Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mirauto Structured version   Unicode version

Theorem mirauto 23926
 Description: Point inversion preserves point inversion. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mirval.p
mirval.d
mirval.i Itv
mirval.l LineG
mirval.s pInvG
mirval.g TarskiG
mirauto.m
mirauto.x
mirauto.y
mirauto.z
mirauto.0
mirauto.1
mirauto.2
mirauto.3
mirauto.4
Assertion
Ref Expression
mirauto

Proof of Theorem mirauto
StepHypRef Expression
1 mirval.p . . 3
2 mirval.d . . 3
3 mirval.i . . 3 Itv
4 mirval.l . . 3 LineG
5 mirval.s . . 3 pInvG
6 mirval.g . . 3 TarskiG
7 mirauto.x . . . 4
8 mirauto.0 . . . . . 6
9 mirauto.m . . . . . 6
101, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9mirf 23906 . . . . 5
11 mirauto.1 . . . . 5
1210, 11ffvelrnd 6013 . . . 4
137, 12syl5eqel 2533 . . 3
14 eqid 2441 . . 3
15 mirauto.y . . . 4
16 mirauto.2 . . . . 5
1710, 16ffvelrnd 6013 . . . 4
1815, 17syl5eqel 2533 . . 3
19 mirauto.z . . . 4
20 mirauto.3 . . . . 5
2110, 20ffvelrnd 6013 . . . 4
2219, 21syl5eqel 2533 . . 3
23 mirauto.4 . . . . . 6
2423, 20eqeltrd 2529 . . . . 5
25 eqid 2441 . . . . . 6
261, 2, 3, 4, 5, 6, 11, 25, 16mircgr 23903 . . . . 5
271, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 11, 24, 11, 16, 26mircgrs 23918 . . . 4
287a1i 11 . . . . 5
2923fveq2d 5856 . . . . . 6
3029, 19syl6reqr 2501 . . . . 5
3128, 30oveq12d 6295 . . . 4
327, 15oveq12i 6289 . . . . 5
3332a1i 11 . . . 4
3427, 31, 333eqtr4d 2492 . . 3
351, 2, 3, 4, 5, 6, 11, 25, 16mirbtwn 23904 . . . . . 6
3623oveq1d 6292 . . . . . 6
3735, 36eleqtrd 2531 . . . . 5
381, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 20, 11, 16, 37mirbtwni 23916 . . . 4
3919, 15oveq12i 6289 . . . 4
4038, 7, 393eltr4g 2547 . . 3
411, 2, 3, 4, 5, 6, 13, 14, 18, 22, 34, 40ismir 23905 . 2
4241eqcomd 2449 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wceq 1381   wcel 1802  cfv 5574  (class class class)co 6277  cbs 14504  cds 14578  TarskiGcstrkg 23690  Itvcitv 23697  LineGclng 23698  pInvGcmir 23898 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4544  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-pss 3474  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-tp 4015  df-op 4017  df-uni 4231  df-int 4268  df-iun 4313  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-tr 4527  df-eprel 4777  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-fr 4824  df-we 4826  df-ord 4867  df-on 4868  df-lim 4869  df-suc 4870  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6682  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7040  df-rdg 7074  df-1o 7128  df-oadd 7132  df-er 7309  df-pm 7421  df-en 7515  df-dom 7516  df-sdom 7517  df-fin 7518  df-card 8318  df-cda 8546  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11086  df-fz 11677  df-fzo 11799  df-hash 12380  df-word 12516  df-concat 12518  df-s1 12519  df-s2 12787  df-s3 12788  df-trkgc 23709  df-trkgb 23710  df-trkgcb 23711  df-trkg 23715  df-cgrg 23768  df-mir 23899 This theorem is referenced by:  miduniq2  23929  krippenlem  23932
 Copyright terms: Public domain W3C validator