Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  minvecolem7 Structured version   Unicode version

Theorem minvecolem7 26370
 Description: Lemma for minveco 26371. Since any two minimal points are distance zero away from each other, the minimal point is unique. (Contributed by Mario Carneiro, 9-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
minveco.x
minveco.m
minveco.n CV
minveco.y
minveco.u
minveco.w
minveco.a
minveco.d
minveco.j
minveco.r
minveco.s
Assertion
Ref Expression
minvecolem7
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,   ,,
Allowed substitution hints:   ()   ()

Proof of Theorem minvecolem7
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 minveco.x . . 3
2 minveco.m . . 3
3 minveco.n . . 3 CV
4 minveco.y . . 3
5 minveco.u . . 3
6 minveco.w . . 3
7 minveco.a . . 3
8 minveco.d . . 3
9 minveco.j . . 3
10 minveco.r . . 3
11 minveco.s . . 3
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11minvecolem5 26368 . 2
135ad2antrr 730 . . . . . 6
146ad2antrr 730 . . . . . 6
157ad2antrr 730 . . . . . 6
16 0re 9642 . . . . . . 7
1716a1i 11 . . . . . 6
18 0le0 10699 . . . . . . 7
1918a1i 11 . . . . . 6
20 simplrl 768 . . . . . 6
21 simplrr 769 . . . . . 6
22 simprl 762 . . . . . 6
23 simprr 764 . . . . . 6
241, 2, 3, 4, 13, 14, 15, 8, 9, 10, 11, 17, 19, 20, 21, 22, 23minvecolem2 26362 . . . . 5
2524ex 435 . . . 4
261, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11minvecolem6 26369 . . . . . 6
2726adantrr 721 . . . . 5
281, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11minvecolem6 26369 . . . . . 6
2928adantrl 720 . . . . 5
3027, 29anbi12d 715 . . . 4
31 4cn 10687 . . . . . . 7
3231mul01i 9822 . . . . . 6
3332breq2i 4434 . . . . 5
34 phnv 26300 . . . . . . . . . . . 12
355, 34syl 17 . . . . . . . . . . 11
3635adantr 466 . . . . . . . . . 10
371, 8imsmet 26168 . . . . . . . . . 10
3836, 37syl 17 . . . . . . . . 9
39 inss1 3688 . . . . . . . . . . . . 13
4039, 6sseldi 3468 . . . . . . . . . . . 12
41 eqid 2429 . . . . . . . . . . . . 13
421, 4, 41sspba 26211 . . . . . . . . . . . 12
4335, 40, 42syl2anc 665 . . . . . . . . . . 11
4443adantr 466 . . . . . . . . . 10
45 simprl 762 . . . . . . . . . 10
4644, 45sseldd 3471 . . . . . . . . 9
47 simprr 764 . . . . . . . . . 10
4844, 47sseldd 3471 . . . . . . . . 9
49 metcl 21278 . . . . . . . . 9
5038, 46, 48, 49syl3anc 1264 . . . . . . . 8
5150sqge0d 12440 . . . . . . 7
5251biantrud 509 . . . . . 6
5350resqcld 12439 . . . . . . 7
54 letri3 9718 . . . . . . 7
5553, 16, 54sylancl 666 . . . . . 6
5650recnd 9668 . . . . . . . 8
57 sqeq0 12336 . . . . . . . 8
5856, 57syl 17 . . . . . . 7
59 meteq0 21285 . . . . . . . 8
6038, 46, 48, 59syl3anc 1264 . . . . . . 7
6158, 60bitrd 256 . . . . . 6
6252, 55, 613bitr2d 284 . . . . 5
6333, 62syl5bb 260 . . . 4
6425, 30, 633imtr3d 270 . . 3
6564ralrimivva 2853 . 2
66 oveq2 6313 . . . . . 6
6766fveq2d 5885 . . . . 5
6867breq1d 4436 . . . 4
6968ralbidv 2871 . . 3
7069reu4 3271 . 2
7112, 65, 70sylanbrc 668 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 187   wa 370   wceq 1437   wcel 1870  wral 2782  wrex 2783  wreu 2784   cin 3441   wss 3442   class class class wbr 4426   cmpt 4484  ccnv 4853   crn 4855  cfv 5601  (class class class)co 6305  csup 7960  cc 9536  cr 9537  cc0 9538   caddc 9541   cmul 9543   clt 9674   cle 9675  c2 10659  c4 10661  cexp 12269  cme 18891  cmopn 18895  cnv 26048  cba 26050  cnsb 26053  CVcnmcv 26054  cims 26055  css 26205  ccphlo 26298  ccbn 26349 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cc 8863  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616  ax-addf 9617  ax-mulf 9618 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-iin 4305  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-pm 7483  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-fi 7931  df-sup 7962  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fl 12025  df-seq 12211  df-exp 12270  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-rest 15280  df-topgen 15301  df-psmet 18897  df-xmet 18898  df-met 18899  df-bl 18900  df-mopn 18901  df-fbas 18902  df-fg 18903  df-top 19852  df-bases 19853  df-topon 19854  df-cld 19965  df-ntr 19966  df-cls 19967  df-nei 20045  df-lm 20176  df-haus 20262  df-fil 20792  df-fm 20884  df-flim 20885  df-flf 20886  df-cfil 22118  df-cau 22119  df-cmet 22120  df-grpo 25764  df-gid 25765  df-ginv 25766  df-gdiv 25767  df-ablo 25855  df-vc 26010  df-nv 26056  df-va 26059  df-ba 26060  df-sm 26061  df-0v 26062  df-vs 26063  df-nmcv 26064  df-ims 26065  df-ssp 26206  df-ph 26299  df-cbn 26350 This theorem is referenced by:  minveco  26371
 Copyright terms: Public domain W3C validator