 5
109breq1d 4412 . . . 4
118, 10mtbird 303 . . 3
12 mirhl.y . . . . . 6
131, 2, 3, 4, 12, 4, 6hleqnid 24653 . . . . 5
1413adantr 467 . . . 4
159fveq2d 5869 . . . . . 6
16 mirval.d . . . . . . . 8
17 mirval.l . . . . . . . 8 LineG
18 mirval.s . . . . . . . 8 pInvG
19 mirhl.m . . . . . . . 8
201, 16, 2, 17, 18, 6, 4, 19mircinv 24713 . . . . . . 7
2120adantr 467 . . . . . 6
2215, 21eqtrd 2485 . . . . 5
2322breq1d 4412 . . . 4
2414, 23mtbird 303 . . 3
2511, 242falsed 353 . 2
26 simplr 762 . . . . . . . 8
2726neneqd 2629 . . . . . . 7
286ad3antrrr 736 . . . . . . . 8 TarskiG
294ad3antrrr 736 . . . . . . . 8
30 mirhl.z . . . . . . . . 9
3130ad3antrrr 736 . . . . . . . 8
32 simpr 463 . . . . . . . . 9
3320ad3antrrr 736 . . . . . . . . 9
3432, 33eqtr4d 2488 . . . . . . . 8
351, 16, 2, 17, 18, 28, 29, 19, 31, 29, 34mireq 24710 . . . . . . 7
3627, 35mtand 665 . . . . . 6
3736neqned 2631 . . . . 5
38 mirbtwnhl.2 . . . . . 6
3938ad2antrr 732 . . . . 5
406ad2antrr 732 . . . . . 6 TarskiG
415ad2antrr 732 . . . . . 6
424ad2antrr 732 . . . . . 6
431, 16, 2, 17, 18, 6, 4, 19, 30mircl 24706 . . . . . . 7
4443ad2antrr 732 . . . . . 6
4512ad2antrr 732 . . . . . 6
46 mirbtwnhl.1 . . . . . . 7
4746ad2antrr 732 . . . . . 6
4830ad2antrr 732 . . . . . . 7
491, 2, 3, 30, 5, 4, 6ishlg 24647 . . . . . . . . . . 11
5049adantr 467 . . . . . . . . . 10
5150biimpa 487 . . . . . . . . 9
5251simp3d 1022 . . . . . . . 8
5352orcomd 390 . . . . . . 7
541, 16, 2, 17, 18, 40, 19, 42, 41, 48, 53mirconn 24723 . . . . . 6
55 mirbtwnhl.3 . . . . . . 7
5655ad2antrr 732 . . . . . 6
571, 2, 40, 41, 42, 44, 45, 47, 54, 56tgbtwnconn2 24621 . . . . 5
5837, 39, 573jca 1188 . . . 4
591, 2, 3, 43, 12, 4, 6ishlg 24647 . . . . . 6
6059adantr 467 . . . . 5
6160adantr 467 . . . 4
6258, 61mpbird 236 . . 3
63 simplr 762 . . . . 5
6446ad2antrr 732 . . . . 5
656ad2antrr 732 . . . . . 6 TarskiG
6612ad2antrr 732 . . . . . 6
674ad2antrr 732 . . . . . 6
6830ad2antrr 732 . . . . . 6
695ad2antrr 732 . . . . . 6
7038ad2antrr 732 . . . . . 6
7120ad2antrr 732 . . . . . . . 8
7243ad2antrr 732 . . . . . . . . 9
731, 16, 2, 17, 18, 65, 67, 19, 66mircl 24706 . . . . . . . . 9
7460biimpa 487 . . . . . . . . . . 11
7574simp3d 1022 . . . . . . . . . 10
761, 16, 2, 17, 18, 65, 19, 67, 72, 66, 75mirconn 24723 . . . . . . . . 9
771, 16, 2, 65, 72, 67, 73, 76tgbtwncom 24532 . . . . . . . 8
7871, 77eqeltrd 2529 . . . . . . 7
791, 16, 2, 17, 18, 65, 67, 19, 66, 67, 68mirbtwnb 24717 . . . . . . 7
8078, 79mpbird 236 . . . . . 6
811, 16, 2, 6, 5, 4, 12, 55tgbtwncom 24532 . . . . . . 7
8281ad2antrr 732 . . . . . 6
831, 2, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 80, 82tgbtwnconn2 24621 . . . . 5
8463, 64, 833jca 1188 . . . 4
8550adantr 467 . . . 4
8684, 85mpbird 236 . . 3
8762, 86impbida 843 . 2
8825, 87pm2.61dane 2711 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 188   wo 370   wa 371   w3a 985   wceq 1444   wcel 1887   wne 2622   class class class wbr 4402  cfv 5582  (class class class)co 6290  cbs 15121  cds 15199  TarskiGcstrkg 24478  Itvcitv 24484  LineGclng 24485  hlGchlg 24645  pInvGcmir 24697 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-pm 7475  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-card 8373  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-hash 12516  df-word 12664  df-concat 12666  df-s1 12667  df-s2 12944  df-s3 12945  df-trkgc 24496  df-trkgb 24497  df-trkgcb 24498  df-trkg 24501  df-cgrg 24556  df-hlg 24646  df-mir 24698 This theorem is referenced by:  opphllem6  24794
 Copyright terms: Public domain W3C validator