MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mirauto Structured version   Unicode version

Theorem mirauto 23926
Description: Point inversion preserves point inversion. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mirval.p  |-  P  =  ( Base `  G
)
mirval.d  |-  .-  =  ( dist `  G )
mirval.i  |-  I  =  (Itv `  G )
mirval.l  |-  L  =  (LineG `  G )
mirval.s  |-  S  =  (pInvG `  G )
mirval.g  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
mirauto.m  |-  M  =  ( S `  T
)
mirauto.x  |-  X  =  ( M `  A
)
mirauto.y  |-  Y  =  ( M `  B
)
mirauto.z  |-  Z  =  ( M `  C
)
mirauto.0  |-  ( ph  ->  T  e.  P )
mirauto.1  |-  ( ph  ->  A  e.  P )
mirauto.2  |-  ( ph  ->  B  e.  P )
mirauto.3  |-  ( ph  ->  C  e.  P )
mirauto.4  |-  ( ph  ->  ( ( S `  A ) `  B
)  =  C )
Assertion
Ref Expression
mirauto  |-  ( ph  ->  ( ( S `  X ) `  Y
)  =  Z )

Proof of Theorem mirauto
StepHypRef Expression
1 mirval.p . . 3  |-  P  =  ( Base `  G
)
2 mirval.d . . 3  |-  .-  =  ( dist `  G )
3 mirval.i . . 3  |-  I  =  (Itv `  G )
4 mirval.l . . 3  |-  L  =  (LineG `  G )
5 mirval.s . . 3  |-  S  =  (pInvG `  G )
6 mirval.g . . 3  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
7 mirauto.x . . . 4  |-  X  =  ( M `  A
)
8 mirauto.0 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  T  e.  P )
9 mirauto.m . . . . . 6  |-  M  =  ( S `  T
)
101, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9mirf 23906 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M : P --> P )
11 mirauto.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  P )
1210, 11ffvelrnd 6013 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( M `  A
)  e.  P )
137, 12syl5eqel 2533 . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  P )
14 eqid 2441 . . 3  |-  ( S `
 X )  =  ( S `  X
)
15 mirauto.y . . . 4  |-  Y  =  ( M `  B
)
16 mirauto.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  P )
1710, 16ffvelrnd 6013 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( M `  B
)  e.  P )
1815, 17syl5eqel 2533 . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  P )
19 mirauto.z . . . 4  |-  Z  =  ( M `  C
)
20 mirauto.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  e.  P )
2110, 20ffvelrnd 6013 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( M `  C
)  e.  P )
2219, 21syl5eqel 2533 . . 3  |-  ( ph  ->  Z  e.  P )
23 mirauto.4 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( S `  A ) `  B
)  =  C )
2423, 20eqeltrd 2529 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( S `  A ) `  B
)  e.  P )
25 eqid 2441 . . . . . 6  |-  ( S `
 A )  =  ( S `  A
)
261, 2, 3, 4, 5, 6, 11, 25, 16mircgr 23903 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  .-  (
( S `  A
) `  B )
)  =  ( A 
.-  B ) )
271, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 11, 24, 11, 16, 26mircgrs 23918 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( M `  A )  .-  ( M `  ( ( S `  A ) `  B ) ) )  =  ( ( M `
 A )  .-  ( M `  B ) ) )
287a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  =  ( M `
 A ) )
2923fveq2d 5856 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( M `  (
( S `  A
) `  B )
)  =  ( M `
 C ) )
3029, 19syl6reqr 2501 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Z  =  ( M `
 ( ( S `
 A ) `  B ) ) )
3128, 30oveq12d 6295 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X  .-  Z
)  =  ( ( M `  A ) 
.-  ( M `  ( ( S `  A ) `  B
) ) ) )
327, 15oveq12i 6289 . . . . 5  |-  ( X 
.-  Y )  =  ( ( M `  A )  .-  ( M `  B )
)
3332a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X  .-  Y
)  =  ( ( M `  A ) 
.-  ( M `  B ) ) )
3427, 31, 333eqtr4d 2492 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X  .-  Z
)  =  ( X 
.-  Y ) )
351, 2, 3, 4, 5, 6, 11, 25, 16mirbtwn 23904 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  ( ( ( S `  A
) `  B )
I B ) )
3623oveq1d 6292 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( S `
 A ) `  B ) I B )  =  ( C I B ) )
3735, 36eleqtrd 2531 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  ( C I B ) )
381, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 20, 11, 16, 37mirbtwni 23916 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( M `  A
)  e.  ( ( M `  C ) I ( M `  B ) ) )
3919, 15oveq12i 6289 . . . 4  |-  ( Z I Y )  =  ( ( M `  C ) I ( M `  B ) )
4038, 7, 393eltr4g 2547 . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  ( Z I Y ) )
411, 2, 3, 4, 5, 6, 13, 14, 18, 22, 34, 40ismir 23905 . 2  |-  ( ph  ->  Z  =  ( ( S `  X ) `
 Y ) )
4241eqcomd 2449 1  |-  ( ph  ->  ( ( S `  X ) `  Y
)  =  Z )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1381    e. wcel 1802   ` cfv 5574  (class class class)co 6277   Basecbs 14504   distcds 14578  TarskiGcstrkg 23690  Itvcitv 23697  LineGclng 23698  pInvGcmir 23898
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4544  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-pss 3474  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-tp 4015  df-op 4017  df-uni 4231  df-int 4268  df-iun 4313  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-tr 4527  df-eprel 4777  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-fr 4824  df-we 4826  df-ord 4867  df-on 4868  df-lim 4869  df-suc 4870  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6682  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7040  df-rdg 7074  df-1o 7128  df-oadd 7132  df-er 7309  df-pm 7421  df-en 7515  df-dom 7516  df-sdom 7517  df-fin 7518  df-card 8318  df-cda 8546  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11086  df-fz 11677  df-fzo 11799  df-hash 12380  df-word 12516  df-concat 12518  df-s1 12519  df-s2 12787  df-s3 12788  df-trkgc 23709  df-trkgb 23710  df-trkgcb 23711  df-trkg 23715  df-cgrg 23768  df-mir 23899
This theorem is referenced by:  miduniq2  23929  krippenlem  23932
  Copyright terms: Public domain W3C validator